傳感器技術(shù)及應(yīng)用（第2版） 課件 第1-4章　緒論、電阻式傳感器-電感式傳感器

傳感器技術(shù)及應(yīng)用傳感技術(shù)是新一代信息技術(shù)三大組成部分之一，是發(fā)展物聯(lián)網(wǎng)及其應(yīng)用的關(guān)鍵和瓶頸，是發(fā)展中國裝備制造業(yè)的關(guān)鍵基礎(chǔ)元器件。其作用越來越被工業(yè)界、科技界、國防軍工、政府決策部門所認識和重視?；A(chǔ)知識定義、分類發(fā)展趨勢選用原則一般特性傳感器原理檢測技術(shù)電容式傳感器電阻式傳感器電感式傳感器壓電式傳感器磁電式傳感器熱電式傳感器光電傳感器聲、波及輻射傳感器課程主要內(nèi)容傳感器的工作原理、結(jié)構(gòu)、主要參數(shù)、檢測電路及其典型應(yīng)用

緒論“沒有傳感器就沒有現(xiàn)代科學技術(shù)”的觀點已為全世界所公認。以傳感器為核心的檢測系統(tǒng)就像神經(jīng)和感官一樣，源源不斷地向人類提供宏觀與微觀世界的種種信息，成為人們認識自然、改造自然的有利工具。[Mendelyeev,DmitryIvanovich]

科學僅僅是在人們懂得了測量才開始的－門捷列夫傳感器是人類五官的延長，又稱之為電五官。傳感器是獲取信息的主要途徑與手段。沒有傳感器，現(xiàn)代化生產(chǎn)就失去了基礎(chǔ)。傳感器是邊緣學科開發(fā)的先驅(qū)。傳感器技術(shù)在發(fā)展經(jīng)濟、推動社會進步等方面起著重要作用。傳感器已滲透到諸如工業(yè)生產(chǎn)、宇宙開發(fā)、海洋探測、環(huán)境保護、資源調(diào)查、醫(yī)學診斷、生物工程、甚至文物保護等等極其廣泛的領(lǐng)域。從茫茫的太空到浩瀚的海洋，以至各種復雜的工程系統(tǒng)，幾乎每一個現(xiàn)代化項目，都離不開各種各樣的傳感器。國家標準（GB7665-87）中傳感器（Transducer/Sensor）的定義：能夠感受規(guī)定的被測量并按照一定規(guī)律轉(zhuǎn)換成可用輸出信號的器件或裝置。①傳感器是測量裝置，能完成檢測任務(wù)；②輸入量是某一被測量，可能是物理量，也可能是化學量、生物量等；③輸出量是某種物理量，便于傳輸、轉(zhuǎn)換、處理、顯示等，可以是氣、光、電物理量，主要是電物理量；④輸出輸入有對應(yīng)關(guān)系，且應(yīng)有一定的精確程度。傳感器功用：一感二傳，即感受被測信息，并傳送出去。是將各種非電量按一定規(guī)律轉(zhuǎn)換成便于處理和傳輸?shù)牧硪环N物理量的裝置傳感器的應(yīng)用

傳感器的應(yīng)用領(lǐng)域涉及機械制造、工業(yè)過程控制、汽車電子產(chǎn)品、通信電子產(chǎn)品、消費電子產(chǎn)品和專用設(shè)備等。（1）工業(yè)自動化中的應(yīng)用

機械手、機器人中的傳感器

轉(zhuǎn)動/移動位置傳感器、力傳感器、視覺傳感器、聽覺傳感器、接近距離傳感器、觸覺傳感器、熱覺傳感器、嗅覺傳感器。

在各種自動控制系統(tǒng)中，檢測環(huán)節(jié)起著系統(tǒng)感官的作用，是其重要組成部分。（2）生產(chǎn)加工過程監(jiān)測

切削力傳感器，加工噪聲傳感器，超聲波測距傳感器、紅外接近開關(guān)傳感器等。（3）消費類可穿戴設(shè)備傳感器高度計手表濕度傳感器監(jiān)測當?shù)氐南鄬穸葔毫鞲衅鞅O(jiān)測海拔高度溫度傳感器監(jiān)測當?shù)乜諝鉁囟冉∩硎汁h(huán)壓力傳感器監(jiān)測海拔高度變化溫度傳感器監(jiān)測當?shù)乜諝鉁囟然蚱つw溫度濕度傳感器監(jiān)測當?shù)氐南鄬穸然蚱つw濕度（汗水）壓電薄膜傳感器監(jiān)測用戶運動和一般活動強度生命特征光學傳感器測量心率和SpO2

濃度溫度傳感器測量皮膚和呼氣溫度壓力傳感器監(jiān)測吸氣和呼氣活動睡眠監(jiān)測濕度傳感器控制CPAP

面罩中的濕度，以提高舒適度溫度傳感器監(jiān)測皮膚溫度和呼吸空氣，以提高舒適度壓力傳感器監(jiān)測呼吸頻率光學傳感器測量心率和SpO2

濃度（4）流程工業(yè)設(shè)備運行狀態(tài)監(jiān)控在電力、冶金、石化、化工等流程工業(yè)中，生產(chǎn)線上設(shè)備運行狀態(tài)關(guān)系到整個生產(chǎn)線流程。通常建立24小時在線監(jiān)測系統(tǒng)。

石化企業(yè)輸油管道、儲油罐等壓力容器的破損和泄漏檢測（5）產(chǎn)品質(zhì)量測量

在汽車、機床等設(shè)備，電機、發(fā)動機等零部件出廠時，必須對其性能質(zhì)量進行測量和出廠檢驗。

汽車出廠檢驗原理框圖，測量參數(shù)包括潤滑油溫度、冷卻水溫度、燃油壓力及發(fā)動機轉(zhuǎn)速等。通過對抽樣汽車的測試，工程師可以了解產(chǎn)品質(zhì)量。汽車扭距測量機床加工精度測量

未來的戰(zhàn)爭一定程度上可以稱之為傳感器戰(zhàn)爭。未來戰(zhàn)場將布滿各種傳感器，它們既包括電視攝像機、激光雷達、成像雷達、微光夜視儀、制冷和非制冷熱像儀等可視設(shè)備，也包括聲傳感器、震動傳感器、磁傳感器、氣象傳感器和探測生化戰(zhàn)劑的傳感器，當然也可能出現(xiàn)目前尚未問世或成熟的其它傳感器。這些傳感器將為指揮人員和士兵收集大量的戰(zhàn)場態(tài)勢信息，使他們擁有全面的信息優(yōu)勢，從而最大限度地增強他們的攻擊威力。（6）在軍事和航天領(lǐng)域的應(yīng)用中國傳感器的發(fā)展走過了一段極不平坦之路：從無到有，從有到全，全而不強，機遇很多。對傳感器的認識上下基本趨于一致，轉(zhuǎn)變了“造船不如買船、買船不如租船”的思維模式，從“市場換技術(shù)”的迷霧中走出，正確理解“科技創(chuàng)新的主體在企業(yè)”這一觀點。經(jīng)過幾代傳感器人的努力，風雨同舟，一路艱辛，成績巨大，業(yè)績卓然，問題不少，前景光明。

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《中國傳感器（技術(shù)、產(chǎn)業(yè)）發(fā)展藍皮書》傳感器是信息技術(shù)的源頭。沒有傳感器對原始參數(shù)的準確、可靠、實時的測量，信息處理與傳輸?shù)哪芰υ購?，都沒有任何實際意義。

沒有傳感器，就不能實現(xiàn)檢測與測量；

沒有測量，就沒有科學，就沒有技術(shù)；

因此，大力發(fā)展傳感器技術(shù)在任何時候都是重要的和必要的。傳感器的組成輔助電源敏感元件轉(zhuǎn)換元件基本轉(zhuǎn)換電路非電量電量敏感元件是直接感受被測量，并輸出與被測量成確定關(guān)系的某一物理量的元件。轉(zhuǎn)換元件：敏感元件的輸出就是它的輸入，它把輸入轉(zhuǎn)換成電路參量。基本轉(zhuǎn)換電路：上述電路參數(shù)接入基本轉(zhuǎn)換電路（簡稱轉(zhuǎn)換電路），便可轉(zhuǎn)換成電量輸出。典型測控系統(tǒng)被控對象傳感器信號調(diào)理信號轉(zhuǎn)換與處理顯示存儲傳輸執(zhí)行器控制信號電信號典型測控系統(tǒng)主要包括：測控對象、傳感器、信號調(diào)理、信號轉(zhuǎn)換與處理、執(zhí)行器、顯示/存儲/傳輸?shù)葞撞糠?。信號調(diào)理信號調(diào)理大致可分為四種類型，即電平調(diào)整、線性化、信號形式變換、濾波、阻抗匹配。

電平調(diào)整是對電壓信號進行的放大或衰減，及傳感器零位電壓的調(diào)整等。

線性化是針對傳感器的非線性特性的信號調(diào)理。盡最大可能擴大傳感器的響應(yīng)特性的線性范圍。

信號形式變換是將傳感器輸出信號從一種形式變換為另一種形式，如電壓-電流變換。

濾波是濾除系統(tǒng)中的無用噪聲信號。1、按傳感器的工作機理，分為物理型、化學型、生物型等2、按構(gòu)成原理，結(jié)構(gòu)型與物性型兩大類3、根據(jù)傳感器的能量轉(zhuǎn)換情況，可分為能量控制型傳感器和能量轉(zhuǎn)換型傳感器4、按照物理原理分類：電阻、電容、電感等5、按照傳感器的用途分類：位移、壓力、振動、溫度傳感器7、根據(jù)傳感器輸出信號：模擬信號和數(shù)字信號6、根據(jù)轉(zhuǎn)換過程可逆與否：單向和雙向8、根據(jù)傳感器使用電源與否：有源傳感器和無源傳感器傳感器的分類傳感器的發(fā)展動向

開發(fā)新型傳感器

開發(fā)新材料新工藝的采用集成化、多功能化智能化

開展基礎(chǔ)研究，發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，開發(fā)傳感器的新材料和新工藝；實現(xiàn)傳感器的集成化與智能化

傳感器的工作機理是基于各種效應(yīng)和定律，由此啟發(fā)人們進一步探索具有新效應(yīng)的敏感功能材料，并以此研制出具有新原理的新型物性型傳感器件，這是發(fā)展高性能、多功能、低成本和小型化傳感器的重要途徑。世界各國都在物性型傳感器方面投入大量人力、物力加強研究，從而使它成為一個值得注意的發(fā)展動向。1．開發(fā)新型傳感器新型傳感器包括：①采用新原理；②填補傳感器空白；③仿生傳感器等方面。它們之間是互相聯(lián)系的。傳感器材料是傳感器技術(shù)的重要基礎(chǔ)，由于材料科學的進步，人們在制造時，可控制它們的成分，從而設(shè)計制造出用于各種傳感器的功能材料。用復雜材料來制造性能更加良好的傳感器是今后的發(fā)展方向之一。2．開發(fā)新材料（1）半導體敏感材料（2）陶瓷材料（3）磁性材料（4）智能材料如，半導體氧化物可以制造各種氣體傳感器，而陶瓷傳感器工作溫度遠高于半導體，光導纖維的應(yīng)用是傳感器材料的重大突破，用它研制的傳感器與傳統(tǒng)的相比有突出的特點。有機材料作為傳感器材料的研究，引起國內(nèi)外學者的極大興趣。在發(fā)展新型傳感器中，離不開新工藝的采用。新工藝的含義范圍很廣，這里主要指與發(fā)展新型傳感器聯(lián)系特別密切的精細加工技術(shù)。該技術(shù)又稱微機械加工技術(shù)，是近年來隨著集成電路工藝發(fā)展起來的，它是離子束、電子束、分子束、激光束和化學刻蝕等用于微電子加工的技術(shù)，目前已越來越多地用于傳感器領(lǐng)域。3．新工藝的采用例如利用半導體技術(shù)制造出壓阻式傳感器，利用薄膜工藝制造出快速響應(yīng)的氣敏、濕敏傳感器，日本橫河公司利用各向異性腐蝕技術(shù)進行高精度三維加工，在硅片上構(gòu)成孔、溝棱錐、半球等各種開頭，制作出全硅諧振式壓力傳感器。4．集成化、多功能化多功能一體化，即將傳感器與放大、運算以及溫度補償?shù)拳h(huán)節(jié)一體化，組裝成一個器件。把多個功能不同的傳感元件集成在一起，除可同時進行多種參數(shù)的測量外，還可對這些參數(shù)的測量結(jié)果進行綜合處理和評價，可反映出被測系統(tǒng)的整體狀態(tài)。為同時測量幾種不同被測參數(shù)，可將幾種不同的傳感器元件復合在一起，作成集成塊。例如一種溫、氣、濕三功能陶瓷傳感器已經(jīng)研制成功。5．智能化對外界信息具有檢測、數(shù)據(jù)處理、邏輯判斷、自診斷和自適應(yīng)能力的集成一體化多功能傳感器，這種傳感器具有與主機互相對話的功能，可以自行選擇最佳方案，能將已獲得的大量數(shù)據(jù)進行分割處理，實現(xiàn)遠距離、高速度、高精度傳輸?shù)?。智能傳感器是傳感器技術(shù)與大規(guī)模集成電路技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，它的實現(xiàn)取決于傳感技術(shù)與半導體集成化工藝水平的提高與發(fā)展，是傳感器重要的發(fā)展方向之一。第1章傳感與檢測技術(shù)的理論基礎(chǔ)1.1測量概論

1.2測量數(shù)據(jù)的估計和處理1.1測量概論1.1.1測量測量是以確定被測量的值或獲取測量結(jié)果為目的的一系列操作。所以,測量也就是將被測量與同種性質(zhì)的標準量進行比較，確定被測量對標準量的倍數(shù)。它可由下式表示：式中：x——被測量值；

u——標準量，即測量單位；

n——比值（純數(shù)），含有測量誤差。

由測量所獲得的被測量的量值叫測量結(jié)果，測量結(jié)果可用一定的數(shù)值表示，也可以用一條曲線或某種圖形表示，但無論其表現(xiàn)形式如何，測量結(jié)果應(yīng)包括比值和測量單位。測量結(jié)果僅僅是被測量的最佳估計值，并非真值，所以還應(yīng)給出測量結(jié)果的質(zhì)量，即測量結(jié)果的可信程度。這個可信程度用測量不確定度表示，測量不確定度表征測量值的分散程度。

因此測量結(jié)果的完整表述應(yīng)包括估計值、測量單位及測量不確定度。

被測量值和比值等都是測量過程的信息，這些信息依托于物質(zhì)才能在空間和時間上進行傳遞。被測量作用到實際物體上，使其某些參數(shù)發(fā)生變化，參數(shù)承載了信息而成為信號。選擇其中適當?shù)膮?shù)作為測量信號，例如熱電偶溫度傳感器的工作參數(shù)是熱電偶的電勢，差壓流量傳感器中的孔板工作參數(shù)是差壓Δp。

測量過程就是傳感器從被測對象獲取被測量的信息，建立起測量信號，經(jīng)過變換、傳輸、處理，從而獲得被測量量值的過程。1.1.2測量方法實現(xiàn)被測量與標準量比較得出比值的方法，稱為測量方法。針對不同測量任務(wù)，進行具體分析，找出切實可行的測量方法，對測量工作是十分重要的。對于測量方法，從不同角度，有不同的分類方法。根據(jù)獲得測量值的方法可分為直接測量、間接測量和組合測量；根據(jù)測量方式可分為偏差式測量、零位式測量與微差式測量；根據(jù)測量條件不同可分為等精度測量與不等精度測量；根據(jù)被測量變化快慢可分為靜態(tài)測量與動態(tài)測量；根據(jù)測量敏感元件是否與被測介質(zhì)接觸可分為接觸式測量與非接觸式測量；根據(jù)測量系統(tǒng)是否向被測對象施加能量可分為主動式測量與被動式測量等。

1.直接測量、間接測量與組合測量在使用儀表或傳感器進行測量時，測得值直接與標準量進行比較，不需要經(jīng)過任何運算，直接得到被測量的數(shù)值，這種測量方法稱為直接測量。被測量與測得值之間關(guān)系可用下式表示：

y=x

式中：y——被測量的值；

x——直接測得值。優(yōu)點：簡單、迅速缺點：精度低

例如，用磁電式電流表測量電路的某一支路電流，用彈簧管壓力表測量壓力等，都屬于直接測量。直接測量的優(yōu)點是測量過程簡單而又迅速，缺點是測量精度不容易達到很高。

y=f(x)或y=f(x1,x2,…,xn)在使用儀表或傳感器進行測量時，首先對與被測量有確定函數(shù)關(guān)系的幾個量進行直接測量，將直接測得值代入函數(shù)關(guān)系式，經(jīng)過計算得到所需要的結(jié)果，這種測量稱為間接測量。間接測量與直接測量不同，被測量y是一個測得值x或幾個測得值x1，x2，…，xn的函數(shù)，即

被測量y不能直接測量求得，必須有測得值x或xi（i=1，2，…，n）及與被測量y的函數(shù)關(guān)系確定。如直接測量電壓值U和電阻值R，根據(jù)式P=U2/R求電功率P即為間接測量的實例。間接測量手續(xù)較多，花費時間較長，一般用在直接測量不方便，或者缺乏直接測量手段的場合。舉例1：測電阻率舉例2：曹沖稱象優(yōu)點：能夠獲得不能通過直接測量的信息；精度更高若被測量必須經(jīng)過求解聯(lián)立方程組求得，如有若干個被測量y1，y2，…，ym，直接測得值為x1,x2,…,xn,把被測量與測得值之間的函數(shù)關(guān)系列成方程組，即這種測量方法稱為組合測量方程組中方程的個數(shù)n要大于被測量y的個數(shù)m，用最小二乘法求出被測量的數(shù)值。組合測量是一種特殊的精密測量方法，操作手續(xù)復雜，花費時間長，多適用于科學實驗或特殊場合。

2.偏差式測量、零位式測量與微差式測量用儀表指針的位移（即偏差）決定被測量的量值，這種測量方法稱為偏差式測量。偏差式測量,其測量過程簡單、迅速，但測量結(jié)果的精度較低。

用指零儀表的零位反映測量系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，在測量系統(tǒng)平衡時，用已知的標準量決定被測量的量值，這種測量方法稱為零位式測量。零位式測量的優(yōu)點是可以獲得比較高的測量精度，但測量過程比較復雜，費時較長，不適用于測量變化迅速的信號。

微差式測量是綜合了偏差式測量與零位式測量的優(yōu)點而提出的一種測量方法。它將被測量與已知的標準量相比較，取得差值后，再用偏差法測得此差值。應(yīng)用這種方法測量時，不需要調(diào)整標準量，而只需測量兩者的差值。

3.等精度測量與不等精度測量在整個測量過程中，若影響和決定誤差大小的全部因素（條件）始終保持不變，如由同一個測量者，用同一臺儀器，用同樣的方法，在同樣的環(huán)境條件下，對同一被測量進行多次重復測量，稱為等精度測量。在實際中，極難做到影響和決定誤差大小的全部因素（條件）始終保持不變，所以一般情況下只是近似認為是等精度測量。有時在科學研究或高精度測量中，往往在不同的測量條件下，用不同精度的儀表，不同的測量方法，不同的測量次數(shù)以及不同的測量者進行測量和對比，這種測量稱為不等精度測量。

4.靜態(tài)測量與動態(tài)測量

被測量在測量過程中認為是固定不變的，對這種被測量進行的測量稱為靜態(tài)測量。靜態(tài)測量不需要考慮時間因素對測量的影響。若被測量在測量過程中是隨時間不斷變化的，對這種被測量進行的測量稱為動態(tài)測量。1.1.3測量系統(tǒng)

1.測量系統(tǒng)構(gòu)成

測量系統(tǒng)應(yīng)具有對被測對象的特征量進行檢測、傳輸、處理及顯示等功能，一個測量系統(tǒng)是傳感器、變送器（變換器）和其它變換裝置等的有機組合。

測量系統(tǒng)組成框圖

傳感器是感受被測量（物理量、化學量、生物量等）的大小，并輸出相對應(yīng)的可用輸出信號（一般多為電量）的器件或裝置。

變送器將傳感器輸出的信號變換成便于傳輸和處理的信號，大多數(shù)變送器的輸出信號是統(tǒng)一的標準信號（目前多為4～20mA直流電流），信號標準是系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間的通信協(xié)議。當測量系統(tǒng)的幾個功能環(huán)節(jié)獨立地分隔開時，必須由一個地方向另一個地方傳輸信號，傳輸環(huán)節(jié)就是完成這種傳輸功能的。傳輸通道將測量系統(tǒng)各環(huán)節(jié)間的輸入、輸出信號連接起來，通常用電纜連接，或用光導纖維連接，以用來傳輸數(shù)據(jù)。

信號處理環(huán)節(jié)將傳感器輸出信號進行處理和變換。如對信號進行放大、運算、線性化、數(shù)—模或?！獢?shù)轉(zhuǎn)換，使其輸出信號便于顯示、記錄。這種信號處理環(huán)節(jié)可用于自動控制系統(tǒng)，也可與計算機系統(tǒng)連接，以便對測量信號進行信息處理。

顯示裝置是將被測量信息變成人的感官能接受的形式，以完成監(jiān)視、控制或分析的目的。測量結(jié)果可以采用模擬顯示，也可采用數(shù)字顯示或圖形顯示，也可以由記錄裝置進行自動記錄或由打印機將數(shù)據(jù)打印出來。

2.開環(huán)測量系統(tǒng)與閉環(huán)測量系統(tǒng)（1）開環(huán)測量系統(tǒng)開環(huán)測量系統(tǒng)全部信息變換只沿著一個方向進行，如圖所示。其中x為輸入量，y為輸出量，k1、k2、k3為各個環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)。y=k1k2k3x

輸入輸出關(guān)系表示如下：采用開環(huán)方式構(gòu)成的測量系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)較簡單，但各環(huán)節(jié)特性的變化都會造成測量誤差。

因為開環(huán)測量系統(tǒng)是由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的，因此系統(tǒng)的相對誤差等于各環(huán)節(jié)相對誤差之和。即式中，δ——系統(tǒng)的相對誤差；δi——各環(huán)節(jié)的相對誤差。

（2）閉環(huán)測量系統(tǒng)閉環(huán)測量系統(tǒng)有兩個通道，一為正向通道，一為反饋通道，其結(jié)構(gòu)如圖所示。閉環(huán)測量系統(tǒng)框圖其中Δx為正向通道的輸入量，β為反饋環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)，正向通道的總傳遞系數(shù)k=k1k2?？芍寒攌>>1時，則系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為

顯然，這時整個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系由反饋環(huán)節(jié)的特性決定，放大器等環(huán)節(jié)特性的變化不會造成測量誤差，或者說造成的誤差很小。1.1.4測量誤差測量誤差是測得值減去被測量的真值。由于真值往往不知道，因此測量的目的是希望通過測量獲取被測量的真實值。

但由于種種原因，例如，傳感器本身性能不十分優(yōu)良，測量方法不十分完善，外界干擾的影響等，造成被測量的測得值與真實值不一致，因而測量中總是存在誤差。

由于真值未知，所以在實際中，有時用約定真值代替真值，常用某量的多次測量結(jié)果來確定約定真值；或用精度高的儀器示值代替約定真值。

在工程技術(shù)及科學研究中，對被測量進行測量時，測量的可靠性至關(guān)重要，不同場合對測量結(jié)果可靠性的要求也不同。例如，在量值傳遞、經(jīng)濟核算、產(chǎn)品檢驗場合應(yīng)保證測量結(jié)果有足夠的準確度。

當測量值用作控制信號時，則要注意測量的穩(wěn)定性和可靠性。因此，測量結(jié)果的準確程度，應(yīng)與測量的目的與要求相聯(lián)系，相適應(yīng)。

那種不惜工本，不顧場合，一味追求越準越好的作法是不可取的，要有技術(shù)與經(jīng)濟兼顧的意識。

1.測量誤差的表示方法

測量誤差的表示方法有多種，含義各異。（1）絕對誤差絕對誤差可用下式定義：Δ=x-L式中:Δ——絕對誤差；x——測量值；L——真值。絕對誤差是有正、負并有量綱的。

在實際測量中，有時要用到修正值，修正值是與絕對誤差大小相等、符號相反的值，即c=-Δ式中，c為修正值，通常用高一等級的測量標準或標準儀器獲得修正值。利用修正值可對測量值進行修正，從而得到準確的實際值,修正后的實際測量值x′為x′=x+c

修正值給出的方式，可以是具體的數(shù)值，也可以是一條曲線或公式。

采用絕對誤差表示測量誤差，不能很好說明測量質(zhì)量的好壞。例如，在溫度測量時，絕對誤差Δ=1℃，對體溫測量來說是不允許的，而對鋼水溫度測量來說是極好的測量結(jié)果，所以用相對誤差可以比較客觀地反映測量的準確性。（2）實際相對誤差實際相對誤差的定義由下式給出：式中：δ——實際相對誤差，一般用百分數(shù)給出；

Δ——絕對誤差；

L——真值。由于被測量的真值L無法知道，實際測量時用測量值x代替真值L進行計算，這個相對誤差稱為標稱相對誤差，即

（3）引用誤差引用誤差是儀表中通用的一種誤差表示方法。它是相對于儀表滿量程的一種誤差，又稱滿量程相對誤差，一般也用百分數(shù)表示。即式中：γ——引用誤差；

Δ——絕對誤差。儀表精度等級是根據(jù)最大引用誤差來確定的。例如，0.5級表的引用誤差的最大值不超過±0.5%；1.0級表的引用誤差的最大值不超過±1%。在儀表和傳感器使用時，經(jīng)常會遇到基本誤差和附加誤差兩個概念。

（4）基本誤差基本誤差是指傳感器或儀表在規(guī)定的標準條件下所具有的誤差。例如，某傳感器是在電源電壓(220±5)V、電網(wǎng)頻率(50±2)Hz、環(huán)境溫度(20±5)℃、濕度65%±5%的條件下標定的。如果傳感器在這個條件下工作，則傳感器所具有的誤差為基本誤差。儀表的精度等級就是由基本誤差決定的。（5）附加誤差附加誤差是指傳感器或儀表的使用條件偏離額定條件下出現(xiàn)的誤差。例如，溫度附加誤差、頻率附加誤差、電源電壓波動附加誤差等。2.測量誤差的性質(zhì)根據(jù)測量數(shù)據(jù)中的誤差所呈現(xiàn)的規(guī)律及產(chǎn)生的原因可將其分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差。（1）隨機誤差在同一測量條件下，多次測量被測量時，其絕對值和符號以不可預定方式變化著的誤差稱為隨機誤差。

即隨機誤差是將測量結(jié)果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差。重復性條件包括：相同的測量程序，相同的觀測者，在相同的條件下使用相同的測量儀器，相同的地點，在短時間內(nèi)重復測量。式中：xi——被測量的某一個測量值；

x∞——重復性條件下無限多次的測量值的平均值，即(n→∞)

由于重復測量實際上只能測量有限次，因此實用中的隨機誤差只是一個近似估計值。對于隨機誤差不能用簡單的修正值來修正，當測量次數(shù)足夠多時，隨機誤差就整體而言，服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，通過對測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理可以計算隨機誤差出現(xiàn)的可能性的大小。隨機誤差可用下式表示：

（2）系統(tǒng)誤差在同一測量條件下，多次測量被測量時，絕對值和符號保持不變，或在條件改變時，按一定規(guī)律（如線性、多項式、周期性等函數(shù)規(guī)律）變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。前者為恒值系統(tǒng)誤差，后者為變值系統(tǒng)誤差。在我國制訂的國家計量技術(shù)規(guī)范《通用計量術(shù)語及定義》中，對系統(tǒng)誤差的定義是，在重復性條件下對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。它可用下式表示：系統(tǒng)誤差=x∞-L

式中,L為被測量的真值。

因為真值不能通過測量獲知，所以通過有限次測量的平均值x與L的約定真值近似地得出系統(tǒng)誤差，稱之為系統(tǒng)誤差的估計，得出的系統(tǒng)誤差可對測量結(jié)果進行修正，但由于系統(tǒng)誤差不能完全獲知，因此通過修正值對系統(tǒng)誤差只能有限程度地補償。引起系統(tǒng)誤差的原因復雜，如測量方法不完善，零點未調(diào)整，采用近似的計算公式，測量者的經(jīng)驗不足等等。對于系統(tǒng)誤差，首先要查找誤差根源，并設(shè)法減小和消除，而對于無法消除的恒值系統(tǒng)誤差，可以在測量結(jié)果中加以修正。

（3）粗大誤差超出在規(guī)定條件下預期的誤差稱為粗大誤差，粗大誤差又稱疏忽誤差。這類誤差的發(fā)生是由于測量者疏忽大意，測錯、讀錯或環(huán)境條件的突然變化等引起的。含有粗大誤差的測量值明顯地歪曲了客觀現(xiàn)象，故含有粗大誤差的測量值稱為壞值或異常值。在數(shù)據(jù)處理時，要采用的測量值不應(yīng)該包含有粗大誤差，即所有的壞值都應(yīng)當剔除。所以進行誤差分析時，要估計的誤差只有系統(tǒng)誤差和隨機誤差兩類。1.2測量數(shù)據(jù)的估計和處理1.2.1隨機誤差的統(tǒng)計處理

1.正態(tài)分布多次等精度地重復測量同一量值時，得到一系列不同的測量值，即使剔除了壞值，并采取措施消除了系統(tǒng)誤差，然而每個測量值數(shù)據(jù)各異，可以肯定每個測量值還會含有誤差。這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，具有隨機性，所以稱為隨機誤差。

隨機誤差的分布規(guī)律，可以在大量測量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上總結(jié)出來，就誤差的總體來說是服從統(tǒng)計規(guī)律的。由于大多數(shù)隨機誤差服從正態(tài)分布，因而正態(tài)分布理論就成為研究隨機誤差的基礎(chǔ)。

隨機誤差一般具有以下幾個性質(zhì)：①絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等，誤差所具有的這個特性稱為對稱性。②在一定測量條件下的有限測量值中，其隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限，這一特性稱為有界性。③絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這一特性稱為單峰性。④對同一量值進行多次測量，其誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)n的增加趨向于零，這一特性稱為誤差的抵償性。設(shè)對某一被測量進行多次重復測量，得到一系列的測量值為xi，設(shè)被測量的真值為L，則測量列中的隨機誤差δi為δi=xi-L

i=1,2,…,n正態(tài)分布的概率分布密度f(δ)為

2.隨機誤差的數(shù)字特征

(1)算術(shù)平均值x

正態(tài)分布是以x=L為對稱軸，它是正態(tài)總體的平均值。由于在測量過程中，不可避免地存在隨機誤差，因此我們無法求得測量的真值。

但如隨機誤差服從正態(tài)分布，算術(shù)平均值處隨機誤差的概率密度最大，即算術(shù)平均值與被測量的真值最為接近，隨著測量次數(shù)增加，算術(shù)平均值越趨近于真值。

如果對某一量進行無限多次測量，就可以得到不受隨機誤差影響的值，或其影響甚微，可以忽略。由于實際上是有限次測量，因而有限次直接測量中算術(shù)平均值是諸測量值中最可信賴的，把它作為等精度多次測量的結(jié)果，即被測量的最佳估計值。對被測量進行等精度的n次測量，得n個測量值x1,x2,…,xn，它們的算術(shù)平均值為

由于被測量的真值為未知，不能求得隨機誤差，可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進行計算，則有式中,vi為xi的殘余誤差（簡稱殘差）。

（2）標準偏差σ

標準偏差簡稱為標準差，又稱均方根誤差。標準差σ刻劃總體的分散程度，下圖給出了L相同，σ不同（σ=0.5，σ=1，σ=1.5）的正態(tài)分布曲線，σ值愈大，曲線愈平坦，即隨機變量的分散性愈大；反之，愈小，曲線愈尖銳（集中），隨機變量的分散性愈小。標準差σ由下式算得:σ是在當測量次數(shù)趨于無窮時得到的，它是正態(tài)總體的平均值，稱為理論標準差或總體標準差。但在實際測量中,σ不可能得到，因為被測量是在重復性條件下進行有限次測量，用算術(shù)平均值代替真值，此時表征測量值（隨機誤差）分散性的量用標準差的估計值σs表示，它是評定單次測量值不可靠性的指標，由貝塞爾公式計算得到，即

式中：xi——第i次測量值；

x——n次測量值的算術(shù)平均值；

vi——

殘余誤差，即vi=xi-x。標準差的估計值σs也可用代號s表示。標準差的估計值又稱為樣本標準差，它是作為總體標準差σ的估計值，但并不是σ的無偏估計，而樣本方差σ2s才是總體方差σ2的無偏估計。標準差的估計值是方差的正平方根，具有與xi相同的量綱。

若對被測量進行m組的“多次重復測量”，若這些測量值已消除了系統(tǒng)誤差，只存在隨機誤差，各組所得的算術(shù)平均值x1,x2,…,xm各不相同，也是隨機變量，它們分布在期望值附近，但比測量值靠近于期望值，隨著測量次數(shù)的增多，平均值將收斂于期望值。算術(shù)平均值的可靠性指標用算術(shù)平均值的標準差σx來評定，它與標準差的估計值σs的關(guān)系如下：由上式可見，在測量條件一定的情況下，算術(shù)平均值的標準差σx隨著測量次數(shù)n的增加而減小，算術(shù)平均值愈接近期望值。圖示為σx/σs比值與n的關(guān)系曲線。從圖中可見，當n增加到一定次數(shù)（例如10次）以后，σx的減小就變得緩慢，所以不能單靠無限地增加測量次數(shù)來提高測量精度。圖

σx/σs

與n的關(guān)系曲線實際上測量次數(shù)愈多，愈難保證測量條件的穩(wěn)定，從而帶來新的誤差。所以在一般精密測量中，重復性條件下測量的次數(shù)n大多少于10，此時如要進一步提高測量精度，則應(yīng)采取其它措施（如提高儀器精度，改進測量方法，改善環(huán)境條件等）來解決。

3.正態(tài)分布隨機誤差的概率計算如隨機變量符合正態(tài)分布，它出現(xiàn)的概率就是正態(tài)分布曲線下所包圍的面積。因為全部隨機變量出現(xiàn)的總的概率為1，所以曲線所包圍的面積應(yīng)等于1，即隨機變量落在任意區(qū)間（a，b）的概率為式中,Pa為置信概率。

σ是正態(tài)分布的特征參數(shù)，區(qū)間通常表示成σ的倍數(shù)，如kσ。由于隨機變量分布對稱性的特點，常取對稱的區(qū)間，即在±kσ區(qū)間的概率為式中:k——置信系數(shù)；

±kσ——置信區(qū)間(誤差限)。正態(tài)分布的k值及其相應(yīng)的概率

從表可知，當k=1時，Pa=0.6827，即測量結(jié)果中隨機誤差出現(xiàn)在-σ～+σ范圍內(nèi)的概率為68.27%,而|v|>σ的概率為31.73%。出現(xiàn)在-3σ～+3σ范圍內(nèi)的概率是99.73%,因此可以認為絕對值大于3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個誤差稱為極限誤差δlim，即極限誤差δlim=±3σ。

隨機變量落在±kσ范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為Pa，則超出的概率稱為置信度，又稱為顯著性水平，用α表示α=1-Pa

4.不等精度直接測量的權(quán)與誤差前面講述的內(nèi)容是等精度測量的問題。嚴格地說，絕對的等精度測量是很難保證的，但對條件差別不大的測量，一般都當作等精度測量對待，某些條件的變化，如測量時溫度的波動等，只作為誤差來考慮。

但有時在科學研究或高精度測量中，為了獲得足夠的信息，有意改變測量條件，比如不同的地點、用不同精度的儀表，或是用不同的測量方法等進行測量，這樣的測量屬于不等精度測量。對于不等精度的測量，測量數(shù)據(jù)的分析和綜合不能套用前面等精度測量的數(shù)據(jù)處理的計算公式，需推導出新的計算公式。

（1）“權(quán)”的概念在等精度測量中，即多次重復測量得到的各個測得值具有相同的精度，可用同一個標準偏差σ值來表征，或者說各個測得值具有相同的可信程度，并取所有測量值的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果。

在不等精度測量時，對同一被測量進行m組獨立無系統(tǒng)誤差及無粗大誤差的測量，得到m組測量列（進行多次測量的一組數(shù)據(jù)稱為一測量列）的測量結(jié)果及其誤差，由于各組測量條件不同，各組的測量結(jié)果及誤差不能同等看待，即各組測量結(jié)果的可靠程度不一樣。測量精度高（即標準差?。┑臏y量列具有較高的可靠性。

為了衡量這種可靠性和可信賴程度，引進“權(quán)”的概念。

“權(quán)”可理解為各組測量結(jié)果相對的可信賴程度。測量次數(shù)多，測量方法完善，測量儀表精度高，測量的環(huán)境條件好，測量人員的水平高，則測量結(jié)果可靠，其權(quán)也大。

權(quán)是相比較而存在的。

權(quán)用符號p表示，有兩種計算方法：①用各組測量列的測量次數(shù)n的比值表示p1∶p2∶….∶pm=n1∶n2∶…..∶nm

②用各組測量列的標準差平方的倒數(shù)的比值表示可看出：每組測量結(jié)果的權(quán)與其相應(yīng)的標準差平方成反比。如果已知各組算術(shù)平均值的標準差，即可確定響應(yīng)權(quán)的大小。

測量結(jié)果權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個無量綱的數(shù)。通常在計算各組權(quán)時，令最小的權(quán)數(shù)為“1”，以便用簡單的數(shù)值來表示各組的權(quán)。

（2）加權(quán)算術(shù)平均值xp

在等精度測量時，測量結(jié)果的最佳估計值用算術(shù)平均值表示;而在不等精度測量時，測量結(jié)果的最佳估計值用加權(quán)算術(shù)平均值表示。加權(quán)算術(shù)平均值不同于一般的算術(shù)平均值，它是各組測量列的全體平均值，不僅要考慮各測得值，而且還要考慮各組的權(quán)。

若對同一被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量列的算術(shù)平均值 ，相應(yīng)各組的權(quán)分別為p1,p2,….,pm，則加權(quán)平均值可用下式表示：

（3）加權(quán)算術(shù)平均值的標準差

用加權(quán)算術(shù)平均值作為不等精度測量結(jié)果的最佳估計值時，其精度由加權(quán)算術(shù)平均值的標準差來表示。對同一個被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結(jié)果 ，則加權(quán)算術(shù)平均值xp的標準差可由下式計算:1.2.2系統(tǒng)誤差的通用處理方法

1.從誤差根源上消除系統(tǒng)誤差由于系統(tǒng)誤差的特殊性，在處理方法上與隨機誤差完全不同。主要是如何有效地找出系統(tǒng)誤差的根源，并減小或消除。查找誤差根源的關(guān)鍵，就是要對測量設(shè)備、測量對象和測量系統(tǒng)作全面分析，明確其中有無產(chǎn)生明顯系統(tǒng)誤差的因素，并采取相應(yīng)措施予以修正或消除。

由于具體條件不同，在分析查找誤差根源時，并沒有一成不變的方法，這與測量者的經(jīng)驗、水平以及測量技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)。通常，我們可以從以下幾個方面進行分析考慮。①所用傳感器，測量儀表或組成元件是否準確可靠。比如傳感器或儀表靈敏度不足，儀表刻度不準確，變換器、放大器等性能不太優(yōu)良等都會引起誤差，而且是常見的誤差。②測量方法是否完善，如用電壓表測量電壓，電壓表的內(nèi)阻對測量結(jié)果有影響。③傳感器儀表安裝、調(diào)整或放置是否正確合理。例如，未調(diào)好儀表水平位置，安裝時儀表指針偏心等都會引起誤差。④傳感器或儀表工作場所的環(huán)境條件是否符合規(guī)定條件。例如，環(huán)境、溫度、濕度、氣壓等的變化也會引起誤差。⑤測量者操作是否正確。例如，讀數(shù)時視差、視力疲勞等都會引起系統(tǒng)誤差。

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別

發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差一般比較困難，下面只介紹幾種發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的一般方法。（1）實驗對比法這種方法是通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件從而進行不同條件的測量，來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)固定的系統(tǒng)誤差。例如，一臺測量儀表本身存在固定的系統(tǒng)誤差，即使進行多次測量也不能發(fā)現(xiàn)，只有用更高一級精度的測量儀表測量時，才能發(fā)現(xiàn)這臺測量儀表的系統(tǒng)誤差。

（2）殘余誤差觀察法這種方法是根據(jù)測量值的殘余誤差的大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無變化的系統(tǒng)誤差。

圖

殘余誤差變化規(guī)律把殘余誤差按照測量值先后順序作圖，如圖所示。圖(a)殘余誤差有規(guī)律地遞增(或遞減)，表明存在線性變化的系統(tǒng)誤差；圖(b)中殘余誤差大小和符號大體呈周期性，可以認為有周期性系統(tǒng)誤差；圖(c)殘余誤差變化規(guī)律較復雜，懷疑同時存在線性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。

（3）準則檢查法目前已有多種準則供人們檢驗測量數(shù)據(jù)中是否含有系統(tǒng)誤差。不過這些準則都有一定適用范圍。如馬利科夫判據(jù)將殘余誤差前后各半分為兩組，若“∑vi前”與“∑vi后”之差明顯不為零，則可能含有線性系統(tǒng)誤差。阿貝檢驗法是檢查殘余誤差是否偏離正態(tài)分布，若偏離，則可能存在變化的系統(tǒng)誤差。將測量值的殘余誤差按測量順序排列,且設(shè) A=v21+v22+…+v2n

B=(v1-v2)2+(v2-v3)2+…+(vn-1-vn)2+(vn-v1)2若則可能含有變化的系統(tǒng)誤差，但類型不能判定。

3.系統(tǒng)誤差的消除（1）在測量結(jié)果中進行修正對于已知的恒值系統(tǒng)誤差，可以用修正值對測量結(jié)果進行修正；對于變值系統(tǒng)誤差，設(shè)法找出誤差的變化規(guī)律，用修正公式或修正曲線對測量結(jié)果進行修正；對未知系統(tǒng)誤差，則按隨機誤差進行處理。（2）消除系統(tǒng)誤差的根源在測量之前，仔細檢查儀表，正確調(diào)整和安裝；防止外界干擾影響；選好觀測位置消除視差；選擇環(huán)境條件比較穩(wěn)定時進行讀數(shù)等。（3）在測量系統(tǒng)中采用補償措施找出系統(tǒng)誤差規(guī)律在測量過程中自動消除系統(tǒng)誤差。如用熱電偶測量溫度時，熱電偶參考端溫度變化會引起系統(tǒng)誤差，消除此誤差的辦法之一是在熱電偶回路中加一個冷端補償器，從而實現(xiàn)自動補償。

（4）實時反饋修正由于自動化測量技術(shù)及微機的應(yīng)用，可用實時反饋修正的辦法來消除復雜的變化系統(tǒng)誤差。當查明某種誤差因素的變化對測量結(jié)果有明顯的復雜影響時，應(yīng)盡可能找出其影響測量結(jié)果的函數(shù)關(guān)系或近似的函數(shù)關(guān)系。在測量過程中，用傳感器將這些誤差因素的變化，轉(zhuǎn)換成某種物理量形式（一般為電量），及時按照其函數(shù)關(guān)系，通過計算機算出影響測量結(jié)果的誤差值，并對測量結(jié)果作實時的自動修正。1.2.3粗大誤差

1.3σ準則前面已講到，通常把等于3σ的誤差稱為極限誤差，對于正態(tài)分布的隨機誤差，落在±3σ

以外的概率只有0.27%，它在有限次測量中發(fā)生的可能性很小。3σ準則就是如果一組測量數(shù)據(jù)中某個測量值的殘余誤差的絕對值|vi|>3σ時，則該測量值為可疑值（壞值），應(yīng)剔除。

3σ準則又稱萊以達準則。3σ準則是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準則，它應(yīng)用于測量次數(shù)充分多的情況。

2.肖維勒準則肖維勒準則是以正態(tài)分布為前提的，假設(shè)多次重復測量所得的n個測量值中，某個測量值的殘余誤差|vi|>Zcσ,則剔除此數(shù)據(jù)。實用中Zc<3，所以在一定程度上彌補了3σ準則的不足。肖維勒準則中的Zc值見表。肖維勒準則中的Zc值3.格拉布斯準則格拉布斯準則也是以正態(tài)分布為前提的，理論上較嚴謹，使用也較方便。某個測量值的殘余誤差的絕對值|vi|＞Gσ，則判斷此值中含有粗大誤差，應(yīng)予剔除，此即格拉布斯準則。G值與重復測量次數(shù)n和置信概率Pa有關(guān)，見下表。表

格拉布斯準則中的G值

以上準則是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提的，當偏離正態(tài)分布，特別是測量次數(shù)很少時，判斷的可靠性就差。因此，對待粗大誤差，除用剔除準則外，更重要的是要提高工作人員的技術(shù)水平和工作責任心。另外，要保證測量條件的穩(wěn)定，以防止因環(huán)境條件劇烈變化而產(chǎn)生的突變影響。1.2.4測量數(shù)據(jù)處理中的幾個問題

1.間接測量中的測量數(shù)據(jù)處理前面主要是針對直接測量的誤差分析，在直接測量中，測量誤差就是直接測得值的誤差。而對于間接測量，是通過直接測得值與被測量之間的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過計算得到被測量的，所以間接測量的誤差則是各個直接測得值誤差的函數(shù)。

一個測量系統(tǒng)或一個傳感器都是由若干部分組成的，設(shè)各環(huán)節(jié)分別為x1,x2,…,xn，系統(tǒng)總的輸入輸出之間的函數(shù)關(guān)系為y=f(x1,x2,…,xn)，而各部分又都存在誤差，也會影響測量系統(tǒng)或傳感器總的誤差，這類誤差的分析也可歸納到間接測量的誤差分析。在間接測量中，已知各直接測得值的誤差（或局部誤差），求總的誤差，即誤差的合成（也稱誤差的綜合）；反之，確定了總的誤差后，各環(huán)節(jié)（或各部分）具有多大誤差才能保證總的誤差值不超過規(guī)定值，這叫做誤差的分配。在傳感器和測量系統(tǒng)的設(shè)計時經(jīng)常用到誤差的分配。下面介紹誤差的合成。

（1）絕對誤差和相對誤差的合成如被測量為y，設(shè)各直接測得值x1,x2,…,xn之間相互獨立，則與被測量y之間函數(shù)關(guān)系為y=f(x1,x2,…,xn)

各測得值的絕對誤差分別為Δx1,Δx2,….,Δxn,因為誤差一般均很小，其誤差可用微分來表示，則被測量y的誤差可表示為

實際計算誤差時，以各環(huán)節(jié)的絕對誤差Δx1,Δx2,…,Δxn來代替上式中的dx1,dx2,…,dxn，即式中，Δy為綜合后總的絕對誤差。如測得值與被測量的函數(shù)關(guān)系為y=x1+x2+…+xn，則綜合絕對誤差Δy=Δx1+Δx2+…+Δxn如被測量y的綜合誤差用相對誤差表示，則

但當誤差項數(shù)較多時，相對誤差的合成一般情況下按方和根合成比較符合統(tǒng)計值，即式中，

（2）標準差的合成設(shè)被測量y與各直接測得值x1,x2,…,xn之間的函數(shù)關(guān)系為y=f(x1,x2,…,xn)，各測得值的標準差分別為σ１，σ２，…，σn，當各測得值相互獨立時，被測量y的標準差為

2.最小二乘法的應(yīng)用最小二乘法原理是一種數(shù)學原理，要獲得最可信賴的測量結(jié)果，應(yīng)使各測量值的殘余誤差平方和為最小，這就是最小二乘法原理?？捎盟阈g(shù)平均值作為多次測量的結(jié)果，因為它們符合最小二乘法原理。

最小二乘法作為一種數(shù)據(jù)處理手段，在組合測量的數(shù)據(jù)處理、實驗曲線的擬合及在其它多種學科方面，均獲得了廣泛的應(yīng)用。

下面以組合測量為例說明最小二乘法原理及基本運算。設(shè)有線性函數(shù)方程組為式中:X1,X2,…,Xm——被測量；

Y1,Y2,…,Yn——直接測得值。

由于在測量中不可避免會引入誤差，所求得的結(jié)果必然會帶有一定的誤差，為了減小隨機誤差的影響，測量次數(shù)n大于所求未知數(shù)個數(shù)m（n>m），顯然，用一般的代數(shù)方法無法求解，而只有采用最小二乘法來求解。根據(jù)最小二乘法原理，在直接測得值有誤差的情況下，欲求被測量最可信賴的值，應(yīng)使殘余誤差的平方之和為最小，即

若x1,x2,…,xm是被測量X1,X2,…,Xm最可信賴的值，又稱最佳估計值，則相應(yīng)的估計值亦有下列函數(shù)關(guān)系:

設(shè)l1，l2，…，ln為帶有誤差的實際直接測得值，它們與相應(yīng)的估計值y1,y2,…,yn之間的偏差即為殘余誤差，殘余誤差方程組為

按最小二乘法原理，要得到可信賴的結(jié)果x1,x2,…,xm，上述方程組的殘余誤差平方和為最小。根據(jù)求極值條件，應(yīng)使將上述偏微分方程式整理，最后可寫成上式即為重復性測量的線性函數(shù)最小二乘估計的正規(guī)方程。式中

正規(guī)方程是一個m元線性方程組，當其系數(shù)行列式不為零時，有唯一確定的解，由此可解得欲求被測量的估計值x1,x2,…,xm,即為符合最小二乘原理的最佳解。線性函數(shù)的最小二乘法處理應(yīng)用矩陣這一工具進行討論有許多便利之處。將誤差方程用下列的矩陣表示：式中，系數(shù)矩陣為被測量估計值矩陣為直接測得值矩陣為殘余誤差矩陣為殘余誤差平方和最小這一條件的矩陣形式為即V′V=最小或?qū)⑸鲜鼍€性函數(shù)的正規(guī)方程式用殘余誤差表示，可改寫成寫成矩陣形式為即A′V=0有上式即為最小二乘估計的矩陣解。

3.用經(jīng)驗公式擬合實驗數(shù)據(jù)——回歸分析在工程實踐和科學實驗中，經(jīng)常遇到對于一批實驗數(shù)據(jù)，需要把它們進一步整理成曲線圖或經(jīng)驗公式。用經(jīng)驗公式擬合實驗數(shù)據(jù)，工程上把這種方法稱為回歸分析?；貧w分析就是應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計的方法，對實驗數(shù)據(jù)進行分析和處理，從而得出反映變量間相互關(guān)系的經(jīng)驗公式，也稱回歸方程。當經(jīng)驗公式為線性函數(shù)時，例如y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn

稱這種回歸分析為線性回歸分析，它在工程中應(yīng)用價值較高。在線性回歸分析中，當獨立變量只有一個時，即函數(shù)關(guān)系為y=b0+bx

這種回歸稱為一元線性回歸，這就是工程上和科研中常遇到的直線擬合問題。設(shè)有n對測量數(shù)據(jù)(xi,yi)，用一元線性回歸方程擬合，則根據(jù)測量數(shù)據(jù)值，實際上只要求出方程中系數(shù)b0、b的最佳估計值，一元線性回歸方程也就確定了。求取一元線性回歸方程中系數(shù)b0、b的值，最常用的方法是利用最小二乘法原理，即應(yīng)使各測量數(shù)據(jù)點與回歸直線的偏差平方和為最小，見圖。圖

用最小二乘法求回歸直線誤差方程組為式中： 分別為在x1,x2,…,xn點上y的估計值。在求經(jīng)驗公式時，有時用圖解法分析顯得更方便、直觀，將測量數(shù)據(jù)值（xi,yi）繪制在坐標紙上(稱之為散點圖)，把這些測量點直接連接起來，根據(jù)曲線（包括直線）的形狀、特征以及變化趨勢，可以設(shè)法給出它們的數(shù)學模型（即經(jīng)驗公式）。這不僅可把一條形象化的曲線與各種分析方法聯(lián)系起來，而且還在相當程度上擴展了原有曲線的應(yīng)用范圍。1.3

傳感器的基本特性傳感器特性參數(shù)表征的意義在研發(fā)中，是傳感器效應(yīng)（原理）選擇，結(jié)構(gòu)設(shè)計的導向。在應(yīng)用中，是傳感器選取的重要依據(jù)。正確、準確理解傳感器特性指標的含義，是學習、掌握傳感器技術(shù)的基礎(chǔ)。一、傳感器的靜態(tài)特性

傳感器的靜態(tài)特性是指被測量的值處于穩(wěn)定狀態(tài)時的輸出與輸入的關(guān)系。如果被測量是一個不隨時間變化，或隨時間變化緩慢的量，可以只考慮其靜態(tài)特性，這時傳感器的輸入量與輸出量之間在數(shù)值上一般具有一定的對應(yīng)關(guān)系，關(guān)系式中不含有時間變量。表征傳感器靜態(tài)特性的指標或統(tǒng)計方法，在不同的教材，甚至不同的行業(yè)、領(lǐng)域有不同的叫法。式中：a0——輸入量x為零時的輸出量；

a1，a2，…，an——非線性項系數(shù)。傳感器的靜態(tài)特性可以用一組性能指標來描述，如靈敏度、遲滯、線性度、重復性和漂移等。對靜態(tài)特性而言，傳感器的輸入量x與輸出量y之間的關(guān)系通?？捎靡粋€如下的多項式表示：y=a0+a1x+a2x2+…+anxn

1.靈敏度靈敏度是傳感器靜態(tài)特性的一個重要指標。其定義是輸出量增量Δy與引起輸出量增量Δy的相應(yīng)輸入量增量Δx之比。用S表示靈敏度，即傳感器的靈敏度它表示單位輸入量的變化所引起傳感器輸出量的變化.很顯然，靈敏度S值越大，表示傳感器越靈敏。

2.線性度

傳感器的線性度是指傳感器的輸出與輸入之間數(shù)量關(guān)系的線性程度。輸出與輸入關(guān)系可分為線性特性和非線性特性。從傳感器的性能看，希望具有線性關(guān)系，即理想輸入輸出關(guān)系。

傳感器的線性度是指在全量程范圍內(nèi)實際特性曲線與擬合直線之間的最大偏差值ΔLmax與滿量程輸出值YFS之比。線性度也稱為非線性誤差，通常用相對誤差來表示線性度誤差γL表示，即式中：ΔLmax——最大非線性絕對誤差；

YFS——滿量程輸出值。

實際遇到的傳感器大多為非線性。在實際使用中，為了標定和數(shù)據(jù)處理的方便，希望得到線性關(guān)系，因此引入各種非線性補償環(huán)節(jié)，如采用非線性補償電路或計算機軟件進行線性化處理，從而使傳感器的輸出與輸入關(guān)系為線性或接近線性。

但如果傳感器非線性的方次不高，輸入量變化范圍較小時，可用一條直線（切線或割線）近似地代表實際曲線的一段，使傳感器輸入輸出特性線性化，所采用的直線稱為擬合直線。幾種直線擬合方法(a)理論擬合；(b)過零旋轉(zhuǎn)擬合；(c)端點連線擬合；(d)端點平移擬合

3.遲滯

傳感器在輸入量由小到大（正行程）及輸入量由大到小（反行程）變化期間其輸入輸出特性曲線不重合的現(xiàn)象稱為遲滯。

也就是說，對于同一大小的輸入信號，傳感器的正反行程輸出信號大小不相等，這個差值稱為遲滯差值。傳感器在全量程范圍內(nèi)最大的遲滯差值ΔHmax與滿量程輸出值YFS之比稱為遲滯誤差，用γH表示，即

產(chǎn)生這種現(xiàn)象的主要原因是由于傳感器敏感元件材料的物理性質(zhì)和機械另部件的缺陷所造成的，例如彈性敏感元件彈性滯后、運動部件摩擦、傳動機構(gòu)的間隙、緊固件松動等。遲滯誤差又稱為回差或變差。

4.重復性

重復性是指傳感器在輸入量按同一方向作全量程連續(xù)多次變化時，所得特性曲線不一致的程度。

重復性反映傳感器的重復精度，用統(tǒng)計指標表示。常用標準差σ計算，也可用正反行程中最大重復差值ΔRmax計算，即5.分辨力（分辨率)分辨力是傳感器在規(guī)定測量范圍內(nèi)所能檢測出的被測輸入量的最小變化量。有時用該值相對滿量程輸入值之百分數(shù)表示，則稱為分辨率。

6.漂移

傳感器的漂移是指在輸入量不變的情況下，傳感器輸出量隨著時間變化，此現(xiàn)象稱為漂移。

產(chǎn)生漂移的原因有兩個方面：一是傳感器自身結(jié)構(gòu)參數(shù)；二是周圍環(huán)境（如溫度、濕度等）。最常見的漂移是溫度漂移，即周圍環(huán)境溫度變化而引起輸出的變化。

式中：Δt——工作環(huán)境溫度t偏離標準環(huán)境溫度t20之差，即Δt=t-t20；

yt——傳感器在環(huán)境溫度t時的輸出；

y20——傳感器在環(huán)境溫度t20時的輸出。溫度漂移通常用傳感器工作環(huán)境溫度偏離標準環(huán)境溫度（一般為20℃）時的輸出值的變化量與溫度變化量之比(ξ)來表示，即7.靜態(tài)誤差（精度）：精度是評價傳感器靜態(tài)性能的綜合性指標，指傳感器在滿量程內(nèi)任一點輸出值相對其理論值的可能偏離（逼近）程度。表示采用該傳感器進行靜態(tài)測量時所得數(shù)值的不確定度。靜態(tài)誤差常用的計算方法：將非線性、回差、重復性誤差按幾何法或代數(shù)法綜合二、傳感器的動態(tài)特性

傳感器的動態(tài)特性是指輸入量隨時間變化時傳感器的響應(yīng)特性。

由于傳感器的慣性和滯后，當被測量隨時間變化時，傳感器的輸出往往來不及達到平衡狀態(tài)，處于動態(tài)過渡過程之中，所以傳感器的輸出量也是時間的函數(shù)，其間的關(guān)系要用動態(tài)特性來表示。

一個動態(tài)特性好的傳感器，其輸出將再現(xiàn)輸入量的變化規(guī)律，即具有相同的時間函數(shù)。實際的傳感器，輸出信號將不會與輸入信號具有相同的時間函數(shù),這種輸出與輸入間的差異就是所謂的動態(tài)誤差。當被測溫度隨時間變化或傳感器突然插入被測介質(zhì)中，以及傳感器以掃描方式測量某溫度場的溫度分布等情況時，都存在動態(tài)測溫問題。

如把一支熱電偶從溫度為t0℃環(huán)境中迅速插入一個溫度為t1℃的恒溫水槽中，這時熱電偶測量的介質(zhì)溫度從t0突然上升到t1，而熱電偶反映出來的溫度從t0℃變化到t1℃需要經(jīng)歷一段時間，即有一段過渡過程。熱電偶反映出來的溫度與其介質(zhì)溫度的差值就稱為動態(tài)誤差。

造成熱電偶輸出波形失真和產(chǎn)生動態(tài)誤差的原因，是溫度傳感器有熱慣性（由傳感器的比熱容和質(zhì)量大小決定）和傳熱熱阻，使得在動態(tài)測溫時傳感器輸出總是滯后于被測介質(zhì)的溫度變化。

如帶有套管熱電偶其熱慣性要比裸熱電偶大得多。這種熱慣性是熱電偶固有的，它決定了熱電偶測量快速變化的溫度時會產(chǎn)生動態(tài)誤差。影響動態(tài)特性的“固有因素”任何傳感器都有，只不過它們的表現(xiàn)形式和作用程度不同而已。

1.傳感器的基本動態(tài)特性方程傳感器的種類和形式很多，但它們的動態(tài)特性一般都可以用下述的微分方程來描述：式中，a0、a1、…,an,b0、b1、….,bm是與傳感器的結(jié)構(gòu)特性有關(guān)的常系數(shù)。通過求解微分方程容易分清暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。通解與傳感器本身的特性及起始條件，特解不僅與傳感器的特性有關(guān)，而且與輸入量x有關(guān)。1）零階系統(tǒng)除了a0、b0之外，其它的系數(shù)均為零，則微分方程就變成簡單的代數(shù)方程，即a0y(t)=b0x(t)通常將該代數(shù)方程寫成y(t)=kx(t)式中，k=b0/a0為傳感器的靜態(tài)靈敏度或放大系數(shù)。

傳感器的動態(tài)特性用該方程式來描述的就稱為零階系統(tǒng)。

零階系統(tǒng)具有理想的動態(tài)特性，無論被測量x(t)如何隨時間變化，零階系統(tǒng)的輸出都不會失真，其輸出在時間上也無任何滯后，所以零階系統(tǒng)又稱為比例系統(tǒng)。在工程應(yīng)用中，電位器式的電阻傳感器、變面積式的電容傳感器及利用靜態(tài)式壓力傳感器測量液位均可看作零階系統(tǒng)。2）一階系統(tǒng)除了a0、a1與b0之外，其它的系數(shù)均為零，則微分方程為上式通常改寫成為

式中：τ——傳感器的時間常數(shù)，τ=a1/a0；

k——傳感器的靜態(tài)靈敏度或放大系數(shù)，k=b0/a0。用該方程式描述其動態(tài)特性的傳感器就稱為一階系統(tǒng)，一階系統(tǒng)又稱為慣性系統(tǒng)。

時間常數(shù)τ具有時間的量綱，它反映傳感器的慣性的大小，靜態(tài)靈敏度則說明其靜態(tài)特性。

如前面提到的不帶套管熱電偶測溫系統(tǒng)、電路中常用的阻容濾波器等均可看作為一階系統(tǒng)。3）二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)的微分方程為二階系統(tǒng)的微分方程通常改寫為式中：k——傳感器的靜態(tài)靈敏度或放大系數(shù)，k=b0/a0；

ξ——傳感器的阻尼系數(shù)，

ωn——傳感器的固有頻率，

根據(jù)二階微分方程特征方程根的性質(zhì)不同，二階系統(tǒng)又可分為：①二階慣性系統(tǒng)：其特點是特征方程的根為兩個負實根，它相當于兩個一階系統(tǒng)串聯(lián)。②二階振蕩系統(tǒng)：其特點是特征方程的根為一對帶負實部的共軛復根。帶有套管的熱電偶、電磁式的動圈儀表及RLC振蕩電路等均可看作為二階系統(tǒng)。微分方程方法又稱為時域分析法傳遞函數(shù)（頻域分析法）傳遞函數(shù)是拉氏變換算子S的有理分式，所有系數(shù)都是實數(shù)，由傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。分子的階次m不能大于分母的階次n，由物理條件決定的。

2.傳感器的動態(tài)響應(yīng)特性傳感器的動態(tài)特性不僅與傳感器的“固有因素”有關(guān)，還與傳感器輸入量的變化形式有關(guān)。也就是說，同一個傳感器在不同形式的輸入信號作用下，輸出量的變化是不同的，通常選用幾種典型的輸入信號作為標準輸入信號，研究傳感器的響應(yīng)特性。

1）瞬態(tài)響應(yīng)特性傳感器的瞬態(tài)響應(yīng)是時間響應(yīng)。在研究傳感器的動態(tài)特性時，有時需要從時域中對傳感器的響應(yīng)和過渡過程進行分析，這種分析方法稱為時域分析法。傳感器在進行時域分析時，用得比較多的標準輸入信號有階躍信號和脈沖信號，傳感器的輸出瞬態(tài)響應(yīng)分別稱為階躍響應(yīng)和脈沖響應(yīng)。(1)零階傳感器(2)一階傳感器的單位階躍響應(yīng)一階傳感器的微分方程為設(shè)傳感器的靜態(tài)靈敏度k=1，寫出它的傳遞函數(shù)為對初始狀態(tài)為零的傳感器，若輸入一個單位階躍信號，即t≤0t>0輸入信號x(t)的拉氏變換為一階傳感器的單位階躍響應(yīng)拉氏變換式為進行拉氏反變換，可得一階傳感器的單位階躍響應(yīng)信號為

響應(yīng)曲線如圖所示。由圖可見：傳感器存在慣性，它的輸出不能立即復現(xiàn)輸入信號，而是從零開始，按指數(shù)規(guī)律上升，最終達到穩(wěn)態(tài)值。通常認為t=（3～4）τ時，如當t=4τ時其輸出就可達到穩(wěn)態(tài)值的98.2%，可以認為已達到穩(wěn)態(tài)。所以，一階傳感器的時間常數(shù)τ越小，響應(yīng)越快，響應(yīng)曲線越接近于輸入階躍曲線，即動態(tài)誤差小。因此，τ值是一階傳感器重要的性能參數(shù)。(3)

二階傳感器的單位階躍響應(yīng)二階傳感器的微分方程為設(shè)傳感器的靜態(tài)靈敏度k=1，其二階傳感器的傳遞函數(shù)為傳感器輸出的拉氏變換為

圖為二階傳感器的單位階躍響應(yīng)曲線。二階傳感器對階躍信號的響應(yīng)在很大程度上取決于阻尼比ξ和固有角頻率ωn。①ξ=0時，特征根為一對虛根，階躍響應(yīng)是一個等幅振蕩過程，這種等幅振蕩狀態(tài)又稱為無阻尼狀態(tài)；②ξ>1時，特征根為兩個不同的負實根，階躍響應(yīng)是一個不振蕩的衰減過程，這種狀態(tài)又稱為過阻尼狀態(tài)；③ξ=1時，特征根為兩個相同的負實根，階躍響應(yīng)也是一個不振蕩的衰減過程，但是它是一個由不振蕩衰減到振蕩衰減的臨界過程，故又稱為臨界阻尼狀態(tài)；④0<ξ<1時，特征根為一對共軛復根，階躍響應(yīng)是一個衰減振蕩過程，在這一過程中ξ值不同，衰減快慢也不同，這種衰減振蕩狀態(tài)又稱為欠阻尼狀態(tài)。

阻尼比ξ直接影響超調(diào)量和振蕩次數(shù)，為了獲得滿意的瞬態(tài)響應(yīng)特性，實際使用中常按稍欠阻尼調(diào)整，對于二階傳感器取ξ=0.6～0.7之間，則最大超調(diào)量不超過10%，趨于穩(wěn)態(tài)的調(diào)整時間也最短，約為（3～4）/(ξω)。固有頻率ωn由傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，固有頻率ωn也即等幅振蕩的頻率，ωn越高，傳感器的響應(yīng)也越快。(4)傳感器的時域動態(tài)性能指標時域動態(tài)性能指標敘述如下：①時間常數(shù)τ：一階傳感器輸出上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需的時間,稱為時間常數(shù)。②延遲時間td：傳感器輸出達到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。③上升時間tr：傳感器輸出達到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。④峰值時間tp：二階傳感器輸出響應(yīng)曲線達到第一個峰值所需的時間。⑤超調(diào)量σ：二階傳感器輸出超過穩(wěn)態(tài)值的最大值。⑥衰減比d：衰減振蕩的二階傳感器輸出響應(yīng)曲線第一個峰值與第二個峰值之比。一階傳感器的時域動態(tài)性能指標二階傳感器的時域動態(tài)性能指標2）頻率響應(yīng)特性傳感器對不同頻率成分的正弦輸入信號的響應(yīng)特性，稱為頻率響應(yīng)特性。

一個傳感器輸入端有正弦信號作用時，其輸出響應(yīng)仍然是同頻率的正弦信號，只是與輸入端正弦信號的幅值和相位不同。

頻率響應(yīng)法是從傳感器的頻率特性出發(fā)研究傳感器的輸出與輸入的幅值比和兩者相位差的變化。幅頻特性:相頻特性：

(1）一階傳感器的頻率響應(yīng)

s用jω代替得到頻率特性表達式：圖為一階傳感器的頻率響應(yīng)特性曲線?？煽闯?，時間常數(shù)τ越小，頻率響應(yīng)特性越好。