北師大版九年級數(shù)學下冊舉一反三系列28二次函數(shù)中的三大類型新定義問題同步練習(學生版+解析)

專題2.8二次函數(shù)中的三大類型新定義問題

【北師大版】

考卷信息：

本套訓練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生二次函數(shù)中的三大類型新定義問題

的理解！

【類型1二次函數(shù)問題中的新定義問題】

1.（2023春?山東濟南?九年級統(tǒng)考期末）新定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的2倍，則稱這個點為二倍

點.若二次函數(shù)y=%2-2%+c（c為常數(shù)）在一1<%<4的圖象上存在兩個二倍點，則c的取值范圍是（）

A.-5<c<4B.0<c<1C.-5<c<1D.0<c<4

2.（2023春?湖北咸寧?九年級統(tǒng)考期中）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互

界二次困數(shù)若互異二次函數(shù)的對稱軸為直線x=l且圖象經(jīng)過點（-1,0）,則這個互異二次函數(shù)的二次

項系數(shù)是（）

A禺B,1C,1D.7

3.（2023春?廣西南寧?九年級統(tǒng)考期中）新定義：在平面直角坐標系中，對于點P（〃?，〃）和點?（〃?，獷）,

若滿足論。時，時，〃'=-〃，則稱點P'（m,〃'）是點尸（孫足的限變點.例如：點P/（2,

5）的限變點是P/（2,1）,點P2（-2,3）的限變點是Pi（-2,-3）.若點P（〃?，〃）在二次函數(shù)產(chǎn)-/+4%+2

的圖象上，則當-19q時，其限變點P，的縱坐標〃，的取值范圍是（）

A.-2<^<2B.l<n'<3C.1<nf<2D.-2<<3

4.（2023春?湖南長沙?九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校?？计谀┒x：我們不妨把縱坐標是

橫坐標2倍的點稱為“青竹點”.例如：點（1,2）、（-2.5,-5）……都是“青竹點”.顯然，函數(shù)y="的圖象上

有兩個“青竹點，，：（0,0）和（2,4）.

⑴下列函數(shù)中,函數(shù)圖象卜存在“青竹點''的.請在橫線上打”也不存在“青竹點”的,請打“x”.

?y=2x-l；?y=-x2+1；③y=/+2.

（2）若拋物線丫=-：/一m+1（加為常數(shù)）上存在兩個不同的“青竹點”，求〃?的取值范圍：

（3）若函數(shù)y=；/+（匕一。+2〃+。。一3的圖象上存在唯一的一個“青竹點”，且當一1<b<2時，a的

最小值為c,求c的值.

5.（2023春?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考期中）定義：兩個二次項系數(shù)之和為1,對稱軸相同，且圖像與y軸交點

也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù).例如：y=2x2+4x-5的友好同軸二次函數(shù)為y=-x2-2x-

5.

(1)函數(shù)y=；x2-2x+3的友好同軸二次函數(shù)為

(2)當一1<%<4時，函數(shù)y=(1-a)xz-2(1-a)x+3(aH0且a01)的友好同軸二次函數(shù)有最大值為

5,求Q的值.

(3)已知點(m,p),(m,q)分別在二次函數(shù)%=axz+4ax+C(Q>；MaH1)及其友好同軸二次函數(shù)y2的圖

像上，比較p,q的大小，并說明理由.

6.(2023春?浙江金華?九年級?？计谥?定義：若拋物線)，與工軸兩交點間的距離為4,稱此拋

物線為定弦拋物線.

⑴判斷拋物線y=f+2x-3是否是定弦拋物線，請說明理由；

(2)當--定弦拋物線的對稱軸為直線x=l,且它的圖像與坐標軸的交點間的連線所圍成的圖形是直角三角形,

求該拋物線的表達式；

⑶若定弦拋物線>=/+灰+c(%<0)與x軸交于A、B兩點(A在B左邊)，當29W4B寸，該拋物線的最大

值與最小值之差等于OB之間的距離，求〃的值.

7.(2023春?浙江?九年級期末)定義：若拋物線%=%(無+九)2+自與拋物線丫2=。2(無+h)2+&.同時

滿足=-4%且心=-3右，則稱這兩條拋物線是一對“共規(guī)拋物線

2

⑴已知拋物線%=-,2+hx+c與y?=X-2x-3是一對共軻拋物線，求為的解析式；

⑵如圖1,將一副邊長為4企的正方形七巧板拼成圖2的形式，若以BC中點為原點，直線8c為X軸建立

平面直角坐標系，設經(jīng)過點A,E,。的拋物線為力,經(jīng)過A、B、。的拋物線為內(nèi)，請立接寫出力、丫2的解

析式并判斷它們是否為一對共視拋物線.

圖1圖2

8.(2023春?湖南長沙?九年級校聯(lián)考期末)定義：如果拋物線y=ax2+bx+c(a*0)與x軸交于點力(孫0),

F(X2,0),那么我們把線段48叫做雅禮弦，力8兩點之間的距離/稱為拋物線的雅禮弦長.

(1)求拋物線y=x2-2x-3的雅禮弦長；

(2)求拋物線y=x2+(n+l)x-1(1<n<3)的雅禮弦長的取值范圍：

(3)設m,九為正整數(shù)，月.m￥l,拋物線y=/+(4-mt)x-4?n￡的雅禮弦長為。，拋物線y=--+

。-九注+9的雅禮弦長為①s二片一修試求出$與￡之間的函數(shù)關系式，若不論t為何值，sNO恒成立，

求？H,71的值.

9.(2023春?河南濮陽?九年級統(tǒng)考期中)小明在課外學習時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)

y^ai^+b/x+C](田#))與產(chǎn)念/也工+^(念,。)滿足4/+〃2=0，〃尸〃2，c/+c、2=0,則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)

函數(shù)求函數(shù)尸?-3片2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)

小明是這樣思考的：由函數(shù)y=/-3x-2可知，〃尸1,bi=-3,。尸-2,根據(jù)。/+〃2=0，6尸岳，C/+Q=0,求出。2,

力2,①就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)

請參考小明的方怙解決下面問題：

⑴直接寫出函數(shù)產(chǎn)/-342的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”_；

(2)若函數(shù)y=-x2+^mx-2與y=r-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求(,〃+〃嚴。的值；

(3)已知函數(shù)y=4%-1)。+4)的圖象與l軸交于點4、B兩點(A在8的左邊)，與)，軸交于點。，點4、

8、C關于原點的對稱點分別是4,Bi,G，試證明經(jīng)過點4,Bh。的二次函數(shù)與函數(shù)y=ga—1)(%+4)

互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”

10.(2023春?山西大同?九年級統(tǒng)考期中)請閱讀下列材料，并完成相應的任務：

定義：我們把自變量為x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c(a0,bH0)稱為一對“親密函

數(shù)“，如y=5x2-3x4-2的“親密函數(shù)''是y=5x2+3x4-2.

任務：

(1)寫出二次函數(shù)y=/+3%-4的“親密函數(shù)”：；

(2)二次函數(shù)y=/+3%-4的圖像與義軸交點的橫坐標為I和-4,它的“親密函數(shù)”的圖像與T軸交點的橫

坐標為,猜想二次函數(shù)y=ax2+ftx+c(h2-4ac>0)的圖像與％軸交點的橫坐標與其“親密函數(shù)”

的圖像與x軸交點的橫坐標之間的關系是；

(3)二次函數(shù)y=/+bx-2021的圖像與％軸交點的橫坐標為1和-2021,請利用⑵中的結(jié)論直接寫出

二次函數(shù)y=4x2-2bx-2021的圖像與％軸交點的橫坐標.

【類型2二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題中的新定義問題】

(I)若一個函數(shù)的“特征數(shù)”是【I,-4,I],將此函數(shù)圖像先向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得

到一個圖像對應的函數(shù)“特征數(shù)”是;

⑵將“特征數(shù)”是10,-鼻-1】的圖像向上平移2個單位，得到一個新函數(shù)，這個函數(shù)的解析式是：

(3)在(2)中，平移前后的兩個函數(shù)圖像分別與y軸交于A、B兩點,與直線％=-百分別交于D、C兩點，

在給出的平面直角坐標系中畫出圖形，并求出以A、8、C、。匹點為頂點的四邊形的面積；

(4)若(3)中的四邊形與“特征數(shù)”是[1,-26,〃+“的函數(shù)蟄像有交點，求滿足條件的實數(shù)b的取值范

圍.

6.(2023春?福建龍巖?九年級?？计谀?定義：對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當xvO時,

它們對應的函數(shù)值互為相反數(shù)；當它()時，它們對應的函數(shù)值相等.我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關函數(shù).例

如：一次函數(shù)y=x—l,它的相關函數(shù)為、=｛了：；?；0；)

(1)已知點A(-2,1)在一次函數(shù)y=ax-3的相關函數(shù)的圖象上時，求。的值.

(2)已知二次函數(shù)y=-/+4x-：.當點8(〃?，在這個函數(shù)的相關函數(shù)的圖象上時，求〃?的值.

7.(2023春?江蘇南通?九年級統(tǒng)考期末)定義：若圖形M與圖形N有且只有兩個公共點，則稱圖形M與圖形

N互為“雙聯(lián)圖形"，即圖形M是圖形N的“雙聯(lián)圖形”，圖形N是圖形M的“雙聯(lián)圖形”.

圖1圖2

備用圖

(1)若直線y=-x+b與拋物線y=x2+1互為“雙聯(lián)圖形”，且直線y=-x+b不是雙曲線y=:的“雙聯(lián)圖

形”，求實數(shù)b的取值范圍：

(2)如圖2,已知做一2,0),B(4,0),C(l,3)三點.若二次函數(shù)y=晨工++3的圖象與△力BC互為“雙聯(lián)圖

形”，直接寫出a的取值范圍.

8.(2023春?北京?九年級北京市第三中學?？计谥?定義：在平面直角坐標系中，圖形G上點P(x,)，)

的縱坐標y與其橫坐標X的差yr稱為尸點的、、坐標差”，而圖形G上所有點的''坐標差”中的戢大值稱為圖

形G的“特征值”.

(1)①點4(I,3)的“坐標差”為；

②拋物線產(chǎn)-f+3.計3的“特征值”為；

(2)某二次函數(shù)y=-f+Zu，+c(H0)的“特征值”為1,點8(〃?，0)與點。分別是此二次函數(shù)的圖象與工

軸和)，軸的交點，且點8與點C的“坐標差”相等.

①直接寫出加=；(用含c的式子表示)

②求人的值.

9.(2023春?北京?九年級人大附中?？计谥?對某一個函數(shù)給巴如下定義：若存在實數(shù)M>3對于任意

的函數(shù)值y,都滿足-MWyWM,則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個

函數(shù)的邊界值.例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是L

備用圖備用圖

(1)直接寫出有界函數(shù)y=2x+1(-4<x<2)的邊界值；

(2)已知函數(shù)y=2/+b%+c(mWxW九,7九V九)是有界函數(shù)，且邊界值為3,直接寫出九一m的最大值；

⑶將函數(shù)y=2/(_1<x<k,k>0)的圖象向下平移k個單位，得到的函數(shù)的邊界值是3直接寫出k的取值

范圍，使得

10.(2023春?湖南長沙?九年級?？计谥?若定義：若一個函數(shù)圖像上存在縱坐標是橫坐標2倍的點，則把

該函數(shù)稱為“明德函數(shù)”，該點稱為“明德點”，例如：“明德函數(shù)"y=x+l,其“明德點”為(1,2).

(1)①判斷：函數(shù)y=2x+3“明德函數(shù)”(填“是”或。不是”)；

②函數(shù)y=/的圖像上的明德點是；

(2)若拋物線y=(爪一1)/+小》+；加上有兩個“明德點”，求機的取值范圍；

(3)若函數(shù)y=x2+(m-k+2)x+^—g的圖像上存在唯一的一個“明德點”，旦當一1工m43時，幾的最小

值為k,求k的值.

【類型3二次函數(shù)與幾何圖形綜合問題中的新定義問題】

1.(2023春?四川綿陽?九年級統(tǒng)考期末)定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互

異一次函數(shù)”.如圖，在正方形。48C中，點4(0,2),點C(2,0),則互異一次同數(shù)y=(x-m)2-m與正方形

04BC有交點時m的最大值和最小值分別是()

2.（2023春?山東濟南?九年級統(tǒng)考期末）定義：關于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋

物線”.例如：yi=（x-I）2-2的“同軸對稱拋物線”為刃=-（x-1）2+2.

（1）請寫出拋物線#=（X-1）2-2的頂點坐標」及其“同軸對稱拋物線勺2=-（X-1）2+2的頂點坐標」

（2）求拋物線丁=-2A2+4X+3的“同軸對稱拋物線”的解析式.

（3）如圖，在平面直角坐標系中，點B是拋物線L：4公+1上一點，點8的橫坐標為I,過點B作

x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對稱拋物線''于點C,分別作點8、C關于拋物線對稱軸對稱的點8'、C’,

連接BC、CC'、BC、BBL

①當四邊形88（1為正方形時，求a的值.

②當拋物線L與其“同軸對稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有II個橫、縱坐標均為整數(shù)的點

時，直接寫出〃的取值范圍.

3.（2023春?北京門頭溝?九年級大峪中學?？计谥校┒x：對于平面直角坐標系X。、上的點P[a,b）和拋物

線y=X2+以+匕，我們稱P（a,b）是拋物線y=x2+ax+b的相伴點,拋物線y=x2+ax+b是點P（Q,匕）的

相伴拋物線.如圖，己知點71（—2,—2）,3（4,-2）,C（l,4）.

（1）點力的相伴拋物線的解析式為；過A,B兩點的拋物線、=X2+。%+/?的相伴點坐標為:

（2）設點P（a,b）在直線4。上運動：

①點P（a,b）的相伴拋物線的頂點都在同一條拋物線。上，求拋物線。的解析式.

②當點P（Q/）的相伴拋物線的頂點落在△718C內(nèi)部時，請直接寫出Q的取值范圍.

4.（2023春?浙江紹興?九年級校跌考期中）定義：如圖1,拋物線丫=。/+故+?。。0）與乂軸交于人，

B兩點，點P在該拋物線上（P點與A.B兩點不重合），如果4ABP中PA與PB兩條邊的三邊滿足其中一

邊是另一邊2企倍，則稱點P為拋物線y=ax2+bx+C（Q=0）的“好”點.

（I）命題：P（0,3）是拋物線、=-/+2%+3的“好”點.該命題是（真或假）命題.

（2）如圖2,已知拋物線C:y=Qx2+加（a<0）與x軸交于A,B兩點，點P（l,2）是拋物線C的“好”點，

求拋物線C的函數(shù)表達式.

（3）在（2）的條件下，點Q在拋物線C上，求滿足條件SAABQ=SAABP的Q點（異于點P）的坐標.

5.（2023?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c（a、

b、c為常數(shù)，a￥0）的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三

角形”.已知拋物線y二-平/一竽％+2百與其“夢想直線”交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與x

*JO

軸負半軸交于點C.

（1）填空；該拋物線的“夢想直線”的解析式為，點A的坐標為，點B的電標為

(2)如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N,若

△AMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點M的坐標.

6.(2023春?湖南長沙?九年級統(tǒng)考期中)定義：在線段MN上存在點P、Q將線段MN分為相等的三部分,

則稱P、Q為線段MN的三等分點.

已知一次函數(shù)y=-x+3的圖象與x、y軸分別交于點M、N,且A、C為線段MN的三等分點(點A在點

C的左邊).

(1)直接寫出點A、C的坐標；

(2)①二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點0、A、C,試求此二次函數(shù)的解析式；

②過點A、C分別作AB、CD垂直x軸于B、D兩點，在此拋物線0、C之間取一點P(點P不與0、C重

合)作PF_Lx軸于點F,PF交0C于點E,是否存在點P使得AP=BE?若存在，求出點P的坐標？若不

存在，試說明理由；

(3)在(2)的條件下，將4OAB沿AC方向移動到△(TAE(點;V在線段AC上，且不與C重合)，△CTAE

7.(2023春?安徽合肥?九年級統(tǒng)考期中)定義：在平面直角坐標系中，圖形G上點P(x,y)的縱坐標y

與其橫坐標x的差y-x稱為點P的“坐標差”，而圖形G上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形G的“特

征值”.

(1)求點A(2,1)的“坐標差''和拋物線y=-X2+3X+4的“特征值”.

（2）某二次函數(shù)=-x?+bx+c（c^O）的“特征值”為-1,點B與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸

的交點，且點B與點C的“坐標差”相等，求此二次函數(shù)的解析式.

（3）如圖所示，二次函數(shù)y=-x2+px+q的圖象頂點在“坐標差''為2的一次函數(shù)的圖象上，四邊形DEFO是

矩形，點E的坐標為（7,3）,點O為坐標原點，點D在x軸上，當二次函數(shù)y=-x?+px+q的圖象與矩

形的邊有四個交點時，求p的取值范圍.

8.（2023?浙江杭州?九年級統(tǒng)考期中）新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形.

（I）初步嘗試

如圖I,已知等腰直角△ABC,ZACB=900,請將它分成兩個三角形，使它們成為偏等積三角形.

（2）理解運用

如圖2,已知△ACD為直角三角形，ZADC=90°,以AC,AD為邊向外作正方向ACFB和正方形ADGE,

連接BE,求證：△ACD與△ABE為偏等積三角形.

（3）綜合探究

如圖3,二次函數(shù)y=*2祗x-5的圖象與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,在二次函數(shù)的圖象上是否存

在一點D,使△ABC與4ABD是偏等積三角形？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

9.（2023春?江西贛州?九年級統(tǒng)考期末）我們給出如下定義：在平面直角坐標系xOy中，如果一條拋物線

平移后得到的拋物線經(jīng)過原拋物線的頂點，那么這條拋物線叫做原拋物線的過頂拋物線.

如下圖，拋物線F2都是拋物線Fi的過頂拋物線，設B的頂點為A,F2的對稱軸分別交Fi、F1于點D、B,

點C是點A關于直線BD的對稱點.

圖1圖2

(I)如圖I,如果拋物線y=x?的過頂拋物線為y=ax2+bx,C(2,0),那么

①a=_,b=_.

②如果順次連接A、B、C、D四點，那么四邊形ABCD為()

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

(2)如圖2,拋物線y=ax?+c的過頂拋物線為F2,B(2,c-1).求四邊形ABCD的面積.

(3)如果拋物線y=3%+：的過頂拋物線是F2,四邊形ABCD的面積為2百，請直接寫出點B的坐

標.

10.(2023春?江西贛州?九年級?？计谀?定義：在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+bx+c(a^O)與直

線y=m交于點A、C(點C在點A右邊)將拋物線y=ax2+bx-c沿直線y=m翻折，翻折前后兩拋物線的

頂點分別為點B、D.我們將兩拋物線之間形成的封閉圖形稱為驚喜線，四邊形ABCD稱為驚喜四邊形，對

角線BD與AC之比稱為驚喜度(Dcgrccofsurprise),記作|D|=能.

D

B

圖①圖②

(1)圖①是拋物線y=/-2x-3沿直線y=0翻折后得到驚喜線.則點A坐標，點B坐標，驚

專題2.8二次函數(shù)中的三大類型新定義問題

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考卷信息：

本套訓練卷共30題.題型針對性較高,覆蓋面廣，選題有深度,可加強學生一次函數(shù)中的三大類型新定義問題

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【類型1二次函數(shù)問題中的新定義問題】

1.（2023春?山東濟南?九年級統(tǒng)考期末）新定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的2倍，則稱這個點為二倍

點.若二次函數(shù)y=x2-2x+c（c為常數(shù)）在-1<x<4的圖象上存在兩個二倍點，則c的取值范圍是（）

A.-5<c<4B.0<c<1C.-5<c<1D.0<c<4

【答案】D

【分析】由點的縱坐標是橫坐標的2倍可得二倍點在直線y=2x±,由-1V%V4可得二倍點所在線段力8的

端點坐標，結(jié)合圖象，通過求拋物線與線段的交點求解.

【詳解】解:由題意可得二倍點所在直線為y=2%,

將x=-1代入y=2不得y=-2,

將x=4代入y=2%得y=8,

設4（-1,-2）,8（4,8）,如圖，

聯(lián)立y=2%與y=x2—2x+c,得方程/—2x+c=2x,

即7-4%+c=0

???拋物線與直線y=2x有兩個交點，

:.A=42—4c>0,

解得c<4,

當直線％=-1和直線X=4與拋物線交點在點A,8上方時，拋物線與線段48有兩個交點,

把x=-1代入y=x2-2x+c,得y=3+c,

把％=4代入y=%2-2x4-c得y=8+c,

.[3+c>—2

AI8+c>8>

解得c>0,

0<c<4.

故選D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的交點問題，解題關鍵掌握函數(shù)與方程及不等式的關系，

將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題求解.

2.（2023春?湖北咸寧?九年級統(tǒng)考期中）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互

異二次函數(shù)”.若互異二次函數(shù)的對稱軸為直線x=l且圖象經(jīng)過點（?1,0）,則這個互異二次函數(shù)的二次

項系數(shù)是（）

A禺B.iC,1D,-1

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱軸和互異二次函數(shù)的特點計算即可；

【詳解】由題可知：此函數(shù)的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)，且對稱軸為直線x=l且圖象經(jīng)過點（-1,0）,

設此函數(shù)為y=ax2+bx+c,

1

.??0=H—+c，解得：花f

1=a+b+c=--

c4

???此函數(shù)的二次項系數(shù)為3

4

故選B.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，準確計算是解題的關健.

3.12023春?廣西南寧?九年級統(tǒng)考期中）新定義：在平面直角坐標系中，對于點產(chǎn)（〃?，〃）和點產(chǎn)（機，〃'），

若滿足吟（）時，〃?<（）時：〃，=-〃，則稱點P（小，〃'）是點P（m,n）的限變點.例如：點P/（2,

5）的限變點是P/（2,1）,點、P2（-2,3）的限變點是P2'（-2,-3）.若點P（m，〃）在二次函數(shù)）=-/+4工+2

的圖象上，則當-1勺於3時，其限變點尸的縱坐標〃'的取值范圍歪（）

A.-2<nr<2B.1<nf<3C.1<n1<2D.-2<<3

【答案】D

【分析】根據(jù)新定義得到當臉()時，〃'=-〃P+4〃2+2-4=-(m-2)2+2,在09區(qū)3時，得到-23仁2；當加V0時,

〃'=評?4加2=(6?2)2.6,在?19iV0時,得到-29K3,即可得到限變點P'的縱坐標〃'的取值范圍是?2W店3.

【詳解】解?：由題意可知，

當心0時，n,=-nr+4m+2-4=-(m-2)2+2?

，當gw￡3時,-29W2,

當mVO時，n'=m2-4m-2=(m-2)2-6>

???當-IWMVO時，-2<nr<3,

綜上，當-13脛3時，其限變點產(chǎn)的縱坐標〃，的取值范圍是-23日3,

故選:D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)組象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據(jù)限變點的定義得到“'關于機的函

數(shù).

4.(2023春?湖南長沙?九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校?？计谀?定義：我們不妨把縱坐標足

橫坐標2倍的點稱為“青竹點”.例如：點(1,2)、(-2.5,-5)……都是“青竹點”.顯然，函數(shù)y="的圖象上

有兩個“青竹點，，：(0,0)和(2,4).

⑴下列函數(shù)中，函數(shù)圖象上存在“青竹點”的，請在橫線上打7”，不存在“青竹點”的，請打“x”.

①y=2%-1；@y=-x2+1；?y=x2+2.

(2)若拋物線y=一血+1(用為常數(shù))上存在兩個不同的“青竹點”，求〃?的取值范圍；

(3)若函數(shù)y=^x2+(b-c+2)x+a+c-3的圖象上存在唯一的一個“青竹點”，且當一1<b<2時，〃的

最小值為c,求c的值.

【答案】(l)x；《x

(2)771<3

⑶C=|

【分析】(1)根據(jù)“青一函數(shù)”的定義直接判斷即可；

(2)根據(jù)題意得出關于X的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式得出關于〃，的不等式，即可求解；

(3)根據(jù)題意得出關于％的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式得出關于。的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)最值求

解即可.

【詳解】(1)解：①令2%-1=2%,方程無解，

???函數(shù)y=2x—l圖像上不存在“青竹點”，故答案為：X；

②令一>2+1=2%,

解得：

Xi=-1+V2,x2=-1-V2?

???函數(shù)y=—/+l圖像上存在“青竹點”(一1+a,_2+2a)和(一1一注,一2-2&),故答案為：《

③令/+2=23方程無解，

???函數(shù)y=/+2圖像上不存在“育竹點”，故答案為：x；

(2)解：由題意得一-m+1=2，

整理，得為2+4%+2m-2=0,

???拋物線〉=一：/一?九+1(機為常數(shù))上存在兩個不同的“青竹點”，

.*.△=42-4(2m-2)>0,

解得mV3：

(3)解：由題意得工/+(b—c+2)%+a+c-3=2%

4

整理,得/+4(b-c)x+4(a+c-3)=0

???函數(shù)y=^x2+(b-c+2)x+a+c-3的圖像上存在唯一的一個“青竹點”，

:.X-[4(6—c)]2—4x1x4(a+c—3)=0

整理，得a=(b—c)?一c+3

???當b=c時，。的最小值為3-c,

???當-l￡bW2時,。的最小值為c,

3—c=c

?-3

??Cr-2，

【點睛】本題屬于函數(shù)背景下新定義問題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，解

題關鍵是掌握一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握一次函數(shù)與方程的關系，一元一次方程根的判別式.

5.(2023春?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考期中)定義：兩個二次項系數(shù)之和為1,對稱軸相同，且圖像與y軸交點

也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù).例如：y=2x2+4x-5的友好同軸二次函數(shù)為y=-x2-2x-

5.

(1)函數(shù)y=Jx2-2x+3的友好同軸二次函數(shù)為

(2)當一1<x<4時，函數(shù)y=(1-a)x2-2(1-a)x+3(aH0且aW1)的友好同軸二次函數(shù)有最大值為

5,求a的值.

(3)已知點(m,p),(m,q)分別在二次函數(shù)yi=ax2+4ax+c(a>:且。*1)及其友好同軸二次函數(shù)力的圖

像上，比較p,q的大小，并說明理由.

【答案】⑴y=-6%+3；

(2)a=；或一2；

4

(3)當m=-4或m=0時，，p=q；當m<-4或m>0時，p>q；當一4<mV0時，p<q

【分析】(1)根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出>=:/一2義+3的友好同軸二次函數(shù)即可；

(2)根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出y=(l--a)x+3的友好同軸二次函數(shù)，判斷函數(shù)圖

像開口方向，利用函數(shù)的對稱軸和自變量范圍進行最大值討論；

(3)先根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出力=a/+4ax+c的友好同軸二次函數(shù)，再把兩點代入p,q,

作差后比較大小，為含參數(shù)。的二次不等式，求解m的范圍即可.

【詳解】(1)設友好同軸二次函數(shù)為、=ax?+"+“a。0),

由函數(shù)y=^x2-2x+3可知，

對稱軸為直線％=-短=4,與y軸交點為(0,3),

a=1--=。=3,對稱軸為直線％=-芻=4,

442X-

???b=-6,

友好同軸二次函數(shù)為y=^x2-6x+3；

(2)由函數(shù)y=(1-a)x2-2(1-d)x+3(aH0且aH1)可求得，

該函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為y=ax2-2ax+3=a(x-l)2+3-a；

2

①當Q>OH、」,x=4H'J,ymax=Q(4—I)+3—a=8tz+3=5,

解得：Q=±

4

2

②當QV。時，x=1時，ymax=Q(1—l)+3—Q=3—Q=5,

解得：a=-2；

綜上所述，a=；或一2；

4

(3)由函數(shù)yi=a/+4Q%+C(Q>g且aH1)可求得，

該函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為丫2=(1-+4(1-a)x+c,

把(m,p),(m,q)分別代入yi,y2可得，

p=am1+4am+c,(?=(1-a)m2+4(1-a)m+c,

則p—q=am2+4am4-c—[(1-a)m2+4(1—a)m+c]=(2a-l)m2+4(2a—l)m,

Q>(

(2cz-l)>0,

①當p-q>0時,p>q,即(2a-l)/n2+4(2a—l)m>0,

m2+4m>0,

解得：7九〈一4或m>0：

②當p-qV0時，p<q,即(2a-l)zn2+4(2a—l)m<0,

m2+4m<0,

解得：-4<m<0；

③當p-q=0時，p=q，即(2Q—1)租2+4(2Q-i)/n=o,

m2+4m=0,

解得：血二-4或771=0；

綜上所述，當m=-4或m=0時，p=q：

當n<-4或m>。時，p>q；

當一4Vme0時，p<q.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及新定義問題，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及研究手段，準確根據(jù)題意

求出符合要求的友好同軸二次函數(shù)是解題關鍵.

6.(2023春?浙江金華?九年級校考期中)定義：若拋物線)，=加+灰+c與x軸兩交點間的距離為4,稱此拋

物線為定弦拋物線.

⑴判斷拋物線y=?+2x-3是否是定弦拋物線，請說明理由；

⑵當一定弦拋物線的對稱軸為直線x=1,且它的圖像與坐標軸的交點間的連線所圍成的圖形是直角三角形,

求該拋物線的表達式；

⑶若定弦拋物線y=f+/2什c"V0)與x軸交于A、8兩點(A在8左邊)，當2人4時，該拋物線的最大

值與最小值之差等于。8之間的距離，求〃的值.

【答案】(I)是定弦拋物線，理由見解析

(2)y=-(%+1)(%-3)或>=曰(x+l)(x-3)

JJ

(3)A=-4或

【分析】(1)令y=0,求出與x軸的交點坐標，可判斷；

(2)分開口向上向下討論，利用定弦拋物線的定義和對稱軸可求出與x軸交點坐標，用相似求出與)，軸交點

坐標，代入可得答案；

(3)根據(jù)對稱軸和所給范圍分情況討論即可.

【詳解】(1)解：當y=0時，32廠3=0,

解得：X/=1>X2=-3>

則％-Ml=4,

即該拋物線是定弦拋物線；

(2)：當該拋物線開口向下時，如圖所示.

,/該定弦拋物線的對稱軸為直線K=1，

設C(m,O),D(n,O)

貝叱二

ln+m=2

解得：產(chǎn)；1

(n=3

AC(-1,0),D(3,0),

?:△CEO為直角三角形

:.由題意可得/。￡。=90。，

VEO1CD,

：,OE2=OCOD=3,

???￡(0,V3)

設該定弦拋物線表達式為y=a(x+l)(x-3),

把E(0,V3)代入求得a=4

，該定弦拋物線表達式為尸《。+1)(如3),

當該拋物線開口向上時，

同理可得該定弦拋物線表達式為尸手(無+1)03),

???綜上所述，該定弦拋物線表達式為外-4(%+1)。-3)或丫=?0+1)(『3)；

JJ

(3)解：若-白2,則在2/“中,

當x=4時該定弦拋物線取最大值，當x=2時該定弦拋物線取最小值.

；?16+4Z>+c-(4+2Z>+c)—-g+2,

解得：b=-4,

???冬2,

/./;>-4,BPb=-4,

若2士白3,則在2三區(qū)4中，

當x=4時該定弦拋物線取最大值，當x=-g時該定弦拋物線取最小值.

??,4t.4c?匕2b.—

??16+4/7+c-―-——--+2>

解得：bi=-4,岳=-14,

,二2金白3,

-6<bS.-4,

??bi=-4,岳=-14(舍去)，

若3V-白4,則在2Ka中，

當上=2時該定弦拋物線取最大值，當時該定弦拋物線取最小值.

.??4+2/?+c-竽=-1+2,

解得：b=-5±4V7,

V3<-1<4,

A-8<b<-6,

??％=-5±g不合題意，舍去，

若彳>4,則在2W爛4中，

當x=2時該定弦拋物線取最大值，當x=4時該定弦拋物線取最小值.

???4+2"+c-(16+4/M-C)=*2,

解得:b=g

,.Y>4,

.MV-8,

?,“,——_2于8

，綜上所述b=-4或號.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合性質(zhì)，包括與X軸交點問題，最值問題，以及和相似的結(jié)合，準確地理

解定弦拋物線的定義以及分類討論是解決本題的關鍵.

7.(2023春?浙江?九年級期末)定義：若拋物線yi=%(%+h)2+自與拋物線及=+h)？+后.同時

滿足的=-4%且心=一；6,則稱這兩條拋物線是一對“共枕拋物線”.

(1)己知拋物線%=+bx+c與y2=x2-2x-3是一對共匏拋物線，求力的解析式；

⑵如圖I,將一副邊長為4企的正方形七巧板拼成圖2的形式，若以中點為原點，直線8c為x軸建立

平面直角坐標系，設經(jīng)過點A,E,。的拋物線為刈，經(jīng)過4、B、。的拋物線為內(nèi)，請立接寫出%、出的解

析式并判斷它們是否為一對共軌拋物線.

圖1圖2

【答案】⑴％=—：/+/+9

q4q

（2）%=一：/+8,y=1x2-2%、%是一對共規(guī)拋物線

oN2;

【分析】（1）將、2=--2%一3化作頂點式，可求出。2,八和伍的值，根據(jù)“共規(guī)拋物線”的定義可求出的，

人和自的值，進而求出力的解析式；

（2）根據(jù)七巧板各個圖形之間的關系可求出各個圖形的邊長，逆而可表示點4B,C,D,E的坐標，分別

求出力和力的解析式，再根據(jù)“共血拋物線”的定義可求解.

【詳解】（1）解：%二/一2%-3=（x-1尸一4,

.*.a2=1,h=—1,k2=-4,

：拋物線%=-\x2+bx+c與丫2=X2-2x-3是一對共挽拋物線，

=%=-h=-1且ki=-4kl=16,

乃=一沁一1尸+16=一滓+"+竽.

（2）解：如圖，

由題意得，DF=AF=4V2,^lAG=GF=DG=GF=4,EG=2,HG=2,BC=4,OF=2,

???點。為BC的中點，：.B0=0C=2,

(-2,0),C(2,0),71(-4,6),0(4,6),E(0,8),

工可設拋物線y1=?!(%+4)(x-4)+6,與拋物線乃=。2(%+2)(%-2),

；?—16%+6=8,(—4+2)(—4-2)&=6,解得：%=一2，

82

，拋物線yi=1(x+4)(x-4)+6=-：/+8,

o8

拋物線為=^(x+2)(x-2)=1x2-2,

Adi=-I，h=0,3=8,“2=：,h=0,k2=—2,

82

V--x(-4)=-,--x8=-2,

8v724

黃足。2=-4。1旦攵2=-1攵1，

??.以、力是一對共規(guī)拋物線?

【點睛】本題屬于二次函數(shù)的新定義類問題，主要考杳利用待定系數(shù)怙求函數(shù)表達式，二次函數(shù)的頂點式，

一般式及交點式三種方式的變換，熟知相關運算是解題關鍵.

8.(2023春?湖南長沙?九年級校聯(lián)考期末)定義：如果拋物線y=ax2+bx+C(QW0)與％軸交于點0),

〃(12,0)，那么我們把線段48叫做雅禮弦，4B兩點之間的距離，稱為拋物線的雅禮弦長.

(1)求拋物線、=x2-2x-3的雅禮弦長；

(2)求拋物線y=x2+(n+l)x-1(1<n<3)的雅禮弦長的取值范圍；

(3)設m,九為正整數(shù)，且m1,拋物線y=M+(4--的雅禮弦長為匕，拋物線y=+

(t-7i)%+欣的雅禮弦長為s=試求出s與t之間的函數(shù)關系式，若不論t為何值，s20恒成立，

求TH,幾的值.

【答案】(1)4

(2)2V2<AB<2^5

(3)TH=2,n=2或m=4,n=1

【分析】(1)根據(jù)定義求得拋物線與x軸的交點坐標即可求解；

(2)根據(jù)(1)的方法求得力B=J(n+1)2+4,根據(jù)〃的范圍，即可求解.

(3)根據(jù)題意，分別求得I1,。，根據(jù)s=6-8,求得出s與t之間的函數(shù)關系式，根據(jù)s20恒成立，可得m九=

4,根據(jù)m,ri為正整數(shù)，且mHl,即可求解.

【詳解】(1)解：x2—2x—3=0,

(x-3)(x+1)=0?

xL=3,x2=-1?

???雅禮弦長AB=4；

(2)x2+(n+l)x-1=0,4(%i，0)8(%i，0),

???AB=|%i-x2|=J(X1+%2)2-4必％2,

?.?』=5+l)2+4>0,戶+乃=-(*+1),

\'(X1X2=-1

AB=V(n+l)2+4,

v1<n<3,

???當九=1時，AB最小值為2企，

當豌=3時，/B最大值小于2遍，

:.242<AB<2V5；

(3)由題意，令y=/+(4-m￡)x-4mt=0,

???xY+x2=mt-4,%iX2=-4m3

22

則Y-(、1-X2)=(%1+x2y-4a1%2-(mt+4),

同理4=(n+t)2,

s=(mt4-4)2-(n4-1)2=(m2-l)t2+(8m-2n)t+(16—n2),

VM-1工0,

要不論t為何值，szo恒成立，

BP：(m2—l)t2+(8m—2n)t+(16—n2)>0恒成立，

由題意得：m2—1>0,4=(8m—2n)2-4(m2—1)(16—nz)<0,

解得：(nm-4)2w0,mn=4

m,n為正整數(shù)，且m工1,

則n=2,九=2或m=4,n=1.

【點睛】本題考查了拋物線與坐標軸交點問題，一元二次方程根與系數(shù)的關系，綜合運用以上知識是解題的

關鍵.

9.(2023春?河南濮陽?九年級統(tǒng)考期中)小明在課外學習時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)

y^aiAT+bix+ci與y=a*+/j2X+c2(。2視)滿足。/+。2=0，〃尸"2，<?/+c2=0,則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)

函數(shù)”.求函數(shù)產(chǎn)P3『2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

小明是這樣思考的：由函數(shù).y=/-3x-2可知，?/=1.〃/=-3,c/=-2?根據(jù)。/142=0,b尸bz，ci1c?=0?求出42,

歷，C2,就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)

請參考小明的方法解決下面問題：

（1）直接寫出函數(shù)尸/-342的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”_：

（2）若函數(shù)y=-x2+gmx-2與y=r-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（加+〃產(chǎn)?。的值；

（3）已知函數(shù)y="%—1）（%+4）的圖象與1軸交于點4、B兩點（A在8的左邊），與），軸交于點C,點A、

8、C關于原點的對稱點分別是小，。，試證明經(jīng)過點4,Bh。的二次函數(shù)與函數(shù)y=/3一1）。+4）

互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)''

【答案】（l）y=-f-3x+2；

（2）1

⑶見解析

【分析】（1）根據(jù)y=a//+b/x+c/（。用0,。八歷，。是常數(shù)）與）=。2?+厲工+。2（。2/），。2,岳，C2是常

數(shù)）滿足勾+。2=。m=3,C/+C2=O,則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得。2,歷，C2,可得旋轉(zhuǎn)函數(shù);

（2）根據(jù)），=a*+〃/x+c/（a#0,an歷，c/是常數(shù)）與+/"x+c2（a2H0，“2，岳，C2是常數(shù)）滿足

〃/+42=0,加=加，Cj+C2=0,則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得。2,歷，。2,根據(jù)負數(shù)奇數(shù)次基是負

數(shù)，可得答案；

（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應美系，可得A、8、C的坐標，根據(jù)關于原點對稱的點橫坐標互為相反數(shù)，

縱坐標互為相反數(shù)，可得4,即Ci，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)），=R『+皿+門⑵和，

ai，hi，C/是常數(shù)）與丁=。1+。認,+（?2（。2和,。2，1）2,C2是常數(shù)）滿足4/+。2=0，=岳，C/+c2=0,則

稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得42,岳，C2,可得旋轉(zhuǎn)函數(shù).

【詳解】（1）解：由）kf-3x-2函數(shù)可知〃/=1,b]=-3,ci=-2.

由4/+。2=0，句=力2，C/+C2=O，得

〃2=-1，匕2=3C2=2.

函數(shù)），=/+3k2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y=-A2-3x+2；

2

（2）由y=-x+-3mx-2與），=?-2m+〃互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，

^-2n=-m,-2+〃=0.

3

解得〃=2,陽=-3.

當加=2,〃=一3時，(〃?+〃嚴。=(2-3)2020=(-1)2020=1；

(3):?當y=0時，-1