浙江專用2025版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.4直線平面平行的判定與性質(zhì)講義含解析

PAGEPAGE24§8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)最新考綱考情考向分析理解空間線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，涉及線線平行、線面平行、面面平行的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容．題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強(qiáng)的推理論證實(shí)力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a?α,l?α))?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β性質(zhì)定理假如兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b概念方法微思索1．一條直線與一個(gè)平面平行，那么它與平面內(nèi)的全部直線都平行嗎？提示不都平行．該平面內(nèi)的直線有兩類，一類與該直線平行，一類與該直線異面．2．一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行嗎？提示平行．可以轉(zhuǎn)化為“一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行”，這就是面面平行的判定定理．題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．(×)(2)平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(×)(3)假如一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(×)(4)假如兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(√)(5)若直線a與平面α內(nèi)多數(shù)條直線平行，則a∥α.(×)(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β.(×)題組二教材改編2．[P58練習(xí)T3]平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α答案D解析若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故解除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故解除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故解除C.故選D.3．[P62A組T3]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________．答案平行解析連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，E為DD1的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.題組三易錯(cuò)自糾4．對(duì)于空間中的兩條直線m，n和一個(gè)平面α，下列命題是真命題的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，n?α，則m∥nC．若m∥α，n⊥α，則m∥n D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n答案D解析對(duì)A，直線m，n可能平行、異面或相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，直線m與n可能平行，也可能異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，m與n垂直而非平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確．5．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)的全部直線中()A．不肯定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在多數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線答案A解析當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)時(shí)，不存在與a平行的直線，故選A.6．設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的條件是______．(填上全部正確的序號(hào))答案②④解析在條件①或條件③中，α∥β或α與β相交；由α∥γ，β∥γ?α∥β，條件②滿意；在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β，④滿意．題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定例1(2024·紹興模擬)如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)M，N分別為A1C1，AB1的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面BB1C1C；(2)若CM⊥MN，求三棱錐M—NAC的體積．(1)證明連接A1B，BC1，點(diǎn)M，N分別為A1C1，A1B的中點(diǎn)，所以MN為△A1BC1的一條中位線，所以MN∥BC1，又MN?平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.(2)解設(shè)點(diǎn)D，E分別為AB，AA1的中點(diǎn)，AA1＝a，連接ND，CD，則CM2＝a2＋1，MN2＝1＋eq\f(a2＋4,4)＝eq\f(a2＋8,4)，CN2＝eq\f(a2,4)＋5＝eq\f(a2＋20,4)，由CM⊥MN，得CM2＋MN2＝CN2，解得a＝eq\r(2)，又NE⊥平面AA1C1C，NE＝1，V三棱錐M—NAC＝V三棱錐N—AMC＝eq\f(1,3)S△AMC·NE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(2)×1＝eq\f(\r(2),3).所以三棱錐M—NAC的體積為eq\f(\r(2),3).命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì)例2在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點(diǎn)，PA＝AB＝1.(1)證明：EF∥平面PDC；(2)求點(diǎn)F到平面PDC的距離．(1)證明取PC的中點(diǎn)M，連接DM，MF，∵M(jìn)，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，∴MF∥CB，MF＝eq\f(1,2)CB，∵E為DA的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，∴DE∥CB，DE＝eq\f(1,2)CB，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四邊形DEFM為平行四邊形，∴EF∥DM，∵EF?平面PDC，DM?平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)解∵EF∥平面PDC，∴點(diǎn)F到平面PDC的距離等于點(diǎn)E到平面PDC的距離．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝eq\r(2)，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PB，則PC＝eq\r(3)，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC為直角三角形，其中PD⊥CD，∴S△PDC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)，連接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，設(shè)E到平面PDC的距離為h，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，AD，PA?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，則eq\f(1,3)×h×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1，∴h＝eq\f(\r(2),4)，∴F到平面PDC的距離為eq\f(\r(2),4).思維升華推斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．跟蹤訓(xùn)練1(2024·崇左聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2，四邊形ABCD滿意BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.點(diǎn)E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PB，PC上的點(diǎn)，且eq\f(PE,PB)＝eq\f(PF,PC)＝λ(λ≠0)．(1)求證：EF∥平面PAD；(2)當(dāng)λ＝eq\f(1,2)時(shí)，求點(diǎn)D到平面AFB的距離．(1)證明∵eq\f(PE,PB)＝eq\f(PF,PC)＝λ(λ≠0)，∴EF∥BC.∵BC∥AD，∴EF∥AD.又EF?平面PAD，AD?平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)解∵λ＝eq\f(1,2)，∴F是PC的中點(diǎn)，在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝eq\r(2)，∴PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(6)，∴PF＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(\r(6),2).∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，PA⊥AC，PA?平面PAC，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又AB⊥AD，BC∥AD，∴BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴在Rt△PBC中，BF＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(\r(6),2).連接BD，DF，設(shè)點(diǎn)D到平面AFB的距離為d，在等腰三角形BAF中，BF＝AF＝eq\f(\r(6),2)，AB＝1，∴S△ABF＝eq\f(\r(5),4)，又S△ABD＝1，點(diǎn)F到平面ABD的距離為1，∴由VF－ABD＝VD－AFB，得eq\f(1,3)×1×1＝eq\f(1,3)×d×eq\f(\r(5),4)，解得d＝eq\f(4\r(5),5)，即點(diǎn)D到平面AFB的距離為eq\f(4\r(5),5).題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1∥AB且A1B1＝AB，∴A1G∥EB，A1G＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.又∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1．在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C，AC1，交于點(diǎn)M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，∵D為BC的中點(diǎn)，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.2．在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)D，D1分別是AC，A1C1上的點(diǎn)，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值．解連接A1B，AB1，交于點(diǎn)O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，則eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1.同理，AD1∥C1D，又AD∥C1D1，所以四邊形ADC1D1是平行四邊形，所以AD＝D1C1，又AC＝A1C1，所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.思維升華證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．跟蹤訓(xùn)練2如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M為棱AE的中點(diǎn)．(1)求證：平面BDM∥平面EFC；(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱錐A－CEF的體積．(1)證明如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)N，則N為AC的中點(diǎn)，連接MN，又M為棱AE的中點(diǎn)，∴MN∥EC.∵M(jìn)N?平面EFC，EC?平面EFC，∴MN∥平面EFC.∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BF∥DE且BF＝DE，∴四邊形BDEF為平行四邊形，∴BD∥EF.∵BD?平面EFC，EF?平面EFC，∴BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，MN，BD?平面BDM，∴平面BDM∥平面EFC.(2)解連接EN，F(xiàn)N.在正方形ABCD中，AC⊥BD，又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.又BF∩BD＝B，BF，BD?平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，又N是AC的中點(diǎn)，∴V三棱錐A－NEF＝V三棱錐C－NEF，∴V三棱錐A－CEF＝2V三棱錐A－NEF＝2×eq\f(1,3)×AN×S△NEF＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\f(2,3)，∴三棱錐A－CEF的體積為eq\f(2,3).題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍．(1)證明∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理可證，CD∥平面EFGH.(2)解設(shè)EF＝x(0<x<4)，∵EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，∴eq\f(CF,CB)＝eq\f(x,4)，則eq\f(FG,6)＝eq\f(BF,BC)＝eq\f(BC－CF,BC)＝1－eq\f(x,4).∴FG＝6－eq\f(3,2)x.∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)l＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋6－\f(3,2)x))＝12－x.又∵0<x<4，∴8<l<12，即四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍是(8,12)．思維升華利用線面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對(duì)于最值問題，常用函數(shù)思想來解決．跟蹤訓(xùn)練3如圖，E是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，過A，C，E三點(diǎn)作平面α與正方體的面相交．(1)畫出平面α與正方體ABCD－A1B1C1D1各面的交線；(2)求證：BD1∥平面α.(1)解如圖，交線即為EC，AC，AE，平面α即為平面AEC.(2)證明連接AC，BD，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，連接EO，∵四邊形ABCD為正方形，∴O是BD的中點(diǎn)，又E為DD1的中點(diǎn)．∴OE∥BD1，又OE?平面α，BD1?平面α.∴BD1∥平面α.1．(2024·溫州模擬)已知α，β為兩個(gè)不同的平面，直線l?α，那么“l(fā)∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析若l∥β，且l?α，則α，β相交或平行，故l∥β且l?αD?/α∥β，而α∥β且l?α?l∥β，所以“l(fā)∥β”是“α∥β”的必要不充分條件，故選B.2．已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是()A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線D．若m，n不平行，則m與n不行能垂直于同一平面答案D解析A項(xiàng)，α，β可能相交，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，若m?α，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以原命題正確，故D項(xiàng)正確．3.如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能答案B解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵平面A1B1EC∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.4．(2024·臺(tái)州模擬)若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有()A．0條 B．1條C．2條 D．0條或2條答案C解析如圖設(shè)平面α截三棱錐所得的四邊形EFGH是平行四邊形，則EF∥GH，EF?平面BCD，GH?平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，則EF∥CD，EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，則CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以該三棱錐與平面α平行的棱有2條，故選C.5．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下列給出的條件中肯定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m?α B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β答案C解析由線面垂直的判定定理，可知C正確．6．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項(xiàng)，作如圖①所示的協(xié)助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交；B項(xiàng)，作如圖②所示的協(xié)助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；C項(xiàng)，作如圖③所示的協(xié)助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D項(xiàng)，作如圖④所示的協(xié)助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A.7．(2024·杭州模擬)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.其中是真命題的是________．(填序號(hào))答案②解析①m∥n或m，n異面，故①錯(cuò)誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯(cuò)誤；④α∥β或α與β相交，故④錯(cuò)誤．8．棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點(diǎn)，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積是________．答案eq\f(9,2)解析由面面平行的性質(zhì)知截面與面AB1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求其面積為eq\f(9,2).9.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度為________．答案eq\r(2)解析在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2eq\r(2).又E為AD中點(diǎn)，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F為DC中點(diǎn)，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).10．(2024·金華模擬)如圖所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿意條件______時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能狀況)答案點(diǎn)M在線段FH上(或點(diǎn)M與點(diǎn)H重合)解析連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.11.如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明：B1D1∥l.證明(1)由題設(shè)知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因?yàn)锳1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因?yàn)锽D∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以直線l∥直線BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.12．(2024·紹興模擬)如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝2eq\r(3)，且△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，G為△PAD的重心．(1)求證：GF∥平面PDC；(2)求三棱錐G—PCD的體積．(1)證明連接AG并延長(zhǎng)交PD于點(diǎn)H，連接CH.由梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2DC知，eq\f(AF,FC)＝eq\f(2,1).又E為AD的中點(diǎn)，G為△PAD的重心，∴eq\f(AG,GH)＝eq\f(2,1).在△AHC中，eq\f(AG,GH)＝eq\f(AF,FC)＝eq\f(2,1)，故GF∥HC.又HC?平面PCD，GF?平面PCD，∴GF∥平面PDC.(2)解方法一由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，知PE⊥AD，BE⊥AD，又∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，且PE＝3，由(1)知GF∥平面PDC，∴V三棱錐G—PCD＝V三棱錐F—PCD＝V三棱錐P—CDF＝eq\f(1,3)×PE×S△CDF.又由梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2DC＝2eq\r(3)，知DF＝eq\f(1,3)BD＝eq\f(2\r(3),3)，又△ABD為正三角形，得∠CDF＝∠ABD＝60°，∴S△CDF＝eq\f(1,2)×CD×DF×sin∠BDC＝eq\f(\r(3),2)，得V三棱錐P—CDF＝eq\f(1,3)×PE×S△CDF＝eq\f(\r(3),2)，∴三棱錐G—PCD的體積為eq\f(\r(3),2).方法二由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，知PE⊥AD，BE⊥AD，又∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，且PE＝3，連接CE，∵PG＝eq\f(2,3)PE，∴V三棱錐G—PCD＝eq\f(2,3)V三棱錐E—PCD＝eq\f(2,3)V三棱錐P—CDE＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×PE×S△CDE，又△ABD為正三角形，得∠EDC＝120°，得S△CDE＝eq\f(1,2)×CD×DE×sin∠EDC＝eq\f(3\r(3),4).∴V三棱錐G—PCD＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×PE×S△CDE＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×3×eq\f(3\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2)，∴三棱錐G—PCD的體積為eq\f(\r(3),2).13.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)是線段B1D1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝eq\f(\r(2),2)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．AC⊥BFB．三棱錐A－BEF的體積為定值C．EF∥平面ABCDD．異面直線AE，BF所成的角為定值答案D解析∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，易證AC⊥平面BDD1B1，∵BF?平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，∵E，F(xiàn)，B在平面BDD1B1上，∴A到平面BEF的距離為定值，∵EF＝eq\f(\r(2),2)，B到直線EF的距離為1，∴△BEF的面積為定值，∴三棱錐A－BEF的體積為定值，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，∵EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，異面直線AE，BF所成的角不為定值，令上底面中心為O，當(dāng)F與B1重合時(shí)，E與O重合，易知兩異面直線所成的角是∠A1AO，當(dāng)E與D1重合時(shí)，點(diǎn)F與O重合，連接BC1，易知兩異面直線所成的角是∠OBC1，可知這兩個(gè)角不相等，故異面直線AE，BF所成的角不為定值，故D錯(cuò)誤．14.如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分別在AD1，BC上移動(dòng)，始終保持MN∥平面DCC1D1，設(shè)BN＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()答案C解析過M作MQ∥DD1，交AD于點(diǎn)Q，連接QN.∵M(jìn)Q?平面DCC1D1，DD1?平面DCC1D1，∴MQ∥平面DCC1D1，∵M(jìn)N∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD與平面MNQ和DCC1D1分別交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵eq\f(MQ,AQ)＝eq\f(DD1,AD)＝2，∴MQ＝2x.在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，∴函數(shù)y＝f(x)的圖象為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線上支的一部分．故選C.15.如圖，在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝10，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于D，E，F(xiàn)，H，且D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，假如直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為()A.eq\f(45,2) B.eq\f(45\r(3),2)C．15 D．45eq\r(3)答案C解析取AC的中點(diǎn)G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，SG，BG?平面SGB，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因?yàn)镾B∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，則SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，則H，F(xiàn)也為AS，SC的中點(diǎn)，從而得HF∥AC且HF＝eq\f(1,2)AC，DE∥AC且DE＝eq\f(1,2)AC，所以HF∥DE且HF＝DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．因?yàn)锳C⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))＝15.16.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AC與BD相交于點(diǎn)O，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝3，三棱錐P－ACD的體積為9.(1)求AD的值；(2)過點(diǎn)O的平面α平行于平面PAB，平面α與棱BC，AD，PD，PC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，求截面EFGH的周長(zhǎng)．解(1)在