教學教案：橢圓及其標準方程

1/12.1.1橢圓及其標準方程本稿從教學背景分析、教法與學法設計、教學媒體設計、教學過程設計、板書設計和評價設計六個部分闡述本節(jié)課的構思與設計。第一部分：教學背景分析第一方面：學情分析在學習本課《橢圓及其標準方程》之前，學生已學習了直線與圓的方程，對曲線和方程的概念有了一些了解與運用的經驗，并對運用坐標法研究幾何問題也有了初步的認識。因此，我們可以充分相信：在教師的合理引導下學生有獨立探究有關點的軌跡問題的知識基礎和學習能力。但由于學生學習解析幾何時間還不長、學習程度也較淺，且受高二這一年齡段學習心理和認知結構的影響，在學習過程中難免會有些困難。如：由于學生對坐標法解決幾何問題掌握還不夠，故從研究圓到橢圓，學生思維上會存在障礙第二方面：教材分析1．本節(jié)課在教材中的地位和作用《橢圓及其標準方程》是繼學習圓以后運用“曲線和方程”理論解決二次曲線問題的又一實例。從知識上說，它是對前面所學的運用坐標法研究曲線的幾何性質的又一次實際演練，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質的基礎；從方法上說，它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎。因此本節(jié)課具有承前啟后的作用，是本章的重點內容。2．教學目標根據新課標以及對學生情況和教材的分析，我將本節(jié)課教學目標確定為:知識與技能目標：掌握橢圓的定義和標準方程，并在定義的歸納和方程的推導中體會探索的樂趣；過程與方法目標：培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認識規(guī)律、運用規(guī)律的能力；情感與態(tài)度價值觀目標：在定義方程的推導中增強學生主動探求科學知識的熱情，體會數學的簡潔美，增強學生之間的合作意識。在對本教學目標的確定中，充分考慮了師生怎樣主動與新教材的對課堂教學的新要求相符，如何適應學生終身學習發(fā)展的需求。3．重點與難點根據以上分析，我將本節(jié)課的重點、難點確定為：重點：感受建立曲線方程的基本過程，掌握橢圓的定義及標準方程；難點：橢圓標準方程的推導。第二部分：教法與學法設計在我的教學設計中，主要采用探究式教學方法。即“問題誘導--啟發(fā)討論--探索結果”以及“直觀觀察--歸納抽象--總結規(guī)律”的一種探究式教學方法，注重“引、思、探、練”的結合。重點體現(xiàn)學生是一個主動的、積極的知識探索者，盡可能的增加學生參與教學活動的時間和思維空間.在學法上，通過創(chuàng)設問題情境，充分調動學生已有的學習經驗，讓學生經歷“觀察——猜想——證明——應用”的過程，發(fā)現(xiàn)新的知識，這正符合現(xiàn)代教育理論中的“要把學生學習知識當作認識事物的過程來教育”的觀點。第三部分：教學媒體設計根據我的教學設計，為了提高學生學習興趣，本節(jié)課我將采用多媒體輔助教學，利用多媒體演示圖片和自制幾何畫板動畫輔助教學。第四部分：教學過程設計在整個教學過程中，我設計了以下五個環(huán)節(jié)：第一個環(huán)節(jié)：認識橢圓，探究規(guī)律首先，教師用多媒體演示行星饒?zhí)栠\行的軌道圖片。目的是使學生對橢圓有一個感性的認識。然后，請學生舉出所看到有關橢圓的實例，目的是使學生對橢圓的認識能得到進一步加深，同時在學生的舉例中也能澄清橢圓與橢球這兩個不同的幾何圖形（如：有同學認為雞蛋是橢圓形的，實質上它為橢球形的）再通過演示幾何畫板動畫1，點B是線段AC上一個動點，分別以定點F1、F2為圓心，|AB|、|BC|為半徑做圓，觀察兩圓交點M、N的軌跡。引導學生探求橢圓上點的運動變化的規(guī)律，并從直觀上認識橢圓。在演示動畫的同時提出問題：（1）在運動中哪些量是不變的，哪些量是變化的？（2）能不能把不變的量用數學表達式表達出來？（3）點M、N是以怎樣的規(guī)律進行運動的？（4）利用這個規(guī)律能不能畫一個橢圓？橢圓的定義是本節(jié)課的重點之一，而本環(huán)節(jié)正是為了能讓學生更容易理解、掌握定義而做的準備工作。通過動畫演示，讓學生體會在變化中的變與不變及其內在聯(lián)系。通過學生的自主探究，初步對橢圓上的點的特征有一定的了解；反復強調“定點”、“和”、“常數”等詞，為定義的歸納做鋪墊。第二個環(huán)節(jié)：動手實驗，親身體會在課前要求學生準備直尺、細繩、圖釘、筆、紙板，要求學生用上面得到的規(guī)律即點M或N到兩個定點F1、F2的距離的和是一個常數，指導學生互相合作，體驗畫橢圓的過程，并以此了解橢圓上的點的特征。請兩名同學到黑板上演示畫圖過程。在本環(huán)節(jié)中不急于向學生交代橢圓的定義，而是設計一個實驗，一是為了給學生創(chuàng)造一個實驗的機會，讓學生加深對橢圓上點的運動規(guī)律的體會，為下一個環(huán)節(jié)得到橢圓的定義做準備；二是鍛煉學生從理論到實踐的轉化能力。第三個環(huán)節(jié)：歸納定義，完善定義通過以上兩個環(huán)節(jié)，學生分組討論互相補充，很容易歸納出橢圓上點的特征：到兩個定點的距離的和等于常數，但這作為橢圓的定義還不夠完善，因此又提出問題：這個常數是一個任意的常數嗎？通過演示動畫2，當兩個定點的距離等于線段AC的長度時，軌跡為一條直線，當兩個定點的距離大于線段AC的長度時，軌跡不存在，學生很容易得到結論：到兩定點間的距離和應大于兩定點間的距離，最終完善定義。得到橢圓的定義之后，我向學生指出定點F1、F2叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。到此完成本節(jié)課第一個重點內容的講授。第四個環(huán)節(jié)：合理建系，推導方程本環(huán)節(jié)主要目的是通過學生獨立建立直角坐標系，推導方程，從中選擇比較簡潔的形式確定為橢圓的標準方程。這是本節(jié)課的第二個重點內容，講授時，我將放棄以往的教師直接講授的方法，而是讓學生自主探究，分組討論。而我在這個過程中加以引導。首先提出問題：要想得到橢圓的方程，首先要建立適當的直角坐標系，如何建立坐標系呢？此時同學會根據以往學習經驗確定如下兩個方案：方案1：以F1、F2所在的直線為x軸，F(xiàn)1F2方案2：以F1、F2所在的直線為y軸，F(xiàn)1F2在此，首先肯定學生的方案的正確性，然后請學生求出在方案1的所建立的坐標系下橢圓的方程(在這里規(guī)定線段AC的長度為2a，線段F1F2的長度為2c)，匯報結果。按照方案1會得到的方程：。然后對這個方程進行進一步化簡。而化簡這個方程是本節(jié)課的難點所在，其關鍵是怎樣去掉等式中的根號，通過以下兩個問題來突破難點：（1）化簡含有根號的等式時，我們通常采用什么方法？（2）對于本式是直接平方好呢還是恰當的整理之后再平方好呢？學生通過實踐，發(fā)現(xiàn)這個方程直接平方不利于化簡，而整理后再平方比較簡潔。通過學生自己計算化簡，最后得到橢圓的方程為：，此時通過演示動畫3，當點B運動到AC中點時兩圓半徑相等，即，而，則，不妨用一個常數來表示，這里我們設這個常數為，因此最終得到橢圓的標準方程：……①。在這里要向學生指出我們所求出的橢圓的方程是焦點在x軸上的橢圓的方程，而焦點在y上的橢圓的方程的形式與①式相似，只是方程中的x與y互換位置得到……②，我們把①、②兩個方程都叫做橢圓的標準方程。還要指出的是我沒所說的標準方程，一定是指焦點在坐標軸上，且兩焦點的中點為坐標原點的橢圓的方程；在①、②兩個標準方程中都有的要求，也就是說焦點在哪個軸上，哪個未知數對應的分母較大。到此完成本節(jié)課的第二個重點內容的講授，并順利突破難點。值得一提的是，我們要想稱這個方程為橢圓的方程還需要證明以方程的解為坐標的點都在橢圓上。由于橢圓的方程的化簡過程都是等價變形，而證明過程比較繁瑣，因此在這里我們沒有證明，如果學生有興趣的話可以課后完成。第五個環(huán)節(jié)：應用舉例，小結作業(yè)在本環(huán)節(jié)中給出三個評價性例題，鞏固本節(jié)課所學知識。1.用定義判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓（下各題均為同一平面內的點）。（1）到點（-2，0）和點（2，0）的距離之和為6的點的軌跡。……（是）（2）到點（0，-2）和點（0，2）的距離之和為4的點的軌跡?！ú皇牵?）到點（-2，0）和點（2，0）的距離之和為3的點的軌跡。……（不是）2.方程表示焦點在x軸上的橢圓，則a的取值范圍是多少？（3，+∞）3.已知橢圓的方程為，則兩焦點的坐標為：在小結中由學生總結本節(jié)課在知識上的收獲，老師根據學生的總結做適當的補充、歸納、點評。最后將教材第42頁練習A第2題（1）（3）、第3題、第4題做為作業(yè)以鞏固本節(jié)課所學知識。第五部分：板書設計根據課堂教學要求，板書設計如下?！?.1.1橢圓及其標準方程一.定義：……………………二.標準方程：……………推導過程………………………標準方程………………