2017理數(shù)試題及答案

2017理數(shù)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{2,3,4\}\)2.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,1)\)，則\(\vec{a}+2\vec\)=（）A.\((-1,4)\)B.\((-1,0)\)C.\((1,4)\)D.\((1,0)\)4.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)=（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)5.直線\(3x+4y-5=0\)與圓\(x^{2}+y^{2}=1\)的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.無法確定6.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5\)=（）A.9B.10C.11D.127.已知\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，函數(shù)\(y=a^{x}\)與\(y=\log_ax\)的圖象（）A.關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱B.關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于直線\(y=x\)對(duì)稱8.正方體的棱長為\(1\)，則其外接球的體積為（）A.\(\frac{\sqrt{3}\pi}{2}\)B.\(\sqrt{3}\pi\)C.\(\frac{4\pi}{3}\)D.\(4\pi\)9.若函數(shù)\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)的圖象的對(duì)稱中心為\((0,1)\)，則\(b+c\)=（）A.1B.2C.3D.410.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率是（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln(x^{2}+1)\)D.\(y=2^{x}\)2.以下哪些是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式（）A.\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)B.\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)C.\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)D.\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)3.關(guān)于直線的斜率，下列說法正確的是（）A.傾斜角為\(90^{\circ}\)的直線斜率不存在B.直線斜率\(k=\tan\alpha\)，\(\alpha\)為傾斜角C.斜率相等的兩條直線一定平行D.過兩點(diǎn)\((x_1,y_1)\)，\((x_2,y_2)\)的直線斜率\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_1\neqx_2)\)4.已知函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)，則以下可能是其對(duì)稱軸的是（）A.\(x=\frac{\pi}{4}\)B.\(x=\frac{\pi}{3}\)C.\(x=\frac{\pi}{6}\)D.\(x=-\frac{\pi}{12}\)5.下列運(yùn)算正確的是（）A.\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)B.\(a^{m}\cdota^{n}=a^{m+n}\)C.\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)（\(a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0\)）D.\(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)（\(a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0\)）6.空間中，下列命題正確的是（）A.平行于同一條直線的兩條直線平行B.垂直于同一條直線的兩條直線平行C.平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行D.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行7.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)滿足\(c\ltb\lta\)，且\(ac\lt0\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(ab\gtac\)B.\(c(b-a)\gt0\)C.\(cb^{2}\ltab^{2}\)D.\(ac(a-c)\lt0\)8.已知\(z_1=a+bi\)，\(z_2=c+di\)（\(a,b,c,d\inR\)），則以下關(guān)于復(fù)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A.\(z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i\)B.\(z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i\)C.\(z_1\cdotz_2=(ac-bd)+(ad+bc)i\)D.\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}i\)（\(z_2\neq0\)）9.對(duì)于雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)，下列說法正確的是（）A.實(shí)軸長為\(2a\)B.虛軸長為\(2b\)C.漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)）10.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的導(dǎo)函數(shù)為\(f^\prime(x)\)，以下說法正確的是（）A.\(f^\prime(x)\gt0\)時(shí)，\(y=f(x)\)單調(diào)遞增B.\(f^\prime(x)\lt0\)時(shí)，\(y=f(x)\)單調(diào)遞減C.\(f^\prime(x)=0\)的點(diǎn)可能是極值點(diǎn)D.\(f(x)\)的極值點(diǎn)處\(f^\prime(x)=0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^{2}\gtb^{2}\)。（）3.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）4.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時(shí)為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）5.若向量\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec=\vec{0}\)。（）6.拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是\((\frac{p}{2},0)\)。（）7.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=qa_n\)（\(q\)為常數(shù)），則\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列。（）8.函數(shù)\(y=\lnx\)在\((0,+\infty)\)上是增函數(shù)。（）9.兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。（）10.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(f(0)=0\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期和值域。答案：最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)；因?yàn)閈(\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)值域是\([-1,1]\)，所以函數(shù)\(y\)值域是\([-3,3]\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求\(a_n\)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)公差為\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，即\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)。則\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：直線\(2x-y+1=0\)斜率為\(2\)，所求直線與之平行斜率也為\(2\)。由點(diǎn)斜式得\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.計(jì)算\(\int_{0}^{1}(x^{2}+1)dx\)。答案：\(\int_{0}^{1}(x^{2}+1)dx=(\frac{1}{3}x^{3}+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}\times1^{3}+1)-(\frac{1}{3}\times0^{3}+0)=\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^{3}\)的單調(diào)性和奇偶性。答案：求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^{2}\geq0\)，\(y=x^{3}\)在\(R\)上單調(diào)遞增。又\(f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)\)，所以\(y=x^{3}\)是奇函數(shù)。2.已知直線與圓的位置關(guān)系有相交、相切、相離，討論如何判斷直線與圓的位置關(guān)系。答案：可通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小判斷。\(d\ltr\)時(shí)相交；\(d=r\)時(shí)相切；\(d\gtr\)時(shí)相離。也可聯(lián)立直線與圓方程，根據(jù)判別式判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.討論在立體幾何中，如何證明線面垂直。答案：可利用定義，證明直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直；也可用判定定理，證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直；還可利用面面垂直性質(zhì)，若兩個(gè)平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。4.討論概率在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：在保險(xiǎn)行業(yè)用于計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)概率制定保險(xiǎn)費(fèi)率；在抽獎(jiǎng)活動(dòng)中計(jì)算中獎(jiǎng)概率；在質(zhì)量檢測中估算產(chǎn)品不合格概率等