【課件】三角形的中線、角平分線、高（課件）-人教版數(shù)學八年級上冊

13.2.2三角形的中線、角平分線、高第十三章

三角形1.理解三角形的中線、角平分線、高線等概念和區(qū)別.

(重點)2.了解三角形重心的概念，會畫出任意三角形的中線、角平分線、高線.(難點)3.探究三角形三條中線、三條角平分線、三條高所在的直線分別交于一點的過程.(難點)4.進一步提升學生的幾何直觀感知能力.定義

圖示線段中點角平分線垂線OBAAB當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線把一條線段分成兩條相等的線段的點一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫作這個角的平分線點擊視頻開始播放→觀看視頻，回答它所提出的問題：如何用數(shù)學語言描述關于蛋糕的平均分配問題的解決辦法“從蛋糕一邊中間的地方切到對邊的尖”？概念：如圖，連接△ABC

的頂點

A

和它對邊

BC

的中點

D，所得線段

AD叫作△ABC

的邊

BC上的中線.三角形的中線探究點一：

三角形的中線ABCD幾何語言：∴BD=CD=BC.∵AD是△ABC

的中點，

反之∵BD＝CD(或

BD＝

BC，CD＝

BC

)，

∴AD是△ABC

的中點.

三角形的三條中線相交于一點.總結三角形的重心：三角形三條中線的交點.畫一畫：如圖，畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并觀察它們中線的交點有什么規(guī)律？ABCABCABCDEFDDEFEFOOO探究點一：

三角形的中線延伸思考：用硬紙板裁出一個三角形，畫出這個三角形的三條中線，在它們的交點處鉆一個小孔，通過小孔系一條線將三角形硬紙板吊起，從三角形硬紙板所處的狀態(tài)來看，有什么現(xiàn)象?這種現(xiàn)象說明了什么?動手做一做.硬紙板保持平衡.重心就是保持物體平衡的點.探究點一：

三角形的中線練一練

1.如圖，AD

是

△ABC

的中線，AB

=

4，AC

=

3.

若

△ACD

的周長為

8，則

△ABD

的周長為_____.9C△ABD=AB+AD+BD=

4+

5=

9AD+CD=5C△ACD=AD+AC+CD=8AD

是

△ABC

的中線CD=BD分析：探究點一：

三角形的中線探究點二：

三角形的角平分線做一做

在一張紙上畫出一個一個三角形并剪下來，將它的一個角對折，使其兩邊重合.∠1＝∠2，AD平分∠BAC.問題1：如圖，AD是折痕，則∠1和∠2之間有什么數(shù)量關系？AD

平分∠BAC

嗎?ABC12D問題2：類比三角形中線，三角形的角平分線是什么？概念：如圖，畫∠ABC

的∠A

的平分線

AD，交∠A

所對的邊

BC

于點

D，所得線段AD

叫作△ABC的角平分線.三角形的角平分線ABC12D探究點二：

三角形的角平分線幾何語言：∴∠1

=∠2

=∠BAC.∵AD是△ABC

的角平分線，

∴AD是△ABC

的角平分線.

反之∵∠1

=∠2

=∠BAC

分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條角平分線，你又有什么發(fā)現(xiàn)？三角形的三條角平分線相交于一點(三角形的內心).探究點二：

三角形的角平分線練一練

2.如圖，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度數(shù).解：∵

DC平分∠ACB，又

DE∥BC，∴∠ACB=∠AED

=80°.∴∠ECD=40°.ABCED∴∠ECD=∠BCD=

∠ACB.探究點二：

三角形的角平分線探究點三：

三角形的高請在下圖中過點

A

畫線段

BC

所在直線

l

的垂線.這條垂線段是什么？ABCD垂足l

問題1：你還記得如何“過一點畫已知直線的垂線”嗎？概念：如圖，從△ABC

的頂點

A

向它所對的邊

BC

所在直線畫垂線，垂足為

D，所得線段

AD叫作△ABC

的邊BC

上的高線.三角形的高線簡稱三角形的高.三角形的高探究點三：

三角形的高ABCD∵AD是△ABC的高，反之，∴AD⊥BC(∠BDA=90°).∵AD⊥BC(∠BDA=90°)，∴AD是△ABC的高.幾何語言：問題2：(1)

用同樣方法，你能畫出△ABC

的另兩條邊上的高嗎？(2)

這三條高之間有怎樣的位置關系?(3)

銳角三角形的三條高是在三角形的內部還是外部?銳角三角形的三條高交于同一點.銳角三角形的三條高都在三角形的內部.銳角三角形的三條高如圖所示.OABCDEF探究點三：

三角形的高直角邊

BC上的高是

；直角邊

AB上的高是

.(2)斜邊

AC上的高是

；直角三角形的三條高ABC(1)畫出直角三角形的三條高；ABBC它們有怎樣的位置關系?D直角三角形的三條高交于直角頂點.BD探究點三：

三角形的高鈍角三角形的三條高(1)你能畫出鈍角三角形的三條高嗎？ABCDEF(2)AC邊上的高是哪條線段？AB邊上的高是哪條線段？BC邊上的高是哪條線段？BFCEAD探究點三：

三角形的高ABCDF(3)鈍角三角形的三條高相交

嗎？(4)它們所在的直線交于一點

嗎？這點位于何處？OE鈍角三角形的三條高不相交.鈍角三角形的三條高所在直線交于一點，并且這個點在三角形外部.探究點三：

三角形的高例1

如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點

D，且

AD＝4，若點

P在邊

AC上移動，求

BP的最小值.解：根據(jù)垂線段最短，可知當

BP⊥AC時，BP有最小值．此時由△ABC的面積公式可知AD·

BC＝

BP·

AC.P代入數(shù)值，可解得

BP＝.探究點三：

三角形的高面積法的應用：若涉及兩條高求長度，一般需結合面積公式(可不求出面積)，利用三角形面積的兩種不同表示方法列等式求解.探究點三：

三角形的高思考1

如圖，在△ABC中，AP是△ABC的中線，AD是△ABC的高．試判斷△ABP和△ACP的面積有什么關系，為什么？BCPDA答：相等，因為兩個三角形等底同高，所以它們面積相等.思考2

通過問題1你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？答：三角形的中線能將三角形的面積平分.探究點三：

三角形的高1.學校有一塊三角形的實驗地，請思考如何用不同的方法將三角形面積四等分(方法不唯一).探究點三：

三角形的高銳角三角形直角三角形鈍角三角形高在內部的數(shù)量高之間是否相交高所在的直線是否相交三條高所在直線的交點位置311相交相交不相交相交相交相交三角形內部直角頂點三角形外部三角形的三條高線相交于一點(三角形的垂心).歸納總結：三角形的三條高的特性：探究點三：

三角形的高第1題圖1.如圖，在△

ABC

中，

BD

是角平分線，若∠

ABC

＝72°，則∠

ABD

＝

?°.36

2.[作圖易錯]如圖，虛線部分是小剛作的輔助線，你認為線段

CD

（

C

）A.是

AC

邊上的高B.是

BC

邊上的高C.是

AB

邊上的高D.不是△

ABC

的高第2題圖C3.在△ABC中，AB=18，BC=16，BD

是

AC

邊上的中線，若△ABD的周長為41，那么△BCD的周長是（

）A.39B.41C.43D.無法確定A4.[規(guī)范作答]如圖，已知△ABC.(1)CD

是△ABC的高，則∠ADC＝

＝90°，∠BDC

S△ABC＝

；

BEAB

BCFACB5.如圖，已知

AD

是△

ABC

的邊

BC

上的中線.（1）[作圖通關]作出△

ABD

的邊

BD

上的高；解：（1）如圖，

AE

即為所求.（2）若△

ABC

的面積為10，則△

ADC

的面積為

?；1）如圖，

AE

即為5

（3）若△

ABD

的面積為6，且

BD

邊上的高為3，求

BC

的長.解：（