北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三 專題47 角角邊判定三角形全等-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題4.7角角邊判定三角形全等.重難點(diǎn)題型

【北師大版】

”與0否勿

。*甲一反三

【知識(shí)點(diǎn)1基本事實(shí)“角角邊"（AAS）］

兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”.

【題型1角角邊判定三角形全等的條件】

【例1】（2023秋?覃塘區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A,B,C,。在同一直線上，ZAEC=ZDFB,AB=DC,請(qǐng)補(bǔ)充

一個(gè)條件：，能使用“4AS”的方法得△ACE也△OB足

【變式1-1］（2023秋?句容市月考）如圖，已知/ABC=NOCB,若添加條件,則可由A4S證明△ABC

二△OCB；若添加條件，則可由S4S證明△ABCgZSOCB；若添加條件,貝J可由ASA證

明△/wcg/xoa.

【變式1-2］（2023秋?石獅市校級(jí)期中）如圖，在△ABC和△BD￡4?，點(diǎn)。在邊8。上，邊AC交邊BE于

點(diǎn)尸.若AB=BE,/ABC=NE,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使△ABCgABEQ.

B

C

D

【變式1-3］（2023秋?東臺(tái)市期中）根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一△A8C的是（）

A.AB=6,BC=5,ZA=50°B.ZA=50°,ZB=80°,4C=8

C.AB=5,3c=6,AC=13D.ZA=40°,ZB=50°,ZC=90°

【題型2角角邊判定三角形全等（求角的度數(shù)）】

【例2】（2023秋?南昌期中）如圖，若A8_L8c于點(diǎn)B,AE_LOE于點(diǎn)E,AB=AE,ZACB=ZADE,ZACD

=NAOC=70°,N84O=6（T,則N84E的度數(shù)是.

【變式2-1］（2023秋?黃陂區(qū)期中）如圖，/XABC與△OC8中，AC與BD交于點(diǎn)E,且NA=NO,AB=

【變式2-2］（2023秋?遷安市期中）如圖，在△4BC中，ZA=62°,NA8C=90°,點(diǎn)力在AC上，連接

BD,過點(diǎn)D作ED上BD,垂足為O,使。E=8C,連接BE,若NC=NE.

（1）求證：AB=BD,

（2）若NDBC=34°,求N8FE的度數(shù).

【變式2-3］（2023秋?大武口區(qū)期末）如圖所示，已知△ABC中，點(diǎn)。為BC邊上一點(diǎn)，Z1=Z2=Z3,

AC=AE,

(1)求證：^ABC^AADE；

（2）若AEHBC,且NE=^NCA。，求NC的度數(shù).

【題型3角角邊判定三角形全等（求線段的長(zhǎng)度）】

【例3】（2023秋?合浦縣期中）如圖，點(diǎn)8、F、C、E在一條直線上（點(diǎn)立C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A,

D在BE的異側(cè)，如果測(cè)得AB=DE,AB//DE,AC//DF.若BE=14〃i,BF=5m,則FC的長(zhǎng)度為（）

A.3B.4C.5D.6

【變式3-1］（2023秋?南京期中）如圖，在RtZvlBC中，ZABC=90°,。是C8延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，BD=BA,

DEIAC^E,交AB于點(diǎn)F,若0c=2.6,BF=\,則A/的長(zhǎng)為（）

【變式3-2］（2023秋?隴縣期末）如圖，ABLCD,且A8=CO,CELADE,BFVADF.若CE=6,

BF=3,EF=2,則A。的長(zhǎng)為（）

【變式3?3】（2023秋?喀喇沁旗期末）如圖，在△ABC和△Q8C中,NACB=NDBC=9G0,I是53的中

點(diǎn)，OEJ_A8,垂足為點(diǎn)F,且AB=QE.若BD=8cm,則AC的長(zhǎng)為.

【題型5角角邊判定三角形全等（證明題）】

【例5】（2023秋?西城區(qū)期末）如圖，43〃。。，點(diǎn)七在C8的延長(zhǎng)線上，N4=N￡,AC=ED.

（1）求證：BC=CD；

(2)連接3Q,求證：/ABD=/EBD.

【變式5-1］（2023秋?蘇州期末）如圖，4。，8尸相交于點(diǎn)O,AB//DF,48=。尸，點(diǎn)E與點(diǎn)C在8戶上,

且BE=CF.

（1）求證：△ABCg△。尸E；

（2）求證：點(diǎn)。為B尸的中點(diǎn)..

【變式5-2］（2023秋?寬城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，。、E分別是48、AC上的點(diǎn)，BE、C。交于點(diǎn)F,

AE=AD,Z1=Z2.

（1）求證：AB=AC；

（2）求證：BF=CF.

A

【變式5-3］（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，8。是aABC中AC邊上的中線，過點(diǎn)。作CE〃48,交

BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,產(chǎn)為△48C外一點(diǎn)，連接C/、DF,HDE=DF./ADF=4CDE.求證：

（1）△ABOdCED；

（2）C4平分NBCE

【題型6角角邊判定三角形全等（探究題）】

【例6】（2023秋?呼蘭區(qū)期中）如圖，AD//BC,AB1BC,AB=AD,連接AC,過點(diǎn)。作。E_L4C于區(qū)

過點(diǎn)E作8ELAC于尸.

（1）若N/1B產(chǎn)=63°,求NAOE的度數(shù)；

（2）請(qǐng)直接寫出線段8F、EF、QE三者間的數(shù)量關(guān)系.

【變式6/】（2023春?雁塔區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB=AC,E在線段AC上，。在A3的延長(zhǎng)線上，且有8。

=CE,連。E交8c于凡過E作EG_L8c于G,試判斷/G、BF、CG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【變式6-2］（2023秋?華容縣期末）如圖，已知△A8C中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。為8c邊上一動(dòng)

點(diǎn)（BPVCP）,分別過8、C作8E_LA尸于E,C凡LAP于E

（1）求證：EF=CF-BE.

（2）若點(diǎn)P為8c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其它條件不變，則線段8E、CF、E”是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？

畫圖并直接寫出你的結(jié)論.

【變式6-3］（2023秋?金東區(qū)期中）已知：△ABC的高八。所在直線與高BE所在直線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)產(chǎn)

作FG//BC,交直線A8于點(diǎn)G.

（1）如圖1,若△ABC為銳角三角形，且N44C=45°.

求證：①△8。尸且△AQC：

@FG+DC=AD,

（2）如圖2,若乙48c=135°,直接寫出FG、DC,A。之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

專題4.7角角邊判定三角形全等一重難點(diǎn)題型

【北師大版】

【知質(zhì)最1基本事實(shí)“角角邊丁一（AAS）一】

兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”.

【題型1角角邊判定三角形全等的條件】

【例1】（2023秋?覃塘區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A,B,C,。在同一直線上，NAEC=NDFB,AB

=DC,請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：,能使用“A4S”的方法得AACE絲ADBF.

分析：根據(jù)全等三角形的判定定理添加條件，答案不唯一.

【解答】ft?：VAB=DC,

:.AB+BC=DC+BC,即AC=DB.

在△ACE與△OB/7中，NAEC=NDFB、AC=DB,所以添加/A=NO可以使用“44S”

的方法得△ACE也△QBE

故答案是：ZA=ZD.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方

法有：SSS、SAS.ASA.AAS.HL.

【變式1-1］（2023秋?句容市月考）如圖，已知NA8C=NOC8,若添加條件,則可

由4AS證明若添加條件，則可由SAS證明若

添加條件,則可由AS4證明八人/?。絲八。。?.

D

BC

分析：由于N/1BC=NOCB,再加上公共邊，當(dāng)利用“/US”進(jìn)行判斷時(shí)可加NA=N。；

當(dāng)利用“SAS”進(jìn)行判斷時(shí)可加八8=/5C；當(dāng)利用“人S/1”進(jìn)行判斷時(shí)可加NAC8=N0BC

【解答】解：當(dāng)NA=NO,ZABC=ZDCB,BC=BC,符合A4S定理，即能推出AA8C

冬&DCB,

當(dāng)人8=OC,NABC=NDCB,BC=BC,符合SAS定理，即能推出△/WCgZiOCB,

當(dāng)ZACB=/DBC,ZABC=/DCB,BC=BC,符合AAS定理，即能推出△ABCg/XDCB；

故答案為：ZA=ZD,AB=QC,NACB=/DBC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方

法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已

知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，

則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊.

【變式1-2](2023秋?石獅市校級(jí)期中)如圖，在aABC和△8OE中，點(diǎn)C在邊8D上，邊

AC交邊BE于點(diǎn)E若AB=BE,NABC=ZE,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,

使△ABC絲△8EO.

分析?：根據(jù)全等三角形的判定定理添加條件即可.

【解答】解:添加的條件是：BC=ED,

在△ABC和△BED中，

AB=BE

Z.ABC=乙E,

BC=ED

△ABCqMED(SAS).

添加的條件是：NA=/EBD,

在△48C和△8EO中，

乙4=￡EBD

AB=BE,

JLABC=LE

：.^ABC^/^BED(4SA).

添加的條件是：UACB=UD,

在△ABC和△8￡。中,

^ACB=乙D

Z.ABC=LE?

AB=BE

:.△AB8XBE。（AAS）.

故答案為：BC=OE或NA=NEB?；騈4CB=NO.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理的內(nèi)容是解

此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.

【變式1-3］（2023秋?東臺(tái)市期中）根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一△4BC的是（）

A.AB=6,BC=5,ZA=50°B.ZA=50°,NB=80°,8c=8

C.AB=5,BC=6,AC=\3D.ZA=40°,ZB=50°,ZC=90°

分析：根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可.

【解答】解：4、已知AB、BC和BC的對(duì)角，不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)不符合題

思；

B、已知兩角和一邊，能畫出唯一△4AC,故本選項(xiàng)符合題意；

C、??S8+BC=5+6=11<4C,

???不能畫出△ABC；

故本選項(xiàng)不符合題意；

。、根據(jù)/A=40°,NB=50°,ZC=90°不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、

ASA、AAS,熟練掌握全等二角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【題型2角角邊判定三角形全等（求角的度數(shù)）】

【例2】（2023秋?南昌期中）如圖，若A8_LBC于點(diǎn)B,AE_LOE于點(diǎn)E,AB=AE,ZACB

=ZADE,N4CQ=NAQC=70。,N8AO=6（）°,則NH4E的度數(shù)是.

分析：證明△ABC四△AE。（A4S）,得出N84C=/E4￡）,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可

得出答案.

【解答】解：???AB_L8C,AE±DE,

.\ZB=ZE=90°,

ZB=ZC

在ZVIBC和△4E。中，Z.ACB=Z.ADE，

AB=AE

：.(AAS),

：.ZBAC=ZEAD,

VZACD=ZADC=1^,

/.ZCAD=1800-70c-70°=40°,

AZI3AC=ZBAD-ZCAD=6^-40°=20°,

???N8AE=NB4O+NO4E=NB4D+N84c=80°；

故答案為：80°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；證明三角形全等是

解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2023秋?黃陂區(qū)期中)如圖，ZXABC與△QCB中，AC與BD交于點(diǎn)E,且NA

=ZD,AB=DC,若NAE8=50°,求NEBC的度數(shù)是.

分析：根據(jù)AAS即可推出AABE和△OCE全等，根據(jù)三角形全等得出E8=EC,推出/

EBC=NECB,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出代入求出即可.

【解答】解：???在AABE和△OCE中

Z.A=Z-D

^.AEB=乙DEC，

AB=DC

:.XABE烏XDCE(AAS)：

:?BE=EC,

：?NEBC=NECB,

*/NEBC+/ECB=4E8=50°,

:?/EBC=25°,

故答案為:25°

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)A4s

推出△A8E和△/)CE全等.

【變式2-2](2023秋?遷安市期中)如圖，在△48C中，NA=62°,NABC=90°,點(diǎn)。

在4c上，連接8。，過點(diǎn)。作EO_L3。，垂足為。，使。￡=8C,連接8￡,若NC=N

E.

(1)求證：AB=BD；

(2)若NZ)8C-34°,求N8FE的度數(shù).

分析?：(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出NA=NO8E再根據(jù)AAS證出△A8Cg/\BQ￡,

即可得出AB=BD；

(2)根據(jù)已知條件和△ABCg/XBOE,得出NOBE=62°,再根據(jù)NOBC=34°,求出

Z1FBE的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案.

【解答】解：(1)?.?乙4&;=90°,

，N4+NC=90°，

TEDLBD,

:?/BDE=90°,

VZC=ZE,

???/A=NDBE,

在△ABC和中，

乙4=LDBE

Z.C=Z.E，

DE=BC

：.^ABC^^BDE(AAS),

:.AB=BD；

(2)VZA=62°,ZABC=90°,

AZC=ZE=28°,

VED1BD,

/.ZBDE=90°,

:?NDBE=62°,

???/O8C=34°,

AZFBE=28°,

AZBFE=1800-ZE-ZFBE=180°-28°-28°=124°.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等二角形的判定與性質(zhì)以及二角形的內(nèi)角和定理,關(guān)鍵是根據(jù)AAS

證出

【變式2-3](2023秋?大武口區(qū)期末)如圖所示，已知AA5c中，點(diǎn)。為3C邊上一點(diǎn)，Z

1=N2=N3,AC=AE,

(1)求證：△ABC/Z\AOE；

1

(2)若AE〃4C,且求NC的度數(shù).

分析：(1)由N1=/2=N3,可得N1+NZMC=/QAC+N2,即N8AC=NOAE,又

Z\+ZB=ZADE+Z3,則可得N3=NAQE,已知AC=A￡,即可證得：A^BC^AADE；

(2)由題意可得，Z1ADB=z：ABD=4x,在△A6Z)中，可得x+4x+4x=18(T,解答處即

可；

【解答】解：(1)VZ1=Z2=Z3,

???N1+NQAC=NQAC+N2,即N8AC=ND4￡：,

又???/1+NB=NAOE+N3,則可得NB=NAOE,

在8c和△AOE中

Z.BAC=4DAE

乙R=Z.ADF.,

AC=AE

：.^\ABC^/\ADE(AAS)；

(2),：AE//BC,

.\ZE=Z3,NDAE=NADB,Z2=ZC,

又???/3=/2=/l,令/E=x,

則有：ZDAE=3x+x=4x=ZADB,

又???由(1)得AD=AB,ZE=ZC,

：.NAB/)=4x,

???在△48。中有：x+4x+4x=180°,

.*.x=20°,

AZE=ZC=20°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，判定三角形全等是證明線段或角相

等的重要方式，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

【題型3角角邊判定三角形全等（求線段的長(zhǎng)度）】

【例3】（2023秋?合浦縣期中）如圖，點(diǎn)8、F、C、E在一條直線上（點(diǎn)RC之間不能直

接測(cè)量），點(diǎn)A，。在BE的異側(cè)，如果測(cè)得4B=O6AB//DE,AC//DF.若BE=l4m,

BF=5m,則FC的長(zhǎng)度為（)

A.3B.4C.5D.6

分析：uEA^BC^ADEF（AAS）,得出則8尸=。月=5加，由/C=BE-Bb-

CE即可得出答案.

【解答】解：*：AB//DE,AC//DF,

???NB=N￡NACB=NDFE,

在△ABC和△。底尸中，

NB=Z-E

/-ACB=乙DFE,

AB=DE

:./XABg^DEF（AAS）,

：.BC=EF,

:,BC-FC=EF-FC,

即BF=CE=5m,

：.FC=BE-BF-CE=14-5-5=4（〃？）；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考直了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)；熟練掌握全等三角形

的判定勺性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023秋?南京期中）如圖，在RlZXABC中，N4BC=90°,。是CB延長(zhǎng)線上

的點(diǎn)，BD=BA,DELAC于E,交A8于點(diǎn)F,若OC=2.6,BF=1,則AF的長(zhǎng)為（）

分析：根據(jù)AAS證明AOB/與△A8C全等，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：???。七_(dá)L4C于石，

.*.ZFDB+ZC=90°,

VZA5C=90°,

AZ￡>+Z￡)ra=90o，

：.ZC=ZBFD,

在與△ABC中，

ZC=乙BFD

/-ABC=乙DBF=90%

AB=DB

:.△DBFgAABC（/US）,

:.BF=BC,

VDC=2.6,BF=\,

：,AF=AB-BF=BD-BF=DC-BF-B尸=2.6-1-1=0.6,

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是限據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答.

【變式3-2］（2023秋?隴縣期末）如圖，ABLCD,且AB=CO,CE_LA。于E,8尸_14。于

F.若C七=6,BF=3,EF=2,則A。的長(zhǎng)為（）

A.7B.6C.5D.4

分析?：由“AAS”可證明可得AF=CE=6,BF=DE=3,即可求AO的

長(zhǎng).

【解答】解：^ABICD,CE1AD,BF1AD,

AZA+ZD=90°,ZC+ZD=90°,ZCED=ZAFB=90°,

:.N4=NC,

在AAB/和中，

24=ZC

/-AFB=MED=90°.

AB=CD

:.叢人BF94CDE(AAS)，

.\AF=CE=6,BF=DE=3,

：,AD=AF-EF+DE=6-2+3=7.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABFgACQE是本題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2023秋?喀喇沁旗期末)如圖，在AABC和△OBC中，ZACB=ZDBC=90°,

E是BC的中點(diǎn)，OE_LAB,垂足為點(diǎn)F,且AB=OE.若BD=Scm,則AC的長(zhǎng)為.

,D

cEb

:分E析：由可得,由直角三角形兩銳角互余，可得

OE_LA8,N/E=90°NA8C+NDE8

=90°,由N4C8=90°,由直角三角形兩銳角互余，可得NABC+NA=90°,根據(jù)同

角的余角相等，可得NA=NOEB,然后根據(jù)A/15判斷△ABCgZXEQB,根據(jù)全等三角形

的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到8D=8C,AC=BE,由E是8c的中點(diǎn)，得到8E=2BC=*BD=

4.

【解答】解：???O￡_L48,可得N8F￡=90°,

，/ABC+N/)EB=90°,

???N4CB=90°,

/.ZABC+ZA=90Q,

???ZA=ZDEB,

在△ABC和△ED8中，

ZACB=Z.DBC

Z.A=乙DEB,

AB=DE

.?.△A8d￡OB(/US),

:?BD=BC,AC=BE,

???￡是8c的中點(diǎn)，BD=Scm,

:.BE=*C=28O=4c〃？.

故答案為：4cm

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等一:角形的判定與性質(zhì)，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即

A4S、ASA.SAS、SSS,直角三角形可用”L定理，但AAA、SSA,無法證明三角形全等，

本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目，找準(zhǔn)全等的三角形是解決本題的關(guān)鍵.

【題型4角角邊判定三角形全等(實(shí)際應(yīng)用)】

【例4】(2023秋?柳州期末)王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長(zhǎng)方體小木塊,壘了兩

堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)?個(gè)等腰直角三角板(AC=5C,ZACB=

90°),點(diǎn)C在。石上，點(diǎn)A和8分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離.

分析：根據(jù)題意可得AC=BC,ZACB=90a,ADIDE,BELDE,進(jìn)而得到NADC=

NCEB=90°,再根據(jù)等角的余角相等可得N8C￡=/ZMC,再證明即

可，利用仝等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.

【解答】解：由題意得：AC=BC,ZACB=90°,ADIDE,BEIDE,

：.ZADC=ZCEB=W,

.??N4CD+NBCE=90°,ZACD+ZDAC=90°,

AZBC￡=ZDAC,

在△AOC和△CE8中，

/-ADC=乙CEB

Z.DAC=乙BCE,

UC=BC

：./\ADC^/\CEB(A4S)；

由題意得：AD=EC=6cm,DC=BE=\^cm,

：.DE=DC+CE=2()(cm),

答：兩堵木墻之間的距離為20c7〃.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件.

【變式4-1](2023春?深圳期中)如圖，把一個(gè)長(zhǎng)為10〃?的梯子A8斜靠在墻上，測(cè)得

=6m,梯子沿墻下滑到C。位置，測(cè)得NA8M=NQCM,0M=8/〃，求梯子下滑的高度.

N

分析：由全等三角形的判定定理A4S得到也△DCM,則其對(duì)應(yīng)邊相等：BM=CM,

AM=DM,故AC=DM-BM=2m.

\LAMB=LDMC

【解答】解：???在歷與△OCM中，乙18M=4DCM,

AB=DC

???△A8M絲/XOCM(A4S),

：,BM=CM=6m,AM=DM=Sm,

：.AC=AM-CM=2m.

即梯子下滑的高度是2機(jī).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用.解題時(shí)，巧妙地借助兩個(gè)三角形全等，尋找所

求線段與已知線段之間的等量關(guān)系.

【變式4-2](2023春?嘉定區(qū)期末)如圖，兩車從路段MN的兩端同時(shí)出發(fā)，以相同的速度

行駛，相同時(shí)間后分別到達(dá)A,B兩地，兩車行進(jìn)的路線平行.那么A,B兩地到路段

MN的距離相等嗎？為什么？

分析?：要判斷A,8兩地到路段MN的距離是否相等，可以由條件證明

再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以的得出結(jié)論.

【解答】解：4,8兩地到路段MN的距離相等.

理由：?：AE1MN,BFLMN,

：.ZAFN=ZAEM=9^.

,:AMHBN,

:.NN.

在aAEM和△8/W中，

2REM=Z.BFN

ZM=Z/V，

AM=BN

:.叢AEM@叢BFNCAAS),

:?AE=BF.

???A,8兩地到路段MN的距離相等.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，點(diǎn)到直線的距離的理解，在解答

時(shí)弄清判斷三角形全等的條件是關(guān)鍵.

【變式4-3](2023秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末)如圖，是小朋友蕩秋T?的側(cè)面示意圖，靜止時(shí)秋千

位于鉛垂線上，轉(zhuǎn)軸8到地面的距離8。=25〃.小亮在蕩秋千過程中，當(dāng)秋千擺動(dòng)

到最高點(diǎn)A時(shí)，測(cè)得點(diǎn)A到BD的距離AC=1.5%點(diǎn)A到地面的距離AE=\.5m,當(dāng)他

從A處擺動(dòng)到4'時(shí)，有4'BA.AB.

(I)求?到即的距離；

(2)求A，到地面的距離.

分析：(I)作垂足為F,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可;

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：(I)如圖2,作/垂足為F.

*：ACLBD,

/.ZACB=ZATB=90a;

在中，Zl+Z3=90°；

又???4歸_1_/18,

AZ1+Z2=9O°,

???N2=N3；

在△AC8和△8"，中，

/-ACB=Z-A'FB

z.2=z.3?

MZ?=A'B

(/L4S)；

：.A'F=BC

???AC〃QE且CO_LAC,AELDE,

:.CD=AE=\.5；

：.BC=BD-CD=2.5-1.5=\(w),

???A'F=1Cm),

即A倒BD的距離是Im.

(2)由(1)知：

：.BF=AC=\.5m,

作AH_LO￡,垂足為H.

^A'F/ZDE,

：.A'H=FD,

：.A'H=BD-BF=2.5-1.5=1Un),

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型.

【題型5角角邊判定三角形全等(證明題)】

【例5】(2023秋?西城區(qū)期末)如圖，點(diǎn)￡在。8的延長(zhǎng)線上，ZA=Z￡,AC=

ED.

(1)求證：BC=CD；

(2)連接80,求證：ZABD=ZEBD.

分析：(1)由“A45”可證可得BC=CQ；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)可得/CBQ=NCD8,由平行線的性質(zhì)和平角的性質(zhì)可得結(jié)論.

【解答】證明：(1)7AB//CD,

：.4ABC=/DCE,

在△ABC和△EC。中，

Z.A=乙E

/-ABC=乙DCE,

AC=DE

:.△RBCmXE3CAAS),

:?BC=CD；

(2)如圖，連接8D,

?:BC=CD,

：.ZCBD=ZCDB,

*：A13//CD,

ABD+/68=180°,

又?.?/。8/)+/瓦。=180°,

ZABD=ZEBD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)

鍵.

【變式5-1](2023秋?蘇州期末)如圖，AD,8r相交于點(diǎn)O,AB//DF,AB=DF,點(diǎn)、E與

點(diǎn)C在8廣上，且8E=CE.

(1)求證：△bBgXDFE：

(2)求證：點(diǎn)。為的中點(diǎn).

(2)由“/US”可證△ACOgZXOEO,可得E0=C0,可得結(jié)論.

【解答】證明：(1),：AB//DF,

???N8=N廣，

,/BE=CF.

：.BC=EF,

在△ABC和△。尸E中，

AB=DF

乙B=z.F?

BC=EF

A^ABC^/\DFE(SAS)；

(2)VAABC^ADFE,

：.AC=DE,NACB=/DEF,

在△ACO和△。石0中，

^ACB=Z.DEF

Z.AOC=乙DOE,

AC=DE

.?.△ACO絲△OEO(A4S),

：.EO=CO,

???點(diǎn)。為B/的中點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)

鍵.

【變式5-2](2023秋?寬城區(qū)期中)如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，BE、

CD交于點(diǎn)F,AE=AD,Z1=Z2.

(1)求證：AB=AC；

(2)求證：BF=CF.

A

分析：(1)根據(jù)A4S即可證明△ABE^^AC。，根據(jù)該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)

論；

(2)欲證明BF=C凡只需推知NFBC=NFCB即可.

【解答】(1)證明：在△A8E和△ACO中，

=42

*?*Z.A=Z.A，

AE=AD

:.XABEQXA3(AAS).

：.AB=AC.

(2)方法一：???八8—AC,

:.ZABC=NACB.

VZ1=Z2,

：.ZABC-Z1=ZACS-Z2,^ZFBC=ZFCB.

:?BF=CF.

方法二：可用全等證明

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問

題,屬于中考常考題型.

【變式5-3](2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中)如圖，8。是△A8C中AC邊上的中線，過點(diǎn)C

作CE〃/W,交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,尸為△ABC外一點(diǎn)，連接CT、DF,且DE=DF\

ZADF=ZCDE.求證：

(1)△ABDgACED；

(2)C4平分N6CF.

分析,：(1)由平行線的性質(zhì)得出N48D=NC￡。，NBAD=NDCE,根據(jù)A4S可證明△

ABgACED：

(2)證明△BQCg△尸。C(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出N8CO=NFCD.

【解答】證明：(1)'：CE〃AB,

:./ABD=NCED,ZBAD=ZDCE,

,:BD是AABC中AC邊上的中線，

：.AD=CD,

在△A3。和△CEO中，

NABD=乙CED

乙BAD=乙DCE,

AD=CD

???△A8O/4CED(A4S)；

(2)VAABD^ACED,

:?BD=DE,

又，；DE=DF,

:.BD=DF,

,/ZADF=NCDE,NCDE=NADB,

?，/ADB=NADF,

/.180°-ZADB=180°-ZADF,

：.Z13DC=ZFDC,

在△BOC和△F7X;中，

BD=DF

(BDC="DC,

DC=DC

:.△BDCW4FDC(SAS),

/.NBCD=/卜CD,

???C4平分N8CF

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，角分線的判定，中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型6角角邊判定三角形全等(探究題)】

【例6】(2023秋?呼蘭區(qū)期中)如圖，AD//BC,AB1BC,AB=AD,連接AC,過點(diǎn)。作

DEA.ACE,過點(diǎn)8作8凡LAC于”.

(1)若N/WF=63°,求NAOE的度數(shù)；

(2)請(qǐng)直接寫出線段BMEF、力E三者間的數(shù)量關(guān)系.

分析：(1)證明△人8/0△/“￡：,可得N48F=/D4上，由NA￡7)=90°可求出NAOE

的度數(shù)；

(2)由aAB/絲△D4E可得M=AE,DE=AF,則可得結(jié)論8尸+所=?！?/p>

【解答】(1)證明：'：AD//BC,ABA.BC,

???N48C=NBAO=90°,

VDE±AC,I3F±AC,

：.ZBFA=ZAED=90y,

AZABF+ZBAF=ZBAF+ZDAE=9Q°,

???NABF=NDAE,

,：AB=AD.

???△48年△D4E(AAS),

J/ABF=/DAE,

VZAED=90°,

???NAOE=90°-ZDAE=90°-63°=27°；

(2)解：BF+EF=DE.

XAB0XOAE,

：.BF=AE,DE=AF,

：.AF=DE=AE+EF=BF+EF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角

和定理等知識(shí)，解題佗關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

【變式6-1](2023春?雁塔區(qū)校級(jí)月考)如圖，AB=AC,￡在線段4c上，。在AB的延長(zhǎng)

線上，且有BD=CE,連DE交BC于F,過上作EGA-BC于G,試判斷FG、BF、CG

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

分析：在8c上截取GH=GC,可得△￡〃(?是等腰三角形，進(jìn)而得出/W〃七從再證△

BD04HEF(AAS),通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論.

【解答】解：FG=BF-CG,理由如下：

在4C上截取GH=GC,連接上〃，如圖所示：

VEG1BC,GH=GC,

:?HE=EC,

:?/EHC=/C,

又A8=AC,

ZABC=ZC,

：,ZEHC=ZABC,

:.EH"AB,

:?NDBF=NEHF,ND=NDEH,

■:BD=CE,

：?HE=BD,

在△BQb和△〃￡：?中，

NDBF=乙EHF

ZD=乙DEH,

BD=HE

：?4BD%4HEF(AAS),

:?BF=FH,

/.FG=FH+HG=BF+GC.

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平

分線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【變式6-2］（2023秋?華容縣期末）如圖，已知△人4c中，NB4C=90°,AB=AC,點(diǎn)、P

為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（BPCCP）,分別過B、C作8EL4產(chǎn)于E,CF1APfF.

（1）求證：EF=CF-BE.

（2）若點(diǎn)。為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其它條件不變，則線段BE、CF