2025秋 高考總復(fù)習(xí)核按鈕 數(shù)學(xué) 廣東專用 課件01-10.1 兩個計數(shù)原理、排列與組合

第十章

計數(shù)原理與概率10.1

兩個計數(shù)原理、排列與組合課程標準必備知識自主評價核心考點課外閱讀課時作業(yè)

1.通過實例,了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.

2.通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.【教材梳理】

順序

（2）排列數(shù).定義及表示全排列的概念階乘的概念

定義及表示組合數(shù)公式乘積式階乘式兩個性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2組合組合數(shù)

常用結(jié)論

1.解排列組合問題基本策略

（1）相鄰問題捆綁策略,不相鄰問題插空策略.

（2）多排問題單排策略,定位問題優(yōu)先策略.

（3）定序問題消序策略,有序分配分步策略.

（4）多元問題分類策略,交叉問題集合策略.

（5）至少（至多）問題間接策略,選排問題先取后排.

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”，錯誤的畫“×”.（1）在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(

)√（2）在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.(

)×（3）所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.(

)×

×

×2.某校在藝術(shù)節(jié)期間需要舉辦一場文娛演出晚會，現(xiàn)要從3名教師、4名男學(xué)生和5名女學(xué)生中選出若干人來主持這場晚會（任一人都可主持）.若需要教師、學(xué)生各一人共同主持，則不同的選法有(

)A.12種

B.15種

C.27種

D.30種

√

√√√4.（教材題改編）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中比4

000大的偶數(shù)共有____個.18

考點一

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

13

ABCDA.48種

B.72種

C.96種

D.192種

√【點撥】解答計數(shù)應(yīng)用問題的總體思路是先分類再分步,注意以下計數(shù)方法的應(yīng)用.①枚舉法,將各種情況一一列舉出來.②轉(zhuǎn)換法,轉(zhuǎn)換問題的角度或轉(zhuǎn)換成其他已知問題.③間接法,先計算其反面情形，再用總數(shù)減去即可.變式1（1）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人分別從A，B，C，D四個旅游景點中任選一個前去游玩，其中甲到過景點A，所以甲不選景點A，則不同的選法有(

)A.64種

B.48種

C.36種

D.24種

√（2）用3種不同顏色給如圖所示的4塊區(qū)域A，B，C，D涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使用不同顏色，則不同的涂色方法有(

)A.14種

B.16種

C.20種

D.18種

√考點二

排列、組合的基本問題例2

【多選題】某學(xué)院學(xué)生會的3名男生和2名女生在社區(qū)參加志愿者活動，結(jié)束后這5名同學(xué)排成一排合影留念.下列說法正確的是(

)A.若讓其中的男生甲排在兩端，則這5名同學(xué)共有24種不同的排法B.若要求其中的2名女生相鄰，則這5名同學(xué)共有48種不同的排法C.若要求其中的2名女生不相鄰，則這5名同學(xué)共有72種不同的排法D.若要求其中的1名男生排在中間，則這5名同學(xué)共有72種不同的排法√√√

【點撥】

有約束條件的排列問題，一般有以下幾種基本類型與方法：①特殊元素優(yōu)先考慮；②對于相鄰問題采用“捆綁法”，整體參與排序后，再考慮“捆綁”部分的排序；③對于不相鄰問題，采用“插空”法，先排其他元素，再將不相鄰元素插入空檔.組合問題的兩種基本題型及解法.題型解法“含有”或“不含有”某些元素的組合“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取“至少”或“至多”含有幾個元素的組合解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復(fù)與漏解.用直接法分類復(fù)雜時，通?？紤]逆向思維，用間接法處理變式2

【多選題】為響應(yīng)政府部門號召，某紅十字會安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，B，C三地參加健康教育工作.下列說法正確的是(

)A.不同的安排方法共有64種B.若恰有一地?zé)o人去，則不同的安排方法共有42種C.若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有12種D.若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有14種√√√

考點三

排列、組合的綜合問題命題角度1

定序問題

A.2

280個

B.2

120個

C.1

440個

D.720個√

變式3

某班10名同學(xué)一起參加數(shù)學(xué)競賽，賽后老師為這10名同學(xué)拍合影留念，前排站4人后排站6人，后來老師決定從后排6人中抽出兩名同學(xué)站到前排，其他同學(xué)的相對順序不變，則調(diào)整方法有(

)A.150種

B.300種

C.450種

D.225種

√命題角度2

分組分配問題例4

【多選題】下列說法正確的有(

)A.將6本不同的書分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有60種不同的分法B.將6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有90種不同的分法C.將6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有360種不同的分法D.將6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10種不同的分法√√

變式4

【多選題】下列說法正確的有(

)A.將6個不同的小球放入2個不同的盒子中，有64種不同的放法B.將6個不同的小球放入3個相同的盒子中，每盒2個，有90種不同的放法C.將6個不同的小球放入3個不同的盒子中，每盒至少1個，有360種不同的放法D.將6個相同的小球分給甲、乙、丙三人，每人至少一球，有10種不同的分法

√√命題角度3

有條件限制的選派問題例5

【多選題】某班有60名學(xué)生，其中正、副班長各1人，現(xiàn)要選派5人參加一項社區(qū)活動，要求正、副班長至少有1人參加，則不同的選派方法有(

)

√√√

【點撥】常見的“在”與“不在”有限制條件的排列問題,就是典型的特殊元素或特殊位置問題，解題原則是誰“特殊”誰優(yōu)先.一是以元素為主解題，二是以位置為主解題，三是用間接法解題.變式5

（2023年全國甲卷）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有

(

)A.120種

B.60種

C.30種

D.20種

√課外閱讀·計數(shù)原理中的創(chuàng)新探究問題

計數(shù)原理中的創(chuàng)新探究問題，是近年高考中的熱點問題.這類問題情境新穎，著重考查學(xué)生的運算求解能力、邏輯推理能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力.解決這類問題，除了推理嚴謹、計算準確外，還要注意利用題目可能具備的開放性，從不同角度分析問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這常常能減少一些不必要的討論.

1121314012223342132233431524344424112

1110223232335444進一步觀察發(fā)現(xiàn)，每行數(shù)的個位數(shù)字，都有3個數(shù)字相同.因此，還可以進一步簡化表格，如下.00000100001000

256

【鞏固強化】

A.120

B.160

C.180

D.240

√

A.6種

B.16種

C.18種

D.20種

√

A.240種

B.120種

C.96種

D.60種

√4.（2023年全國乙卷）甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有(

)A.30種

B.60種

C.120種

D.240種

√5.現(xiàn)有4名同學(xué)站成一排，將甲、乙2名同學(xué)加入排列,若保持原來4名同學(xué)的順序不變，則不同的排法共有(

)A.10種

B.20種

C.30種

D.60種

√6.【多選題】亞運會期間,小明、小紅、小兵3名志愿者被安排到甲、乙、丙、丁四個場館進行服務(wù).每名志愿者只能選擇一個場館，且允許多人選擇同一個場館.下列說法正確的有(

)

√√√

7.已知3個人坐在有8個座位的一排椅子上.若每個人的左右兩邊都要有空位，則不同的坐法有____種.24

8.（2023年新課標Ⅰ卷）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有____種.（用數(shù)字作答）64

9.某小組共有6名學(xué)生，其中女生2名，男生4名.（1）將這6名學(xué)生排成一排，則女生不相鄰的排法有多少種？（2）從這6名學(xué)生中選3人參加某公益活動.①共有多少種不同的選派方法？②若至少有1位女生入選，則有多少種不同的選派方法？

【綜合運用】

A.3個

B.4個

C.6個

D.8個【解】以1為首項的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9；以2為首項的等比數(shù)列為2，4，8；以4為首項的等比數(shù)列為4，6，9.把這4個數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個數(shù)列.所以所求的數(shù)列共有8個.故選D.√

A.150種

B.180種

C.210種

D.240種

√12.【多選題】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)和五位數(shù).下列說法正確的是(

)A.可組成360個四位數(shù)B.可組成216個是5的倍數(shù)的五位數(shù)C.可組成270個比1

325大的四位數(shù)D.若將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排列，則第85個數(shù)為2

301√√√

96