北師版初中九上數(shù)學(xué)2.5一元二次方程根的判別式【課件】

2.5一元二次方程根的判別式目錄情景導(dǎo)入新知探究鞏固練習(xí)拓展延伸情景導(dǎo)入A．由解方程引入:

解方程:①x2

x

1

0b2

4ac

1

4

5

②x2

4x

4

0b2

4ac

16

16

0

③2x2

3x

4

0b2

4ac

9

32

0此方程無實(shí)數(shù)根,可見,由b2

4ac的值,可以判斷方程根的情況.新知探究B．新課:一、判別式1.方程ax2

bx

c

0(a

0)根的判別式是:

b2

4ac.（1）

b2

4ac

0

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）

b2

4ac

0

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（3）

b2

4ac

0

方程沒有實(shí)數(shù)根.2、判別式的應(yīng)用（1）直接判斷一元二次方程根的情況;（2）由題目給出的一元二次方程根的情況,求出a、b、c

中待定系數(shù)的值或取值范圍.例1不解方程,判斷下列方程根的情況.（1）2x2

3x

1

0（2）（3）5x2

7x

5

0（4）kx2

(2k

1)x

k

1

0(k

0)（1）2x2

3x

1

0（2）（3）5x2

7x

5

0（4）kx2

(2k

1)x

k

1

0(k

0)解（1）

(

3)2

4

2

1

9

80∴方程（1）有兩個(gè)不等的實(shí)根.

（2）∴方程（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

（3）

(

7)2

4

5

5

49

1000∴方程（3）無實(shí)數(shù)根.

（4）

(2k

1)2

4k(1

k)

4k2

4k

1

4k

4k2

8k2

1

0

（無論k為何值均有8k2

1

0）∴方程（4）有兩個(gè)不等實(shí)根.

今后遇到二次方程馬上先由

判斷一下根的情況這是解題的良好習(xí)慣.例2關(guān)于x的方程(m

2)x2

2(m

1)x

m

1

0在下列條件下,分別求m的非負(fù)整數(shù)值.（1）方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.解:（1）當(dāng)m

2

0即m

2時(shí)方程為一元一次方程

2x

3

0,

即m

2時(shí),已知方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.（2）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí),必須且只需 解出

∴m

3時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.（3）當(dāng)方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根時(shí),必須且只需解出又m是非負(fù)整數(shù)∴m

0或m

1

小結(jié):使用

時(shí)必須在a

0的前題下.

例3.m取什么值時(shí),關(guān)于x的方程2x2

(m

2)x

2m

2

0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？并求出這時(shí)方程的根.解:∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴

(m

2)2

8(2m

2)

m2

12m

20

(m

2)(m

10)

0∴m1

2m2

10當(dāng)m1

2時(shí)當(dāng)m2

10時(shí)∴所求m

2或m

10,方程的根為1或3.例4求證:無論a為任何實(shí)數(shù),關(guān)于x的方程x2

(2a

1)x

a

3

0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.證:

(2a

1)2

4(a

3)

4a2

8a

13

4(a

1)2

9即

0無論a為任何實(shí)數(shù)(a

1)2

0∴4(a

1)2

9

0∴無論a為任何實(shí)數(shù),方程x2

(2a

1)x

a

3

0總有兩個(gè)不等實(shí)根.由例4可知:要說明

0常將它配成完全平方式

正數(shù).觀察下表.方程x1x2x1

x2x1x2x2

2x00220x2

3x

4

0-41-3-4x2

5x

6

02356Ⅰ觀察兩根之和,兩根之積與a、b、c的關(guān)系;Ⅱ兩根之和

一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù);兩根之積

常數(shù)項(xiàng).Ⅲ推廣方程ax2

bx

c

0(a

0b2

4ac

0)變形為由求根公式與上述觀察結(jié)果對(duì)比,可得到根系關(guān)系.鞏固練習(xí)拓展延伸二、根系關(guān)系1、關(guān)于x的方程ax2

bx

c

0(a

0,b2

4ac

0)的兩根x1、x2與系數(shù)a、b、c的關(guān)系是:注:應(yīng)用根系關(guān)系的前題是a

0且

02、根系關(guān)系的應(yīng)用:（1）已知方程的一根,求另一根及字母系數(shù)的值.（2）已知兩根之間的關(guān)系,確定方程中字母系數(shù)的值.例5已知方程的一個(gè)根是

1,求k及另一根解法一:設(shè)方程的另一根為x1∴所求

,解法二∵

1是方程的根∴∴方程為

x2

1∴所求另一根為引申:若x2

1

則對(duì)應(yīng)的方程是什么？即以,

1為根的方程為

0例6方程x2

(m

1)x

2m

1

0求m滿足什么條件時(shí),方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程的一根為零？解:

(m

1)2

4(2m

1)

m2

6m

5①∵兩根互為相反數(shù)∴兩根之和m

1

0,m

1,且

0∴m

1時(shí),方程的兩根互為相反數(shù).拓展延伸②∵兩根互為倒數(shù)

m2

6m

5,∴兩根之積2m

1

1m

1且

0,∴m

1時(shí),方程的兩根互為倒數(shù).③∵方程一根為0,∴兩根之積2m

1

0

且

0,∴時(shí),方程有一根為零.引申:1、若ax2

bx

c

0(a

0

0)（1）若兩根互為相反數(shù),則b

0;（2）若兩根互為倒數(shù),則a

c;（3）若一根為0,則c

0

;（4）若一根為1,則a

b

c

0;（5）若一根為

1,則a

b

c

0;（6）若a、c異號(hào),方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.引申2若a、b是方程x2

2x

7

0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求:①a2

b2②a2

3b2

4b③a3

5b2

b

76的值.解:由根系關(guān)系a

b

2,ab

7,a2

7

2a

b2

7

2b,①a2

b2=(a

b)2

2ab

4

14

18.②a2

3b2

4b

(7

2a)

3(7

2b)

4b

2(a

b)

28

2(

2)

28