高考總復(fù)習(xí)核按鈕 數(shù)學(xué) 綜合教案 第三章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（教用）

第1頁(yè)第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1導(dǎo)數(shù)的概念、意義及運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.通過(guò)實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想.2.體會(huì)極限思想.3.通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.4.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x2，5.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(限于形如f(ax6.會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.導(dǎo)數(shù)的概念及其意義（1）函數(shù)的平均變化率:對(duì)于函數(shù)y=f(x)，我們把比值ΔyΔx=（2）導(dǎo)數(shù)的概念:如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率ΔyΔx無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即ΔyΔx有極限，則稱(chēng)y=f(x)在x=x0（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線(xiàn)y=f(（4）導(dǎo)函數(shù)的概念:當(dāng)x=x0時(shí)，f'(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)，這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y=f'(x2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(xf'(xf(xf'(x)=f(f'(x)=f(f'(x)=f(xf'(x)=f(f'(x)=f(xf'(x)=f(f'(x)=（2）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.名稱(chēng)法則和差[f(x積[f(x)特別地，[cf商[f(x)g（3）簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為常用結(jié)論1.導(dǎo)數(shù)的兩條性質(zhì)（1）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).（2）可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)，若f'(x)為增函數(shù)2.幾類(lèi)重要的切線(xiàn)方程（1）直線(xiàn)y=x-1是曲線(xiàn)y=lnx的切線(xiàn)，直線(xiàn)y=x是曲線(xiàn)y=ln(圖1（2）直線(xiàn)y=x+1與y圖2（3）直線(xiàn)y=x是曲線(xiàn)y=sinx圖3（4）直線(xiàn)y=x-1是曲線(xiàn)y=x圖4由以上切線(xiàn)方程又可得重要不等式，如lnx≤x-自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）f'(x0)與[f（2）函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在區(qū)間[x0（3）曲線(xiàn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn).（）（4）與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)一定是曲線(xiàn)的切線(xiàn).（）（5）函數(shù)f(x)=sin(-x)的導(dǎo)數(shù)是【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×（5）×2．（教材題改編）函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則四個(gè)數(shù)值0，f'(1),A.0 B.f'(1) C.【答案】D【解】f'(3)>f'(3．曲線(xiàn)y=xx-3A.y=-3x+4 B.y【答案】A【解】因?yàn)閥'=1×(x-3)-x×1(x-34．【多選題】下列函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算中，正確的是（）A.(x2C.(lnx【答案】ABD【解】對(duì)于A，(x2+3ex對(duì)于B，(2sinx-3)'=(對(duì)于C，(lnxx)'=1x對(duì)于D，(xcosx)'=x'cosx+x?(cos核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一求導(dǎo)運(yùn)算例1（1）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：①y=②y=③y=sin④y=⑤y=（2）設(shè)函數(shù)f(x)=x(x+A.0 B.-1 C.3 D.【答案】①【解】y'=(=(3=3=(ln3②y'=③y=2④y=1⑤因?yàn)?tanx)'=(sin（2）B【解析】（2）【解】因?yàn)閒(x)=x?(x+k)(x+2k)(x【點(diǎn)撥】一般對(duì)函數(shù)式先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)，常用求導(dǎo)技巧有以下幾種.①連乘積形式,先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo).②分式形式,觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo).③對(duì)數(shù)形式,先化為和、差的形式，再求導(dǎo).④根式形式,先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo).⑤三角形式,先利用公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再求導(dǎo).⑥復(fù)合函數(shù),確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)，層層求導(dǎo).變式1．（1）已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿(mǎn)足A.-e B.-1 C.1 D.（2）已知f(x)=ln(3x+a)，若f'(0)=1，則a=_【答案】（1）B（2）3【解析】（1）【解】f'(x)=2f'(1)+1x.將x=1代入（2）【解】f'(x)=33x+a，所以考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題角度1求切線(xiàn)方程例2（1）[2023年全國(guó)甲卷]曲線(xiàn)y=exx+1在點(diǎn)A.y=e4x B.y（2）已知函數(shù)f(x)=xlnx，若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(0,-1)，且與曲線(xiàn)y=f(x)相切，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_____【答案】（1）C（2）x【解析】（1）【解】y'=xex(x+1)2.所以k=（2）【解】f'(x)=1+lnx.易知點(diǎn)(0,-1)不在曲線(xiàn)y=f(x)上.設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)．則直線(xiàn)l的方程為【點(diǎn)撥】如果已知點(diǎn)(x1,y1)不在曲線(xiàn)上，那么設(shè)出切點(diǎn)(x0,變式2．（1）[2024年全國(guó)甲卷]設(shè)函數(shù)f(x)=ex+2A.16 B.13 C.1（2）曲線(xiàn)y=ex-1+x的一條切線(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則該切線(xiàn)方程為_(kāi)_____【答案】（1）A（2）y【解析】（1）【解】f'(x)=(ex+2cosx)(1+x2)-(ex+2sinx)?2x（2）【解】y'=ex-1+1，設(shè)切點(diǎn)為(x0,ex0-1+x0)，則切線(xiàn)方程為y命題角度2根據(jù)切線(xiàn)情況求參數(shù)例3已知曲線(xiàn)y=ax2+lnxx在點(diǎn)A.e-1 B.-2 C.0【答案】B【解】y'=易知2a+1所以a+b=-2.【點(diǎn)撥】處理與切線(xiàn)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常利用曲線(xiàn)、切線(xiàn)、切點(diǎn)之間的關(guān)系，列出參數(shù)的方程（組），并解出參數(shù):①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線(xiàn)的斜率;②切點(diǎn)在切線(xiàn)上，故滿(mǎn)足切線(xiàn)方程;③切點(diǎn)在曲線(xiàn)上，故滿(mǎn)足曲線(xiàn)方程.變式3．（1）已知曲線(xiàn)y=x+1klnx在點(diǎn)(A.1 B.2 C.-1 D.（2）[2022年新課標(biāo)Ⅰ卷]若曲線(xiàn)y=(x+a)ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)，則a的取值范圍是________________【答案】（1）A（2）(-∞,-【解析】（1）【解】y'=1+1kx,則y'|x（2）【解】因?yàn)閥=(x+a)ex，所以y'=(x+1+a)ex.設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則y0=(x0+a)ex0,切線(xiàn)斜率k=(x0+1+a)ex0,切線(xiàn)方程為y考點(diǎn)三兩曲線(xiàn)的公切線(xiàn)問(wèn)題例4已知曲線(xiàn)f(x)=x3+ax+14在x=0處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)g(x)=-lnx相切，則a的值為_(kāi)__【答案】-e【解】f'(因?yàn)閒'(0)=a，f(0)=14，設(shè)直線(xiàn)y=ax+14與曲線(xiàn)因?yàn)間'(所以-lnx將②代入①,得lnx0=3所以a=-1e3【點(diǎn)撥】①公切線(xiàn)常有共點(diǎn)切線(xiàn)和不共點(diǎn)切線(xiàn)兩類(lèi).②處理與公切線(xiàn)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常根據(jù)曲線(xiàn)、切線(xiàn)、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程（組）并解出參數(shù)，建立方程（組）的主要依據(jù)是：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線(xiàn)的斜率，切點(diǎn)在切線(xiàn)上，切點(diǎn)在曲線(xiàn)上.變式4．[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]若曲線(xiàn)y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)y=ln(x+1)+a的切線(xiàn)，則a=_【答案】ln2【解】由y=ex+x，得y'=由y=ln(x+1令y'=1x0所以切點(diǎn)為(-12,代入切線(xiàn)方程，得a+ln12=-1+1=考教銜接·牛頓法【教材溯源】人教A版選擇性必修第二冊(cè)第82頁(yè)探究與發(fā)現(xiàn).【總結(jié)延伸】牛頓法是一種利用迭代思想求高次代數(shù)方程近似解的方法.xn(n∈N)是方程f(x例題牛頓法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種用導(dǎo)數(shù)求方程近似解的方法，其過(guò)程如下：如圖，設(shè)r是方程f(x)=0的根，選取x0作為r的初始近似值，過(guò)點(diǎn)(x0,f(x0))作曲線(xiàn)y=f(x)的切線(xiàn)L，L的方程為y=f(x0)+f'(x0)(x-x0).如果f'(x0)≠0，那么L與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為x1，稱(chēng)x1為r的一階近似值．再過(guò)點(diǎn)(x1,f(x1))作曲線(xiàn)y=f(x)的切線(xiàn)，并求出切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為x2，稱(chēng)x2為r的二階近似值．重復(fù)以上過(guò)程，得r的近似值序列x1，x2【答案】1+ln【解】求導(dǎo)，得f'(x)=1+1x.依題意，得x1同理，x2=x1(1-lnx1)x變式．牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法．如圖，方程f(x)=0的根就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)r，取初始值x0，f(x)的圖象在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，f(x)的圖象在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，一直繼續(xù)下去，得到x1，x2【答案】34【解】f'(x)=2x+b，f'(2)=4+b由題意，得切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1619，0)，則-(4+2b)=(4課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A.(x2027C.(sinx)'=cos【答案】D【解】(tanx)'=(sinxcosx)'=cos2．函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，f'(xA.2f'(3C.f(5【答案】A【解】由題圖，知f'(3)<f(5)-f3．曲線(xiàn)y=ln(2x)在點(diǎn)(12A.2x-yC.2x-y【答案】B【解】由題意，知y'=1x，故曲線(xiàn)y=ln(2x)在點(diǎn)(12，0)處的切線(xiàn)的斜率為k=24．已知直線(xiàn)y=ex-2是曲線(xiàn)A.(1e，-1) B.(e,1)【答案】A【解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,lnt).因?yàn)?lnx)'=1x，所以曲線(xiàn)y=lnx在點(diǎn)(t,lnt)處的切線(xiàn)的斜率為1t，切線(xiàn)方程為y-lnt=15．已知曲線(xiàn)f(x)=asinx+cosx在點(diǎn)A.1 B.2 C.-1 D.【答案】C【解】f'(曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)斜率為k=f'(06．若一直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=lnx和曲線(xiàn)x2=ay(aA.2e B.3e C.3【答案】A【解】設(shè)P(x1,y1).函數(shù)y=lnx曲線(xiàn)y=lnx在x=x1處的切線(xiàn)方程為同理,曲線(xiàn)y=x2a在x由題意，知2x1a=1x1,7．【多選題】若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象關(guān)于A.f(x)=3cosx【答案】BC【解】對(duì)于A，f'(x)=-3sinx為奇函數(shù)，圖象不關(guān)于對(duì)于B，f'(x)=3x2+1為偶函數(shù)對(duì)于C，f'(x)=1-1x2為偶函數(shù)對(duì)于D，f'(x)=ex+1不是偶函數(shù)，故選BC.8．[2022年新課標(biāo)Ⅱ卷]曲線(xiàn)y=ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的方程為_(kāi)_______，________【答案】y=1e【解】當(dāng)x>0時(shí)，y=lnx.設(shè)切點(diǎn)為(x0,lnx0)又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-lnx0=-1，解得x0=e.由對(duì)稱(chēng)性，可知當(dāng)x<0時(shí)，過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y=-1ex9．已知函數(shù)f(（1）求曲線(xiàn)y=f(（2）直線(xiàn)l為曲線(xiàn)y=f(【解】（1）f'(x)=3所以切線(xiàn)方程為y+6=（2）設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03所以切線(xiàn)方程為y-(因?yàn)榍芯€(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以-(x所以2x03=-所以f'(-所以所求的切線(xiàn)方程為y=13x，切點(diǎn)為【綜合運(yùn)用】10．已知f(x)=eax-1A.y=0 B.y=x【答案】C【解】因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以(eax-1)(eax-e所以eax-e2x=0，即eax所以f'(x)=ex+可知切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，切線(xiàn)斜率為2，所以切線(xiàn)方程為y=11．若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線(xiàn)A.b>a>0C.0<a【答案】B【解】設(shè)切點(diǎn)為(x0,y'=1+1x2(x>0)由題意，得--2a-b>0,Δ>0,12．【多選題】已知直線(xiàn)l與曲線(xiàn)f(x)=lnx+A.3x-yC.4x-y【答案】ACD【解】f'(x)=1x+2x≥22，當(dāng)且僅當(dāng)1x=2x，即x=22時(shí),等號(hào)成立.所以切線(xiàn)l的斜率kl≥22.易知A13．已知點(diǎn)P在函數(shù)f(x)=e2x+x+9的圖象上，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l:3x-y-10=0的距離的最小值為_(kāi)【答案】210【解】f'(設(shè)P(x0,y0)在f(x)令f'(x0)=所以P(0,10).點(diǎn)P(0故填21014．設(shè)函數(shù)f(x)=ax-bx（1）求f(x（2）證明：曲線(xiàn)y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)【解】（1）切線(xiàn)方程7x-4y-12=0可化為y=74x-3故f(（2）證明：設(shè)P(x0由y'=1+3x2y-(令x=0，得所以切線(xiàn)與直線(xiàn)x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0令y=x，得所以切線(xiàn)與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以點(diǎn)P(x0,y0)所以曲線(xiàn)y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)【拓廣探索】15．已知函數(shù)f(x)=x2+alnx有兩條與直線(xiàn)y=2x平行的切線(xiàn)，且切點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(x1,f(x1))，Q(x2,f(x2))，則x1x2x1+x2的取值范圍是【答案】(0【解】由題意，知f(x)所以x1，x因?yàn)閮蓷l切線(xiàn)與直線(xiàn)y=2x所以2x1+a所以x1，x2是方程2x所以Δ=(-2)2又x1+x2=1，所以x13.2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)，能求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f(x第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f'(x)第3步，用f'(x)的零點(diǎn)將f(x)3.函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較快，這時(shí)函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)的圖象就比較“平緩”.常用結(jié)論根據(jù)單調(diào)性確定參數(shù)（1）若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增（減），則f'(（2）若f(x)在區(qū)間I上存在單調(diào)遞增（減）區(qū)間，則f'(自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）若函數(shù)f(x)在(a,b（2）若函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0（3）在(a,b)內(nèi),f'(x)≤0且f'(（4）函數(shù)f(x)=x-lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,（5）函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×（5）×2．（教材題改編）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f'(xA. B.C. D.【答案】C【解】由函數(shù)圖象，可知當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，此時(shí)f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,4)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，此時(shí)f'(x)>0；當(dāng)x3．函數(shù)f(x)=(A.(-∞,0)C.(-∞,-3)和(【答案】D【解】f'(由f'(x)>0，得f'(x)=(3-2x-x2)ex>4．已知函數(shù)g(x)=13x3-a2x2+2x+1，若g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,-【答案】-3【解】易知x1=-2，x2=-1是方程g'(x)=x核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一不含參函數(shù)的單調(diào)性例1函數(shù)f(x)=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)________________【答案】(0,【解】因?yàn)閒(x)=xlnx，f'(令f'(x)<0，解得0所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，(1【點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要在定義域內(nèi)討論，還要注意導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).變式1．（1）函數(shù)f(x)=x-lnx2的單調(diào)遞增區(qū)間是____________________（2）已知函數(shù)f(x)=xsinx【答案】（1）(-∞,0)，（1）【解】由題意，知f(x)=x-lnx2的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞).f'(x)=1-2x=x-2x.令（2）【解】f'(令f'(x)=0，得x當(dāng)0<x<π2或3π2<x所以f(x)在(0,π2)，(3π2，2π)上單調(diào)遞增，在(π2,3π2)上單調(diào)遞減.所以考點(diǎn)二含參函數(shù)的單調(diào)性例2[2021年新課標(biāo)Ⅱ卷節(jié)選]已知函數(shù)f(x)=(x【解】由題意，得f'(當(dāng)a≤0時(shí),若x∈(-∞,0),則若x∈(0,+∞),則f'(當(dāng)0<a<12時(shí),若x∈(-∞,ln(2a若x∈(ln(2a),0),則若x∈(0,+∞),則f'(當(dāng)a=12時(shí),f'(x)≥0當(dāng)a>12時(shí),若x∈(-∞,0),若x∈(0,ln(2a)),則若x∈(ln(2a),+∞),則f'(綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<12時(shí)，f(x)在(-∞,ln(2a))和(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(ln(2a),0)【點(diǎn)撥】分類(lèi)依據(jù)主要有：最高次冪系數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，變號(hào)零點(diǎn)與定義域或指定區(qū)間的關(guān)系，變號(hào)零點(diǎn)之間的大小關(guān)系.注意討論完對(duì)結(jié)果進(jìn)行綜述.變式2．（1）設(shè)函數(shù)f(x)=x3+a（2）已知函數(shù)f(x)=2lnx-(【答案】（1）【解】f'(令f'(x)=0，解得x若a>0，則a3>-a.當(dāng)x∈(-∞,-a)和(a3,+∞)時(shí)，f'(x若a=0，則f'(x)≥0恒成立，若a<0，則a3<-a.當(dāng)x∈(-∞,a3)和(-a,+∞)時(shí)，f'(x綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(-∞,-a)和(a當(dāng)a=0時(shí)，f(x)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(-∞,a3)和(-（2）【解】f(x)①當(dāng)a≤-1時(shí)，f'(x)>0恒成立，②當(dāng)a>-1時(shí)，由f'(x)>0，解得0所以f(x)在(0，1a+綜上，當(dāng)a≤-1時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>-1時(shí)，f(考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1求參數(shù)的范圍（值）例3（1）若函數(shù)f(x)=ln(ax+1)+1-x1+x(x≥0,a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞)，則a的取值集合是___（2）若函數(shù)f(x)=ln(ax+1)+1-x1+x(x≥0,a>0)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是_【答案】（1）{（2）[【解析】（1）【解】（方法一）f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞)，即f(x)僅在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.f'(x)=aax+1-2(1+x)2=ax2+a-2(ax+1)(1+x)2.令f'(x)≥0，即ax2+a-2≥0，所以x2≥2-aa.若2-aa≤0（2）【解】f'(x)=aax+1-2(x+1)2=ax2+a-2(ax+1【點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路如下.①利用集合間的包含關(guān)系處理.y=f(x)在(a,b)上單調(diào)，則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集變式3．（1）已知函數(shù)f(x)=lnx+x2+bxA.3 B.-6 C.6 D.（2）[2023年新課標(biāo)Ⅱ卷]已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間A.e2 B.e C.e-【答案】（1）D（2）C【解析】（1）【解】f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f'(x)=1x+2x+b.因?yàn)閒(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(12，1)，所以1x+2x+b<0,（2）【解】由題意，知f'(x)=aex-1x≥0在(1,2)上恒成立，即a≥(1xex)max.命題角度2比較大小及解不等式例4已知函數(shù)f(x)=2x+e-x-ex，a=fA.c<b<a B.b【答案】D【解】f'(x)=2-e-x-ex=2-(e-因?yàn)?0.3>20=1，0因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞減，所以f(20.3)<f【點(diǎn)撥】①利用導(dǎo)數(shù)比較大小,有時(shí)需要利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù),把比較大小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小的問(wèn)題.②比較大小時(shí)，需關(guān)注函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、對(duì)稱(chēng)性，進(jìn)而把自變量轉(zhuǎn)移到同一區(qū)間，再利用單調(diào)性比較即可.變式4．已知函數(shù)f(x)=x2-cosx，則fA.f(0C.f(-3【答案】B【解】易知f(x)是偶函數(shù)，所以f(-35)=f(35).f'(x)=2x+sinx，當(dāng)0課外閱讀·“二次求導(dǎo)”中的理性思維求導(dǎo)后，仍不能解決問(wèn)題時(shí)，?？紤]二次（多次）求導(dǎo)（需利用函數(shù)思想先構(gòu)造函數(shù)），尤其是對(duì)于解析式含ex,lnx,xn,sinx,cosx等混合結(jié)構(gòu)時(shí).應(yīng)用二次求導(dǎo)時(shí)，一是要注意結(jié)合端點(diǎn)或特殊點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)，二是要注意一般令g(x)=f'(x)，而不直接寫(xiě)成f″(x).二階導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)圖象的凹凸性.當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f例題判斷函數(shù)f(x【解】f'(令g(x)=令h(x)=g當(dāng)x>1時(shí),h'(x又h(1)=0,故h(x)≥0,則g(x)單調(diào)遞增.又變式．已知函數(shù)f(x)=xcosx-ax+【解】f'(令g(x)=cos則g'(x)=-2sinx-x當(dāng)a≥1時(shí)，g(0)=所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．函數(shù)f(x)=-lnA.(-12,0)和(12,+∞) B.(-∞,C.(0,12) D.【答案】D【解】f(x)f'(x)=-1x+4x所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(12,+∞)2．已知函數(shù)f(x)=(x2-xA. B.C. D.【答案】A【解】f'(當(dāng)-2<x<1時(shí)，f'(x)<0;當(dāng)x<-2或x>1時(shí)，f'(x)>0又當(dāng)x<-2時(shí)，x2-x-1>0，則3．若函數(shù)y=-43x3A.(0,+∞) B.(-∞,0)【答案】A【解】由題意，得y'=-4x2+b.因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，所以Δ=16b>4．下列函數(shù)中，既滿(mǎn)足圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又在(-∞,0)上單調(diào)遞增的是（A.f(xC.f(x【答案】C【解】對(duì)于A，f'(x)=cosx-xsinx，所以f'(x)在(-∞,0)上不恒非負(fù)，對(duì)于B，f(-x)=ex+e-x2=f(x)，對(duì)于C，f(-x)=-3x-2sin(-x又f'(x)=3-2cosx，且當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)>0對(duì)于D，f'(x)=3x2-1，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)在(-∞,-33)上單調(diào)遞增，5．設(shè)函數(shù)f(x)=12x2A.(1,2] B.[【答案】A【解】f'(x)=x-9x(x>0).當(dāng)x-9x≤0時(shí)，有06．設(shè)函數(shù)f(x)=ex-alnx(aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解】函數(shù)f(x)f'(當(dāng)a<0時(shí)，f'(x)>0，所以f(x當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=ex在(0,+∞)7．【多選題】如圖是函數(shù)y=f(x)，xA.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為B.fC.fD.f【答案】ABD【解】對(duì)于A，由題圖，知當(dāng)x∈(-1,2)∪(4,5)時(shí)，f'(x)>0，則對(duì)于B，由題圖，知f'(2)=0，故對(duì)于C，f(2)不一定是函數(shù)的最大值，最大值可能在區(qū)間[-3,5]對(duì)于D，當(dāng)x∈(2,4)時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，8．若函數(shù)f(x)=2x2-lnx在區(qū)間(k-1,k+1)(k≥1)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________【答案】[1，3【解】f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f'(x)=4x-1x.由f'(x)=0，得x9．已知函數(shù)f(（1）若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-（2）若函數(shù)f(x)在(【解】（1）f=(x因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-23,1]，所以x1=-23,當(dāng)a=23時(shí)，由f'(x)<0，解得-23<x<（2）由題意，知當(dāng)x∈(2,3即a≤-x.所以a≤-3.所以實(shí)數(shù)a【綜合運(yùn)用】10．已知函數(shù)f(x)=3x+2cosx，若A.c<b<a B.b【答案】B【解】因?yàn)閒'(x)=3-2sinx>0，所以f(x)在R11．若函數(shù)f(x)=(2a-x)lnA.(-∞，-1e2] B.C.(-∞,0] D.(-∞【答案】D【解】f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f'(x)=2ax-lnx-令h(x)=x故h(x)min=h(1e2)=-1e2.故2a≤-1e12．【多選題】已知函數(shù)f(x)=A.f(x)B.f(xC.f(xD.方程f(x【答案】AC【解】f(x)的定義域?yàn)镽，且f(-x)=(-x)4-(-x)2=x4f'(當(dāng)-22<x<0或x>22時(shí)，f當(dāng)0<x<22或x<-22時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減f(-1)=f(0)=f(1)=0，易知方程f(x)=-18在區(qū)間(-∞，-22)，(-22，0)13．已知函數(shù)f(x)=ax-sinx,x≤0,x2+2ax-a+3,x>0在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是_【答案】[1【解】當(dāng)x≤0時(shí)，f'(x)=a-cosx若f(x)在R上單調(diào)遞增，則a-cosx≥0,14．已知函數(shù)f(（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)（2）設(shè)g(x)=f(【解】（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0.（2）g(x)=g'(令g'(x)=0，解得當(dāng)-1a>12時(shí)，-2<a<0；當(dāng)所以，當(dāng)-2<a<0時(shí)，g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1當(dāng)a=-2時(shí)，g(x當(dāng)a<-2時(shí)，g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，-1a)【拓廣探索】15．【多選題】已知函數(shù)fn(x)=eA.f1(C.f2(x)【答案】ABD【解】因?yàn)閒1(x)=所以f1(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.所以ffn+1(x)=ex-因?yàn)閒2(x)=ex-ex22!=ex-12ex2(x>1)，所以f'2(x)=ex-ex第2課時(shí)函數(shù)的極值與最大（?。┲嫡n程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值，體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大（?。┲档年P(guān)系.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.函數(shù)的極值如圖，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小，f'(a)=0；而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0.類(lèi)似地，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大，2.函數(shù)的最大（小）值（1）函數(shù)最大（?。┲档脑僬J(rèn)識(shí).①一般地，如果在區(qū)間[a,b]②若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)在[a,b]上的最小值，f(b)為函數(shù)在[（2）導(dǎo)數(shù)求最值的一般步驟.設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,①求函數(shù)y=f(x②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）函數(shù)的極大值不一定比極小值大.（）（2）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f'(x0)=（3）函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值.（）（4）函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào),則函數(shù)f（5）有極值的函數(shù)一定有最值，有最值的函數(shù)不一定有極值.（）【答案】（1）√（2）×（3）√（4）√（5）×2．（教材題改編）已知函數(shù)y=f(x)A.函數(shù)f(x)有2B.函數(shù)f(x)有1C.函數(shù)f(x)有3D.函數(shù)f(x)有1【答案】B【解】由y=f'(x)的圖象，可知當(dāng)x<x2時(shí)，y=f'(x)≥0，所以y=f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x2<x所以y=f(x)在x=x2處取得極大值3．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(xA.最小值f(0) B.最小值f(-2)【答案】C【解】令f'(x)=-x(x+2)>0令f'(x)=-x(x+令f'(x)=-x(x+故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-所以函數(shù)f(x)有極大值f4．函數(shù)f(x)=(x2A.2 B.-4e2 C.【答案】B【解】f'(x)=(x2+2x-8)ex=(x-2)(x+4)核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值例1（1）若函數(shù)f(x)=x(x-A.4 B.2或6 C.2 D.6（2）若x1,x2是函數(shù)f(x)=x2-7x+4lnx的兩個(gè)極值點(diǎn)，則f(x1)+f(x2)=_______【答案】（1）D（2）4【解析】（1）【解】f(x)=x3-2cx2+c2x，f'(x)=3x2-4cx+c2=3(x-c3)(x-c).依題意，得f'(2)=3(2-c3)(2-c)=0，即c=2或c=6.當(dāng)c=2時(shí)，f'(x)=3(x（2）【解】f'(x)=2x-7+4x=2x2-7x+4x(x>0).令f'(x)=0，得2x2-7x+4=0.Δ=49-【點(diǎn)撥】①求函數(shù)f(x)極值的步驟：第一步，確定函數(shù)的定義域；第二步，求導(dǎo)函數(shù)f'(x)；第三步，解方程f'(x)=0，求出在函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；第四步，列表檢驗(yàn)f'(x)在f'(x)=0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在變式1．（1）若函數(shù)f(x)=(x2-axA.-e B.-2e2（2）[2023年新課標(biāo)Ⅱ卷]【多選題】若函數(shù)f(x)=A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0【答案】（1）C（2）BCD【解析】（1）【解】由題意，知f'(x)=ex[x2+(2-a)x-1-a].所以f'(1)=(2-2a)e=0，解得a=1.故（2）【解】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f'(x)=ax-bx2-2cx3=ax2-bx-2cx3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值也有極小值，所以函數(shù)f'(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn).而a≠0，因此方程ax2-bx-2c=0有兩個(gè)不等的正根x1,x2.所以Δ=b2考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值例2（1）已知函數(shù)f(x)=13①函數(shù)f(x)的極值；②函數(shù)f(x)在[0,3]上的最大值與最小值;③函數(shù)h(x)=lnx（2）若函數(shù)f(x)=13x3+x2-23在區(qū)間(a,a+5)上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____【答案】（1）①f'(x)=x2-4=(x-2)(x+2).令f'(x)=0，解得x=2當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)，f(x)的變化情況如下：x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故當(dāng)x=-2時(shí)，f(x)有極大值，且f(x)的極大值為f(-2)=283.當(dāng)x=2時(shí)，f(x)有極小值,且f(x)的極小值為②由①，可知f(x)在區(qū)間[0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,3]上單調(diào)遞增.且f(0)=4,f(3)=1.故f(x)在[0,3]上的最大值為f(0)=4，最小值為f(2)=-4③h(x)=lnx-x2,h(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，h'(x)=1x-2x=1-2x2x.令h'(x)>0，得1-2x2x所以當(dāng)0<a<22時(shí)，h(x)在(0,a]上單調(diào)遞增，此時(shí)當(dāng)a≥22時(shí)，h(x)在(0,22)上單調(diào)遞增，在(2綜上，當(dāng)0<a<22時(shí)，h(x)的最大值為當(dāng)a≥22時(shí)，h(x)的最大值為（2）[-3,0)【解析】（2）【解】由題意，得f'(x)=x2+2x=x(x+2)，故f(x)在(-∞,-2)，(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(-2,0)上單調(diào)遞減令13x3+x2-23=-23，得x=0或x=-3.【點(diǎn)撥】不含參函數(shù)直接按步驟求最值.含參函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類(lèi)：一是動(dòng)極值點(diǎn)定區(qū)間，二是定極值點(diǎn)動(dòng)區(qū)間.這兩類(lèi)問(wèn)題一般根據(jù)區(qū)間與極值點(diǎn)的位置關(guān)系來(lái)分類(lèi)討論.變式2．（1）已知函數(shù)f(①當(dāng)a=0時(shí)，求曲線(xiàn)y=②求函數(shù)f(x)在（2）已知函數(shù)f(x)=ex+xA.(-e,1) B.(1-e,【答案】（1）【解】①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(x-所以曲線(xiàn)y=f(x)在②f'(當(dāng)a≤0時(shí)，ex-a>0所以f(x)在[所以f(當(dāng)a>0時(shí)，令f'(解得x=lna或x當(dāng)lna≤1，即又x∈[1,所以f(x)在[所以f(當(dāng)1<lna<2，即e<a<e2時(shí)，當(dāng)x[1lna(lnaf'(-0+f(單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(當(dāng)lna≥2又x∈[1,所以f(x)在所以f(故f（2）A【解析】（2）【解】f'(x)=ex+2x+a-2.由于y=ex，y=2x均為單調(diào)遞增函數(shù)，故f'(x)在(0,1考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題例3中國(guó)古代建筑的主要受力構(gòu)件是梁，其截面的基本形式是矩形.如圖，將一根截面為圓形的木材加工制成截面為矩形的梁，設(shè)與承載重力的方向垂直的寬度為x，與承載重力的方向平行的高度為y，記矩形截面抵抗矩W=16xy2.A.12 B.22 C.1【答案】B【解】設(shè)圓的直徑為d，則x2+y2=d令W'=16(-由W'>0，解得0<x<33d；由W'<0，解得x>33d.所以W在(0，33此時(shí)y=d2-故選B.【點(diǎn)撥】①函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題的一般解題步驟為：一設(shè)，設(shè)出自變量、因變量；二列，列出函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；三解，解出函數(shù)的最值，一般常用導(dǎo)數(shù)求解；四答，回答實(shí)際問(wèn)題.②若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a變式3．已知某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本C(x)=1200+127x2（單位：萬(wàn)元），產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比.若生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50【答案】225【解】設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為m，則m2=kx（其中k所以502=k100記生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)為f(xf(x)=mx-由f'(x)>0得0<x<故函數(shù)f(x)在(0,225)因此,當(dāng)x=225時(shí)，f(x)取最大值.即產(chǎn)量定為225件時(shí)考教銜接·e【教材溯源】人教A版選擇性必修第二冊(cè)第99頁(yè)習(xí)題第12題，第104頁(yè)復(fù)習(xí)參考題第18題.【總結(jié)延伸】（1）1-1x（2）ex-1≥x例題設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax+1，a∈R.若f(x)的圖象都在x軸下方（不含x軸），則a的取值范圍是____【答案】(1【解】由題意，知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).由lnx≤x-1，知f(x)≤x當(dāng)a≤1時(shí)，f(1)=1-a≥0，不滿(mǎn)足題意.故a的取值范圍是變式．【多選題】已知n∈N*，xA.ln(x+C.ln(x+【答案】ACD【解】因?yàn)閘n(x+1)<x，所以ln(xln(1+1n)<1因?yàn)閑x>x+1，所以ex-1>x.又因?yàn)?+1n>0，所以ln(1+1n)n=n課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．若函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象分別如圖1,圖2所示，則f(x) 圖1 圖2A.4，1 B.2，2 C.4，2 D.2，1【答案】A【解】由題圖1，可得函數(shù)f(x)有4個(gè)極值點(diǎn)，其中兩個(gè)極大值點(diǎn)和兩個(gè)極小值點(diǎn).由題圖2，可得函數(shù)g(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)，2．設(shè)函數(shù)f(x)=A.x=12為f(x)C.x=2為f(x)的極大值點(diǎn)【答案】D【解】f'(x)=-2x2+1x=x-2x2.令f'(x)=0，得x=2.當(dāng)x>2時(shí)，f'(x)>3．函數(shù)f(x)=(A.最大值為1 B.最小值為1 C.最大值為e D.最小值為e【答案】A【解】f'(x)=-ex+(1-x)ex=-xex.當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)<04．函數(shù)f(x)=2xA.25,-2 B.50,14 C.50,-2【答案】C【解】f'(x)=6x2+18x.當(dāng)x∈[-4,-3)或x∈(0,2]時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-3,0)時(shí)5．[2022年全國(guó)乙卷]函數(shù)f(x)=cosx+(A.-π2，π2 B.-3π2，π2 C.【答案】D【解】f'(x)=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx,在區(qū)間(0,π2)和(3π2,2π)上，cosx>0,f'(x)>0,即f(x)單調(diào)遞增；在區(qū)間6．[2022年全國(guó)甲卷]當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=alnA.-1 B.-12【答案】B【解】由題意，知f(1)=b=-2，則f(x)=alnx-2x.因?yàn)閒'(x)=ax+2x2=ax+2x2，f'(1)=a+2=7．【多選題】已知函數(shù)f(x)=x3+3mxA.-1 B.-12 C.【答案】BC【解】f'(x)=3(x2+m).因?yàn)閒(x)在(0,1)上存在最小值8．已知函數(shù)f(x)=2lnx，g(x)=x+2，若f(x1)=g(x2)，則【答案】-4【解】設(shè)f(x1)=x1=em2設(shè)h(x)=x令h'(x)>0，解得x<0，所以h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.令h'(x)<0，解得x>0，所以h(x9．已知函數(shù)f(x)=ax2lnx-bx2（1）求a，b的值；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≥2c2【解】（1）由題意，得f(x)的定義域?yàn)?由題意，得f'解得a=-所以f(f'(當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，綜上，a=-6，（2）由（1），可知f(x)在x=因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f(x)≥2c2在(解得-32≤c≤1.故c【綜合運(yùn)用】10．設(shè)函數(shù)f(x)=x-2x-3lnxA.-3ln2 B.-ln【答案】A【解】f(x)的定義域?yàn)?依題意，得x1，x2為方程x2-3x+2=所以f(x1)+11．若函數(shù)f(x)=eaxA.(-2,+∞) B.(-12，+∞) C.(-∞,-2【答案】C【解】f'(若a≥0，則f'(x)>0，此時(shí)f(x令f'(x)=a當(dāng)x>1aln(-2當(dāng)x<1aln(-2故x=1aln(-2a依題意，得1aln(-2a)>0，即ln(-2a)<0，12．【多選題】已知函數(shù)f(x)=A.f(xB.f(x)C.當(dāng)x∈[-2,2D.當(dāng)k<3e時(shí)，方程f【答案】AC【解】f'(當(dāng)x∈(-∞,-1)，(0,+∞)時(shí)，當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，所以f(x)的極大值為f(-1)=3e-1，極小值為f(x)在[-2,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,2]上單調(diào)遞增，且f當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)→0；xf(x)由圖，可得當(dāng)1<k<3e時(shí)，f(x)=k有3個(gè)實(shí)數(shù)根，13．函數(shù)f(x)=ex+|lnx+1|的最小值為_(kāi)____【答案】e1【解】當(dāng)x≥1e時(shí)，f(x)=e當(dāng)0<x<1e時(shí)，f(x)=ex-lnx-1，f'(x)=14．[2025年八省聯(lián)考]已知函數(shù)f(（1）設(shè)a=1,b=-2，求曲線(xiàn)（2）若x=1是f(x【解】（1）當(dāng)a=1,b=-2時(shí)，由f'(x)=x所以切點(diǎn)為(1,-3).所以切線(xiàn)方程為（2）f'(由題意，得f'(1)=-1+a因?yàn)閤=1是f(x)的極小值點(diǎn)，所以在(0,1)上，f'(x)<0，在【拓廣探索】15．“二進(jìn)制”被提出后，人們對(duì)進(jìn)位制的效率問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究,研究方法如下：對(duì)于正整數(shù)n，x(x≥2)，我們準(zhǔn)備nx張不同的卡片，其中寫(xiě)有數(shù)字0，1，?，x-1的卡片各有n張,如果用這些卡片表示n位x進(jìn)制數(shù)，通過(guò)不同的卡片組合，這些卡片可以表示xn個(gè)不同的整數(shù)（例如n=3，x=10時(shí)，我們可以表示出000,?,999共103個(gè)不同的整數(shù)）.假設(shè)卡片的總數(shù)nx為一個(gè)定值，那么x進(jìn)制的效率最高,A.二進(jìn)制 B.三進(jìn)制 C.十進(jìn)制 D.十六進(jìn)制【答案】B【解】設(shè)nx=k為定值，則nx張卡片所表示的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)假設(shè)x，k都是正數(shù)，則lny=kx求導(dǎo)可得y'=因?yàn)閑kxlnx?kx2>0，所以當(dāng)0<x<e時(shí)，y'>0，當(dāng)x故只需比較2k2，3因?yàn)?2k2)6=23k=8k，(3k3)階段集訓(xùn)3范圍：3.1導(dǎo)數(shù)的概念、意義及運(yùn)算~3.2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s=t3，則該質(zhì)點(diǎn)在tA.27 B.9 C.6 D.3【答案】A【解】因?yàn)閟'=3t2，所以該質(zhì)點(diǎn)在t=3時(shí)的瞬時(shí)速度為2．若函數(shù)f(x)=sinxA.1 B.0 C.12 D.【答案】C【解】f'(x)=(x+23．已知函數(shù)f(x)=12x2A.(-3,C.(-∞,-3)∪(【答案】B【解】f'(x)=x-3x+2=x2+2x-3x，定義域?yàn)?0,+∞).令f'(4．曲線(xiàn)y=2lnx+A.y=2x-1 B.y【答案】D【解】y'=2x+2x,x>0，y'|x=5．函數(shù)f(x)=A.x=0和x=-1 B.(0，C.x=-1 D.(-【答案】C【解】f'(x)=(x2+x)ex-(xx(-∞,-1-1(-10(0f'(-0+0+f(單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增單調(diào)遞增因此，函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為x=-16．已知函數(shù)f(x)=lnx-mx.若f(A.1 B.12 C.2 D.【答案】A【解】由f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，得f'(x)=1x-m≤0在7．已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+3q，單價(jià)p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p=A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解】設(shè)利潤(rùn)為y，則y=y'=-12q2+98.當(dāng)0<q<14時(shí)，y'>0，y單調(diào)遞增；當(dāng)q>148．設(shè)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，fA.(-∞,1) B.(-∞,13) C.(【答案】D【解】當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)=ex+sinx因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x)由f(2x-1因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，所以2x-1>2-二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，f'(xA.f'(3C.f(-1【答案】ACD【解】由題圖，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知f'(3)<0，f'(-1)<0，由題圖，知f(-1)>0，f'(-1)<0，由題圖，知直線(xiàn)OB的斜率小于f(x)的圖象在點(diǎn)B處的切線(xiàn)斜率，即f(3)-f(0)3-010．若直線(xiàn)y=3x+m是曲線(xiàn)y=A.m=-2 B.m=-1【答案】AD【解】設(shè)直線(xiàn)y=3x+m與曲線(xiàn)y=x3(x>對(duì)于函數(shù)y=x3(x>0)，y'=3x2，對(duì)于函數(shù)y=-x2+nx-6(x所以-b又b>0，所以b=2，n=11．設(shè)函數(shù)f(x)=A.x=0是f(x)的極大值點(diǎn) B.fC.f(x【答案】AC【解】對(duì)于A，f'(x)=6x2-6x=6x(x-1).由f'(x)>0，得x<0或x>1；由f'(x)<0，得0<x<對(duì)于B，由于y=sinx在x∈(0，π2)上單調(diào)遞增，且y=sinx∈(0,1)，f(x)在(0對(duì)于C，f(x)+f(1對(duì)于D，取x=0，則f(-32)=2×(-32)3-3×(-三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與函數(shù)f(x)=cosx在[0,π]上的圖象切于點(diǎn)(x0,y0)，則x0tanx0=_【答案】-1【解】切點(diǎn)為(x0,cosx0)，f'(x)=-sinx,則f'(x0)=-sinx013．函數(shù)f(x)=2sinx-x在區(qū)間[0，π2]上的最大值為_(kāi)____【答案】3-【解】f'(當(dāng)x∈[0，π3)時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；故f(x)max=14．已知函數(shù)f(x)=x2+(a-1)x-3lnx在(1,2)內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___________【答案】(-32，【解】f'(x)=2x+a-1-3x=2x2+(a-1)x-3x.設(shè)g(x)=2x2+(a-1)專(zhuān)題突破6三次函數(shù)三次函數(shù)問(wèn)題，既是高考常考問(wèn)題，也是研究導(dǎo)數(shù)相關(guān)零點(diǎn)、切線(xiàn)及不等式等問(wèn)題的基礎(chǔ).設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)（1）a>性質(zhì)Δ>0Δ≤0圖象單調(diào)性在(-∞,x1)在(x增函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)20對(duì)稱(chēng)中心(-b3a,（2）a<0性質(zhì)Δ>0Δ≤0圖象單調(diào)性在(x1,x2減函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)20對(duì)稱(chēng)中心(-b3a,核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一三次函數(shù)的圖象問(wèn)題例1已知函數(shù)f(x)=axA. B.C. D.【答案】B【解】由選項(xiàng)，知當(dāng)a>0時(shí)，y=f(x)的圖象是“N字形”曲線(xiàn).觀察B，D，由于此時(shí)當(dāng)a<0時(shí)，y=f(x)的圖象是“反N字形”曲線(xiàn).觀察A，C，由于此時(shí)設(shè)g(x)=ax3+bx因?yàn)閒(x)=g(x)+c，所以f(x)的圖象是g(【點(diǎn)撥】當(dāng)三次函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)(Δ>0)時(shí)，若a>0，則三次函數(shù)圖象的形狀為“N字形”；若a變式1．（1）已知函數(shù)f(x)=A.a<0，b<0，c>0C.a>0，b<0，c>0（2）【多選題】在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)=x2A. B. C. D.【答案】（1）C（2）BCD【解析】（1）【解】由題意，知f(0)=c>0，f'(x)=3ax2+2bx+2.設(shè)x1，x2是f（2）【解】由已知，得f(x)=x(x-a)，g'(x)=x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1).函數(shù)f(x)的圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，與x軸在x=0和x=a處相交.g(x)的圖象是“N字形”曲線(xiàn).當(dāng)a≠1時(shí)，有x=1和x=a兩個(gè)極值點(diǎn).當(dāng)a=1時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，且g(考點(diǎn)二三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性例2【多選題】設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，f'(x)的導(dǎo)函數(shù)是f″(x).已知三次函數(shù)A.a=1B.f(x)C.f(D.f(x【答案】AD【解】f'(x)=令f″(x)=6x對(duì)于A，因?yàn)閒(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(0,1)，所以-b3對(duì)于B，由A的分析，知f(x)=x3-x+1，f'(x)=3x2-1.所以f(x)在(-∞，-33)和(33，+∞)上單調(diào)遞增，在(-3對(duì)于C，由B的分析，知f(x)的極小值為f(33)=9-239>對(duì)于D，由B的分析，知f(x)存在極大值和極小值.因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng)，所以故選AD.【點(diǎn)撥】三次函數(shù)f(x)的圖象一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為其導(dǎo)函數(shù)f'(x變式2．已知函數(shù)y=x3+3x2+x的圖象C上存在一定點(diǎn)P滿(mǎn)足：若過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于不同于P的兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x【答案】2【解】當(dāng)點(diǎn)P是圖象C的對(duì)稱(chēng)中心時(shí)，y1+y2設(shè)g(x)=3令g'(x)=6x當(dāng)x=-1時(shí)，y=1.所以圖象C的對(duì)稱(chēng)中心是(-1,考點(diǎn)三三次函數(shù)的極值、最值與零點(diǎn)例3【多選題】已知函數(shù)f(x)=A.f(x)B.f(xC.?a∈RD.當(dāng)0<a<【答案】ACD【解】對(duì)于A，設(shè)g(x)=x3-3ax.易知g(x)的定義域?yàn)镽，f(x)的圖象可由g(x)的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到.故f或求f″(x)的零點(diǎn)，可得對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，代入f(x)可解出對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)對(duì)于B，設(shè)f(x)的極值點(diǎn)分別為x1，x2(x1<x2)，所以f(x1)+f(x2)=2×2對(duì)于C，由B的分析，得a>0，且x1令f'(x)>0，解得x令f'(x)<0所以f(x)在(-∞,-a)，(a,+∞)上單調(diào)遞增所以當(dāng)f(x1)>0>f(x2)時(shí)，f(x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，即f(x)對(duì)于D，當(dāng)0<a<1時(shí)，f(a)=aa-3aa+2=2(【點(diǎn)撥】解三次函數(shù)的極值、零點(diǎn)、最值問(wèn)題，通常需要綜合利用三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、韋達(dá)定理、零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)的單調(diào)性、極值等相關(guān)知識(shí).變式3．[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷]【多選題】設(shè)函數(shù)f(x)=A.當(dāng)a>1時(shí)，B.當(dāng)a<0時(shí)，x=C.存在a，b，使得x=b為曲線(xiàn)D.存在a，使得點(diǎn)(1,f【答案】AD【解】對(duì)于A，f'(當(dāng)a>1時(shí)，由f'(x)>0，得x<0或x>a；由f'(x)<0，得0<x<a.所以f(x)在(-∞,0因?yàn)閒(0)=1>0，f(a)=又f(-1)=-1-3a<0，f(2a)=4a3+1>0，所以f(x對(duì)于B，當(dāng)a<0時(shí)，由f'(x)>0，得x<a或x>0；由f'(x)<0，得a<x<0.所以f(x)在(-∞,a對(duì)于C，假設(shè)存在這樣的a,b，使得x=b為f(x)的對(duì)稱(chēng)軸，則根據(jù)二項(xiàng)式定理，知等式右邊2(2b-x)3展開(kāi)式中含有x3的項(xiàng)為2C33(2b)0(-x)3=-2x3，所以等式左右兩邊x3對(duì)于D，（方法一）f(1)=3-3a.若存在這樣的a，使得(1,3因?yàn)閒(x)+f(12-6a=0所以存在a=2使得(1,f(1))是曲線(xiàn)y（方法二）任何三次函數(shù)的圖象都有對(duì)稱(chēng)中心，且對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn).f(x)=2x3-3ax2+1，f'(x由題意,得(1,f(1))也是對(duì)稱(chēng)中心，故a2=1.解得a=2.所以存在a=2,使得(1,考點(diǎn)四三次函數(shù)圖象的切線(xiàn)例4已知函數(shù)f(（1）求曲線(xiàn)y=f(x（2）設(shè)常數(shù)a>0，如果過(guò)點(diǎn)P(a,【解】（1）f'(切線(xiàn)方程為y-y=(（2）由題意，知關(guān)于t的方程m=(3t2令g(t)=-2t3+3at2-a，則g'(t所以g(t)的極小值為g(0所以m的取值范圍是(-a【點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出切線(xiàn)方程.三次函數(shù)切線(xiàn)條數(shù)問(wèn)題，本質(zhì)上是零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.變式4．已知函數(shù)f(x)=ax（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若過(guò)點(diǎn)(-1,m)(m【解】（1）f'(由題意，得f(1)=-2，f'(1)=-（2）由（1），得f'(過(guò)點(diǎn)(-1,m)作曲線(xiàn)設(shè)切點(diǎn)為(xy-(因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)點(diǎn)(-1,m整理，得2x因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(-1,m)(m≠-4)記g(x)=所以當(dāng)x=-1時(shí)，g(x)有極大值g(-1)=故當(dāng)m+4>0,m-4<0,即課時(shí)作業(yè)知能提升1．函數(shù)y=x3+xA.y=4x+2 B.y【答案】B【解】y'=3x2+1，所以y'|x=12．已知函數(shù)f(x)=x3A.(0,0) B.(-【答案】C【解】f'(x)=3x2-6x+3，f″(x)=6x-6.令f″(3．[2023年全國(guó)乙卷]函數(shù)f(x)=x3A.(-∞,-2) B.(-∞,-3)【答案】B【解】由題意，知f'(x)=3x2+a.若f(x)令f'(x)=0，解得x當(dāng)x∈(-∞,--a3)∪(-a3,+∞)時(shí)，f'(故f(x)的極大值為f(-若f(x)存在三個(gè)零點(diǎn)，則f--a3>0,f4．[2021年全國(guó)乙卷]設(shè)a≠0，若x=a為函數(shù)A.a<b B.a>b【答案】D【解】若a=b，則f(x)=a(x-a所以f(x)有x=a和x=b兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在x=a附近不變號(hào)，在x=b附近變號(hào).又x=a當(dāng)a<0時(shí)，由x>b時(shí)，f(x)≤0，畫(huà)出f(x)的圖象如圖1所示圖1當(dāng)a>0時(shí)，由x>b時(shí)，f(x)>0，畫(huà)出f(x)的圖象如圖2所示圖2綜上，ab>a2恒成立.故選5．[2022年新課標(biāo)Ⅰ卷]【多選題】已知函數(shù)f(x)=A.f(B.f(C.點(diǎn)(0,1D.直線(xiàn)y=2x是曲線(xiàn)【答案】AC【解】f'(x)=3x2-1.令f'(x)>0,得x>33或x<-33；令f'(x)<0，得-33<x<33.因?yàn)閒(-33)=1+239>0，f(33)=1-239>0，f(-2)=-5<0，所以函數(shù)f(x)在(-2,-33)上有一個(gè)零點(diǎn)令h(x)=x3-x.h(x)的定義域R，且h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-h(x)，所以h令f'(x)=3x2-1=2，可得x=±1.又f(1)=f(-1)=1，所以當(dāng)切點(diǎn)為(1,16．【多選題】（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)f(x)=(A.x=3是B.當(dāng)0<xC.當(dāng)1<xD.當(dāng)-1<【答案】ACD【解】f'(x)=3(x-1)(x-3).當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)當(dāng)0<x<1時(shí)，1>x>x2>0.又f(x)當(dāng)1<x<2時(shí)，1<2x-1<3.又f(x)在(1當(dāng)-1<x<0時(shí)，f(2-x7．已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0]上單調(diào)遞增，在[0,2]上單調(diào)遞減，且方程f(x)=0有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，分別是α，β，2，則α?2+【答案】(5【解】f'(x)=3x2+2bx+c.由題意，得f'(0)=c=0.所以f'(x)=3x(x+因?yàn)閒(x所以b=-α-β所以α?2+β?2=(α+β)8．已知函數(shù)f(x)=13x3-12a（1）求切線(xiàn)l的傾斜角α的取值范圍；（2）若過(guò)點(diǎn)P(1,m)(m【解】（1）由f(x)+f(-x所以f(f'(x)=顯然α≠π2,所以α∈[0切線(xiàn)l的傾斜角α的取值范圍是[0，π2)∪[（2）設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)與過(guò)點(diǎn)P(1,m)(因?yàn)辄c(diǎn)P(1所以m-(13由題意，知該方程有三個(gè)不同的解.設(shè)g(x)=-23x3+x2+當(dāng)x<0或x>1時(shí)，g'(x)<所以g(x)在(-∞,0)和(1故g(x)的極小值為g(0所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,4專(zhuān)題突破7函數(shù)中的構(gòu)造問(wèn)題函數(shù)中的構(gòu)造問(wèn)題是高考熱點(diǎn)問(wèn)題，需要考生根據(jù)已知等式（或不等式）結(jié)構(gòu)特征，消除差異，抓住共性，構(gòu)造新函數(shù)，解決相關(guān)比較大小、解不等式、最值及恒成立等問(wèn)題.核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一構(gòu)造函數(shù)比較大小例1（1）已知a=4ln4，b=A.a<b<c B.a（2）已知a=3π，b=eπA.a>b>c B.b【答案】（1）C（2）A【解析】（1）【解】由題意，知c=elne.設(shè)f(x)=xlnx，則a=f(4)，b=f(3)，c=f(e)，（2）【解】因?yàn)楹瘮?shù)y=xπ在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，且0<e<3，所以3π>eπ，即a>b.設(shè)f(x)=lnxx，則f'(x)=1-lnxx2.當(dāng)x>e時(shí)，f【點(diǎn)撥】①利用導(dǎo)數(shù)比較大小,有時(shí)需要利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù),把比較大小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小的問(wèn)題.②比較大小時(shí)，需關(guān)注函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、對(duì)稱(chēng)性，進(jìn)而把自變量轉(zhuǎn)移到同一區(qū)間，再利用單調(diào)性比較即可.解決這類(lèi)問(wèn)題，常需要一定的放縮技巧.變式1．（1）設(shè)a=0.36-ln0.6，b=A.a>c>b B.b（2）設(shè)a=0.6，b=sin6，A.b>a>c B.c【答案】（1）A（2）C【解析】（1）【解】設(shè)f(x)=x2-lnx(x>0)，則a=f(0.6)，b=f(0.7)，c=f(1.3（2）【解】設(shè)f(x)=x-sinx.當(dāng)x∈(0，π2)時(shí)，f'(x)=1-cosx>0，f(x)考點(diǎn)二構(gòu)造函數(shù)解不等式例2已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(1)=1A.(-∞,1)C.(-∞,-1)∪(【答案】A【解】設(shè)g(x)=f因?yàn)閒'(x)>12恒成立，所以對(duì)任意x∈R，都有又g(1)=f(1)-12-12=0，所以g【點(diǎn)撥】對(duì)于不等式f'(x)>k變式2．已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(1)=3，且f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x【答案】(1【解】令g(x)=f(x)-2x-1，則g'(x)=f'(x)-2例3定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)記為f'(x)，若A.(-∞,-1)∪(C.(-∞,-1)∪(【答案】D【解】設(shè)g(x)=xf(x當(dāng)x>0時(shí)，f(x)+xf'(x)<0成立又y=f(x)為奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x).因?yàn)間(-x因?yàn)閒(-1)=0，所以f(當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)<0，當(dāng)x<0時(shí)，由f(x)<0，綜上，不等式f(x)<0的解集是(-1【點(diǎn)撥】①對(duì)于不等式xf'(x)+f(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x);對(duì)于不等式xf'(變式3．設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=A.(-∞,-1)∪(C.(-∞,-1)∪(-【答案】A【解】令F(x)=f(x)x.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以F(x)為偶函數(shù).由于F'(x)=xf'(x)-f(x)x2，當(dāng)x>0時(shí)，xf'(x)-f(x)<0例4已知f'(x)是f(x)(x∈RA.(-∞,1) B.(-∞,e) C.(【答案】A【解】令F(x)=f(x)?ex，則Ff(x)<e1-x可化為f(x)?ex<e，【點(diǎn)撥】①對(duì)于不等式f'(x)+f(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x);對(duì)于不等式f'(變式4．【多選題】已知定義在(0,π2)上的函數(shù)f(x).若A.f(πC.f(π【答案】CD【解】令g(xg'(所以g(x)在(0,π2)上單調(diào)遞減.所以f(π3)cosπ3<f(考點(diǎn)三同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)例5已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2.若對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2>2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________【答案】[12，+∞)【解】不妨設(shè)x2>x1>0.由f(x1)-f(x2)x1-x2>2，得f(x1)-2x1<f(x2)-2x2.令g(x)=f(x)-2x，則g(x1)<g(x【點(diǎn)撥】同構(gòu)法是一種常用技巧，通過(guò)等價(jià)變形，使等式（或不等式）兩邊的式子結(jié)構(gòu)相同，從而將兩邊看作是同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，并利用函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)化不等式，從而解決相關(guān)問(wèn)題.變式5．【多選題】已知x>y>A.ex-C.2x-【答案】ACD【解】設(shè)f(x)=ex-x(x>0)，則f'(x)=ex-1>0令x=e，y=1，則lnx-lny=1.又x-設(shè)h(x)=2x-3-x.易知h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，設(shè)g(x)=xex(x>0)，則g'(x)=(x+1)ex>0，所以例6已知當(dāng)x≥e時(shí)，不等式xa+1【解】原不等式可變形為e1x-1x設(shè)函數(shù)f(x)=x-lnx，則當(dāng)因?yàn)閒'(x)=1-1x=x-1因?yàn)閤≥e，a>0，所以e所以要使f(e1x)≤f(xa)，只需令h(x)=xlnx(x∈[e,+∞))，則所以h(x)min=h(e)=e.所以0<1【點(diǎn)撥】同構(gòu)法常見(jiàn)的有三種基本模型.①乘積型，如aea≤blnb可以同構(gòu)成aea≤(lnb)elnb，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)f變式6．已知a，b都為正數(shù)，若aea+A.ab>e B.b>ea【答案】B【解】由題意，知aea+1<b(lnb-1).又a，b都為正數(shù)，所以b>e當(dāng)x>e時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞增.又ea+1>e，所以ea+1<b.故B正確，D錯(cuò)誤.當(dāng)另解：由題意，得aea+1<lnbe?elnbe課外閱讀·幾個(gè)常見(jiàn)組合函數(shù)的圖象y=xex，y=xex，y函數(shù)圖象y=y=y=y=y=xy=例題已知a>0，且a≠1，函數(shù)f(x)=xaax(x>0)．若曲線(xiàn)y=f(x)與直線(xiàn)y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是_________【答案】(1【解】f(x)=xaax=1，即ax=xa，即xlna=alnx，所以lnxx=變式．（1）已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，則a的最大值為_(kāi)____（2）已知函數(shù)f(x)=x-1ex．若f(x)=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)______________【答案】（1）1（2）(0，【解析】（1）【解】f'(x)=aex-1x，x>0.因?yàn)閒(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，所以aex-1x≤0，即a≤1xex在區(qū)間（2）【解】因?yàn)閒(x)=1e?x-1ex-1，所以f(x)的圖象是將y=xex的圖象向右平移1課時(shí)作業(yè)知能提升1．已知a=ln510，b=12A.b>c>a B.c【答案】A【解】令f(x)=lnx2x，則a=f(5)，b=f(e)，c=f(3)，f'(x)=1-lnx2x2.當(dāng)0<x<e時(shí)，f2．已知a=sin0.9，b=0.9，A.a>b>c B.b【答案】C【解】設(shè)f(x)=x-sinx，則f所以f(0.9)=0.9-sin0.9>當(dāng)x∈(π4，π2)時(shí)，又π4<0.9<π2，綜上，b>a>c.3．已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)的奇函數(shù).當(dāng)x>0A.(-∞,-2)∪(C.(-2,【答案】C【解】令g(x)=(x2+1)f(x)，當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)=(x2+1又g(2)=5f(2)=0，所以當(dāng)x∈(0,2又g(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x∈(-2,0)時(shí)，g(x)<0，當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí)，4．[2023年四省聯(lián)考]設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)存在,且f'(xA.f(xC.f(x【答案】C【解】對(duì)于A,B,不妨設(shè)f(x)=-2x,g(x)=1若x=-1∈(a,b),則若x=0∈(a,b),則對(duì)于C,D,設(shè)h(x)=f(x)-g(x),因?yàn)閤∈(a,b由h(x)<h(a),得f(x由h(b)<h(x),得f(b)-g(b5．設(shè)a=1113，b=12A.a<b<c B.c【答案】B【解】由題意，知lna=13ln11，lnb則f'(易知f'(x)所以當(dāng)x∈[11,+∞)時(shí)所以f(x)在[11,+∞)上單調(diào)遞減.故f(11)>f(12)>f(13)6．【多選題】若0<x1A.x2eC.ex2【答案】AD【解】設(shè)f(x)=exx(0因?yàn)?<x1<x2<1，所以ex2x2設(shè)h(x)=ex-lnx(0<x<又h'(1)=e-1>0，當(dāng)x>0，且x→0時(shí)所以h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(設(shè)g(x)=ex+lnx(0<x<1)，易知g(x)在(故選AD.7．已知函數(shù)f(x)=ex+mlnx(m∈R).若對(duì)任意正數(shù)x1，x2，當(dāng)x1>x2時(shí)，都有f(x1)-f(x2【答案】[0【解】由題意，知f(令g(x)=f(x)-x，x>0，則又g(x)=ex+mlnx-x(x>0)，令h(x)=(1又h'(x)=-ex(x+1)+1<0.所以故填[0,+∞)8．已知函數(shù)f(x)=lnx-aeax【解】由f(x)≤因?yàn)閤≥1e設(shè)g(x)=當(dāng)x≥1e時(shí)，g'(因?yàn)間(x)≤g(eax)，eax>1>1e由h'(x)<0，得x>e，則h(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減；由h'(x)<0，得0<x故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1e，專(zhuān)題突破8利用導(dǎo)數(shù)證明不等式核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一構(gòu)造函數(shù)證明不等式例1[2023年新課標(biāo)Ⅱ卷節(jié)選]證明：當(dāng)0<x<【證明】令F(x)=x-sinx,所以F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.令G(x)=sinx-(x-令g(x)=得g'(x)=2-sinx所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.所以g(x)>g(0)=0.所以所以sinx>x綜上,當(dāng)0<x<1【點(diǎn)撥】證明f(x)>g(x)變式1．[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù)f(（1）討論f(x（2）證明：當(dāng)a>0時(shí)，【解】（1）f(x)的定義域?yàn)镽當(dāng)a≤0時(shí)，由ex>0，得aex≤0，故f當(dāng)a>0時(shí)，令f'(當(dāng)x<-lna時(shí)，f'(x)<0，f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減；當(dāng)綜上,當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí)，f(x)（2）證明:由（1），得當(dāng)a>0時(shí)，要證f(x)>2lna+設(shè)g(a)=a2-1令g'(a)<0，得0<a<22；令g'(a)>0，得a>22.所以g(a)所以當(dāng)a>0時(shí)，考點(diǎn)二放縮法證明不等式例2已知函數(shù)f(x)=證明：f(【證明】當(dāng)m≥1f(要證f(x)>先證ex設(shè)h(x)=因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，h'(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，h'(x)>所以h(x)≥h(0)=0兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得x≥ln(所以x-1≥lnx（當(dāng)且僅當(dāng)所以ex由于取等號(hào)的條件不同，所以ex綜上，f(此題也可對(duì)g(x)=【點(diǎn)撥】放縮法證明不等式：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，若題中含有參數(shù)，可考慮利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮.二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論.常用的放縮公式如下.變式2．[2024年全國(guó)甲卷]已知函數(shù)f(（1）求f(x（2）當(dāng)a≤2時(shí)，證明：當(dāng)x>1【解】（1）f(x)的定義域?yàn)?當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)=ax-當(dāng)a>0時(shí)，若x∈(1a,+∞)，則f'(x)>0，f(綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)a>0時(shí)，f（2）證明：當(dāng)a≤2，且x>1設(shè)g(x)=ex-1-由（1），知當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x-lnx在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)=ex或?qū)'(x)*考點(diǎn)三構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)證明不等式例3設(shè)函數(shù)f(x)=e【證明】f(x)>1設(shè)函數(shù)g(x)=當(dāng)x∈(0，1e當(dāng)x∈(1e，+∞)所以g(x)在(0，1e)上單調(diào)遞減，設(shè)函數(shù)h(x)=所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h'(x)>0，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，h'(又g(x)的最小值與所以g(x)>【點(diǎn)撥】若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無(wú)從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形分拆，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，如r(x)>s變式3．已知函數(shù)f(（1）求f(x（2）當(dāng)x>1時(shí)，證明：【解】（1）依題意，知f(x)的定義域?yàn)?0，1e)∪(1e令g(x)=1+lnx-1x，x∈(0，1e)∪(1e，+∞)，則g'(x)=1x+1x2>0，所以g(x)在定義域上單調(diào)遞增.（2）證明：當(dāng)x>1時(shí)，不等式等價(jià)于2ex-11+x2>1+lnxx.令h(x)=2ex-11另解：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>12(x+1x考教銜接·泰勒展開(kāi)式【教材溯源】人教A版必修第一冊(cè)第256頁(yè)復(fù)習(xí)參考題第26題.【總結(jié)延伸】常用泰勒展開(kāi)式擬合的不等式有：exln(1sinxcosx利用泰勒展開(kāi)式的“橋梁”作用證明不等式，關(guān)鍵是能夠根據(jù)原函數(shù)與其在x=0處的n例題設(shè)f(x)=e（1）證明：ex（2）設(shè)x∈(0,+∞)【證明】（1）由泰勒公式ex=1（2）由泰勒公式，可得e-x=所以f(x)=g(x)=所以f(所以f(變式．（1）[2022年全國(guó)甲卷]已知a=3132,b=cos1A.c>b>a B.b（2）已知函數(shù)f(x)=x【答案】（1）A【解析】（1）【解】（方法一）設(shè)x=