高升專數(shù)學(xué)（理）全真模擬試卷（真題模擬）2025年

高升專數(shù)學(xué)（理）全真模擬試卷（真題模擬）2025年一、選擇題要求：從下列各題的四個選項中，選出正確的一個。1.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象與$x$軸有一個交點，則下列結(jié)論正確的是（）。A.$a>0$，$b^2-4ac=0$，$c\neq0$；B.$a>0$，$b^2-4ac<0$，$c\neq0$；C.$a<0$，$b^2-4ac=0$，$c\neq0$；D.$a<0$，$b^2-4ac<0$，$c\neq0$。2.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f'(1)$的值是（）。A.$-2$；B.$0$；C.$2$；D.$3$。3.若$a+b+c=0$，則$abc$的值是（）。A.$0$；B.$1$；C.$-1$；D.$2$。4.在直角坐標(biāo)系中，點$A(2,3)$關(guān)于直線$x+y=1$的對稱點為$B$，則$B$的坐標(biāo)是（）。A.$(-1,-2)$；B.$(-1,2)$；C.$(1,-2)$；D.$(1,2)$。5.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$5$項之和為$15$，第$5$項與第$6$項之和為$12$，則該數(shù)列的首項$a_1$是（）。A.$2$；B.$3$；C.$4$；D.$5$。6.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的前$3$項之和為$27$，第$3$項與第$4$項之和為$54$，則該數(shù)列的首項$a_1$是（）。A.$3$；B.$6$；C.$9$；D.$12$。7.若函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)$的定義域為$A$，則集合$A$的表示方法是（）。A.$A=\{x|x>1\}$；B.$A=\{x|x>0\}$；C.$A=\{x|x<1\}$；D.$A=\{x|x<0\}$。8.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的值域為$B$，則集合$B$的表示方法是（）。A.$B=\{y|y>0\}$；B.$B=\{y|y\geq0\}$；C.$B=\{y|y<0\}$；D.$B=\{y|y\leq0\}$。9.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的圖象與$x$軸有兩個交點，則下列結(jié)論正確的是（）。A.$f'(1)>0$；B.$f'(1)<0$；C.$f'(1)=0$；D.$f'(1)$不存在。10.若函數(shù)$f(x)=2^x$的圖象與直線$y=3$有兩個交點，則下列結(jié)論正確的是（）。A.$f'(1)>0$；B.$f'(1)<0$；C.$f'(1)=0$；D.$f'(1)$不存在。二、填空題要求：將答案填入題中的橫線上。11.若函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$的圖象與$x$軸有兩個交點，則$f(x)$的判別式$\Delta=$__________。12.若函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)$的定義域為$A$，則集合$A=$__________。13.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的值域為$B$，則集合$B=$__________。14.若函數(shù)$f(x)=2^x$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=$__________。15.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=$__________。16.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=2$，公差$d=3$，則第$10$項$a_{10}=$__________。17.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=3$，公比$q=2$，則第$6$項$a_6=$__________。18.若直線$l:2x+3y+1=0$與直線$m:4x+6y+3=0$平行，則它們的截距之比是__________。19.若直線$l:2x+3y+1=0$與直線$m:4x+6y+3=0$垂直，則它們的截距之比是__________。20.若直線$l:2x+3y+1=0$與直線$m:4x+6y+3=0$的交點坐標(biāo)是$(x_0,y_0)$，則$x_0=$__________，$y_0=$__________。三、解答題要求：將答案寫在題中橫線處。21.解方程組$\begin{cases}x+y=5\\2x-3y=1\end{cases}$。22.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$，求函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。23.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$的單調(diào)區(qū)間。24.求函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的值域。25.求直線$l:2x+3y+1=0$與直線$m:4x+6y+3=0$的交點坐標(biāo)。四、證明題要求：證明下列各題中的結(jié)論。26.證明：若$a>0$，$b>0$，則$\sqrt{a}+\sqrt>\sqrt{a+b}$。27.證明：若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象與$x$軸有兩個交點，則$\Delta=b^2-4ac>0$。五、應(yīng)用題要求：解決下列實際問題。28.某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為$10$元，售價為$15$元。若每天生產(chǎn)$100$件產(chǎn)品，則每天可獲利$500$元。為了擴(kuò)大生產(chǎn)，工廠計劃將每件產(chǎn)品的售價提高$x$元，同時保持成本不變。問：為了使每天的總利潤達(dá)到$1000$元，$x$應(yīng)取多少？29.一個長方體的長、寬、高分別為$a$、$b$、$c$，求該長方體的體積$V$。六、解答題要求：解答下列各題。30.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$，求函數(shù)$f(x)$的極值。31.求直線$l:3x-4y+5=0$與圓$x^2+y^2=16$的交點坐標(biāo)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.C解析：函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象與$x$軸有一個交點，說明該函數(shù)有一個實根，即判別式$\Delta=b^2-4ac=0$。由于$a\neq0$，所以函數(shù)的開口方向由$a$決定，$a<0$時開口向下，$a>0$時開口向上。由于只有一個交點，所以函數(shù)的頂點在$x$軸上，即$c=0$。2.B解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-3$，將$x=1$代入得到$f'(1)=3(1)^2-3=0$。3.C解析：由$a+b+c=0$，可得$c=-a-b$。將$c$代入$abc$得到$abc=a(-a-b)=-a^2-ab$。由于$a$和$b$的符號不確定，所以$abc$的值只能是負(fù)數(shù)，即$abc=-1$。4.A解析：點$A(2,3)$關(guān)于直線$x+y=1$的對稱點$B$，設(shè)$B$的坐標(biāo)為$(x_0,y_0)$，則直線$AB$的中點坐標(biāo)為$(\frac{2+x_0}{2},\frac{3+y_0}{2})$。由于中點在直線$x+y=1$上，所以$\frac{2+x_0}{2}+\frac{3+y_0}{2}=1$，解得$x_0=-1$，$y_0=-2$。5.B解析：等差數(shù)列的前$5$項之和為$15$，即$\frac{5(a_1+a_5)}{2}=15$，化簡得$a_1+a_5=6$。第$5$項與第$6$項之和為$12$，即$a_5+a_6=12$。由于$a_5=a_1+4d$，$a_6=a_1+5d$，代入上面的式子得到$a_1+4d+a_1+5d=12$，化簡得$2a_1+9d=12$。聯(lián)立方程組解得$a_1=3$。6.C解析：等比數(shù)列的前$3$項之和為$27$，即$a_1+a_1q+a_1q^2=27$，化簡得$a_1(1+q+q^2)=27$。第$3$項與第$4$項之和為$54$，即$a_1q+a_1q^2=54$。由于$a_1q=a_1q^2q$，代入上面的式子得到$a_1q(1+q)=54$。聯(lián)立方程組解得$a_1=9$。7.A解析：函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)$的定義域為$x-1>0$，即$x>1$。8.B解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的值域為$y>0$。9.C解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$，當(dāng)$x=1$時，$f'(1)=0$。10.D解析：函數(shù)$f(x)=2^x$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2^x\ln2$，當(dāng)$x=1$時，$f'(1)=2\ln2$，由于$\ln2>0$，所以$f'(1)>0$。二、填空題11.$-7$解析：$f(x)=x^2-4x+3$的判別式$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(3)=-7$。12.$A=\{x|x>1\}$解析：函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)$的定義域為$x-1>0$，即$x>1$。13.$B=\{y|y\geq0\}$解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的值域為$y\geq0$。14.$f'(x)=2^x\ln2$解析：函數(shù)$f(x)=2^x$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2^x\ln2$。15.$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$。16.$a_{10}=2+9d=2+9(3)=29$解析：等差數(shù)列的第$10$項$a_{10}=a_1+9d=2+9(3)=29$。17.$a_6=a_1q^5=3(2)^5=96$解析：等比數(shù)列的第$6$項$a_6=a_1q^5=3(2)^5=96$。18.2:3解析：直線$l:2x+3y+1=0$的截距為$-\frac{1}{3}$，直線$m:4x+6y+3=0$的截距為$-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}$，截距之比為$2:3$。19.3:2解析：直線$l:2x+3y+1=0$的截距為$-\frac{1}{3}$，直線$m:4x+6y+3=0$的截距為$-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}$，截距之比為$3:2$。20.$x_0=-\frac{1}{2}$，$y_0=\frac{1}{4}$解析：聯(lián)立方程組$\begin{cases}2x+3y+1=0\\4x+6y+3=0\end{cases}$，解得$x_0=-\frac{1}{2}$，$y_0=\frac{1}{4}$。三、解答題21.$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$解析：將第一個方程乘以$2$得到$2x+2y=10$，與第二個方程$2x-3y=1$相減得到$5y=9$，解得$y=1.8$，代入第一個方程得到$x=2$。22.$f'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}$。23.單調(diào)遞增區(qū)間：$(-\infty,1)$，單調(diào)遞減區(qū)間：$(1,+\infty)$解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得到$x=1$，當(dāng)$x<1$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x>1$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增。24.值域：$[0,+\infty)$解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的定義域為$x^2-1\geq0$，即$x\leq-1$或$x\geq1$。當(dāng)$x\geq1$時，$f(x)\geq0$，所以值域為$[0,+\infty)$。25.交點坐標(biāo)：$(-\frac{1}{2},\frac{1}{4})$解析：聯(lián)立方程組$\begin{cases}2x+3y+1=0\\4x+6y+3=0\end{cases}$，解得$x=-\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{4}$。四、證明題26.證明：$\sqrt{a}+\sqrt>\sqrt{a+b}$解析：要證明$\sqrt{a}+\sqrt>\sqrt{a+b}$，只需證明$(\sqrt{a}+\sqrt)^2>(\sqrt{a+b})^2$，即$a+2\sqrt{ab}+b>a+b$，化簡得$2\sqrt{ab}>0$，顯然成立。27.證明：若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象與$x$軸有兩個交點，則$\Delta=b^2-4ac>0$。解析：函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象與$x$軸有兩個交點，說明該函數(shù)有兩個實根，