2017高等數(shù)學考試題及答案

2017高等數(shù)學考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.曲線\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.44.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^3\)C.\(x\)D.\(3x^2\)5.\(\intxdx\)=（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(2x+C\)6.函數(shù)\(y=e^x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,0)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.不存在7.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.18.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點9.設\(f(x,y)=x+y\)，則\(f_x(1,2)\)=（）A.1B.2C.3D.010.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂D.絕對收斂二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(1+x^2)\)2.以下極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x-1}{x^2-1}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導的等價條件有（）A.函數(shù)在該點連續(xù)B.左右導數(shù)存在且相等C.函數(shù)在該點有切線D.函數(shù)在該點可微4.下列積分計算正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\inte^{-x}dx=-e^{-x}+C\)D.\(\intx^3dx=\frac{1}{4}x^4+C\)5.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的極值點有（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)6.對于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，以下說法正確的有（）A.偏導數(shù)存在則函數(shù)連續(xù)B.函數(shù)可微則偏導數(shù)存在C.偏導數(shù)連續(xù)則函數(shù)可微D.函數(shù)連續(xù)則偏導數(shù)存在7.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)8.定積分的性質(zhì)包括（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.若\(f(x)\geqg(x)\)在\([a,b]\)上成立，則\(\int_{a}^f(x)dx\geq\int_{a}^g(x)dx\)9.曲線\(y=x^4-2x^2+3\)的拐點可能是（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)10.以下關于多元函數(shù)的說法正確的是（）A.駐點不一定是極值點B.極值點一定是駐點C.有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必有最值D.偏導數(shù)為零的點是駐點三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導。（）4.\(\int_{a}^f(x)dx\)與積分變量\(x\)無關。（）5.函數(shù)\(y=x^3\)的二階導數(shù)是\(6x\)。（）6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的全微分\(dz=f_x(x_0,y_0)\Deltax+f_y(x_0,y_0)\Deltay\)。（）7.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。（）8.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的周期是\(\pi\)。（）9.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）10.函數(shù)\(y=e^{x+y}\)的偏導數(shù)\(z_x=e^{x+y}\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間。答案：對\(y\)求導得\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y'<0\)，解得\(0<x<2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計算\(\intxe^xdx\)。答案：用分部積分法，設\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。根據(jù)公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，可得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C\)。3.求函數(shù)\(z=x^2+2y^2-2x+4y\)的駐點。答案：分別求偏導數(shù)，\(z_x=2x-2\)，\(z_y=4y+4\)。令\(z_x=0\)，\(z_y=0\)，即\(\begin{cases}2x-2=0\\4y+4=0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}\)，駐點為\((1,-1)\)。4.簡述判斷級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂的方法（至少兩種）。答案：比較判別法，與已知斂散性的級數(shù)比較；比值判別法，計算\(\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\)，根據(jù)結果判斷；根值判別法，計算\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\)判斷斂散性。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的圖像性質(zhì)。答案：定義域為\(x\neq1\)。當\(x>1\)時，\(y>0\)且單調(diào)遞減；當\(x<1\)時，\(y<0\)且單調(diào)遞減。\(x=1\)是垂直漸近線，\(y=0\)是水平漸近線。圖像在一、三象限。2.探討多元函數(shù)的極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：極值是局部概念，最值是整體概念，函數(shù)的最值可能在極值點或邊界點取得。區(qū)別：極值點是函數(shù)在某鄰域內(nèi)的最值點，最值是整個定義域或指定區(qū)域上的最大或最小值，求極值關注駐點和不可導點，求最值還需考慮邊界情況。3.分析定積分在實際生活中的應用（舉例說明）。答案：例如求不規(guī)則圖形面積，可將圖形分割用定積分計算；求變速直線運動的路程，速度函數(shù)在某時間段上的定積分就是路程；計算變力做功，力函數(shù)在位移區(qū)間上的定積分即做功大小。4.討論無窮級數(shù)在數(shù)學和其他領域的作用。答案：在數(shù)學中用于表示函數(shù)、求解微分方程等。在物理領域，可用于分析振動、波動等問題；在工程領域，用于信號處理、電路分析等。通過無窮級數(shù)能將復雜問題簡化為可計算的形式，便于研究和解決實際問題。答案