北師大版八年級數(shù)學下冊舉一反三系列66平行四邊形全章八類必考壓軸題(北師大版)同步練習(學生版+解析)

專題6.6平行四邊形全章八類必考壓軸題

【北師大版】

必考點1平行四邊形中邊的關系運用

1.（2022秋.浙江寧波?八年級?？计谀┮阎叫兴倪呅?8cO,AD=8,/.BAD=135°,

點E在邊BC上，將平行四邊形沿AE翻折，使點B落在邊CD的F處，且滿足CF-OF=3a,

則E尸=.

2.（2022秋?黑龍江哈爾濱?九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知瓦4BC。中，力/垂直平分DC,且

AF=DC,點E為AF上一點、,連接BE、CE,若乙CEF=2Z.ABE,AE=2,則4。的長為.

3.（2022秋?陜西寶雞?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在AASC中，AB=BC=10,AC=12,D

是4C邊上任意一點，連接A。，以A。，CO為鄰邊作平行四邊形AQCE,連接。E,則OE

長的最小值為.

4.（2022春?江西吉安?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在山WCD中，ZD<90°,點E在49邊上，

CM140,垂足為M,以CE為邊，E為直角頂點，作等腰直角ACE尸，使點尸落在射線48上.

⑴當△CEO是邊長為6的等邊三角形時，-1FE的度數(shù)為,40的長為

（2）當AE=E。時,求NECD的度數(shù)；

⑶是否存在力F=B尸的情況，如果存在，求AE,ED和CM之間滿足的數(shù)量關系；如果不存

在，說明理由.

5.（2022春?廣東清遠,八年級統(tǒng)考期末）在平形四邊形4BCO中，點。是對角線80的中點,

點E在邊BC上，E0的延長線與邊40交于點心連接BACE如圖1.

⑴求證：四邊形BE0尸是平行四邊形；

（2）若。E=DC,ACBD=45°,過點C作DE的垂線，與DE、BD、8"分別交于點G、H、P如

圖2.

①當C0=6,CE=4時，求BE的長；

②求證：CD=CH.

6.（2022秋?湖北?九年級統(tǒng)考期中）如圖，點尸是助BCD內一點,Z.BPC=90°,Z.BAD-

乙PCD=45°

（1）如圖1,求證：PB=PC；

⑵如圖2,若48=8,PC=5V2,且S&ABP：SAPCD=1：3,求團ABC。的面積；

（3）如圖3,將aP/M繞點P旋轉至APCE處，過。作0F1EP,交EP延長線于F,若48=

痣4P,/.PAB=75°,直接寫出霽的值為.

必考點2平行四邊形中的面積轉換。|

1.（2022?浙江?九年級專題練習）如圖，點E、F、G、〃分別在團力BCD的40、AB.BC、CD邊

上，EGIICD,FH\\AD,EG與FH交于點、P,連接B。交FH于點Q,連接BP,設團力EPF、^EDHP.

團"GB、團P”CG的面積分別為Si、52、S3、S4，若a4EP?團P"CG,則只需知道（），

就能求的面積.

2.（2022秋.浙江寧波.九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形F8CE中，點八G分別在邊

BC,EF上，JGIIBF,四邊形48co?四邊形HGB4,相似比k=3,則下列一定能求出△BIJ

面積的條件（）

A.四邊形HDEG和四邊形AUG尸的面積之差B.四邊形4BCD和四邊形HDEG的面積之差

C.四邊形/WC。和四邊形AD"1的面積之差D.四邊形/CDH和四邊形HDEG的面積之差

3.（2022春?浙江?八年級階段練習）如圖，點P是回力內的任意一點，連接PA、PB、PC.

PD,得到△PA5、△PBC.△PC。、&PDA,設它們的面枳分別是S”S?、S3、S4,給出如

下結論中正確的是.

①S1+S3=S2+S4；②如果$4>$2，則$3>S1；③若53=2S1，則$4=2$2；④如果尸

點在對角線8D上，MS1：S4=S2:S3；⑤S[-S2=S3-S4，則p點一定在對角線8。上.

4.（2022秋?上海?七年級?？计谀┬∶髟趯W習了中心對稱圖形以后，想知道平行四邊形

是否為中心對稱圖形.于是將一張平行四邊形紙片平放在一張紙板上，在紙板上沿四邊畫出

它的初始位置.，并畫出平行四邊形紙片的對角線，用大頭針釘住對角線的交點.將平行四邊

形紙片繞著對角線的交點旋轉180。后，平行四邊形紙片與初始位置的平行四邊形恰好重

合.通過上述操作，小明驚喜地發(fā)現(xiàn)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點就是對稱中

心.請你利用小明所發(fā)現(xiàn)的平行四邊形的這一特征完成下列問題：

⑶在△力BC中，48=30。，/B=8,點D在線段AB匕連接C。，△力CD和△8CD是“朋友三

角形"，將△ACD沿G）所在直線翻折，得到△4CD,若△4CZ）與△A8C重合部分的面積等于

△/18C面積的；，則。的面積是________（請直接寫出答案）.

4

6.（2022秋?重慶大足?九年級統(tǒng)考期末）如圖1,兩個等腰直角三角形△ABC、△EDC的頂

點C重合，其中4ABC=/EOC=90。，連接力E,取AE中點凡連接尸.

⑴如圖1,當8、C、。三個點共線時，請猜測線段8AFD的數(shù)量關系，并證明；

⑵將△EDC繞著點C順時針旋轉一定角度至圖2位置，根據(jù)SE中點F"這個條件，想到取4C

與EC的中點G、H,分別與點尸相連，再連接8G,0H,最終利用△8GF三△戶HO（SAS）證明

了（1）中的結論仍然成立.請你思考當AEDC繞著點C繼續(xù)順時針旋轉至圖3位置時，（1）

中的結論是否仍然成立？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理由;

⑶連接8D,在△EDO繞點C旋轉一周的過程中，△B/D的面積也隨之變化.若4。=5五,CB=

3VL請直接寫出48尸D面積的最大值.

必考點3書辿味中的角度轉換_一屯

1.（2022春?江西新余?八年級新余四中?？计谥校┤鐖D，平行四邊形ABCO中，AE平分13Mzz

交8c于點E,且AB=4E,延長AB與OE的延長線交于點F.下列結論中：①△力BE是等

邊二角形：②△ABC三△Ei4D；（3）AD=AF：（$）S^ABE=SACDF：⑤SMBE=S^EF其中正

確的是（）

A.①②③B.①④⑤C.①②⑤D.②③④

2.（2022春,江蘇南京?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等邊三角形ABC中,23=4,P為AC上

一點（與點A、。不重合），連接BP,以P4、PB為鄰邊作平行四邊形P4O氏則PD的取值

范圍是

A

D

3.（2022秋?遼寧朝陽?九年級?？计谥校┤鐖D，TWCD中，對角線相交于。,3。=2AD,

E,F,G分別是OC,OD,48的中點，下列結論①BE<L4C；②四邊形BE/G是平行四邊

形；③EG=GF

；④￡4平分乙GEF.其中正確的是.

4.（2022春?浙江?八年級期末）如圖，四邊形力BG?中，AB“CD/B=功,點E為BC延

長線上一點，連接AE交CD于H.4DCE的平分線交AE于G.

（1）求證：四邊形48CD為平行四邊形；

（2）如圖1,若力B=2/W=10,，為CD的中點，HE=6,求4c的長；

（3）如圖2,^Z.BAC=LDAE

@z.AGC=24c4E,求々C/E的度數(shù)；

②M力GC=nz.CAE,^CAE=。（用含有〃的式子表示）

5.（2022春?浙江杭州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在M8CQ中，0ABC,團BCO的平分線分別

交AD于點E,F,BE,CF相交于點G

⑴求證：8甌F；

（2）若4B=a,CF=b,求8E的長.

6.(2022春?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期末)在平面直角坐標系中，點4(?,6),B(4,b),

O/FG

D，

(1)若a,b滿足(。+力一5)2+\2a-b—1\=0,

①求點A,B的坐標；

②點。在第一象限，且點。在直線AB上，作DOSr軸于點C,延長DC到P使得

PC=DC,若回以8的面積為10,求P點的坐標；

(2)如圖，將線段AB平移到CD,且點C在x軸負半軸上，點。在y軸負半軸上，

連接AC交y軸于點E,連接BD交x軸于點凡點M在DC延長線上，連EM,

31?1MEC+1?ICEO=180\點N在AB延長線上，點G在OF延長線上，?NFG=20NFB,請

探究回EMC和?8N”的數(shù)量關系，給出結論并說明理由.

.平行四邊形中勾股定理的運用OJ

1.(2022春?浙江溫州?八年級統(tǒng)考期中)如圖，一副三角板如圖1放置，AB=CD=遍，頂

點E重合，將△DEC繞其頂點E旋轉，如圖2,在旋轉過程中，當ZAED=75。，連接AD、BC,

這時△4DE的面積是______.

E

圖1

2.(2022春?廣西貝港?八年級統(tǒng)考期中)如圖，四邊形48C。為菱形，AB=3,0A8C=6O。,

點M為3C邊上一點且8/=2CM,過M作MNIIA4交AC,A3于點O,N,連接3N.若點

P，Q分別為OC,BN的口點，則尸Q的長度為

3.（2022春?江蘇南京?八年級校考期中）已知：如圖，在平行四邊形/BCD中，G.〃分別

是40、BC的中點，AELBD,CF1BD,垂足分別為￡、F.

⑴求證：四邊形GEH尸是平行四邊形.

⑵若48=4,BC=7,當四邊形GEHF是矩形時BZ）的長為.

4.（2022秋?遼寧遼陽?九年級?？计谥校┤鐖D，在RtzMBC中，^BAC=90°,AB=AC,

點。為平面內一點，以CD為腰在CD右側作等腰RtZiCDE,W./-CDE=90°,過點B作BMIDE,

且BF=DE,連接BD,DF,EF.

⑴如圖①，當點。在4C邊上時，直接寫出線段AF與4。的關系為：

⑵將圖①中的等腰Rt△CDE繞點C逆時針旋轉a（0。<a<45。）到圖②的位置，連接4D,

AF,（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

⑶若AD=3,AC=5,當A、￡、F三點在一條直線上時，請直接寫出CD的長.

5.（2022春?廣東廣州?八年級廣州市南武中學?？计谥校┤鐖D：

⑴如圖1,平行四邊形48co中，AM1BC-lrM,DN1BC于N.求證：BM=CN.

⑵如圖2,平行四邊形A8C。中，AC,8。是兩條對角線，求證：AC12+BD2=AB2+BC2+

CD2+DA2.

⑶如圖3,P7是△PQR的中線，已知：PQ=7,QR=6,RP=5.求：PT的長度.

6.（2022春?廣東深圳?八年級深圳中學?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCO中，BD是它

的一條對角線，過4，。兩點分別作AE38。，CF^BD,E、/為垂足.

（1）求證：四邊形4FCE是平行四邊形;

(2)若4O=13cm,AE=12cm,4B=20cm,過點C作垂足為H,求CW的長.

必考點5[平行四邊形中的多解問題

1.（2022春?浙江杭州?八年級期末）平行四邊形的一邊長為12,那么這個平行四邊形的兩

條對角線的長可能是（）

A.8和12B.9和13C.12和12D.11和14

2.（2022春?浙江杭州?八年級統(tǒng)考期末）已知：一組鄰邊分別為6cm和10cm的平行四邊形

ABCD,乙〃A8和28C的平分線分另IJ交C〃所在直線于點E,F,貝U線段"的長為cm.

3.（2022春?遼寧沈陽?八年級沈陽市第一二六中學校考期中）如圖，在△力BC中，2力。8=90。,

乙力=60°,AC=4,E為斜邊AB的中點，點P是射線8c上的一個動點，連接力P、PE,將△力EP

沿著邊PE折疊，折疊后得到當折疊后與ABEP的重疊部分的面積恰好為△

力BP面積的四分之一，則此時8P的長為

4.（2022秋?河南鄭州?九年級校考期末）如圖1,在矩形4BCD中,AC,BD相交于點O,

點￡為8。上的一個動點，連接CE并延長到點F,使E/=CE,連接力F.

⑴若點七與點月重合（如圖2）,判斷A尸與80的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；

⑵若以A,F,B,E為頂點的四邊形是平行四邊形，BD=3,請直接寫出線段BE的長度.

5.（2022春?四川成都?八年級四川省成都市七中育才學校校考期末）已知△48C為等邊三

角形，其邊長為4.點尸是A8邊上一動點，連接CP.

圖1圖2

圖3

⑴如圖1,點E在AC邊上且4尺8P,連接BE交CP于點F.

①求證：BE=CP；②求魴”t的度數(shù)；

（2）如圖2,將線段CP繞點C順時針旋轉120。得線段C0,連接4。交AC于點Q.設

CD=y,求1y與x的函數(shù)關系式；

⑶如圖3,在（2）的條件下，延長BC至點E,且CE=8尸，連接QE,DE.在點尸運動過

程中，當△?！?。的周長為4+"5時，求。E的長.

6.（2022春?浙江杭州?八年級期末）如圖，在四邊形ABCO中，AB//CD,iBCD=90。,

AB=AD=10cm,8c=8cm,點。從點8出發(fā)，沿線段84,向點A以2cm/s的速度勻速

運動；點Q從點。出發(fā)，沿線段QC向點C以3sn/s的速度勻速運動，已知兩點同時出發(fā),

當一個點到達終點時，另一點也停止運動，設運動時間為t（s）.

（1）連結P、。兩點，貝!線段尸。長的取值范圍是；

（2）當PQ=10cm時，求f的值；

（3）若在線段C。上有一點E,QE=2cm,連結AC和尸E.請問是否存在某一時刻使得

AC平分尸￡?若存在，求出/的值；若不存在，諳說明理由.

必考點6N平行四邊形中的動點問題

1.（2022秋?廣東廣州?九年級廣州四十七中?？计谀┤鐖D1,RtMBC中,乙4cB=90。,

AC=BC,。為C4上一動點，E為8C延長線上的動點，始終保持CE=C0.連接8。和4E,

圖1圖2

⑴請判斷線段80和4F的位置關系并證明；

⑵當雇.。=38。2時，求〃EC的度數(shù)：

⑶如圖2,連接EF,G為E"中點，AB=272,當。從點。運動到點A的過程中，EF的中

點G也隨之運動，請求出點G所經過的路徑長.

2.（2022春?貴州遵義?八年級?？计谀┤鐖D，點P是048CQ對角線AC所在直線上的一

個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線8P作垂線，垂足分別為點E、F,

點。為AC的中點.

⑴當點P與點O重合時如圖1,線段OE與線段。產的數(shù)量關系是.

p

⑶點P在。。的延長線上運動時，當團。/后60。時，如圖3的位置，猜想線段CT、AE.0E

之間有怎樣的數(shù)量關系？

3.（2022春?四川瀘州?八年級統(tǒng)考期末）如圖（。），直線，My=kx+b經過點A、3,04=08=3,

直線，2：y=5%-2交y軸于點C,且與直線。交于點。，連接OQ.

⑴求直線，］的解析式:

⑵求（3OCO的面積；

⑶如圖（6）,點P是直線L上的一動點，連接CP交線段OQ于點E,當團COE與回。EP的

面積相等時，求點P的坐標；

⑷在（3）的條件下，若點”為坐標平面內任意一點，在坐標平面內是否存在這樣的點兒

使以。、C、P、”為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直琰寫小點”的坐標；若不

存在，請說明理由.

4.（2022春?吉林四平?八年級統(tǒng)考期末）如圖1,直線丫=心+）分別交X軸，），軸于點A,

點8,點C、P分別是線段。8,A8的中點，且。。=去CP=2,動點。，E分別在直線CP

和線段A8上，設點E的橫坐標為小，線段C。的長為〃（〃>0）,且加+〃=3,以。O.DE

為鄰邊作平行四邊形ODEF.

⑴求出直線AB的解析式.

⑵當〃=1時，請求出點F的坐標.

⑶當點F落在AAOB的邊0B或AB上時，求直接寫出點F的坐標.

5.(2022春?廣東江門?八年級?？计谥?如圖，在四邊形4BCO中，ADWBC,乙8=90。，

A8=8cm,AD=12cm,BC=18cm,點P從點A出發(fā)，以Icm/s的速度向點。運動；點

。從點C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點B運動.規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動

點也隨之停止運動.設點尸，Q運動的時間為cs.

(1)C。邊的長度為cm,/的取值范圍為.

⑵從運動開始，當，取何值時，PQWCD?

⑶從運動開始，當/取何值時，PQ=CD?

6.(2022春?浙江溫州?八年級?？计谥?如圖，在平面直角坐標系中，四邊形4BCO是平

行四邊形，。為坐標原點.點A的坐標是(-16,0),線段8C交)，軸于點。，點。的坐標

是(0,8),線段CQ=6.動點P從點。出發(fā)，沿射線04的方向以每秒2個單位的速度運動,

同時動點Q從點。出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點8運動，當點Q運動到點B時，點

尸隨之停止運動，運動時間為f秒.

⑵若以A,從Q,產為頂點的四邊形是平行四邊形時，求/的值;

⑶當ABQP恰好是等腰三角形時，求，的值.

必考點7平行四邊形中的最值問題

1.（2022秋?湖北黃岡?九年級統(tǒng)考期中）如圖，點。，E是AA8C內的兩點，旦DE"AB,

連結A。，BE,CE.若AB=9近，OE=2夜，8c=10,0ABC=75°,則AQ+BE+CE的最小

值為.

2.（2022春?上海靜安?八年級上海市靜安區(qū)教育學院附屬學校?？计谥校┤鐖D，在平行四

邊形ABC。中，AB=2,MBC=45。，點E為射線AD上一動點，連接BE,將BE繞點B逆

時針旋轉60。得到8F,連接AF,則A/的最小值是—.

3.（2022春?浙江?八年級期中）如圖，已知在△ABC中，AB=4C=5,BC=6,點M是4C邊

上任意一點，連接MB,以M8、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB,連接MN,則MN的最小值

4.（2022春?江蘇南通?八年級校聯(lián)考期中）如圖，團ABCD中，0DAB=3O\AB=6,BC=2,

P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小值等于.

5.（2022春?重慶?八年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形A8c。中，AD^AC,AD=AC,點

E為/IB上一動點，。石與AC相交于點G,CH^DE,垂足為〃，C”的延長線與/W相交于

點F,點P在邊AB上

（1）若。G=VIU,AG=1,求AB的長

（2）求證。6=。/+人7

（3）若4P=1,AD=4V2,請直接寫出P”的最小值

6.（2022春?四川遂寧?九年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，BC^AD,BC=^AD,

點E為AO的中點，點尸為AE的中點，AC^CD,連接8瓜CE、CF.

（1）判斷四邊形4BCE的形狀，并說明理由；

（2）如果43=4,回。=30。，點P為BE上的動點，求（Z必產的周長的最小值.

必考點8構造平行四邊形。|

1.（2022春?湖北武漢?八年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？计谥校┤鐖D，

線段A8長為6cm,點C是線段AB上一動點（不與A,B重合），分別以AC和8c為斜邊,

在A3的同側作等腰直角三角形MOC,0CE8,點P是?！甑闹悬c，當點C從距離A點1cm

處沿AB向右運動至距離8點1cm處時，點P運動的路處長是cm.

2.（2022秋?江蘇常州?八年級統(tǒng)考期中）【模型建立】

C

（圖1）（圖2）

⑴如圖1,已知在△48C中，點。是48邊的中點，將△BDC沿CD翻折得到△口）C,連接F4

FB.

①求證：△/1FB是直角三角形；

②延長凡4,BC交于點E,判斷CF與BE的數(shù)量關系，并證明你的結論；

⑵【拓展應用】如圖2,已知在△A8C中，點。是力B邊的中點，點E是8c邊上一點，將△8DE

沿0E翻折得至連接F4FB.

①判斷4F與0E的位置關系，并證明你的結論；

②若4CIIE尸，用等式表示線段BE,CE,AC之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

3.（2022秋?廣東廣州?八年級華南師大附中?？计谥校┤鐖D，△C48與&CDE為等腰直角

三角形.Z-ACB=LDCE=90%連接A。、BE.

（1）如圖1,若皿D=3（T,Z-DCB=10°,求乙DEB的度數(shù)；

⑵如圖2,若4、D、E三點共線，4E與BC交于點F,且C尸=8凡AD=3,求△CEF的面

積：

⑶如圖3,BE與4c的延長線交于點G,若CD149,延長CD與A8交于點N,在BC上

有一點M月.8M=CG,連接NM,請猜想CN、NM、BG之間的數(shù)量關系并證明你的猜想.

4.（2022春?江蘇無錫?八年級江蘇省錫山高級中學實驗學校?？计谥校┪覀冎?，平行四

邊形的對邊平行旦相等，利用這一性質，可以為證明線段之間的位置關系和數(shù)量關系提供幫

助.

重溫定理，識別圖形

（1）如圖1,我們在探究三角形中位線DE和第三邊BC的關系時，所作的輔助線為“延長DE

到點F，使EF=OE,連接CF”,此時。5與?！痹谕槐染€_LR.DE=；。尸，又可證圖中的四

邊形為平行四邊形，可得8c與。尸的關系是,于是推導出了“DE〃8C,DE=

\BC".

尋找圖形，完成證明

(2)如圖2,四邊形/BCD和四邊形力￡7環(huán)都是菱形，△8EH是等邊三角形，^ABC=^AEF=

60°,連接CACH.求證：CF=BE.

構造圖形，解決問題.

(3)如圖3,四邊形49CD和四邊形4EFG都是正方形，連接BE、CF.直接寫出C尸與BE的

數(shù)量關系.

5.(2022秋?重慶渝北?八年級重慶市兩江育才中學校?？计谥?如圖，ACAB與△CDE為等

腰直角三角形，^ACB=^DCE=90°,CA=CB,CD=CE,團。8=團。胡=45°,BCDE=^CED

=45。，連接A。、BE.

(1)如圖1,若(3C4O=28°,團。。8=10。，則團。的度數(shù)為度；

(2)如圖2,若A、D、E三點共線，AE與BC交于點F,且CF=BF,AD=3,求ACEF

的面枳；

(3)如圖3,8E與AC的延長線交于點G,若CO34。，延長與/W交于點N,在8C

上有一點M且BM=CG,連接NM,請猜想CMNM、8G之間的數(shù)量關系并證明你的猜想.

專題6.6平行四邊形全章八類必考壓軸題

【北師大版】

必考點1

1.（2022秋?浙江寧波?八年級?？计谀┮阎叫兴倪呅蜛BCD,AD=8,^BAD=135°,

點E在邊BC上，將平行四邊形沿力E翻折，使點B落在邊CO的尸處，且滿足。尸一。F=3或，

則"=.

【答案】?##6|

【分析】過點F作HGJ./ID于點”，交BC的延長線于點G,得出△/。。，△?“。是等腰直角三

角形，設則在中，222求得

CG=x,EC=y,BE=EH=8—y,RtAAFHAF=AH+HFt

X=4,在Rt△”上心中，Ek2=卜（2+EG?,得出y=；,即可求解.

4

【詳解】解：如圖，過點F作HG_L4D于點H,交8c的延長線于點G,

設CG=x,EC=y,

則BE=EF=8-y,

^BAD=135°,四邊形ABC。是平行四邊形，

團乙BCD=4力=135°,AD\\BC,AD=BC,AB=CD,

0ZFCG=45°,ZD=乙DCG=45°

0AFCGqrHD是等腰直角三角形，

0FC=\[2CG=V2x,

□CF-DF=3V2,

WF=CF-3>/2=(x-3)V2,

^\HF=HD=x-3,

囿4。=8,

用AH=8-HD=8-(%-3)=11-x,

□CD=CF+FD=V2x+(x-3)V2=2V2x-372

團AF=AB=CD=2V2x-3V2,

在/，中，AF2=AH2^HF2,

2

即(2缶-3企)=(11-X)2+(X-3)2

解得：%=4或%=-甘(舍去)

在RtZkFEG中,EF2=FG2+EG2,

0(8-丫產=(y+4)2+42

解得：y=1

^EF=BE=BC-EC=

33

故答案為：V-

【點睛】本題考查了折疊的性質，平行四邊形的性質，勾股定理，解一元二次方程，正確的

作出圖形是解題的關鍵.

2.(2022秋?黑龍江哈爾濱?九年級統(tǒng)考期中)如圖，已知團ABC。中，A/垂直平分DC,且

AF=DC,點E為4F上一點，連接B￡、CE,若乙CEF=2z.ABE.AE=2,則4。的長為.

【答案】3V5

【分析】過點4作8M_LCE于M,由平行四邊形的性質得出力0=BC,AB=CD,AB\\CD,

證明△BAE三aBMESAS),由全等三角形的性質得出AE=EM=2,AB=BM,證明內△

AFD=Rt△BMC(HL),由全等三角形的性質得出尸。=CM,設6=FD=x,則力B=BM=

2x,EF=2x-2,CE=2+x,由勾股定理列出方程可得出答案.

【詳解】解：過點8作8MleE于M,

回4尸垂直平分DC,

0CF=DF,AF1CD,

團四邊形力8co是平行四邊形，

^AD=BC,AB=CD,AB\\CD,

^ABLAF,

^LBAE+LAEM+乙BME+LABM=360°,

國乙4BM+Z.AEM=180°,

0ZCFF+Z.AEM=180°,

0ZCEF=Z.ABM=4ABE+匕EBM,

X0ZCFF=2Z.ABE,

^LABE=乙EBM,

團BE=BE,Z.BAE=乙BA1E=90°,

0ABAENABME(AAS),

圖AE=EM=2,AB=BM,

^AB=CD=AF,

團8M=AF,

在RtA/lFC和RtZiBMC中，

(AD=BC

MF=BM'

團RtaAF。三Rtz\BMC(HL),

0FD=CM,

設CF=/?D=x,^AAB=BM=2x,EF=2x-2,CF=2+x,

222

在Rt/kCE尸中,EF+CF=CEf

0(2x-2)2+x2=(24-x)2,

解得x=3或％=0(舍去)，

配1M=3,BM=6,

^BC=y/CM2+BM2=V32+62=3遮，

0/4D=3V5,

故答案為：3V5.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握平

行四邊股的性質是解題的關鍵.

3.（2022秋?陜西寶雞?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△48C中，AB=BC=10,AC=12,D

是BC邊上任意一點，連接A。，以A。，。。為鄰邊作平行四邊形AOCE,連接。E,則OE

長的最小值為.

【答案】9.6

【分析】設4C,ED交于點0,過點。作。尸18c于點尸，勾股定理求得。8,等面積法求得。尸,

根據(jù)垂線段最短，當點。與點心重合時，。。最小，進而求得DE的最小值，即可求解.

【詳解】設AGED交于點。，過點。作。98。于點尸，如圖所示，

a48=BC=10,

團BO1AC,

血4c=12,

團4。=CO=6,

在RtaB。。中，BO=>JBC2-OC21=8,

團SAOBC=/。?BO=揶?OF,

團。F=4.8,

當點。與點凡重合時，0D最小，

團￡7）的最小值為20D=9.6.

故答案為：9.6.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，垂線段最短，掌握

以上知識是解題的關鍵.

4.（2022春?江西吉安?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在胤48co中，V90。，點￡在4。邊上，

CM1.AD,垂足為M,以CE為邊,E為直角頂點，作等腰直角△CEF,使點尸落在射線48上.

⑴當△CED是邊長為6的等邊三角形時，乙4F￡1的度數(shù)為,4?的長為；

（2）當AE=ED時，求NECD的度數(shù);

⑶是否存在=的情況，如果存在，求力E,ED和CM之間滿足的數(shù)量關系；如果不存

在，說明理由.

【答案】(1)30。，6+2V3

(2)45°

(3)存在，4AE+2DE=5CM

【分析】(1)利用等邊三用形的性質得到DE=CD=CE=6,3=乙DEC=lECD=60。,

利用平行四邊形的性質及三角形內角和即可求出ZAFE的度數(shù)，由此得到力E=A凡過點A

作力N回于M求出EN=FN=gEC=3,利用勾股定理得至必N2+EN2=AE2,

求出AN=次,4E=2次，即可得到40的長；

(2)取尸C的中點N,連接EN,根據(jù)AEFC是等腰直角三角形，得至IJ/EGC=90。，乙GEC=

LGCE=45°,利用梯形中位線定理得到EGIICD,即可求出乙EC。=4GEC=45。；

(3)存在,

當4F=B/時，延長￡尸交C8延長線于G,作EA/1BC于H,則四邊形E”CM是矩形，得到

EH=CM,證明△AEF=△BGF,推出4E=BG,EF=GF,得到GC=GB+BC=2AE+DE,

設=%，則GE=2x,勾股定理求出GC,利用面積公式求出EH,即可得到結論4AE+2DE=

5cM.

【詳解】(1)13ACED是力長為6的等邊三角形，

團OE=CD=CE=6,Z.D=乙DEC=Z.ECD=60°,

0ZCEF=90°,

^LAEF=180°-90°-60°=30°,

回四邊形力BCD是平行四邊形，

0ZB/1D+Z.D=180°,

^BAD=120°,

^LAFE=180°-Z.A-LAEF=30°=Z.AEF,

^AE=AF,

過點A作/M3EF于N,

OEN=FN=：EF=；EC=3,

22

在RtZk4/?N中,AE=2AN,AN2+EN2=AE2.

^AN2+32=(2AN)2,

解得AN=y[3fAE=2>/3,

EL40=AE+DE=6+2逐，

故答案為：30°,6+2百；

0ZEGC=90°,Z-GEC=乙GCE=45°,

04FHCD,E為4。中點,G為尸C中點,

^EGWCD（梯形中位線定理），

0ZFCD=Z.GEC=45°；

當力F=B/時，延長E/交CB延長線于G,作EH1BC于，,

則四邊形EHCM是矩形，

團EH=CM,

團四邊形力BCD是平行四邊形，

^ADWBC,AD=BC,

固乙G=LAEF,Z.A=乙GBF,

配4尸=BF,

團4AEF=△BGF,

圓AE=8G,EF=GF,

團GC=GB+BC=2AE+DE,

OGE=2CE,

設CE=x,貝ijGE=2x,

回GC=y/GE2+CE2=0,

團SACEG=]CE?EG=]GC?E〃，

向「口CEEG2x22、行

^EH=------=-p-=—x,

GC\[5x5

團CM=EH=^-x,

^GC=2AE+DE=-CM,

2

mAE+2DE=5CM.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定及性質，等邊三角形的性質，矩

形的判定及性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，熟汜各定理并熟練應用是解題的關鍵.

5.(2022春?廣東清遠?八年級統(tǒng)考期末)在平形四邊形4BC。中，點。是對角線8D的中點,

點E在邊BC上，E0的延長線與邊AD交于點凡連接8r、DE如圖1.

⑴求證：四邊形BE。尸是平行四邊形；

(2)若。E=Z)C,Z.CBD=45°,過點C作DE的垂線，與DE、BD、8"分別交于點G、H、P如

圖2.

①當CD=6,CE=4時，求BE的長：

②求證：CD=CH.

【答案】⑴證明見解析

(2)①4或一2；②證明見解析

【分析】(1)通過ASA證明ABOE三AO。/，得。尸=8凡乂。即可證明四邊形BED/

是平行四邊形；

(2)①過點。作ONJ.EC于點N,先根據(jù)勾股定理求出DN=4\泛，由乙。8C=45。得5N=

DN,即可求出答案；

②根據(jù)ON1EC,CG1DE,得乙CEG+乙ECG=90°,乙DEN+乙EDN=90°,則有NEON=

NECG,再證"D"=NCHD,結論即可得證.

【詳解】(1)證明：團在平行四邊形ABCD中，點。是對角線8。的中點，

^AD\\BC,BO=DO,

^z.ADB=Z-CBD,

在△BOE與△DOF中，

(乙EBO=Z.FDO

BO=DO,

l乙BOE=乙DOF

(?)△BOE=△OOF(ASA),

WF=BE,

又回AOIIBC,即。F||BE,

團四邊形BE。尸是平行四邊形.

(2)①解：如圖，過點D作。N1.EC于點N,

WE=DC=6,DN1EC,CE=4,

BIEN=CN=2,

WN=\/DC2-CN2=V36-4=4企，

^DBC=45°,DNIBC..

團408c=乙BDN=45°,

團ON=BN=4A/2,

?BE=BN-EN=4立-2.

團BE的長為4加-2.

②證明：⑦DN1EC,CG1DE,

團乙CEG+乙ECG=90°,乙DEN+乙EDN=90°,

^EDN=乙ECG,

WE=DC,DN1EC,

^EDN=乙CDN,

國乙ECG=乙CDN,

團4OHC=Z.DBC+Z-BCH=45°+乙BCH,ACDB=乙BDN+乙CDN=45°+Z.CDN,

回上CDB=乙DHC,

0CD=CH.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰三

角形的性質與判定等知識.理解和掌握等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵.

6.（2022秋.湖北.九年級統(tǒng)考期中）如圖，點。是瓦4BCO內一點，^BPC=90°,上BAD—

乙PCD=45°

(1)如圖1,求證：PB=PC；

若

⑵如圖2,AB=8,PC=5V2,且S&ABP：SAPCD=1：3,求同ABC。的面積；

(3)如圖3,將aPBA繞點P旋轉至APCE處，過。作_LEP,交EP延長線于F,若AB=

瓜AP,d48=75。，直接寫出器的值為

【答案】(1)見解析

(2)3275

【分析】(1)由平行四邊形的性質及NBPC=90。，乙BAD-乙PCD=45。，可得4BCP=45。,

再由已知可得結論；

(2)過點尸作「￡148于點E,交CD于點/，則由平行四邊形的性質得P/1C。，證明△PEB三

△CFP,可得PE=CF,從而由已知面積關系可得P尸=3CQ由勾股定理可求得CF的長，

從而可求得平行四邊形的面積，

(3)連接。E,由旋轉性質易得CE1CD,則可得/DEF=30。，設4P=a,由旋轉及勾股

定理可分別求得OE、DF、EF,進而可求得尸F(xiàn),由勾股定理求得PD,則最后可求得結果.

【詳解】(1)回四邊形力ECO是平行四邊形，

^LBAD=乙BCD,

團484。-乙PCD=45°,

國乙BCD—乙PCD=45°,

即4=45",

^BPC=90°,

團乙P8C=乙BCP=45。，

0PF=PC；

(2)過點P作PE14B于點E,交CD于點F,如圖，

回上PE力=乙PEB=90°,

團四邊形力BC。是平行四邊形，

^ABWCD,AB=CD,

0ZPFC=4PEA=90°,

即睡了1CD,

0ZFPC+Z.FCP=90°,

?￡BPE+乙FPC=180°一乙BPC=90。，

田4BPE=乙FCP,

在APEB與△CFP中，

(Z.PEB=Z-PFC=90°

乙BPE=Z-FCP,

(PB=PC

(HAPEBCFP,

團PE=CF,

團SMBP：S,CD=1:3,

即(“Bx啕:QCDXPF)=1:3,

團PE:PF=1:3,

團PF=3PE=3CF,

在RtAPH;中，由勾股定理得：PF2+CF2=PC2,

11119c尸2+c尸2=5。，

解得：CF=V5；

國EF=PE+PF=4PE=4CF=475,

回平行四邊形的面積為；AB-EF=8x4^5=3275；

圖2

(3)連接DE,如圖,

圖3

由旋轉性質得：PE=AP,/.PEC=Z-PAB=75°,乙PCE=LPBA,CE=AB,

團48IICD,

^ABC+乙BCD=180°,^LPBA+乙PBC+乙PCB+乙PCD=180°,

^Z.PBC+Z.PCB=90°,

OZPBA+Z.PCD=90°,

即乙PCE+zPCO=90°,

0CE1CD,

團4B=CD,

0CF=CD=AB,

團4CEO=45°,

0ZDEF=乙PEC-Z.CED=75°-45°=30°,

設力P=Q,則PE=a,CE=CD=AB=V6a,

在Rt△CEO中，由勾股定理得DE=\[2CE=V2xV6a=26a,

0DF1PF,乙DEF=30°,

團〃"=DE=V3a,

-2

在Rt△DFE中，由勾股定理得：EF=y/DE2-DF2=V12a2-3a2=3a,

團PF=EF-PE=3a-a=2a,

在Rt△DFP中，由勾股定理得P。=VPF2+DF2=14K2+3a2=夕a,

故答案為：浮

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，含30。角

直角三角形的性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質等知識，綜合性強，既要靈活運用

這些知識，又要構造適當?shù)妮o助線，對學生而言有一定的難度.

必考點2平行四邊形中的面積轉換Q1

1.（2022?浙江?九年級專題練習）如圖，點E、F、G、〃分別在目力3。9的力。、AB.BC、CD邊

上，EG\\CD,FH\\AD,EG與fH交于點P,連接8D交于點Q,連接BP,設國4EPF、團EOHP、

團FPGB、團PHCG的面積分別為Si、52、S3、Sr^AEPF^PHCG,則只需知道（），

就能求的面積.

反

BGC

A.52—SiB.S3—SiC.S4—5]D.S4—S3

【答案】D

【分析】根據(jù)胤4EP產?目P，CG,設相似比=〃，AE=m,AF=n,Z.AFP=6,得到S1、S2.

S3、S4的面積等式，根據(jù)ABFQ?得到相似比A,求出BM、PQ的長度等式，證明

SABPQ=*S4-S3)，即可得出結論?

【詳解】解:如圖,

^AEPF^PHCG,設粕I似比”---/c,AE-m,AF-n,乙AFP-6,

AEAF

團OE=PH=CG=kAE=km,BF=PG=CH=kAF=kn,

2

團Si=mn?sing,S2=krnn?sin。，S3=kmn?sin。，S4=k2sl=kmn?sin。，

[?)△BFQs△DHQ?

心="=絲=匕

QHDHDQ

MQ=備/7"=備Q4E+DE)=備(血+碗)=km,

回PQ=FQ-FP=km—m=(k—l)m.

過點B作BM1FH于點M,則8M=BF?s\nz.BFM=kn?sin。，

0SABP(?=g-BM-PQ=-sin。?(Ar-l)m=；k(k-l)mn-sin。,

2

0S4—S3=kmn?sin。-kmn-sin?=k(k—l)mn-sin9,

團SABPQ=-(S4—S3)>

故選：D.

【點睛】本題考查相似多邊形的性質，平行四邊形的性質，三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是

學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

2.（2022秋.浙江寧波?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形FBCE中，點八G分別在邊

BC,EF±,JG||BFf四邊形力8C0~四邊形HGF/1,相似比k=3,則下列一定能求出△8〃

面積的條件（）

A.四邊形，。EG和四邊形力AG尸的面積之差B.四邊形ABC。和四邊形HOEG的面積之差

C.四邊形48CD和四邊形/IDE尸的面積之差D.四邊形/CD"和四邊形"DEG的面積之差

【答案】A

【分析】分別過點4。作BC的平行線，根據(jù)相似比，找出對應相似圖形的面積關系，然后

找出符合的選項即可.

【詳解】解：如圖，分別過點4,D作BC的平行線交CE于點M,交BF于點N,

?.?四邊形力8CD?四邊形HGE4,相似比k=3,

CD=3AF=3ME,BC=3FG=3BJ,△BCDBJI,相似比k=3,

則施8CDN=3s團MEF/1=2sABCD，9s△8〃=ShBCD?

???SMDN=S—DM>