《將軍飲馬與最值問題》教學(xué)設(shè)計(jì)-2024《幾何模型教學(xué)設(shè)計(jì)培優(yōu)專題》

“百師助學(xué)”課程之《將軍飲馬與最值問題》一、內(nèi)容分析最值問題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”以及“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”、三角形三邊關(guān)系為基礎(chǔ)知識，有時(shí)還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究.本專題以“將軍飲馬模型”為載體開展對最值問題的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”以及“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”、三角形三邊關(guān)系問題．二、學(xué)情分析作為初中生，在解決最值問題這方面的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對具有實(shí)際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手．三、教學(xué)任務(wù)分析1.教學(xué)目標(biāo)能利用軸對稱、平移解決最值問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟領(lǐng)會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣和合作交流的意識，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，體驗(yàn)自己探究出問題的成就感．2.教學(xué)重點(diǎn)利用軸對稱、平移等變換將線段和、差最值問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”“垂線段最短”、三角形三邊關(guān)系問題．四、教學(xué)過程步驟教學(xué)主要內(nèi)容教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖模型一：兩定一動【問題1】在直線l上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最小 【問題2】在直線l上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最小 【問題3】在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA－PB|最大【問題4】在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA－PB|最大 例題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y1=k1x+b與坐標(biāo)軸分別交于A5,0，B0,52△OAP的面積為5(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)若C為線段OA上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)PC+KC最小時(shí)，求跟進(jìn)練習(xí)：1、（深圳中考第14題）要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？小聰根據(jù)實(shí)際情況，以街道旁為x軸，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，測得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，5），則從A、B兩點(diǎn)到奶站距離之和的最小值是． 2、（深圳中考第22題)如圖所示，拋物線y＝ax2+c（a＞0）經(jīng)過梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；3、（深圳中考第22題）如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；（2）設(shè)直線BC交y軸于點(diǎn)E，連接AE，求證：AE＝CE；（3）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)F，試問以A、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似嗎？（4）若點(diǎn)P為直線AE上一動點(diǎn)，當(dāng)CP+DP取最小值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．4、（深圳中考第22題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M過原點(diǎn)O，與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，3），點(diǎn)C為劣弧AO的中點(diǎn)，連接AC并延長到D，使DC＝4CA，連接BD．（1）求⊙M的半徑；（2）證明：BD為⊙M的切線；（3）在直線MC上找一點(diǎn)P，使|DP﹣AP|最大．教師提問:求線段和最小值，線段差最大值的原理師生一起解答例題教師巡視學(xué)生解題情況，答疑解惑學(xué)生探討思考原理。師生一起解答例題學(xué)生先獨(dú)立思考后，再相互探討學(xué)生通過問題分析其原理，掌握求最值的原理并通過題目加以檢驗(yàn)、鞏固模型二：一定兩動【問題1】在直線l1，l2上分別求點(diǎn)A，B，使PB＋【問題2】在直線l1，l2上分別求點(diǎn)M，N，使△例題：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB上的點(diǎn)，連接OE、OF、EF，若AB=

跟進(jìn)練習(xí)：1、如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，∠AOB=30°，OP=6，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn)，則△PMN周長的最小值為___________．2、（2023下·湛江·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F

3、如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，其中A（﹣3，0），C（0，4），點(diǎn)B在x軸上，AC=BC，過點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段CO，BC上的動點(diǎn)，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試求出AM+AN的最小值．4、（2023·西安·二模）如圖，在四邊形ABCD中，，∠BAD=120°，AB=2，AD=4，P、Q分別是邊BC、CD上的動點(diǎn)，連接AP，AQ，，則△APQ師生一起解答例題教師巡視學(xué)生解題情況，答疑解惑學(xué)生探討思考原理師生一起解答例題學(xué)生先獨(dú)立思考后，再相互探討學(xué)生通過問題分析其原理，掌握求最值的原理并通過題目加以檢驗(yàn)、鞏固模型三：兩定兩動【問題1】A，B分別為l1，l2上的定點(diǎn)，M，N分別為l1，l 【問題2】P，Q為定點(diǎn)，在直線l1，l2上分別求點(diǎn)M，N，使四邊形 【問題3】在直線l上求兩點(diǎn)M，N(M在左）且MN＝a，求四邊形ABNM周長的最小值例題1：如圖所示，E為邊長是2的正方形ABCD的中點(diǎn)，M為BC上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn)，連EM、MN、NA，則四邊形AEMN周長的最小值為。例題2：如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．跟蹤練習(xí)：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，在x軸上取兩點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)），且始終保持，線段在x軸上平移，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．2、（2011年深圳中考第23題）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點(diǎn)G為直線PQ上的一動點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G，H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長最??？若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；3、（深圳中考第22題）如圖拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3），且OB＝OC．（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點(diǎn)D、E是直線x＝1上的兩個(gè)動點(diǎn)，且DE＝1，點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方，求四邊形ACDE的周長的最小值．師生一起解答例題教師巡視學(xué)生解題情況，答疑解惑學(xué)生探討思考原理師生一起