中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀專項(xiàng)訓(xùn)練》專題10二次函數(shù)交點(diǎn)綜合應(yīng)用(知識(shí)解讀)-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)《重難點(diǎn)解讀專項(xiàng)訓(xùn)練》(原卷版+解析)

/專題10二次函數(shù)交點(diǎn)綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】二次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題主要會(huì)涉及到與水平直線、豎直直線、一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，會(huì)考察交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、交點(diǎn)個(gè)數(shù)的分類討論，對(duì)于計(jì)算的要求非常高，特別考驗(yàn)學(xué)生平時(shí)的基本功~比較難的題型還會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的幾何變化，題目中會(huì)將二次函數(shù)的圖象的一部分沿x軸或者y軸進(jìn)行對(duì)稱，得到新的函數(shù)圖象，再去研究直線與新圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。因?yàn)闀?huì)涉及到一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，所以對(duì)于學(xué)生不僅要對(duì)二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)掌握的比較好，而且也要對(duì)于一次函數(shù)能夠熟練應(yīng)用。經(jīng)常會(huì)涉及到一次函數(shù)旋轉(zhuǎn)、平移兩種形式的交點(diǎn)問(wèn)題，這部分知識(shí)點(diǎn)對(duì)于不少學(xué)生也有很大壓力?！镜淅治觥俊镜淅?】（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2+m+1，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)A（﹣2，1），B（0，1）．（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用m表示）；（2）若二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）若二次函數(shù)圖象與線段AB有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．【變式1-1】（2021?廣州）已知拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）當(dāng)m＝0時(shí)，請(qǐng)判斷點(diǎn)（2，4）是否在該拋物線上；（2）該拋物線的頂點(diǎn)隨著m的變化而移動(dòng)，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到最高處時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若該拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，求該拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【變式1-2】（2022?西華縣三模）已知拋物線y＝mx2+nx+5m交y軸于點(diǎn)M，其對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，N是拋物線上一點(diǎn)，且MN∥x軸，MN＝6．（1）拋物線y＝mx2+nx+5m的對(duì)稱軸是直線；（2）用含m的代數(shù)式表示n；（3）已知點(diǎn)P（2，0）和Q（6，8m﹣2），當(dāng)拋物線y＝mx2+nx+5m與線段PQ有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．【變式1-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）設(shè)二次函數(shù)y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是實(shí)數(shù)．（1）若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣1），①求此函數(shù)的表達(dá)式；②當(dāng)0≤x≤t時(shí)，﹣2≤y≤2，直接寫出t的取值范圍．（2）若﹣2≤x≤2，二次函數(shù)y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m的最小值為1，求m的值．（3）已知A（﹣1，3），B（2，3），若該二次函數(shù)的圖象與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)（不包括A，B兩個(gè)端點(diǎn)），直接寫出m的取值范圍．【典例2】（2022?廣西）已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A的直線l：y＝﹣x﹣1與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接PA，PC，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)PA＝PC時(shí)，求m的值；（3）將線段AB先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段MN，若拋物線y＝a（﹣x2+2x+3）（a≠0）與線段MN只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．【變式2-1】（2022?河南模擬）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c分別交x軸、y軸于點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，﹣3），連接AC．（1）求該拋物線的解析式．（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，當(dāng)x1≤﹣2，m≤x2≤m+1時(shí)，均有y1≥y2，求m的取值范圍．（3）將該拋物線向左平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的新拋物線與線段AC只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．【變式2-2】（2022?開(kāi)封一模）已知拋物線y＝x2+bx+c的圖象開(kāi)口向上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（，）．（1）求拋物線的解析式．（2）用配方法求出拋物線的頂點(diǎn)和對(duì)稱軸．（3）若點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于此拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)D在拋物線上，且橫坐標(biāo)為4，記拋物線在點(diǎn)A，D之間的部分（含點(diǎn)A，D）為圖象M，若圖象M向下平移t（t＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)與直線BC只有一個(gè)交點(diǎn)，求t的取值范圍．【變式2-3】（2022?商水縣二模）直線y＝x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B．（1）求該拋物線的解析式．（2）根據(jù)圖象直接寫出x2+bx＞x﹣c﹣3的解集；（3）將點(diǎn)B向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到C，若拋物線y＝x2+bx+c+m與線段BC恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．/專題10二次函數(shù)交點(diǎn)綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】二次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題主要會(huì)涉及到與水平直線、豎直直線、一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，會(huì)考察交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、交點(diǎn)個(gè)數(shù)的分類討論，對(duì)于計(jì)算的要求非常高，特別考驗(yàn)學(xué)生平時(shí)的基本功~比較難的題型還會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的幾何變化，題目中會(huì)將二次函數(shù)的圖象的一部分沿x軸或者y軸進(jìn)行對(duì)稱，得到新的函數(shù)圖象，再去研究直線與新圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。因?yàn)闀?huì)涉及到一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，所以對(duì)于學(xué)生不僅要對(duì)二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)掌握的比較好，而且也要對(duì)于一次函數(shù)能夠熟練應(yīng)用。經(jīng)常會(huì)涉及到一次函數(shù)旋轉(zhuǎn)、平移兩種形式的交點(diǎn)問(wèn)題，這部分知識(shí)點(diǎn)對(duì)于不少學(xué)生也有很大壓力?！镜淅治觥俊镜淅?】（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2+m+1，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)A（﹣2，1），B（0，1）．（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用m表示）；（2）若二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）若二次函數(shù)圖象與線段AB有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1，∴拋物線頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，m+1）．（2）∵拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+1），∴當(dāng)m+1≤0時(shí)，拋物線與x軸有交點(diǎn)，解得m≤﹣1．（3）∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+1），∴拋物線頂點(diǎn)所在圖象為直線y＝x+1，當(dāng)m＜﹣2時(shí)，拋物線對(duì)稱軸在點(diǎn)A左側(cè)，把A（﹣2，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+m+1得1＝4+4m+m2+m+1，解得m＝﹣4或m＝﹣1（舍），如圖，∴m增大時(shí)，拋物線與線段有交點(diǎn)，當(dāng)m＜0時(shí)，拋物線對(duì)稱軸在點(diǎn)B左側(cè)，把B（0，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+m+1得0＝1﹣2m+m2+m+1，解得m＝﹣1或m＝2（舍）．此時(shí)拋物線同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，如圖，∴﹣4≤m＜﹣1滿足題意．m增大，拋物線沿直線y＝x+1移動(dòng)，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)m＝0，∴﹣1＜m≤0滿足題意．綜上所述，﹣4≤m＜﹣1或﹣1＜m≤0．【變式1-1】（2021?廣州）已知拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）當(dāng)m＝0時(shí)，請(qǐng)判斷點(diǎn)（2，4）是否在該拋物線上；（2）該拋物線的頂點(diǎn)隨著m的變化而移動(dòng)，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到最高處時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若該拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，求該拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)m＝0時(shí)，拋物線為y＝x2﹣x+3，將x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，∴點(diǎn)（2，4）不在拋物線上；（2）拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的頂點(diǎn)為（，），化簡(jiǎn)得（，），頂點(diǎn)移動(dòng)到最高處，即是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)最大，而＝﹣（m﹣3）2+5，∴m＝3時(shí)，縱坐標(biāo)最大，即是頂點(diǎn)移動(dòng)到了最高處，此時(shí)該拋物線解析式為y＝x2﹣4x+9，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，5）；（3）設(shè)直線EF解析式為y＝kx+b，將E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：，解得，∴直線EF的解析式為y＝2x+1，由得：或，∴直線y＝2x+1與拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交點(diǎn)為：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在線段EF上，∴若該拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，則（m+1，2m+3）不在線段EF上，或（2，5）與（m+1，2m+3）重合，∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此時(shí)2m+3＝5），∴此時(shí)拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x頂點(diǎn)＝＜﹣或x頂點(diǎn)＝＞或x頂點(diǎn)＝＝＝1．【變式1-2】（2022?西華縣三模）已知拋物線y＝mx2+nx+5m交y軸于點(diǎn)M，其對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，N是拋物線上一點(diǎn)，且MN∥x軸，MN＝6．（1）拋物線y＝mx2+nx+5m的對(duì)稱軸是直線；（2）用含m的代數(shù)式表示n；（3）已知點(diǎn)P（2，0）和Q（6，8m﹣2），當(dāng)拋物線y＝mx2+nx+5m與線段PQ有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．【解答】解：（1）∵M(jìn)N＝6，點(diǎn)M，N關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝3，故答案為：x＝3．（2）∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝3，∴m＝﹣．（3）∵m＝﹣，∴n＝﹣6m，∴y＝mx2﹣6mx+5m＝m（x﹣1）（x﹣5），∴拋物線經(jīng)過(guò)（1，0），（5，0），如圖，m＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)點(diǎn)Q在拋物線上或外部時(shí)符合題意，將x＝6代入y＝mx2﹣6mx+5m得y＝5m，∴5m≥8m﹣2，解得m，∴0＜m≤符合題意．當(dāng)m＜0，拋物線開(kāi)口向下，5m＞8m﹣2，∴點(diǎn)Q在拋物線內(nèi)部，不符合題意，綜上所述，0＜m≤．【變式1-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）設(shè)二次函數(shù)y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是實(shí)數(shù)．（1）若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣1），①求此函數(shù)的表達(dá)式；②當(dāng)0≤x≤t時(shí)，﹣2≤y≤2，直接寫出t的取值范圍．（2）若﹣2≤x≤2，二次函數(shù)y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m的最小值為1，求m的值．（3）已知A（﹣1，3），B（2，3），若該二次函數(shù)的圖象與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)（不包括A，B兩個(gè)端點(diǎn)），直接寫出m的取值范圍．【解答】解：（1）①將點(diǎn)（1，﹣1）代入y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，∴﹣1＝1﹣2（m+1）+3﹣m，解得m＝1，∴y＝x2﹣4x+2；②∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)有最小值﹣2，當(dāng)y＝2時(shí)，x＝0或x＝4，∴2≤t≤4；（2）∵y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m＝（x﹣m﹣1）2﹣m2﹣3m+2，∴當(dāng)x＝m+1時(shí)，函數(shù)有最小值﹣m2﹣3m+2，當(dāng)m+1≤﹣2時(shí)，即m≤﹣3，此時(shí)x＝﹣2，函數(shù)有最小值，∴4+4（m+1）+3﹣m＝1，解得m＝﹣；當(dāng)﹣2＜m+1＜2時(shí)，即﹣3＜m＜1，此時(shí)﹣m2﹣3m+2＝1，解得m＝，∵﹣3＜m＜1，∴m＝；當(dāng)m+1≥2時(shí)，即m≥1，此時(shí)x＝2，函數(shù)有最小值，∴4﹣4（m+1）+3﹣m＝1，解得m＝（舍）；綜上所述：m的值為﹣或；（3）∵二次函數(shù)的圖象與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，∴或，解得m＞0或m＜﹣3．【典例2】（2022?廣西）已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A的直線l：y＝﹣x﹣1與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接PA，PC，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)PA＝PC時(shí)，求m的值；（3）將線段AB先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段MN，若拋物線y＝a（﹣x2+2x+3）（a≠0）與線段MN只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵拋物線對(duì)稱軸為：x＝＝1，∴設(shè)P（1，m），由﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1得，x3＝﹣1（舍去），x4＝4，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣4﹣1＝﹣5，∴C（4，﹣5），由PA2＝PC2得，22+m2＝（4﹣1）2+（m+5）2，∴m＝﹣3；（3）可得M（0，5），N（4，5），當(dāng)a＞0時(shí)，∵y＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴拋物線的頂點(diǎn)為：（1，4a），當(dāng)4a＝5時(shí)，只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴a＝，當(dāng)x＝0時(shí)，y＞5，∴3a＞5，∴a＞，∴a＞或a＝，當(dāng)a＜0時(shí)，（﹣16+8+3）a≥5，∴a≤﹣1，綜上所述：a＞或a＝或a≤﹣1．【變式2-1】（2022?河南模擬）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c分別交x軸、y軸于點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，﹣3），連接AC．（1）求該拋物線的解析式．（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，當(dāng)x1≤﹣2，m≤x2≤m+1時(shí)，均有y1≥y2，求m的取值范圍．（3）將該拋物線向左平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的新拋物線與線段AC只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝1，將x＝﹣2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝5，∴拋物線經(jīng)過(guò)（﹣2，5），點(diǎn)（﹣2，5）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為（4，5），∴﹣2≤m＜m+1≤4，解得﹣2≤m≤3．（3）∵拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），C（0，﹣3），拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，∴拋物線經(jīng)過(guò)（3，0），（2，﹣3），3﹣（﹣1）＝4，∴拋物線向左平移4個(gè)單位經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，2﹣0＝2，∴拋物線向左平移2個(gè)單位經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴當(dāng)2≤n≤4時(shí)，滿足題意．【變式2-2】（2022?開(kāi)封一模）已知拋物線y＝x2+bx+c的圖象開(kāi)口向上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（，）．（1）求拋物線的解析式．（2）用配方法求出拋物線的頂點(diǎn)和對(duì)稱軸．（3）若點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于此拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)D在拋物線上，且橫坐標(biāo)為4，記拋物線在點(diǎn)A，D之間的部分（含點(diǎn)A，D）為圖象M，若圖象M向下平移t（t＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)與直線BC只有一個(gè)交點(diǎn)，求t的取值范圍．【解答】解：（1）將A（0，3），B（，）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣2x+3．（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），對(duì)稱軸為直線x＝1．（3）∵點(diǎn)C與點(diǎn)A（0，3）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，3），設(shè)直線BC解析式為y＝kx+m，將（2，3），（，）代入y＝kx+m得，解得，∴y＝x+2，將x＝0代入y＝x+2得y＝2，將x＝4代入y＝x+2得y＝4，∴直線經(jīng)過(guò)（0，2），（4，4），將x＝4代入y＝x2﹣2x+3得y＝16﹣8+3＝11，∴當(dāng)1