中考數(shù)學一輪復習之必考點題型全歸納與分層精練專題29圓的有關概念(學生版+解析)

/專題29圓的有關概念【專題目錄】技巧1：巧用圓的基本性質解圓的五種關系技巧2：垂徑定理的四種應用技巧技巧3：圓中常見的計算題型【題型】一、圓的周長與面積問題【題型】二、利用垂徑定理進行計算【題型】三、垂徑定理的實際應用【題型】四、利用弧、弦、圓心角的關系求解【題型】五、利用弧、弦、圓心角的關系求證【題型】六、同弧或等弧所對的圓周角相等【題型】七、直徑所對的圓周角是直角【考綱要求】1.理解圓的有關概念和性質，了解圓心角、弧、弦之間的關系．2.了解圓心角與圓周角的關系，掌握垂徑定理及推論.【考點總結】一、圓的有關概念及性質（1）圓:平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓,圓既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形.（2）圓具有對稱性和旋轉不變性.（3）不共線的三點確定一個圓.（4）圓上各點到圓心的距離都等于半徑.（5）圓上任意兩點間的部分叫做弧,大于半圓周的弧稱為優(yōu)弧,小于半圓周的弧稱為劣弧.（6）連接圓上任意兩點的線段叫做弦,經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.（7）弧、弦、圓心角的關系定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等.

推論：在同圓或等圓中,兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等,則它們所對應的其余各組量也分別相等.

【考點總結】二、垂徑定理（1）定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.

（2）推論1：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條弧.

③平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.

（3）推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

注意:軸對稱性是圓的基本性質,垂徑定理及其推論就是根據(jù)圓的軸對稱性總結出來的,它們是證明線段相等、角相等、垂直關系、弧相等和一條弦是直徑的重要依據(jù).遇弦作弦心距是圓中常用的輔助線.【考點總結】三、與圓有關的角及其性質（1）圓心角:頂點在圓心,角的兩邊和圓相交的角叫做圓心角.圓周角:頂點在圓上且角的兩邊和圓相交的角叫做圓周角.（2）圓周角定理定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

推論：①同弧或等弧所對的圓周角相等.

②半圓(或直徑)所對的圓周角是直徑,90°的圓周角所對的弦是圓的直徑.

③圓內(nèi)接四邊形的對角互補.

【考點總結】四、圓周長、弧長計算（1）半徑為R的圓周長：C=πd=2πR.

（2）半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的弧長為l,則l=.

【考點總結】五、圓、扇形面積計算（1）半徑為R的圓面積S=（2）半徑為R的圓中,圓心角為n°的扇形面積為S扇=或S扇=.

【考點總結】六、圓柱、圓錐的有關計算（1）圓柱的側面展開圖是長方形,圓柱側面積S=2πRh,全面積S=2πRh+2πR2(R表示底面圓的半徑,h表示圓柱的高).

（2）圓錐的側面展開圖是扇形,圓錐側面積S=πRl,全面積S=πRl+πR2(R表示底面圓的半徑,l表示圓錐的母線).

（3）圓柱的體積=底面積×高,即V=Sh=πR2h.

圓錐的體積=×底面積×高,即V=πR2h.

【考點總結】七、正多邊形與圓（1）正多邊形:各邊相等,各角相等的多邊形叫做正多邊形.（2）圓與正多邊形的有關概念:一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心,外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑;正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角,中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.（3）正多邊形的內(nèi)角和=(n-2)·180°;正多邊形的每個內(nèi)角=

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正多邊形的周長=邊長×邊數(shù);正多邊形的面積=×周長×邊心距.【技巧歸納】技巧1：巧用圓的基本性質解圓的五種關系類型一：弦、弧之間的關系1．如圖，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝2eq\o(CD,\s\up8(︵))，則下列結論正確的是()(第1題)A．AB>2CDB．AB＝2CDC．AB<2CDD．以上都不正確2．如圖，在⊙O中，弦AD＝BC，求證：eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).(第2題)類型二：圓周角、圓心角之間的關系3．如圖，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA，求證：∠COB＝∠COA.(第3題)類型三：弧、圓周角之間的關系4．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度數(shù)．(第4題)類型四：弦、圓心角之間的關系5．如圖，以等邊三角形ABC的邊BC為直徑作⊙O交AB于D，交AC于E，連接DE.試判斷BD，DE，EC之間的大小關系，并說明理由．(第5題)類型五：弦、弧、圓心角之間的關系6．如圖，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是eq\o(AB,\s\up8(︵))的三等分點，AB分別交OC，OD于點E，F(xiàn).求證：AE＝BF＝CD.(第6題)技巧2：垂徑定理的四種應用技巧類型一：巧用垂徑定理求點的坐標1．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(10，0)，點B的坐標是(8，0)，點C，D在以OA為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，求點C的坐標．(第1題)類型二：巧用垂徑定理解決最值問題(對稱思想)2．如圖，AB，CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB＝8，CD＝6，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為直線EF上的任意一點，求PA＋PC的最小值．(第2題)類型三：巧用垂徑定理計算3．如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為E，BC＝2eq\r(3).求：(1)AB的長；(2)⊙O的半徑．(第3題)類型四：巧用垂徑定理解決實際問題(建模思想)4．某地有一座拱橋，它的橋拱是圓弧形，橋下的水面寬度為7.2m，拱頂高出水面2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為長方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過這里，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？技巧3：圓中常見的計算題型類型一：有關角度的計算1．如圖，在⊙O中，AB，CD是直徑，BE是切線，B為切點，連接AD，BC，BD.(1)求證：△ABD≌△CDB；(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度數(shù)．(第1題)類型二：半徑、弦長的計算(第2題)2．如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接BC，若AB＝2eq\r(2)cm，∠BCD＝22°30′，則⊙O的半徑為________．3．如圖，已知⊙O中直徑AB與弦AC的夾角為30°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，OD＝30cm.求直徑AB的長．(第3題)類型三：面積的計算eq\a\vs4\al(技巧1)利用“作差法”求面積4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F.(1)求證：DF⊥AC；(2)若⊙O的半徑為4，∠CDF＝22.5°，求陰影部分的面積．(第4題)eq\a\vs4\al(技巧2)利用“等積法”求面積5．如圖，在△BCE中，點A是邊BE上一點，以AB為直徑的⊙O與CE相切于點D，AD∥OC，點F為OC與⊙O的交點，連接AF.(1)求證：CB是⊙O的切線；(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求圖中陰影部分的面積．(第5題)eq\a\vs4\al(技巧3)利用“平移法”求面積6．如圖，兩個半圓中，O為大半圓的圓心，長為18的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積等于多少？(第6題)eq\a\vs4\al(技巧4)利用“割補法”求面積7．如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分線交⊙O于D，過點D作DE∥AB交CA的延長線于點E，連接AD，BD.(1)由AB，BD，eq\o(AD,\s\up8(︵))圍成的曲邊三角形的面積是______；(2)求證：DE是⊙O的切線；(3)求線段DE的長．(第7題)類型四：實際應用的計算eq\a\vs4\al(應用1)利用垂徑定理解決臺風問題8．如圖，臺風中心位于點P，并沿東北方向PQ移動，已知臺風移動的速度為30km/h，受影響區(qū)域的半徑為200km，B市位于點P北偏東75°的方向上，距離P點320km處．(1)試說明臺風是否會影響B(tài)市；(2)若B市受臺風的影響，求臺風影響B(tài)市的時間．(第8題)eq\a\vs4\al(應用2)利用圓周角知識解決足球射門問題(轉化思想)9．如圖，在“世界杯”足球比賽中，隊員甲帶球向對方球門PQ進攻，當他帶球沖到A點時，同伴隊員乙已經(jīng)助攻沖到B點，現(xiàn)有兩種射門方式：一是由隊員甲直接射門；二是隊員甲將球迅速傳給隊員乙，由隊員乙射門．從射門角度考慮，你認為選擇哪種射門方式較好？為什么？(第9題)eq\a\vs4\al(應用3)利用直線與圓的位置關系解決范圍問題10．如圖，已知A，B兩地相距1km.要在A，B兩地之間修建一條筆直的水渠(即圖中的線段AB)，經(jīng)測量在A地的北偏東60°方向，B地的北偏西45°方向的C處有一個以C為圓心，350m為半徑的圓形公園，則修建的這條水渠會不會穿過公園？為什么？(第10題)【題型講解】【題型】一、圓的周長與面積問題例1、如圖，⊙O的半徑為，分別以的直徑上的兩個四等分點，為圓心，為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．例2、圖案的地磚，要求灰、白兩種顏色面積大致相同，那么下面最符合要求的是（）．A． B． C． D．【題型】二、利用垂徑定理進行計算例3、如圖，⊙O的直徑CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OD＝3：5，則AB的長為（）A．8 B．12 C．16 D．2例4、如圖，點在⊙O上，，垂足為E．若，，則（）A．2 B．4 C． D．【題型】三、垂徑定理的實際應用例5、往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（）A． B． C． D．例6、我國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小．用鋸去鋸這木材，鋸口深寸，鋸道長尺（1尺寸）．問這根圓形木材的直徑是______寸．【題型】四、利用弧、弦、圓心角的關系求解例7、如圖，是⊙O的直徑，點，在⊙O上，AB=AD，交于點．若．則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例8、如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE，∠COD=34°，則∠AEO的度數(shù)是（）A．51° B．56° C．68° D．78°【題型】五、利用弧、弦、圓心角的關系求證例9、如圖，是半圓的直徑，是半圓上不同于的兩點與相交于點是半圓所任圓的切線，與的延長線相交于點，求證：；若求平分．【答案】證明見解析；證明見解析．【提示】利用證明利用為直徑，證明結合已知條件可得結論；例10、如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點D在劣弧AC上（不與點A，點C重合），BD與OA交于點E．設∠AED＝α，∠AOD＝β，則（）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°例11、如圖，點在圓上，若弦的長度等于圓半徑的倍，則的度數(shù)是()．A．22.5° B．30° C．45° D．60°【題型】六、同弧或等弧所對的圓周角相等例12、如圖，四邊形的外接圓為⊙，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例13、如圖，點A、B、C、D在⊙O上，，點B是AC的中點，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【題型】七、直徑所對的圓周角是直角例14、如圖，是圓上一點，是直徑，，，點在圓上且平分弧，則的長為（）A． B． C． D．例15、如圖，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點，∠ADC＝106°，則∠CAB等于（）A．10° B．14° C．16° D．26°圓的有關概念（達標訓練）一、單選題1．如圖，點，，在上，，，連接交于點，則的度數(shù)是（

）A．108° B．109° C．110° D．112°2．如圖，四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，⊙O的半徑為1，P是⊙O上的點，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則sin∠APB等于（

）A． B． C． D．13．如圖，CD是圓O的直徑，AB是圓O的弦，且AB=10，若CD⊥AB于點E，則AE的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．84．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為點E，連接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，則CD的長為（）A．3 B．6 C．6 D．65．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，則下列結論不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．6．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于點C，連接OA，OB，BC，若，則∠AOB的度數(shù)是（

）A．40° B．50° C．60° D．80°7．如圖，為的直徑，為的弦，為優(yōu)弧的中點，，垂足為，，，則的半徑為（

）A． B． C． D．8．已知點在線段上（點與點不重合），過點的圓記為圓，過點的圓記為圓，過點的圓記為圓，則下列說法中正確的是（

）A．圓可以經(jīng)過點 B．點可以在圓的內(nèi)部C．點可以在圓的內(nèi)部 D．點可以在圓內(nèi)部9．如圖，為的直徑，點C為上的一點，過點C作的切線，交直徑的延長線于點D；若，則的度數(shù)是（）A．23° B．44° C．46° D．57°10．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BDC＝130°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．130° B．120° C．110° D．100°11．在平面內(nèi)與點的距離為1cm的點的個數(shù)為（

）A．無數(shù)個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題12．如圖，ΔABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，已知⊙O的半徑為6，則圖中陰影部分的面積是_____．三、解答題13．等腰△ABC中，，以AB為直徑作圓交BC于點D，請僅用無刻度的直尺．根據(jù)下列條件分別在圖1、圖2中畫一條弦，使這條弦的長度等于弦BD．（保留作圖痕跡，不寫作法，用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結果）（1）如圖1，；（2）如圖2，14．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連接AC，OC，BC．（1）求證：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半徑的長．圓的有關概念（提升測評）一、單選題1．如圖，AB為的直徑，點C，D在上．若，則的度數(shù)是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°2．如圖，在半徑為R的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D為弧AC的中點，AC與BD交于點E，已知∠A＝36°，則∠AED的度數(shù)為（

）A．36° B．56° C．63° D．72°3．如圖，點，，，在上，且，若，則的度數(shù)為（

）A．35° B．40° C．45° D．50°4．如圖，AB是的弦，半徑于點D，，點P在圓周上，則等于（）A．27° B．30° C．32° D．36°5．如圖，已知是的直徑，弦，垂足為，且，，則的半徑長為（

）A．2 B． C．4 D．106．是的直徑，弦，則（

）A．π B．2π C． D．4π7．如圖，是的直徑，弦，若，則的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°8．如圖，反比例函數(shù)的一個分支與有兩個交點，且平分這個圓，以下說法正確的是（

）A．劣弧等于B．反比例函數(shù)的這個分支平分圓的周長C．反比例函數(shù)的這個分支平分圓的面積D．反比例函數(shù)圖象必過圓心9．如圖所示，量角器的圓心O在矩形ABCD的邊AD上，直徑經(jīng)過點C，則∠OCB的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°10．如圖，一塊直角三角板的角的頂點落在上，兩邊分別交于兩點，連結，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．11．下列說法正確的是（

）A．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直B．相等的圓心角所對的弧相等C．若，則D．一組數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)、眾數(shù)都是二、填空題12．如圖，的半徑為2，，，則弦的長為___________．三、解答題13．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形．平分，連接．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．14．如圖，外接于，延長交于點，過點作交于點．(1)求證：．(2)若，，求的半徑．/專題29圓的有關概念【專題目錄】技巧1：巧用圓的基本性質解圓的五種關系技巧2：垂徑定理的四種應用技巧技巧3：圓中常見的計算題型【題型】一、圓的周長與面積問題【題型】二、利用垂徑定理進行計算【題型】三、垂徑定理的實際應用【題型】四、利用弧、弦、圓心角的關系求解【題型】五、利用弧、弦、圓心角的關系求證【題型】六、同弧或等弧所對的圓周角相等【題型】七、直徑所對的圓周角是直角【考綱要求】1.理解圓的有關概念和性質，了解圓心角、弧、弦之間的關系．2.了解圓心角與圓周角的關系，掌握垂徑定理及推論.【考點總結】一、圓的有關概念及性質（1）圓:平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓,圓既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形.（2）圓具有對稱性和旋轉不變性.（3）不共線的三點確定一個圓.（4）圓上各點到圓心的距離都等于半徑.（5）圓上任意兩點間的部分叫做弧,大于半圓周的弧稱為優(yōu)弧,小于半圓周的弧稱為劣弧.（6）連接圓上任意兩點的線段叫做弦,經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.（7）弧、弦、圓心角的關系定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等.

推論：在同圓或等圓中,兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等,則它們所對應的其余各組量也分別相等.

【考點總結】二、垂徑定理（1）定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.

（2）推論1：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條弧.

③平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.

（3）推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

注意:軸對稱性是圓的基本性質,垂徑定理及其推論就是根據(jù)圓的軸對稱性總結出來的,它們是證明線段相等、角相等、垂直關系、弧相等和一條弦是直徑的重要依據(jù).遇弦作弦心距是圓中常用的輔助線.【考點總結】三、與圓有關的角及其性質（1）圓心角:頂點在圓心,角的兩邊和圓相交的角叫做圓心角.圓周角:頂點在圓上且角的兩邊和圓相交的角叫做圓周角.（2）圓周角定理定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

推論：①同弧或等弧所對的圓周角相等.

②半圓(或直徑)所對的圓周角是直徑,90°的圓周角所對的弦是圓的直徑.

③圓內(nèi)接四邊形的對角互補.

【考點總結】四、圓周長、弧長計算（1）半徑為R的圓周長：C=πd=2πR.

（2）半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的弧長為l,則l=.

【考點總結】五、圓、扇形面積計算（1）半徑為R的圓面積S=（2）半徑為R的圓中,圓心角為n°的扇形面積為S扇=或S扇=.

【考點總結】六、圓柱、圓錐的有關計算（1）圓柱的側面展開圖是長方形,圓柱側面積S=2πRh,全面積S=2πRh+2πR2(R表示底面圓的半徑,h表示圓柱的高).

（2）圓錐的側面展開圖是扇形,圓錐側面積S=πRl,全面積S=πRl+πR2(R表示底面圓的半徑,l表示圓錐的母線).

（3）圓柱的體積=底面積×高,即V=Sh=πR2h.

圓錐的體積=×底面積×高,即V=πR2h.

【考點總結】七、正多邊形與圓（1）正多邊形:各邊相等,各角相等的多邊形叫做正多邊形.（2）圓與正多邊形的有關概念:一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心,外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑;正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角,中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.（3）正多邊形的內(nèi)角和=(n-2)·180°;正多邊形的每個內(nèi)角=

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正多邊形的周長=邊長×邊數(shù);正多邊形的面積=×周長×邊心距.【技巧歸納】技巧1：巧用圓的基本性質解圓的五種關系類型一：弦、弧之間的關系1．如圖，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝2eq\o(CD,\s\up8(︵))，則下列結論正確的是()(第1題)A．AB>2CDB．AB＝2CDC．AB<2CDD．以上都不正確2．如圖，在⊙O中，弦AD＝BC，求證：eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).(第2題)類型二：圓周角、圓心角之間的關系3．如圖，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA，求證：∠COB＝∠COA.(第3題)類型三：弧、圓周角之間的關系4．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度數(shù)．(第4題)類型四：弦、圓心角之間的關系5．如圖，以等邊三角形ABC的邊BC為直徑作⊙O交AB于D，交AC于E，連接DE.試判斷BD，DE，EC之間的大小關系，并說明理由．(第5題)類型五：弦、弧、圓心角之間的關系6．如圖，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是eq\o(AB,\s\up8(︵))的三等分點，AB分別交OC，OD于點E，F(xiàn).求證：AE＝BF＝CD.(第6題)答案1．C2．證明：因為AD＝BC，所以根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弦所對的劣弧相等，可得eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，所以eq\o(AD,\s\up8(︵))＋eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＋eq\o(AC,\s\up8(︵))，即eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).點撥：在同圓或等圓中，等弦對等弧、等弧對等弦(劣弧等于劣弧，優(yōu)弧等于優(yōu)弧)．3．證明：在⊙O中，∠CAB，∠COB分別是eq\o(CB,\s\up8(︵))所對的圓周角和圓心角，∴∠COB＝2∠CAB.同理，∠COA＝2∠CBA.又∵∠CAB＝∠CBA，∴∠COB＝∠COA.4．解：如圖，連接BC，(第4題)∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－50°＝40°.又∵∠ADC，∠ABC是eq\o(AC,\s\up8(︵))所對的圓周角，∴∠ADC＝∠ABC＝40°.5．解：BD＝DE＝EC.理由如下：如圖，連接OD，OE.(第5題)∵OB＝OD＝OE＝OC，∠B＝∠C＝60°，∴△BOD與△COE都是等邊三角形．∴∠BOD＝∠COE＝60°.∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°.∴∠BOD＝∠DOE＝∠COE.∴BD＝DE＝EC.點撥：本題利用“在同圓中，相等的圓心角所對的弦相等”去證明三條線段相等，因此，連接OD，OE，構造弦所對的圓心角是解此題的關鍵．(第6題)6．證明：如圖，連接AC，BD.∵C，D是eq\o(AB,\s\up8(︵))的三等分點，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD＝∠BOD.又∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.∵OA＝OC，∠AOC＝30°，∴∠ACE＝eq\f(1,2)×(180°－30°)＝75°＝∠AEC.∴AE＝AC.同理可得BF＝BD.∴AE＝BF＝CD.技巧2：垂徑定理的四種應用技巧類型一：巧用垂徑定理求點的坐標1．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(10，0)，點B的坐標是(8，0)，點C，D在以OA為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，求點C的坐標．(第1題)類型二：巧用垂徑定理解決最值問題(對稱思想)2．如圖，AB，CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB＝8，CD＝6，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為直線EF上的任意一點，求PA＋PC的最小值．(第2題)類型三：巧用垂徑定理計算3．如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為E，BC＝2eq\r(3).求：(1)AB的長；(2)⊙O的半徑．(第3題)類型四：巧用垂徑定理解決實際問題(建模思想)4．某地有一座拱橋，它的橋拱是圓弧形，橋下的水面寬度為7.2m，拱頂高出水面2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為長方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過這里，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？答案1．解：如圖，連接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H.∵四邊形OCDB為平行四邊形，B點的坐標是(8，0)，∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN.又∵MN⊥CD，∴CN＝DN＝eq\f(1,2)CD＝4.易知OA＝10，∴MO＝MC＝5.在Rt△MNC中，MN＝eq\r(CM2－CN2)＝eq\r(52－42)＝3.∴CH＝3.又OH＝OM－MH＝5－4＝1.∴點C的坐標為(1，3)．(第1題)2．解：如圖，易知點C關于直線MN的對稱點為點D，連接AD，交MN于點P，連接PC，易知此時PA＋PC最小且PA＋PC＝AD.過點D作DH⊥AB于點H，連接OA，OC.易知AE＝4，CF＝3，由勾股定理易得OE＝3，OF＝4，∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.∴AD＝7eq\r(2).即PA＋PC的最小值為7eq\r(2).(第2題)點撥：本題運用了轉化思想，將分散的線段轉化為一條線段，然后運用勾股定理求出線段的長度．3．解：(1)連接AC，∵CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，∴AF＝BF.∴AC＝BC.延長AE交⊙O于G，則AG為⊙O的直徑，又AO⊥BC，∴BE＝CE.∴AC＝AB.∴AB＝BC＝2eq\r(3).(2)由(1)知AB＝BC＝AC，∴△ABC為等邊三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE⊥BC，∴∠EAB＝∠CAE＝eq\f(1,2)∠CAB＝30°.即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，AF＝eq\r(3)，易得OA＝2，即⊙O的半徑為2.4．解：如圖，AB為水面位置，若MN為貨船頂部位置，則MN∥AB.設圓弧形橋拱AB所在圓的圓心為O，連接OA，ON，作OC⊥AB于點D，交eq\o(AB,\s\up8(︵))于點C，交MN于點H，則OC⊥MN，由垂徑定理可知，D為AB的中點，H為MN的中點．所以AD＝3.6m，NH＝1.5m.(第4題)設OA＝rm，則OD＝OC－DC＝(r－2.4)m.在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.在Rt△OHN中，OH＝eq\r(ON2－NH2)＝eq\r(3.92－1.52)＝3.6(m)．所以DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)．因為2.1m＞2m，所以此貨船能順利通過這座拱橋．技巧3：圓中常見的計算題型類型一：有關角度的計算1．如圖，在⊙O中，AB，CD是直徑，BE是切線，B為切點，連接AD，BC，BD.(1)求證：△ABD≌△CDB；(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度數(shù)．(第1題)類型二：半徑、弦長的計算(第2題)2．如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接BC，若AB＝2eq\r(2)cm，∠BCD＝22°30′，則⊙O的半徑為________．3．如圖，已知⊙O中直徑AB與弦AC的夾角為30°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，OD＝30cm.求直徑AB的長．(第3題)類型三：面積的計算eq\a\vs4\al(技巧1)利用“作差法”求面積4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F.(1)求證：DF⊥AC；(2)若⊙O的半徑為4，∠CDF＝22.5°，求陰影部分的面積．(第4題)eq\a\vs4\al(技巧2)利用“等積法”求面積5．如圖，在△BCE中，點A是邊BE上一點，以AB為直徑的⊙O與CE相切于點D，AD∥OC，點F為OC與⊙O的交點，連接AF.(1)求證：CB是⊙O的切線；(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求圖中陰影部分的面積．(第5題)eq\a\vs4\al(技巧3)利用“平移法”求面積6．如圖，兩個半圓中，O為大半圓的圓心，長為18的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積等于多少？(第6題)eq\a\vs4\al(技巧4)利用“割補法”求面積7．如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分線交⊙O于D，過點D作DE∥AB交CA的延長線于點E，連接AD，BD.(1)由AB，BD，eq\o(AD,\s\up8(︵))圍成的曲邊三角形的面積是______；(2)求證：DE是⊙O的切線；(3)求線段DE的長．(第7題)類型四：實際應用的計算eq\a\vs4\al(應用1)利用垂徑定理解決臺風問題8．如圖，臺風中心位于點P，并沿東北方向PQ移動，已知臺風移動的速度為30km/h，受影響區(qū)域的半徑為200km，B市位于點P北偏東75°的方向上，距離P點320km處．(1)試說明臺風是否會影響B(tài)市；(2)若B市受臺風的影響，求臺風影響B(tài)市的時間．(第8題)eq\a\vs4\al(應用2)利用圓周角知識解決足球射門問題(轉化思想)9．如圖，在“世界杯”足球比賽中，隊員甲帶球向對方球門PQ進攻，當他帶球沖到A點時，同伴隊員乙已經(jīng)助攻沖到B點，現(xiàn)有兩種射門方式：一是由隊員甲直接射門；二是隊員甲將球迅速傳給隊員乙，由隊員乙射門．從射門角度考慮，你認為選擇哪種射門方式較好？為什么？(第9題)eq\a\vs4\al(應用3)利用直線與圓的位置關系解決范圍問題10．如圖，已知A，B兩地相距1km.要在A，B兩地之間修建一條筆直的水渠(即圖中的線段AB)，經(jīng)測量在A地的北偏東60°方向，B地的北偏西45°方向的C處有一個以C為圓心，350m為半徑的圓形公園，則修建的這條水渠會不會穿過公園？為什么？(第10題)答案1．(1)證明：∵AB，CD是⊙O的直徑，∴AB＝CD，∠ADB＝∠CBD＝90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,BD＝DB.))∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，即△ABD≌△CDB.(2)解：∵BE是⊙O的切線，∴AB⊥BE.∴∠ABE＝90°.∵∠DBE＝37°.∴∠ABD＝53°.∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°.即∠ADC的度數(shù)為37°.2．2cm點撥：如圖，連接OB，∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOD＝2∠BCD＝45°.∵AB⊥CD，∴BE＝AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\r(2)(cm)，且△BOE為等腰直角三角形，∴OB＝eq\r(2)BE＝2cm.(第2題)(第3題)3．解：如圖，連接OC.∵∠A＝30°，∴∠COD＝60°.∵DC切⊙O于點C，∴∠OCD＝90°.∴∠D＝30°.∵OD＝30cm，∴OC＝eq\f(1,2)OD＝15cm.∴AB＝2OC＝30cm.4．(1)證明：如圖，連接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ODB＝∠ACB.∴OD∥AC.∵DF是⊙O的切線，∴DF⊥OD.∴DF⊥AC.(2)解：如圖，連接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°.∴∠BAC＝45°.∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠BAC＝45°.∴∠AOE＝90°.∵⊙O的半徑為4，∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8.∴S陰影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.(第4題)5．(1)證明：如圖，連接OD，與AF相交于點G，(第5題)∵CE與⊙O相切于點D，∴OD⊥CE.∴∠CDO＝90°.∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠DOC＝∠BOC.在△CDO和△CBO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CO＝CO，,∠DOC＝∠BOC，,OD＝OB，))∴△CDO≌△CBO.∴∠CBO＝∠CDO＝90°.∴CB是⊙O的切線．(2)解：由(1)可知∠DOC＝∠BOC，∵∠ECB＝60°，∴∠DCO＝∠BCO＝eq\f(1,2)∠ECB＝30°.∴∠DOC＝∠BOC＝60°.∴∠DOA＝60°.∵OA＝OD，∴△OAD是等邊三角形．∴AD＝OD＝OF.在△FOG和△ADG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GOF＝∠GDA，,∠FGO＝∠AGD，,OF＝DA，))∴△FOG≌△ADG.∴S△ADG＝S△FOG.∵AB＝6，∴⊙O的半徑r＝3.∴S陰影＝S扇形ODF＝eq\f(60π×32,360)＝eq\f(3,2)π.6．解：將小半圓向右平移，使兩個半圓的圓心重合，如圖所示，則陰影部分的面積等于半圓環(huán)的面積．(第6題)作OE⊥AB于E(易知E為切點)，連接OA，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝9.∴陰影部分的面積＝eq\f(1,2)π·OA2－eq\f(1,2)π·OE2＝eq\f(1,2)π(OA2－OE2)＝eq\f(1,2)π·AE2＝eq\f(1,2)π·92＝eq\f(81,2)π.點撥：觀察圖形可知陰影部分的面積等于大半圓的面積減去小半圓的面積，因此當小半圓在大半圓范圍內(nèi)左右移動時，陰影部分面積不改變，所以我們可以通過平移，使兩個半圓的圓心重合，這樣就能運用已知條件求出陰影部分的面積．7．(1)eq\f(25,2)＋eq\f(25π,4)(第7題)(2)證明：如圖，連接OD，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠ACD＝eq\f(1,2)∠ACB＝45°.∴∠AOD＝90°，即OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切線．(3)解：∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝8，AO＝BO＝DO＝5.如圖，過點A作AF⊥DE于點F，則四邊形AODF是正方形，∴AF＝OD＝FD＝5，∠FAB＝90°.∴∠EAF＝90°－∠CAB＝∠ABC.∴tan∠EAF＝tan∠ABC.∴eq\f(EF,AF)＝eq\f(AC,BC)，即eq\f(EF,5)＝eq\f(6,8).∴EF＝eq\f(15,4).∴DE＝DF＋EF＝5＋eq\f(15,4)＝eq\f(35,4).8．解：(1)如圖，過點B作BH⊥PQ于點H，在Rt△BHP中，由條件易知：BP＝320km，∠BPQ＝30°.∴BH＝eq\f(1,2)BP＝160km<200km.∴臺風會影響B(tài)市．(2)如圖，以B為圓心，200km為半徑作圓，交PQ于P1，P2兩點，連接BP1，由垂徑定理知P1P2＝2P1H.(第8題)在Rt△BHP1中，BP1＝200km，BH＝160km，∴P1H＝eq\r(2002－1602)＝120(km)．∴P1P2＝2P1H＝240km.∴臺風影響B(tài)市的時間為eq\f(240,30)＝8(h)．點撥：本題在圖形中畫出圓，可以非常直觀地構造數(shù)學模型，然后利用垂徑定理解決生活中的實際問題．9．解：選擇射門方式二較好，理由如下：設AQ與圓的另一交點為C，連接PC，如圖所示．(第9題)∵∠PCQ是△PAC的外角，∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，∴∠B>∠A.∴在B點射門比在A點射門好．∴選擇射門方式二較好．點撥：本題運用轉化思想，將射門角度大小的問題，建模轉化到圓中，根據(jù)圓周角的相關結論來解決實際問題．10．解：修建的這條水渠不會穿過公園．理由：如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D.由題易得∠CBA＝45°，∴∠BCD＝45°.∴CD＝BD.設CD＝xkm，則BD＝xkm.(第10題)由題易得∠CAB＝30°，∴AC＝2CD＝2xkm，∴AD＝eq\r(（2x）2－x2)＝eq\r(3)x(km)，∴eq\r(3)x＋x＝1.解得x＝eq\f(\r(3)－1,2)，即CD＝eq\f(\r(3)－1,2)≈0.366(km)＝366m＞350m，也就是說，以點C為圓心，350m為半徑的圓與AB相離．∴修建的這條水渠不會穿過公園．【題型講解】【題型】一、圓的周長與面積問題例1、如圖，⊙O的半徑為，分別以的直徑上的兩個四等分點，為圓心，為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【提示】把陰影部分進行對稱平移，再根據(jù)半圓的面積公式計算即可.【詳解】,∴圖中陰影部分的面積為.故選B.例2、圖案的地磚，要求灰、白兩種顏色面積大致相同，那么下面最符合要求的是（）．A． B． C． D．【答案】D【提示】設正方形邊長為2a，依次表示出每個圖形灰色和白色區(qū)域的面積，比較即可得出結論．【詳解】設正方形邊長為2a，則：A、灰色區(qū)域面積=正方形面積－圓的面積=，白色區(qū)域面積=圓面積=，兩者相差很大；B、灰色區(qū)域面積=正方形面積－圓的面積=，白色區(qū)域面積=圓面積=，兩者相差很大；C、色區(qū)域面積=正方形面積－圓的面積=，白色區(qū)域面積=圓面積=，兩者相差很大；D、灰色區(qū)域面積=半圓的面積－正方形面積=，白色區(qū)域面積=正方形面積－灰色區(qū)域面積=，兩者比較接近．故選D．【題型】二、利用垂徑定理進行計算例3、如圖，⊙O的直徑CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OD＝3：5，則AB的長為（）A．8 B．12 C．16 D．2【答案】C【提示】連接OA，先根據(jù)⊙O的直徑CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的長，再根據(jù)勾股定理可求出AM的長，進而得出結論．【詳解】連接OA，∵⊙O的直徑CD＝20，OM：OD＝3：5，∴OD＝10，OM＝6，∵AB⊥CD，∴，∴AB＝2AM＝16．故選：C．例4、如圖，點在⊙O上，，垂足為E．若，，則（）A．2 B．4 C． D．【答案】D【提示】連接OC，根據(jù)圓周角定理求得，在中可得，可得OC的長度，故CE長度可求得，即可求解．【詳解】解：連接OC，∵，∴，在中，，∴，∴∵，∴，∴∵，垂足為E，∴，故選：D．【題型】三、垂徑定理的實際應用例5、往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（）A． B． C． D．【答案】C【提示】過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長，又由⊙O的直徑為，求得OA的長，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長，進而求得油的最大深度的長．【詳解】解：過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，由垂徑定理得：，∵⊙O的直徑為，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴油的最大深度為，故選：．例6、我國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大?。娩徣ヤ忂@木材，鋸口深寸，鋸道長尺（1尺寸）．問這根圓形木材的直徑是______寸．【答案】26【提示】根據(jù)題意可得，由垂徑定理可得尺寸，設半徑，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，解方程可得出木材半徑，即可得出木材直徑.【詳解】解：由題可知，為半徑，尺寸，設半徑，，在中，根據(jù)勾股定理可得：解得：,木材直徑為26寸；故答案為：26.【題型】四、利用弧、弦、圓心角的關系求解例7、如圖，是⊙O的直徑，點，在⊙O上，AB=AD，交于點．若．則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【提示】先根據(jù)圓周角定理得到∠，再根據(jù)等弧所對的弦相等，得到，∠，最后根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．【詳解】解：∵是的直徑∴∠∵AB∴∴∠∵∴∠∴∠∴∠故選：B．例8、如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE，∠COD=34°，則∠AEO的度數(shù)是（）A．51° B．56° C．68° D．78°【答案】A【解析】如圖，在⊙O中，∵BC=∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，∵OA=OE，∴∠AEO=∠A=.故選A.【題型】五、利用弧、弦、圓心角的關系求證例9、如圖，是半圓的直徑，是半圓上不同于的兩點與相交于點是半圓所任圓的切線，與的延長線相交于點，求證：；若求平分．【答案】證明見解析；證明見解析．【提示】利用證明利用為直徑，證明結合已知條件可得結論；利用等腰三角形的性質證明：再證明利用切線的性質與直徑所對的圓周角是直角證明：從而可得答案．【詳解】證明：∴AD為直徑，．證明：為半圓的切線，平分．例10、如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點D在劣弧AC上（不與點A，點C重合），BD與OA交于點E．設∠AED＝α，∠AOD＝β，則（）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°【答案】D【提示】根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質，用α表示∠CBD，進而由圓心角與圓周角關系，用α表示∠COD，最后由角的和差關系得結果．【詳解】解：∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，故選：D．例11、如圖，點在圓上，若弦的長度等于圓半徑的倍，則的度數(shù)是()．A．22.5° B．30° C．45° D．60°【答案】C【提示】設圓心為，連接，如圖，先證明為等腰直角三角形得到，然后根據(jù)圓周角定理確定的度數(shù)．【詳解】解：設圓心為，連接，如圖，∵弦的長度等于圓半徑的倍，即，∴，∴為等腰直角三角形，，∴°．故選C．【題型】六、同弧或等弧所對的圓周角相等例12、如圖，四邊形的外接圓為⊙，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【提示】根據(jù)同弧所對的圓周角相等及等邊對等角，可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，利用角的和差運算即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．例13、如圖，點A、B、C、D在⊙O上，，點B是AC的中點，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據(jù)圓心角、弧、弦的關系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根據(jù)圓周角定理解答．【詳解】連接OB，∵點B是AC的中點，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，由圓周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，故選：A．【題型】七、直徑所對的圓周角是直角例14、如圖，是圓上一點，是直徑，，，點在圓上且平分弧，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【提示】由是圓O的直徑，可得∠A=∠D=90°，又在圓上且平分弧，則∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出BC長，從而可求DC的長.【詳解】解：∵是圓O的直徑，∴∠A=∠D=90°.又在圓上且平分弧，∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，，，根據(jù)勾股定理，得BC==2.∵△BCD是等腰直角三角形，∴CD==.故選:D.例15、如圖，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點，∠ADC＝106°，則∠CAB等于（）A．10° B．14° C．16° D．26°【答案】C【提示】連接BD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，則可計算出∠BDC＝16°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠CAB的度數(shù)．【詳解】解：連接BD，如圖，∵AB是半圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，∴∠CAB＝∠BDC＝16°．故選：C．圓的有關概念（達標訓練）一、單選題1．如圖，點，，在上，，，連接交于點，則的度數(shù)是（

）A．108° B．109° C．110° D．112°【答案】B【分析】連接，由已知條件求得，由，得，繼而求得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和性質，即可求得．【詳解】如解圖，連接，，∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．故選B．【點睛】本題考查了圓心角定理，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，熟悉以上知識是解題的關鍵．2．如圖，四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，⊙O的半徑為1，P是⊙O上的點，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則sin∠APB等于（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由圖，與為同弧所對的角，根據(jù)同圓內(nèi)，同弧所對的圓周角與圓心角的關系即可求得答案．【詳解】解：A、B、O是小正方形頂點，，（同圓內(nèi)，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半），，故選：B．【點睛】本題考查了同圓內(nèi)，同弧所對的圓周角與圓心角的一半及特殊角的三角函數(shù)值，解題關鍵熟悉特殊角的正弦值及同圓內(nèi)，同弧所對的圓周角與圓心角的一半的性質．3．如圖，CD是圓O的直徑，AB是圓O的弦，且AB=10，若CD⊥AB于點E，則AE的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】由垂徑定理可得，直徑CD垂直平分AB，即AE=AB．【詳解】解：∵AB是圓O的弦，CD⊥AB∴AE=AB=5．故答案為B．【點睛】本題考查了垂徑定理的應用，垂徑定理是垂直與弦的直徑平分這條弦.4．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為點E，連接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，則CD的長為（）A．3 B．6 C．6 D．6【答案】C【分析】連接OC，求出∠COB=45°，根據(jù)垂徑定理求出CD=2CE，根據(jù)勾股定理求出CE即可．【詳解】解：連接OC，則OC=AB=×12=6，∵OA=OC，∠CAB=22.5°，∴∠CAB=∠ACO=22.5°，∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，∵AB⊥CD，AB為直徑，∴CD=2CE，∠CEO=90°，∴∠OCE=∠COB=45°，∴OE=CE，∵CE2+OE2=OC2，∴2CE2=62，解得：CE=3，即CD=2CE=6，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，三角形的外角性質，垂徑定理等知識點，能求出CE=OE是解此題的關鍵．5．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，則下列結論不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理即可判斷．【詳解】解：是的直徑，弦于點，，，．故選：B．【點睛】本題主要考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵．6．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于點C，連接OA，OB，BC，若，則∠AOB的度數(shù)是（

）A．40° B．50° C．60° D．80°【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠AOC=40°，進而利用垂徑定理即可得出∠AOB=80°．【詳解】解：∠ABC=20°，∠AOC=40°，AB是的弦，OC⊥AB，∠AOC=∠BOC=40°，∠AOB=80°．故選D【點睛】此題考查垂徑定理、圓周角定理，關鍵是根據(jù)圓周角定理得出∠AOC=40°．7．如圖，為的直徑，為的弦，為優(yōu)弧的中點，，垂足為，，，則的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，延長交于點設的半徑為證明，推出，在中，根據(jù)，構建方程求解．【詳解】解：如圖，連接，延長交于點T，設的半徑為，，，，在和中，，，，在中，，，，故選：B．【點睛】此題主要考查圓心角，弧，弦之間的關系，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質等知識，解答該題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，該題屬于中考常考題型．8．已知點在線段上（點與點不重合），過點的圓記為圓，過點的圓記為圓，過點的圓記為圓，則下列說法中正確的是（

）A．圓可以經(jīng)過點 B．點可以在圓的內(nèi)部C．點可以在圓的內(nèi)部 D．點可以在圓內(nèi)部【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出符合題意的示意圖，然后求解．【詳解】解：∵點在線段上（點與點不重合），過點的圓記為圓，∴點可以在圓的內(nèi)部，故A錯誤，B正確；∵過點的圓記為圓，∴點可以在圓的外部，故C錯誤；∵過點的圓記為圓，∴點可以在圓的外部，故D錯誤．故選B．【點睛】本題考查點與圓的位置關系，畫出適當?shù)妮o助圖形，采用數(shù)形結合的方法，更有助于解題.9．如圖，為的直徑，點C為上的一點，過點C作的切線，交直徑的延長線于點D；若，則的度數(shù)是（）A．23° B．44° C．46° D．57°【答案】B【分析】連接，由切線的性質可得由圓周角定理可求得的度數(shù)，再由直角三角形兩銳角互余即可求得答案．【詳解】解：連接，如圖，為的切線，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理等，正確添加輔助線，熟練運用相關知識是解題的關鍵．10．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BDC＝130°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．130° B．120° C．110° D．100°【答案】D【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質得出，再根據(jù)圓周角定理即可求出的度數(shù)．【詳解】∵四邊形內(nèi)接于，∴，而，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質的應用，關鍵是熟練掌握圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質．11．在平面內(nèi)與點的距離為1cm的點的個數(shù)為（

）A．無數(shù)個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】根據(jù)在平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點組成的圖形為圓進行求解即可．【詳解】解：∵在平面內(nèi)與點的距離為1cm的點在以P為圓心，以1cm長為半徑的圓上，∴在平面內(nèi)與點的距離為1cm的點的個數(shù)為無數(shù)個，故選：A．【點睛】本題主要考查了圓的定義，熟知圓的定義是解題的關鍵．二、填空題12．如圖，ΔABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，已知⊙O的半徑為6，則圖中陰影部分的面積是_____．【答案】12π【分析】根據(jù)等邊三角形的性質得到∠A=60°，根據(jù)圓周角定理求出∠BOC，根據(jù)扇形面積公式計算即可．【詳解】解：∵△ABC為正三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴S陰==12π，故答案為：12π．【點睛】本題考查了圓周角定理，扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題關鍵．三、解答題13．等腰△ABC中，，以AB為直徑作圓交BC于點D，請僅用無刻度的直尺．根據(jù)下列條件分別在圖1、圖2中畫一條弦，使這條弦的長度等于弦BD．（保留作圖痕跡，不寫作法，用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結果）（1）如圖1，；（2）如圖2，【答案】見解析【分析】（1）如圖1，連結AD，由于AB為直徑，則，由于，所以AD平分，即，于是得到；（2）如圖2，延長CA交圓于E，連結BE、DE，與（1）一樣得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質可知，所以，所以．【詳解】解：（1）如圖1，DE為所作：（2）如圖2，DE為所作：【點睛】本題考查的知識點是作圖中的復雜作圖，利用知識點：同圓或等圓中，同?。ɑ虻然。┧鶎A周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等；圓內(nèi)接四邊形的對角互補；等腰三角形底邊中線、底邊上的高線、頂角的角平分線互相重合；掌握作圖的一般方法是解此題的關鍵．14．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連接AC，OC，BC．（1）求證：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半徑的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質，同弧的圓周角相等，又因為△AOC是等腰三角形，即可求證．（2）根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關系，即可確定半徑．【詳解】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，=．∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠1＝∠2．（2）∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD=6∴∠CEO＝90o，CE＝ED＝3．設⊙O的半徑是R，EB=2，則OE=R-2∵在Rt△OEC中，解得：∴⊙O的半徑是．【點睛】本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的性質，關鍵是熟練運用垂徑定理和圓周角的性質進行推理證明和計算．圓的有關概念（提升測評）一、單選題1．如圖，AB為的直徑，點C，D在上．若，則的度數(shù)是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】連接AC，由AB是圓的直徑可得∠ACB=90°，由∠BCD=100°可得∠ACD=10°，再由圓周角定理可得結論．【詳解】解：如圖，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠BCD=100°，∴∠ACD=10°，∵∠AOD與∠ACD都對著，∴∠AOD=2∠ACD=2×10°=20°．故選∶B．【點睛】此題考查了圓周角定理，解題的關鍵是熟記圓周角定理．2．如圖，在半徑為R的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D為弧AC的中點，AC與BD交于點E，已知∠A＝36°，則∠AED的度數(shù)為（

）A．36° B．56° C．63° D．72°【答案】C【分析】由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB＝90°，根據(jù)已知條件可得∠ABC的度數(shù)，由D為弧AC的中點，可得，即可得出，再根據(jù)三角形外角定理∠AED＝∠A＋∠ABD代入計算即可得出答案．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣36°＝54°，∵D為弧AC的中點，∴，∴，∴∠AED＝∠A＋∠ABD＝36°＋27°＝63°．故選：C．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，弧、弦，圓心角之間的關系，熟練掌握圓周角定理，弧、弦，圓心角之間的關系進行求解是解決本題的關鍵．3．如圖，點，，，在上，且，若，則的度數(shù)為（

）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】C【分析】如圖所示，連接，先根據(jù)弧與圓心角的關系得到，則，由此利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，