高中一年級(jí)數(shù)學(xué)《數(shù)據(jù)的數(shù)字特征（1）》

數(shù)據(jù)的數(shù)字特征（1）高一年級(jí)數(shù)學(xué)主講人

如下是某學(xué)校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考試的語(yǔ)文成績(jī)，試從不同的角度對(duì)兩班成績(jī)進(jìn)行對(duì)比.高一（1）班：698469807570757187708084738181736678687973757676707471866388高一（2）班：7686748277686282728276818479677870728189817772776767727981757584問題與情境：上述情境中的兩個(gè)班的語(yǔ)文成績(jī)，可以從哪些角度進(jìn)行對(duì)比？上述情境中的兩個(gè)班的語(yǔ)文成績(jī)，可以從最值、平均數(shù)、中位數(shù)等角度進(jìn)行對(duì)比.一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值和最小值，反映數(shù)據(jù)最極端的情況.一般地，最大值用max表示，最小值用min表示.最值：日常生活中，對(duì)于一組給定的數(shù)據(jù)，我們什么時(shí)候會(huì)關(guān)注最值？甚至什么時(shí)候只關(guān)注最值？能舉出具體例子嗎？最值：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)（算術(shù)平均數(shù)）指的是所有數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得的商，反映數(shù)據(jù)的平均水平（中心位置）.如果給定的一組數(shù)是，則這組數(shù)的平均數(shù)為

簡(jiǎn)記為：.平均數(shù)：

其中

表示求和，右邊式子中的

表示求和范圍，其最小值與最大值分別寫在

的下面和上面.平均數(shù)：

其中

表示求和，右邊式子中的

表示求和范圍，其最小值與最大值分別寫在

的下面和上面.例如：..平均數(shù)：

其中

表示求和，右邊式子中的

表示求和范圍，其最小值與最大值分別寫在

的下面和上面.例如：..平均數(shù)：求和符號(hào)具有哪些性質(zhì)？平均數(shù)：求和符號(hào)具有下列性質(zhì):,,,(為介于和之間的整數(shù)).平均數(shù)：求和符號(hào)性質(zhì)的證明:.證明：.

平均數(shù)：求和符號(hào)性質(zhì)的證明:.證明：.

個(gè)平均數(shù)：日常生活中，對(duì)于一組給定的數(shù)據(jù)，我們什么時(shí)候會(huì)關(guān)注平均值？能舉出具體例子嗎？平均數(shù)：某武術(shù)比賽中，共有7個(gè)評(píng)委，計(jì)分的規(guī)則是：去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分，然后把其他分?jǐn)?shù)的平均數(shù)作為選手的最后得分，按照這樣的規(guī)則，根據(jù)以下數(shù)據(jù)，計(jì)算三位選手的最后得分.嘗試與發(fā)現(xiàn)1：選手評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5評(píng)委6評(píng)委7得分甲90889393929296乙92969592899295丙91918891989392嘗試與發(fā)現(xiàn)1：嘗試與發(fā)現(xiàn)1：選手評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5評(píng)委6評(píng)委7得分甲90889393929296乙92969592899295丙91918891989392如何計(jì)算甲組的分?jǐn)?shù)？選手評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5評(píng)委6評(píng)委7得分甲90889393929296嘗試與發(fā)現(xiàn)1：選手評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5評(píng)委6評(píng)委7得分甲90889393929296嘗試與發(fā)現(xiàn)1：選手評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5評(píng)委6評(píng)委7得分甲90889393929296減92-21100嘗試與發(fā)現(xiàn)1：選手評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5評(píng)委6評(píng)委7得分甲9088939392929692減92-21100嘗試與發(fā)現(xiàn)1：選手評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5評(píng)委6評(píng)委7得分甲9088939392929692減92-21100為什么可以這樣計(jì)算？嘗試與發(fā)現(xiàn)1：如果

的平均數(shù)是

，且

是常數(shù)，則

的平均數(shù)是

，請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試證明.嘗試與發(fā)現(xiàn)1：選手評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5評(píng)委6評(píng)委7得分甲9088939392929692乙9296959289929593.2丙9191889198939291.6嘗試與發(fā)現(xiàn)1：有人認(rèn)為，應(yīng)該把最高分與最低分之外的分?jǐn)?shù)總分作為選手的最后得分，這樣的計(jì)分規(guī)則與之前的規(guī)則是否有本質(zhì)的區(qū)別？嘗試與發(fā)現(xiàn)1：有人認(rèn)為，應(yīng)該把最高分與最低分之外的分?jǐn)?shù)總分作為選手的最后得分，這樣的計(jì)分規(guī)則與之前的規(guī)則是否有本質(zhì)的區(qū)別？答：沒有本質(zhì)的區(qū)別.嘗試與發(fā)現(xiàn)1：從數(shù)學(xué)的角度討論，為什么要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分再計(jì)算平均數(shù)？平均數(shù)具有什么特點(diǎn)？嘗試與發(fā)現(xiàn)1：嘗試與發(fā)現(xiàn)1：從數(shù)學(xué)的角度討論，為什么要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分再計(jì)算平均數(shù)？平均數(shù)具有什么特點(diǎn)？答：平均數(shù)會(huì)受到每一個(gè)數(shù)的影響，尤其是最大值和最小值，正因?yàn)槠骄鶖?shù)具有這個(gè)特點(diǎn)，為了避免過于極端的值影響結(jié)果太大，會(huì)去掉最大值和最小值再計(jì)算平均值.有甲乙兩個(gè)組，每組有6名成員，他們暑假讀書的本數(shù)如下：甲組：1，2，3，3，4，5乙組：0，0，1，2，3，12分別求出兩組的平均數(shù).嘗試與發(fā)現(xiàn)2：有甲乙兩個(gè)組，每組有6名成員，他們暑假讀書的本數(shù)如下：甲組：1，2，3，3，4，5平均數(shù)為3乙組：0，0，1，2，3，12平均數(shù)為3平均數(shù)是否很好地表示了每一組數(shù)的中心位置？如果沒有，可以選擇什么數(shù)來表示？嘗試與發(fā)現(xiàn)2：中位數(shù)：有時(shí)也可以借助中位數(shù)表示一組數(shù)的中心位置：如果一組數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為

，則稱

為這組數(shù)的中位數(shù)，如果一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為

，則稱

為這組數(shù)的中位數(shù).有甲乙兩個(gè)組，每組有6名成員，他們暑假讀書的本數(shù)如下：甲組：1，2，3，3，4，5中位數(shù)為3乙組：0，0，1，2，3，12中位數(shù)為1.5相比于平均數(shù)，中位數(shù)較好地表示了每一組數(shù)的中心位置.嘗試與發(fā)現(xiàn)2：嘗試與發(fā)現(xiàn)3：指出甲乙兩組數(shù)的中位數(shù).1234567891011121314151617181920甲1222233355668891010121313乙00001123456677101414141415嘗試與發(fā)現(xiàn)3：中位數(shù)均為5.5，中位數(shù)是否能比較全面地體現(xiàn)數(shù)據(jù)的

分布特點(diǎn)？如果不能，有什么補(bǔ)救的辦法呢？1234567891011121314151617181920甲1222233355668891010121313乙00001123456677101414141415將甲乙兩組數(shù)的小于5.5的前十個(gè)數(shù)，分別看成一組數(shù)，他們的中位數(shù)分別是2.5和1.12345678910甲1222233355乙0000112345嘗試與發(fā)現(xiàn)3：這兩個(gè)數(shù)是找小于或等于中位數(shù)的所有數(shù)的中位數(shù)得到的，所以他們分別稱為甲乙兩組數(shù)的25%分位數(shù).12345678910甲1222233355乙0000112345百分位數(shù)：百分位數(shù)：一組數(shù)的

分位數(shù)指的是，滿足下列條件的一個(gè)數(shù)值：至少有

的數(shù)據(jù)不大于該值，且至少有

的數(shù)不小于該值.一般地，當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)較多的時(shí)候，可以借助多個(gè)百分位數(shù)來了解數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn).計(jì)算方法：設(shè)一組數(shù)按從小到大排列后為

，計(jì)算

的值，如果

不是整數(shù)，設(shè)

為大于

的最小整數(shù)，取

為

分位數(shù)，如果

是整數(shù)，取

為

分位數(shù)，特別地，0分位數(shù)是

，即最小值，100%分位數(shù)是

，即最大值.百分位數(shù)：實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，經(jīng)常使用的是25%分位數(shù)（簡(jiǎn)稱第一四分位數(shù)），與75%分位數(shù)（簡(jiǎn)稱第三四分位數(shù)）.百分位數(shù)：例題：計(jì)算嘗試與發(fā)現(xiàn)3中甲乙兩組數(shù)的75%分位數(shù).百分位數(shù)：例題：計(jì)算嘗試與發(fā)現(xiàn)3中甲乙兩組數(shù)的75%分位數(shù).解：數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)20，

，因此，百分位數(shù)：例題：計(jì)算嘗試與發(fā)現(xiàn)3中甲乙兩組數(shù)的75%分位數(shù).解：數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)20，

，因此，甲組數(shù)的75%分位數(shù)為:.乙組數(shù)的75%分位數(shù)為:.1516甲910乙1014百分位數(shù)：百分位數(shù)：可見，甲組數(shù)用2.5，5.5，9.5，乙組數(shù)用1，5.5，12來刻畫，大致可以看出他們的數(shù)的分布特點(diǎn).1234567891011121314151617181920甲1222233355668891010121313乙00001123456677101414141415如下是某學(xué)校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考試的語(yǔ)文成績(jī)，試從不同的角度對(duì)兩班成績(jī)進(jìn)行對(duì)比.高一（1）班：698469807570757187708084738181736678687973757676707471866388高一（2）班：7686748277686282728276818479677870728189817772776767727981757584問題與情境：高一（1）班：698469807570757187708084738181736678687973757676707471866388高一（1）班的最大值是88，最小值是63，平均數(shù)是75.5，中位數(shù)75，第一四分位數(shù)70，第三四分位數(shù)80.

問題與情境：高一（2）班：7686748277686282728276818479677870728189817772776767727981757584高一（2）班的最大值是89，最小值是62，平均數(shù)約76.4，中位數(shù)77，第一四分位數(shù)72，第三四分位數(shù)81.

問題與情境：高一（1）班的最大值是88，最小值是63，平均數(shù)是75.5，中位數(shù)75，第一四分位數(shù)70，第三四分位數(shù)80.高一（2）班的最大值是89，最小值是