江蘇省淮安市清江中學(xué)等四校2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

江蘇省淮安市清江中學(xué)等四校2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到軸距離的倍，則（）A． B． C． D．2．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,,則A． B． C． D．3．在的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)4．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的任意一點(diǎn)，為平面上點(diǎn)，則的最小值為（）A．3 B．2 C．4 D．5．觀察兩個(gè)變量(存在線性相關(guān)關(guān)系）得如下數(shù)據(jù):則兩變量間的線性回歸方程為（）A． B． C． D．6．若且，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B．C．或 D．或7．已知為正數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，若對(duì)于任意的，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．9．若圓錐的高等于底面直徑，側(cè)面積為,則該圓錐的體積為A． B． C． D．10．某班級(jí)有6名同學(xué)去報(bào)名參加校學(xué)生會(huì)的4項(xiàng)社團(tuán)活動(dòng)。若甲，乙兩位同學(xué)不參加同一社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)都有人參加，每個(gè)人只參加一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方案數(shù)為A．2160 B．1320 C．2400 D．432011．已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于A． B． C．3 D．512．若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)，那么復(fù)數(shù)的模為______.14．已知函數(shù)，若，則的值是_____.15．在四棱錐中，設(shè)向量，，，則頂點(diǎn)到底面的距離為_________16．在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)度為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某種產(chǎn)品的以往各年的宣傳費(fèi)用支出（萬元）與銷售量（萬件）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)2456843678(1)試求回歸直線方程；(2)設(shè)該產(chǎn)品的單件售價(jià)與單件生產(chǎn)成本的差為（元），若與銷售量（萬件）的函數(shù)關(guān)系是，試估計(jì)宣傳費(fèi)用支出為多少萬元時(shí)，銷售該產(chǎn)品的利潤最大？（注：銷售利潤=銷售額-生產(chǎn)成本-宣傳費(fèi)用）（參考數(shù)據(jù)與公式：，，）18．（12分）某超市舉辦酬賓活動(dòng)，單次購物超過元的顧客可參與一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：盒子中裝有大小和形狀完全相同的個(gè)小球，其中個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球，從中不放回地隨機(jī)抽取個(gè)球，每個(gè)球被抽到的機(jī)會(huì)均等.每抽到個(gè)紅球記分，每抽到個(gè)白球記分，每抽到個(gè)黑球記分.如果抽取個(gè)球總得分分可獲得元現(xiàn)金，總得分低于分沒有現(xiàn)金，其余得分可獲得元現(xiàn)金.（1）設(shè)抽取個(gè)球總得分為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列；（2）設(shè)每位顧客一次抽獎(jiǎng)獲得現(xiàn)金元，求的數(shù)學(xué)期望.19．（12分）夏天喝冷飲料已成為年輕人的時(shí)尚.某飲品店購進(jìn)某種品牌冷飲料若干瓶，再保鮮.（Ⅰ）飲品成本由進(jìn)價(jià)成本和可變成本（運(yùn)輸、保鮮等其它費(fèi)用）組成.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，“可變成本”（元）與飲品數(shù)量（瓶）有關(guān)系.與之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：飲品數(shù)量（瓶）24568可變成本（元）34445依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；如果該店購入20瓶該品牌冷飲料，估計(jì)“可變成本”約為多少元？（Ⅱ）該飲品店以每瓶10元的價(jià)格購入該品牌冷飲料若干瓶，再以每瓶15元的價(jià)格賣給顧客。如果當(dāng)天前8小時(shí)賣不完，則通過促銷以每瓶5元的價(jià)格賣給顧客(根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)天能夠把剩余冷飲料都低價(jià)處理完畢，且處理完畢后，當(dāng)天不再購進(jìn))．該店統(tǒng)計(jì)了去年同期100天該飲料在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量(單位：瓶)，制成如下表：每日前8個(gè)小時(shí)銷售量（單位：瓶）15161718192021頻數(shù)10151616151315若以100天記錄的頻率作為每日前8小時(shí)銷售量發(fā)生的概率，若當(dāng)天購進(jìn)18瓶，求當(dāng)天利潤的期望值.（注：利潤=銷售額購入成本“可變本成”）參考公式：回歸直線方程為，其中參考數(shù)據(jù)：，.20．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2(sinθ+cosθ)，直線l的參數(shù)方程為：（Ⅰ）寫出圓C和直線l的普通方程；（Ⅱ）點(diǎn)P為圓C上動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．21．（12分）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）與軸不垂直的直線經(jīng)過，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，求直線斜率的取值范圍．22．（10分）在以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到直線的距離為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，求點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用拋物線的定義列等式可求出的值.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義知，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，，解得，故選：D.本題考查拋物線的定義，在求解拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，通常將其轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.2、D【解析】

，選D.3、C【解析】

先判斷二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，再根據(jù)正負(fù)號(hào)區(qū)別得到答案.【詳解】的展開式中共有8項(xiàng).由二項(xiàng)式系數(shù)特點(diǎn)可知第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，但第4項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值，所以的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng).故選C.本題考查了展開式系數(shù)的最大值，先判斷二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵.4、A【解析】

作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】如圖，作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，由題意可得，顯然，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最?。灰?yàn)?，，?zhǔn)線，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，所以.故選A本題主要考查拋物線上任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的和的最值問題，熟記拋物線的定義與性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.5、B【解析】分析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算、，再由線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，排除A、C、D選項(xiàng)即可．詳解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得；=（﹣10﹣6.99﹣5.01﹣2.98+3.98+5+7.99+8.01）=0，=（﹣9﹣7﹣5﹣3+4.01+4.99+7+8）=0；∴兩變量x、y間的線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)（0，0），可以排除A、C、D選項(xiàng)，B選項(xiàng)符合題意．故選：B．點(diǎn)睛：本題考查了線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．對(duì)于回歸方程，一定要注意隱含條件，樣本中心滿足回歸方程，再者計(jì)算精準(zhǔn)，正確理解題意，應(yīng)用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì).6、C【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于且，且成立，當(dāng)0<a<1時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)遞減性質(zhì)可知，，故可知范圍是，綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍C考點(diǎn)：不等式點(diǎn)評(píng)：主要是考查了對(duì)數(shù)不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

根據(jù)不等式的關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】①當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，即必要性不成立，②若，則，即，即故，成立，即充分性成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件．故選：A．本題主要考查了判斷必要不充分條件，解題關(guān)鍵是掌握判斷充分條件和必要條件的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】，在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).，，又，則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?依題意有，則有，得.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，不符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?依題意有，則有，得.綜合有實(shí)數(shù)的取值范圍為.選A.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.9、B【解析】

先設(shè)底面半徑，然后根據(jù)側(cè)面積計(jì)算出半徑，即可求解圓錐體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，母線長(zhǎng)；又側(cè)面積，所以，所以，故選：B.本題考查圓錐的側(cè)面積公式應(yīng)用以及體積的求解，難度一般.圓錐的側(cè)面積公式：，其中是底面圓的半徑，是圓錐的母線長(zhǎng).10、B【解析】

依題意，分和兩組，先分組，后排列，最后求和即可.【詳解】依題意，6名同學(xué)可分為兩組，第一組為，利用間接法，有種，第二組為，利用間接法，有,所以分類計(jì)數(shù)原理，可得種，故選B.本題主要考查了排列、組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)原理，著重考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以及推理與運(yùn)算能力，其中解答中合理分類，做到先分組后排列的方式是解答的關(guān)鍵.11、A【解析】

因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是，所以雙曲線的半焦距，，，所以一條漸近線方程為，即，，故選A.【點(diǎn)考點(diǎn)定位】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、點(diǎn)和直線的位置關(guān)系，考查推理論證能力、邏輯思維能力、計(jì)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想12、D【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)表示為一般形式，結(jié)合題中條件求出的值，再利用復(fù)數(shù)求模公式求出.【詳解】，由于復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，，得，，因此，，故選D.本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)求模，解決復(fù)數(shù)問題，要通過復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算將復(fù)數(shù)表示為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)相關(guān)知識(shí)求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由模長(zhǎng)性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?故.故答案為：本題主要考查模長(zhǎng)的性質(zhì),若,則.若,則.屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】

當(dāng)時(shí)，，求出；當(dāng)時(shí)，無解.從而，由此能求出結(jié)果.【詳解】解：由時(shí)，是減函數(shù)可知，當(dāng)，則，所以，由得，解得，則.故答案為：.本題考查函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.15、2；【解析】

根據(jù)法向量的求法求得平面的法向量，利用點(diǎn)到面的距離的向量求解公式直接求得結(jié)果.【詳解】設(shè)平面的法向量則，令，則，點(diǎn)到底面的距離：本題正確結(jié)果：本題考查點(diǎn)到面的距離的向量求法，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求解出平面的法向量，考查學(xué)生對(duì)于點(diǎn)到面距離公式掌握的熟練程度.16、4【解析】

可將點(diǎn)P和點(diǎn)Q先化為直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)，從而利用距離公式求解.【詳解】根據(jù)，可將化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為，將化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為，從而.本題主要考查極坐標(biāo)點(diǎn)和直角坐標(biāo)點(diǎn)的互化，距離公式，難度不大.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）估計(jì)宣傳費(fèi)用為萬元時(shí)，銷售該產(chǎn)品的利潤最大【解析】【試題分析】（1）先求出，再設(shè)回歸直線方程為：，算出，代入回歸方程求出，進(jìn)而求出回歸直線方程為；（2）先建立利潤函數(shù)（萬元），即，再求導(dǎo)可得，由，且時(shí)，，時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，最大，這時(shí)的估計(jì)值為，所以估計(jì)宣傳費(fèi)用為萬元時(shí)，銷售該產(chǎn)品的利潤最大。解：（1），設(shè)回歸直線方程為：，，，所以回歸直線方程為；（2）銷售利潤（萬元），，，由，且時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，最大，這時(shí)的估計(jì)值為，所以估計(jì)宣傳費(fèi)用為萬元時(shí)，銷售該產(chǎn)品的利潤最大。點(diǎn)睛：解答本題的第一問時(shí)，先求出，再設(shè)回歸直線方程為：，算出，然后將其代入回歸方程求出，從而求出回歸直線方程為；解答本題的第二問時(shí)，先建立利潤函數(shù)（萬元），即，再求導(dǎo)可得，由，且時(shí)，，時(shí)，，最后確定當(dāng)時(shí)，最大，這時(shí)的估計(jì)值為，所以估計(jì)宣傳費(fèi)用為萬元時(shí)，銷售該產(chǎn)品的利潤最大。18、（1）分布列見解析；（2）【解析】

（1）由題意的可能得分為，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量的分布列.（2）由題意得的可能取值為，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，，.，，，，.隨機(jī)變量的分布列為（2）由（1）知.本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.19、(Ⅰ)，可變成本”約為元；(Ⅱ)利潤的期望值為元【解析】

（Ⅰ）將關(guān)于之間對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式求出與，可得出回歸直線方程，再將代入回歸直線方程可得出“可變成本”的值；（Ⅱ）根據(jù)利潤公式分別算出當(dāng)銷量分別為瓶、瓶、瓶、瓶時(shí)的利潤和頻率，列出利潤隨機(jī)變量的分布列，結(jié)合分布列計(jì)算出數(shù)學(xué)期望值，即可得出答案?！驹斀狻浚á瘢?，，，，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為：當(dāng)時(shí)，，所以該店購入20瓶該品牌冷飲料，估計(jì)“可變成本”約為元；（Ⅱ）當(dāng)天購進(jìn)18瓶這種冷飲料，用表示當(dāng)天的利潤（單位：元），當(dāng)銷售量為15瓶時(shí)，利潤，；當(dāng)銷售量為16瓶時(shí)，利潤，；當(dāng)銷售量為17瓶時(shí)，利潤，；當(dāng)銷售量為18瓶時(shí)，利潤，；那么的分布列為：52.162.172.182.1的數(shù)學(xué)期望是：，所以若當(dāng)天購進(jìn)18瓶，則當(dāng)天利潤的期望值為元.本題考查回歸直線方程以及隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，在求解隨機(jī)變量分布列時(shí)，關(guān)鍵要弄清楚隨機(jī)變量所服從的分布類型，掌握各分布類型的特點(diǎn)，考查分析問題能力與計(jì)算能力，屬于中等題。20、（Ⅰ）(x-1)2+(y-1)2【解析】試題分析：（Ⅰ）由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ試題解析：（Ⅰ）由已知ρ=