分式的運算七年級數學下冊舉一反三（滬科版）

專題9.2分式的運算【十大題型】

【滬科版】

2/曲

【題型1含乘方的分式乘除混合運算】...........................................................1

【題型2分式的加減混合運算】..................................................................3

【題型3整式與分式的相加減運算】..............................................................7

【題型4分式加減的實際應用】..................................................................9

【題型5比較分式的大小】.....................................................................12

【題型6分式的混合運算及化簡求值】..........................................................14

【題型7分式中的新定義問題】.................................................................17

【題型8分式運算的規(guī)律探究】.................................................................21

【題型9整數指數幕的運算】...................................................................25

【題型10科學計數法表示小數】.................................................................27

?片蘆*三

【知識點1分式的乘除法法則】

分式是分數的擴展，因此分式的運算法則與分數的運算法則類似：

1）分式的乘法：分子的積為積的分子，分母的積為積的分母，能約分的約分。即：：x：二^

2）分式的除法：除式的分子、分母顛倒位置后，與被除數相乘。即：+：=

bdbcbe

3）分式的乘方：分子、分母分別乘方。（：）”=白

4）運算順序：先乘方，后乘除，最后加減。同級從左至右依次計算。有括號的，先算括號

中的，在算括號外的。

注：上述所有計算中，結果中分子、分母可約分的，需進行約分化為最簡分式

【知識點2分式的加減法則】

1）同分母分式：分母不變，分子相加減,士9=里

CCC

2）異分母分式：先通分，變?yōu)橥帜阜质剑偌訙p=三士能=胃

注：①計算結果中，分子、分母若能約分，要約分;②運算順序中，加減運算等級較低。若

混合運算種有乘除或乘方運算，先算乘除、乘方運算，最后算加減運算。

【題型1含乘方的分式乘除混合運算】

【例1】（2022?全國?八年級課時練習）（合了+（合yx合的結果是（）

A.rB.空C.伴"D.1

a+ba-b\a-b/

【答案】B

【分析】先計算分式的乘方，再把除法轉換為乘法，約分后即可得解.

【詳解】解：（合）J（公）2X合

（Q+8）2（Q-b）2a+b

（Q-b）2（a+b）2a-b

a+b

a—b

故選：B.

【點睛】此題主要考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答此題的關鍵.

【變式皿】（2。22?全國?八年級課時練習）⑴.需=---------；

⑵（》?（》.（?=——；

（3）（-3ad3c2）2^（-^）3=；

⑷（-與?（-就r-粉、-----:

⑸弓）2+喘）飛針=--------?

【答案］一網_±_退一皿三

5na338xa2

【分析】（1）根據分式的乘法法則計算即可：

（2）先算乘方，再算乘法即可;

（3）先算乘方，再算除法即可；

（4）先算乘方，再算乘除法即可;

（5）先算乘方，再算除法即可1

/a、n24m22m

【詳解】解:(1)-------=----

2m5n35n

(2)弓盧?（力6%），=甘,忌=-2；

（3）原式=9次心,4+（-竽）=9a266c4.（一募尸-壽;

（4）原式心.（一等尸|=9.（一票）.富=_誓;

⑸（忌2+（圣）2.今=忌+忌+'=導.譽/=W

2m1a5c3yazc2

故答案為:

藐，k-可'-X/

【點睛】本題考查了分式的乘、除、乘方的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵

【變式1-2］（2022?全國?八年級專題練習）［一懸y］?火/+［注竺］3

［公案］8（0+匕）3：2（0―卜）

3a

【分析】先計算乘方，再把除法轉化成乘法，再把分子、分母分解因式，然后約分得結果.

[詳解M—就卜爐E中13，

a7b2(a+b)4(a-b/8

3(a+b)a2a*(b-a)3*

8(a+b)3b2(a-b)

"3a'

【點睛】本題考杳了分式的乘除法，把分子分母因式分解是解決本題的關鍵.

【變式1-3](2022?湖南長沙?七年級階段練習)已知a,b,c,d,x,y,z,w是互不相等

22b2c222

的非零實數，且?abcdabed，則5+與+2+等的值為

a2y2+b2x2b2z2+c2y2c2w2+d2z2xyzwxLy/z。

【答案】2

a2b2b2cC2d2翳/即有：滁+b2XeV

【分析】設，即十嬴

a2y2+b2x2b2z2+c2y2c2w2+d2z2a2b27

黑+黑=髭=3化簡偌+捺4+5=/+彩器=匕則有與4與=哈

卜,z2y2w2a2c21b2d2iz2,w2.

xyzw_H=m，Q=="即Hl1彳=0=藍'齊=薪=/加+九=/+京=匕

abed

"篇=3,則問題即可得解?

【詳解】結合a,b,c,a,x,y,z,w是互不相等的非零實數進行下述運算,

a2b2b2c2C2d2abed1

設?

a2y2+b2x2b2z2+c2y2c2w2+d2z2xyzwk

222222222222

則有:ay+bx_bz+cy_cw+dz_xyzw_,

a2b2b2c2c2d2abed'

a2y2ft2%2_b2z2c2y2_c2w2d2z2_xyzw_,

即有:

淳十涯=即+即=而■+市=abed=R'

化簡:圻小

則有：3=3xyzw__,

設好"m,

二k"

d21,z2w2.

=-=-■>?n+n=—+—=k,

w2nc2d2

2222

xz2yw

則有：Hi?二H萬，71二京.至'

xyzw

即有：k==mn,

abed

m[[右a2b2c2d2222(m+?i)2k

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算法則和性質是解題的關鍵.

【題型2分式的加減混合運算】

【例2】(2。22?浙江杭州,九年級專題練習)對于任意的'值都有養(yǎng)=總+￡,則M,

N值為()

A.M=l,N=3B.M=-1,N=3C.M=2,N=4D.M=l,N=4

______-8y+4______

y4-2y3-7y2+8y+12

【點睛】本題考查分式的加減計算，熟練掌握各運算法則是解題的關鍵.

【變式2-2】(2022?全國?中考模擬)計算下列各式：

(1)J-+++上.

a-ba+ba^+b2a4+b^'

⑵爐+yz|y2zx?z2+xy.

x2+(y-z)x-yzy2+(z-x)y+zxz2-(x-y)z-xy，

(q)-T爐+12(7+1)

)X3+2X2+2X+1十X3-2X2+2X-1X2-l

(4)(<r)(zr)+(z-y)(x-y)+(x_z)(y_z)

(x-2y+z)(x+y-2z)(x+y-2z)(y+z-2x)(y+z-2x)(x-2y+z)'

【答案】(1)aB-b8⑵0(3)0(4)1

【詳解】試題分析：(1)先根據異分母的分式的加減法，先把前兩個分式通分，再求和，

依次計算下去即可；

(2)先把分子添項，構成能分組分解因式的式子，把分母利用整式的乘法展開，然后把分

母分子分解因式，利用同分母的分式相加減的逆運算約分化簡即可：

(3)根據立方差和立方和公式進行分子分母的因式分解，然后再約分化簡即可；

(4)設x-y=a,y?z=b,z-x=c,利用換元法進行約分化簡即可.

2244

試題解析：(1)&山a+ba+ba+b

2a2a4a3

222244

=a-b+a+b+a+b

4a34a3

=a4-b4+a4+b4

8a7

=a8-b,8.

x2+yz%y2-zx1z2+xy

(2)x2+(y-z)x-yzy2+(z+x)y+zxz2-(x-y)z-xy

x(”z)+z(x+y)y(x+y)-x(y4~z)z(yfz)-y(zr)

=(x+y)(x-z)+(x+y)(y+z)+(z-x)(y+z)

xzyxzy

=x+y+x-z+y+z-x+y-x-z-y+z

=0；

[x?+l2(x、+l)

(3)X3+2X2+2X+1X3-2X2+2X-1X2-1

(x-1)(x2+x+l)(x+1)(J-x+l)2(x2+l)

=(x+1)(x2+x+l)+(x-1)(x2-x+l)-(x+1)(x-1)

xTx+12(x2+l)

=x+1+x-1-(x+1)(x-1)

=0；

(4)設x-y=a,y-z=b,z-x=c,則

(y-x)(z-x)(z-y)(x-y)(x-z)(y-z)

(x-2y+z)(x+y-2z)(x+y-2z)(y+z-2x)(y+z-2x)(x-2y+z)

acabcb

=-(a-b)(b-c)-(b-c)(c-a)-(c-a)(a-b)

ac(c-a)+ab(a-b)+bc(b-c)

="(a-b)(b-c)(c-a)

(a-b)(b-c)(c-a)

=(a-b)(b-c)(c-a)

【變式2-3］（2022?河南省淮濱縣第一中學八年級期末）已知實數B），，z滿足

x+yy+zz+x

且--+與+旦=11，則X+）葉z的值為（）

6x+yy+zz+x/

A.12B.14c-7D.9

【答案】A

【分析】把上+n+上=11兩邊加上3,變形可得也上+工+工=14,兩邊除

x+yy+zZ+Tx+yy+zz+x

以（％+y+z）得到土+—+^=康，則就/從而得到無+y+z的值.

y+z

【詳解】解：???二一+j2=ii,

x+yy+zz+x

：?1H—■—F1H-----F1H——=14,

x+yy+zz+x

x+y+z+x+y+z

即也上十=14,

x+yy+zz+x

14

x+yy+zz+xx+y+z

而」一十二一十二一=(,

x+yy+zz+x6

147

x+y^z6

x+y+z=12.

故選：A.

【點睛】本題考查了分式的加減法，解題的關鍵是掌握同分母的分式相加減，分母不變，把

分子相加減.經過通分，異分母分式的加減就轉化為同分母分式的加減，同時解決問題的關

鍵也是從后面的式子變形出％+y+z.

【題型3整式與分式的相加減運算】

【例3】（2022?貴州銅仁八年級期末）計算：計一1-%的結果是

【答案】>

【分析】先把分式化成同分母，再根據同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，即可得

出答案.

【詳解】解：一一一1一%

1-X

11-xx（l-x）

=—

1-x1-x1-X

l-1+x-x+x2

=-rr-

X2

1-X

故答案為三.

【點睛】本題考查了分式的加減.熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

【變式3-1］（2022?山東偉沂?中考模擬）化簡：（a+2+三）

【答案】2a-6

【分析】先計算括號，進行通分，后按同分母加減計算，再計算乘除，約分即可.

【詳解】原式=（貯三一二）?"

\。-2Q-NQ+3

2

二a-9--2-（-a---2）

a-2Q+3

_（a+3）（a_3）29-2）

a-2a+3

=2（a-3）

=2a-6.

故答案為2a-6.

【點睛】本題考查分式的混合運算，解題的關鍵是記住分式的混合運算，先乘方，再乘除，

然后加減，有括號的先算括號里面的.

【變式?】（?福建福州?八年級期末）已知：P=x+1,

322022g=—x+1.

⑴當”>0時，判斷P-Q與0的大小關系，并說明理由；

⑵設y=若X是整數，求），的整數值.

【答案】⑴P-Q20,理由見解析；

（2）），的整數值為：-7,-3,-1,3.

【分析】（1）先求差，再比較差與0的大小關系;

（2）先表示卜再求），的整數值.

⑴

解：P-Q20,理由如下:

4X

X+1x+l

%24-2x4-1-4x

―x+1

_(x-i)2

―x+l，

ax->o,

l?Lv+l>0.(jr-1)2>0.

0P-C>O；

⑵

腮__3__2x__3-2x_-2(x+l)+5

廨：'-x+lx+l~x+l~x+l

,5

=-2o+——，

X+l

取，y是整數，

取+1是5的因數.

ar+l=±l,±5.對應的y值為：

13y=-2+5=3或y=-2+（-5）=-7或y=-2+l=-l或產-2+（-1）=-3.

也的整數值為：-7,-3,-1,3.

【點睛】本題考查分式運算和比較大小，正確進行分式的加減運算是求解本題的關鍵.

【變式3-3］（2022?河北?中考真題）由（奈-f值的正負可以比較力=崇與3勺大小，下列

正確的是（）

A.當c=-2時，/I=1B.當c=。時,力行

C.當c<-2時，A>\D.當c<。時，<1

【答案】C

【分析】先計算（景-鄉(xiāng)的值，再根。的正負判斷（崇-J的正負，再判斷4與京勺大小即可.

【詳解】解：辭一；點，

當c=-2時，2+c=0,4無意義，故A選項錯誤，不符合題意；

當c=0時，75=0,A=^故B選項錯誤，不符合題意；

4+2rC2

當CV-2時，-￡->0,Z>|,故。選項正確，符合題意；

4+2C2

當—2VcV0時，—^―<0,A<-\當cV—2時，一￡—>0,A>-,故。選項錯誤，不符

4+2C24+2C2

合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了分式的運算和比較大小，解題關鍵是熟練運用分式運算法則進行計算,

根據結果進行準確判斷.

【題型4分式加減的實際應用】

【例4】（2022?全國?八年級單元測試）某飛行器在相距為機的甲、乙兩站間往返飛行.在

沒有風時，飛行器的速度為也往返所需時間為口；如果風速度為p（0<p<切，則飛行器

順風飛行速度為8+p），逆風飛行速度為（u-p），往返所需時間為今.貝狂1、J的大小關系

為（）

A.口<t2B.ti<t2C.“>t2D.無法確定

【答案】A

【分析】直接根據題意表示出0，以的值，進而利用分式的性質的計算求出答案.

■、注山〃.2mm,m2mv

【詳解】解：址ra。二^+而=虧7,

?,2m2mvImp2

酰1-一虧7=一而不，

00<p<v,

配1一七2V0，

叫<t2-

故選：A.

【點睛】本題考查了列代數式，熟練的掌握正確的分式加減運算是解題的關鍵.

【變式4-1]（2022?全國?八年級單元測試）課本中有一探究活動如下："商店通常用以下方

法來確定兩種糖混合而成的什錦糖的價格：設4種糖的單價為Q元/千克，B種糖的單價為6元

/千克,則m千克/種糖和就千克8種糖混合而成的什錦糖的單價為%型（平均價）.現有甲

m+n

乙兩種什錦糖，均由48兩種糖混合而成.其中甲種什錦糖由10千克4種糖和10千克8種

糖混合而成；乙種什錦糖由100元A種糖和100元8種糖混合而成.你認為哪一種什錦糖的

單價較高？為什么？”請你完成下面小明同學的探究：

⑴小明同學根據題意，求出甲、乙兩種什錦糖的單價分別記為和5,（用a、b的代數式表

示）；

⑵為了比較甲、乙兩種什錦糖的單價，小明想到了將沏片元乙進行作差比較，即計算土伊-土乙

的差與0比較來確定大小；

⑶經過此探究活動，小明終于悟出了建議父親選擇哪種方式加油比較合算的道理（若石油

價格經常波動.方式一：每次都加滿；方式二：每次加200元）.選擇哪種方式？請簡要說

明理由.

【答案】⑴]伊=4。+力），元N=簽

⑵甲糖的單價較高，理由見解析

⑶方式二更合算

【分析】（1）根據單價=總價+數量分別求出甲糖單價和乙糖單價;

（2）根據作差法比較大小即可求解;

（3）由探究的結果進行分析即可.

（1）

解：甲糖單價為：5斯（10a+106）+20="Q+8）（元），

乙糖單價為：元乙=（100+100）+（詈+詈）=瞿（元）；

（2）

12ab

5（。+力）一

a+b

（a4-b）2—4ab

=2（a+b）

二（Q--）2

-2（a+b）

回甲、乙兩種什錦糖，均由A,8兩種單價不同的糖混合而成,

0,

團甲糖的單價較高.

(3)

由探究可知方式一相當于甲種什錦糖，方式二相當于乙種什錦糖，

故選擇方式二更合算.

【點睛】本題考查了列代數式（分式），分式的加減法.注意代數式的正確書寫：出現除號

的時候，用分數線代替.

【變式4-2]（2022?浙江杭州?七年級期末）甲、乙兩人同時從人地出發(fā)到8地，距離為100

千米.

（1）若甲從A地出發(fā)，先以20千米/小時的速度到達中點，再以25千米/小時的速度到達

6地，求走完全程所用的E寸間.

（2）若甲從A地出發(fā)，先以千米/小時的速度到達中點，再以2V千米/小時的速度到達B

地.乙從A地出發(fā)到B地的速度始終保持V千米/小時不變，請問甲、乙誰先到達B地？

（3）若甲以a千米/時的速度行走x小時，乙以0千米/時的速度行走x小時，此時甲距離終

點為（100-。%）千米，乙距離終點為（100-匕%）千米.分式既琮對一切有意義的x值都有

相同的值，請?zhí)剿鳌ǎ☉獫M足的條件?.

【答案】（1）4.5小時；（2）乙先到；（3）a,b應滿足的條件是。二從

【分析】（1）根據“時間=路程+速度”分別求出兩段路程的時間，再求和即可得；

（2）根據“時間=路程+速度〃分別求出甲、乙走完全程所用的時間，再比較大小即可■得：

（3）設翳陛=鼠從而可得100—100k+（地一。）無=0,再根據無關型問題求解即可得.

【詳解】（1）由題意得：t+20++25,

=2.5+2,

=4.5(小時)，

答：走完全程所用的時間為4.5小時；

100100

(2)甲走完全程所用的時間為無+衰=等+1二*

乙走完全程所用的時間為臂，

m因u為▼100<_▽125，

所以乙先到；

(3)設^^=匕則100-ox=k(100-bx),

整理得：100-100k+(Ab-a)x=0,

因分式黑會對.切有意義的工值都有相同的值，

ioo-bx

0k的值與X的取值無關，

歐匕-Q=0,即a=kb,

0100-100/c=0,

解得k=1,

Ba=

故a,b應滿足的條件是。=匕.

【點睛】本題考查了分式加減的應用等知識點，依據題意，正確列Hd各運算式子是解題關鍵.

【變式4-3](2022?重慶?模擬預測)一個自然數能分解成4XB,其中A,B均為兩位數,A

的十位數字比8的十位數字大1,且A,B的個位數字之和為10,則稱這個自然數為“分解

數".

例如：04819=79X61,7比6大1,1+9=10,回4819是"分解數”；

乂如：01496=44X34,4比3大1,4+4*10,(31496不是“分解數”.

⑴判斷325,851是否是"分解數”,并說明理由;

⑵自然數M=AX8為“分解數〃，若A的十位數字與4的個位數字的和為P(M),A的個位數

字與8的十位數字的和"M),令G(M)=能，當G(M)為整數時，則稱M為“整分解數、若

8的十位數字能被2整除，求所有滿足條件的“整分解數，M.

【答案】⑴325不是“分解數〃，851是〃分解數〃，理由見解析

(2)899,891,8099

【分析】(1)325=25x13,851=37x23,根據定義進行求解判斷即可；

(2)令B=10x+y,A=10(x4-1)+10-y,(1<x<8,1<y<9,且x,y為整數)，

可得P(M)=x+y+l,f(7n)=x-y+10,G(M)=言黑，由;為整數，可知％=2,4,

6,8,然后分情況，求出符合題意的x,y的值，計算M即可.

(1)

解：(3325=25x13,2比1大1,5+3010,伺325不是"分解數";

團851=37x23,3比2大1,7+3=10,0851是“分解數

⑵

解：令8=10x+y,/l=10(x+l)+10-y,(1<x<8,1<y<9,且x,y為整數)

團P(M)=x+y+1,F(M)=x—y+10

0G(M)=x+y+1

x-y+10

苗為整數

0x=2?4,6,8

當％=2時，6(")=岑7=-1+-7為整數

-y+12-y+12

(3-y+12的值為3或5

團解得y=9或7

團Mi=31X29=899

M2=33x27=891

團x=4或％=6時，不存在G(M)為整數

團舍去

當x=8時，6(")=上三二一1+二^為整數

-y+13-y+18

0-y+18=9

閏解得y=9

0M3=91x89=8099

綜上所述，M的值為899,891,8099.

【點睛】本題考查了新定義下的是實數運算.解題的關鍵與難點在于理解題意并根據要求進

行求解.

【題型5比較分式的大小】

【例5】(2022?全國?七年級單元測試)設時=空，N=*,當％>y>0時，M和N的大小

x+1XJ

關系是()

A.M>NB.M=NC.M<ND.不能確定

【答案】A

【分析】用差值法比較大小，M-N=W-二進行通分，由％：>y>0可判斷M、N的大

X+lXJ

小.

【詳解】M—N二空一］

X+1X

_xCy+i)-y(*+i)

x(x+l)

xy+x—xy—y

=~x(x+1)-

■x-y

x(x+l)'

0x>y>O

0x(x+l)>O,x-y>0

0M-N>O

故M>N.選A.

【點睛】本題考查分式加減的實際應用.異分母分式相減，先通分，再按照同分母分數減法

法則進行計算.還需注意本題最終計算結果是分式，可分別判斷分子和分母的符號，根據兩

數相除，同號為正，異號為負判斷結果的符號.

【變式5-1](2022?河北秦皇島?八年級期末)已知n>l,M=―,N=—,P=—,則

n-1nn+1

M、N、P的大小關系為.

【答案】M>P>N

【分析】根據九>1可得M>1,O</V<1,O<P<1,從而得到M最大，然后用作差法比較

0,N的大小即可.

【詳解】解：0n>1,

0n—1>0,n>n—1,

0M>1,0</V<1,0<P<1,

團M最大；

團P>N,

團M>P>N,

故答案為：M>P>N.

【點睛】本題考查了不等式的性質和利用作差法比較兩個代數式的大小，作差法比較大小的

方法是：如果a-/)>0,那么Q>b；如果Q-力=0,那么Q=b；如果a—力V0,那么a<b；

另外本題還用到了不等式的傳遞性，即如果a>b,b>c,那么a>b>c.

【變式5-2](2022?全國?幾年級競賽)已知”,y,z是三個互不相同的非零實數，設a=/十

y2+z2,b=xy+yz+zx,c=-^+-^+-^,d=—+—+則a與b的大小關系是：

Jx2y2z2xyyzzx

c與d的大小關系是.

【答案】a>bc>d

【分析】根據題意利用作差法進行整式與分式的加減運算，并將結果與0比較大小即可確定

兩數間的大小關系.

【詳解】解：0x,y,z是三個互不相同的非零實數，

0a-b=x2+y24-z2—(xy+yz+zx)=1[(x—y)2+(y—z)24-(z—x)2]>0.

I3a>b.

又C—d=^+^+9c+2+3一七=)2+(二_邛+0_邛]>。，

x&y￡z"\xyyzzx)2[\xyJ\yz/\zxJ

0C>d.

故答案為：。>8和0比

【點睛】本題考查式子的大小比較，用作差法得到代數式，運用完全平方公式配成完全平方

的形式，根據x,y,z是互不相等的非零實數，證明代數式大于0,得到a與b,c與d的大

小關系.

【變式5-3](2022?內蒙與呼和浩特市國￡中學八年級期末)若。>0,心安.

a+2a+3

(1)當a=3時，計算M與N的值；

(2)猜想M與N的大小關系，并證明你的猜想.

【答案】(1)〃=￡N=*；(2)MVN；證明見解析.

【分析】(1)直接將代入原式求出歷，N的值即可;

(2)直接利用分式的加減以及乘除運算法則，進而合并求出即可.

【詳解】(1)當0=3時，M=坐=1N=曾=]

(2)方法一：猜想：M<N.理由如下：

,.a+la+2(a+l)(a+3)-(a+2)-1

a+2a+3(a+2)(a+3)(a+2)(a+3)

M>0,團a+2AO,a+3AO,13-----------<U,RIM-/V<0,團M<N；

(a+2)(a+3)

方法二：猜想：M<N.理由如下：

Ma+la+3a2+4a+3

-----------------.

Na+2a+2a2+4a+4

團。>0,團W>0,N>0,〃+4a+3>0,成丁4a+3〈匕孵團MVN.

a2+4a+4N

【點睛】本題考查了分式的加減以及乘除運算，正確通分得出是解題的關鍵.

【題型6分式的混合運算及化簡求值】

【例6】(2022?大津東阿八年級期末)計算

⑴豪言+G)2

(2)—4-^-—

a-la"-la-l

【答案】⑴*(2)臺

【分析】(1)先將除法寫成乘法，再計算乘法，分子、分母約分化為最簡分式；

(2)先將除法寫成乘法，計算乘法得到最簡分式，再與后一項相減即可得到答案.

【詳解】⑴原式=條券

⑵原式

a(a-l)a-1a-1a-1a-1"

【點睛】此題考查分式的混合運算，先將除法化為乘法，再約分結果，再計算加減法.

【變式6/】（2022?廣東惠州?模擬預測）先化簡，再求值一一號勺等’其中尸

-2,y

2

【答案】yi

x-2y6

【分析】原式利用除法法則變形，約分后兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最

簡結果，之后將x、y代入計算即可求得答案.

【詳解】解：原式=1-9.用第=i—w=-/,

x+y（,x-2y）2x-2yx-2y

當X=-2,時，原式=；.

26

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練的掌握分式的運算法則是解本題的關鍵，在解題

的時候,要注意式子的整理和約分.

【變式6-2]（2022?江蘇?南京玄武外國語學校八年級期中）已知分式A=9+1-2）+

、a-Y

a2-4a+4

a-1

（1）化簡這個分式；

（2）當a>2時，把分式A化簡結果的分子與分母同時加上4后得到分式B,問：分式

B的值較原來分式A的值是變大了還是變小了？試說明理由;

（3）若A的值是整數，且a也為整數，求出符合條件的所有a值的和.

【答案】（1）竺|：（2）原分式值變小了，見解析；（3）11

a-2

【分析】（1）根據分式混合運算順序和運算法則化簡即可得；

（2）根據題意列出算式4一8二竺|一二，化簡可得4-8=,二:「、,結合a的范圍判

a-2a+2（a-2）（a+2）

斷結果與。的大小即可得;

(3)由A="^=1+可知，a—2=±l^±2、±4,結合a的取值范圍可得.

a-2a-2

【詳解】解：⑴A=(Q+1—3)+巴竽

'a-lza-1

：。2-1-3乂a-1

a-1(a-2)2

(q4-2)(a-2)xa-1

a-1(a-2)2

a+2

(2)變小了，理由如下：

ri,a+2

0/1=------

a-2

E4a+2a+616

囿4—8D=------------------=-------------------；

a-2a+2(a-2)(a+2)

0a>2,

0a-2>0,a+2>4,

團4-/?>0,

回分式的值變小了；

（3）團A是整數，a矩整數，

則力=吟=1+，;，

a-2a-2

回。一2=±1、±2、±4,

團a工1,

（3a的值可能為:3、0、4、6、2

034-0+44-6+（-2）=11：

團符合條件的所有a值的和為11.

【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算

法則.

【變式6-3］（2022?全國?八年級單元測試）已知x.y為整數，且滿足G+；）&+/）=

號（或一3，求*+y的值?

【答案】x+y的值為?；蚴?.

【分析】根據平方差公式和約分法則把原式化簡，根據取整法則解答即可.

【詳解］解：團（：+》（或+/）=一家;撲

%忌+?=—1&+揖（9_曰，

呢+夕=號&_/

毗+；）|1+式*）］=0，

■+工=0或1+，工-9=0,

xy3\xy/

0x+y=0或；——p

由乙二二一5，得％=7^~二二，

xy22-3y~~3

由于x,y為整數，

當y=l時,x為整數-2,則A+3,=-1：

當廣-1時，工為:不是整數，不符合題意，舍去；

當尸2時，x為整數-1,則戈+），=1；

當尸-2時?，x為假，不是整數，不符合題意，舍去；

綜上，x+y的值為0或士1.

【點睛】本題考查的是分式的混合運算，掌握平方差公式是解題的關鍵.

【題型7分式中的新定義問題】

【例7】（2022?北京昌平八年級期中）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為

常數的分式的和的形式，則稱這個分式為"和諧分式如:==二=W+三=1+三,

x-1x-1x-1X-lX-1

則曾是，，和諧分式，，.

⑴下列分式中，屬于“和諧分式〃的是:填序號）；

①等②？③出④詈

⑵請將“和諧分式〃藝產化為一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式，并寫出化簡

過程；

⑶應用：先化簡卜-喜）+沿?焉并求X取什么整數時，該式的值為整數.

【答案】⑴②③

（2）%+3—告^,過程見解析

⑶當％=-5,-7「9,該式的值是整數，

【分析】（1）由“和諧分式〃的定義對①②③④變形即可得;

（2）根據“和諧分式〃的定義進行變形即可求解；

（3）將原式變形為根據題意求得“的值’根據分式有意義的條件取舍即可求解.

【詳解】⑴解:①等=1+京不是“和諧分式％

②濘=1一：，是“和諧分式〃，

③震=,=1一也是"和諧分式〃，

④詈=5+2,不是"和諧分式"，

故答案為：②③；

（2）解：三產

(x+3)2-6

x+3

=無+3——；

X+3

(3)解:”上)+餐會

\x+17X2-9X2+6X

_X(X+1)-X(%+3)(無-3)x+1

-~x+1-x(x-3)x(x+6)

_x2(x+l)(x+3)(x-3)

x2(x+l)(x—3)(%+6)

x+3

x+6

x+6-3

x4-6

-13

-1一右’

凱-三為整數，

r+A

0%+6=±1,±3,

團當％=-3,-5,—7,—9時，1一名是整數，

又團XH0,—1,3,—3,-6.

耽=-5,-7,-9時,原式的值是整數.

【點睛】本題主要考查分式的化簡及分式有意義的條件，解題的關鍵是熱練掌握分式的混合

運算法則及對和諧分式的定義的理解.

【變式7-1](2022?江蘇?八年級)定義：若兩個分式的和為n5為止整數)，則稱這兩個

分式互為，階分式"，例如分式會與告互為"3階分式

(1)分式盤與互為"5階分式"；

(2)設正數x,y互為倒數，求證：分式品與券互為“2階分式”；

(3)若分式士與瑞;互為“1階分式〃(其中a,8為正數)，求ab的值.

【答案】(i)m-；ci詳見解析；門)；

【分析】(1)根據分式的加法，設所求分式為A,然后進行通分求解即可；

(2)根據題意首先利用倒數關系，將x,)，進行消元，然后通過分式的加法化簡即可得解；

(3)根據1階分式的要求對兩者相加進行分式加法化簡，通過通分化簡即可得解.

【詳解】(1)依題意，所求分式為A,即：野+力=5,

?5I

.L10x15+lOxlOx15

0ra/4=5-----=------------=----;

3+2x3+2x3+2x3+2x

(2)團正數匕y互為倒數

0xy=1,即x=:

二+且=總+3=二+空=￡^=2

x+y2y+x2"+y2y+~i1+y3y3+l1+y3

團分式島與島互為"2階分式〃；

(3)由題意得品+品=L等式兩邊同乘(a+4b2)(a2+2b)

化簡得：a(a2+2b)+2b(a+4b2)=(a2+2b)(a4-4b2)

即：2ab+8b3=4a2b2+助3

04a2/）2—2ab=0,即2ab（2ab-1）=0

Mb=：或0

為正數

^ab=

【點睛】本題主要考查了分式的加減，熟練掌握分式的通分約分運算知識是解決此類問題的

關鍵.

【變式7-2］（2022?江蘇?灌南縣揚州路實驗學校八年級階段練習）定義：若分式M與分式N

的差等于它們的積，即M-N=MN,則稱分式N是分式M的"關聯分式".如」7與2，因為

=西看，*、木=品百所以全是W的“關聯分式〃?

⑴已知分式上，則等______告的“關聯分式”（填”是〃或“不是〃）；

a2-la2+l-------a2-l

⑵小明在求分式士的“關聯分式”時，用了以下方法：

+y

設會的“關聯分式',為M則/一N=/XN,

團（品+1）”小

團”小.

請你仿照小明的方法求分式三的“關聯分式〃.

2Q+3b

⑶①觀察（1）（2）的結果，尋找規(guī)律，直接寫出分式號的“關聯分式J:

②用發(fā)現的規(guī)律解決問題：

若磊是黑的“關聯分斗求實數小力的值?

【答案】⑴是

⑵''3a目+2b

⑶①言②仁？

【分析】（1）根據關聯分式的定義進行判斷;

（2）仿照題目中給到的方法進行求解；

（3）①根據（1）（2）找規(guī)律求解；

②由①推出的結論，類比形式求解即可.

（1）

解.已22二42共24

?a2-la2+l(a2-l)(a2+l)*a2-lXa2+l(a2-l)(a2+l)

舄是占的“關聯分式”

故答案為：是

（2）

解：設反■的“關聯分式”為N，則/—N=XXN,

2Q+3。2a+3b2a+3b

(懸+1)”舄

回”懸

(3)

解：①設（的“關聯分式"為N,則（—N=?xN,

團化+I)N=3

團N=M

故答案沏言

②由題意，可得k+管:怎4=窘+2

整理得I二二二：2

m=--

解得4

n=l,

4

【點睛】本題是創(chuàng)新探究類題目，讀懂題目中的新定義并熟練地掌握分式的混合運算是解決

本題的關鍵.

【變式7-3]（2022?江西南昌?八年級期末）定義：若兩個分式的和為〃（〃為正整數），則

稱這兩個分式互為，和分式〃.例如；-三+蕓=5,我們稱兩個分式三與三互為”和分

x+lx+1x+lX+1

式〃.解答下列問題：

（1）分式三與分式互為“4和分式〃；

（2）分式與與分式互為"和分式”；