上海市東實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

上海市東實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線的傾斜角是（）A． B． C． D．2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為（）A． B． C． D．4．一個(gè)盒子里有6支好晶體管，5支壞晶體管，任取兩次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶體管時(shí)，則第二支也是好晶體管的概率為（）A．23B．512C．75．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Na,4，且PX>1=0.5A．1B．3C．2D．46．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底），若方程有且僅有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．7．如圖，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．，是的極大值點(diǎn)B．，是的極小值點(diǎn)C．，不是的極值點(diǎn)D．，是是的極值點(diǎn)8．已知某隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．9．函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．10．轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為（）A． B． C． D．11．已知平面向量，的夾角為，且，，則（）A． B． C． D．12．已知命題p：?x∈R，2x>0；q：?x0∈R，x＋x0＝－1．則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．(┐p)∧(┐q) C．(┐p)∧q D．p∧(┐q)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得________．14．的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為________.15．記曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積為，則________．16．如圖，邊長(zhǎng)為的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒粒豆子，粒中有粒落在陰影區(qū)域，則陰影區(qū)域的面積約為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在矩形中，，，為線段的中點(diǎn)，如圖1，沿將折起至，使，如圖2所示．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．18．（12分）某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測(cè)，每一件一等品都能通過檢測(cè)，每一件二等品通過檢測(cè)的概率為.現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件是一等品，4件是二等品.(Ⅰ)隨機(jī)選取1件產(chǎn)品，求能夠通過檢測(cè)的概率；(Ⅱ)隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列；(Ⅲ)隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，求這三件產(chǎn)品都不能通過檢測(cè)的概率.19．（12分）已知，，曲線在點(diǎn)處的切線平分圓C：的周長(zhǎng).（1）求a的值；（2）討論函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).20．（12分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，若在上恒成立，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.21．（12分）如圖，已知正三棱柱的高為3，底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別為棱和的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求二面角的余弦值．22．（10分）某地區(qū)為了解群眾上下班共享單車使用情況，根據(jù)年齡按分層抽樣的方式調(diào)查了該地區(qū)50名群眾，他們的年齡頻數(shù)及使用共享單車人數(shù)分布如下表：年齡段20~2930~3940~4950~60頻數(shù)1218155經(jīng)常使用共享單車61251（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)對(duì)是否經(jīng)常使用共享單車有差異？年齡低于40歲年齡不低于40歲總計(jì)經(jīng)常使用共享單車不經(jīng)常使用共享單車總計(jì)附：，.0.250.150.100.0500.0250.0101.3232.0722.7063.8415.0246.635（2）若采用分層抽樣的方式從年齡低于40歲且經(jīng)常使用共享單車的群眾中選出6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中恰好有1人年齡在30~39歲的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)直線方程求得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角之間的關(guān)系，即可求得傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，故可得，又，故可得.故選：D.本題考查由直線的斜率求解傾斜角，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】

可求出集合B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】B＝{x|x≤2}；∴A∩B＝{1，2}．故選：B．本題考查描述法、列舉法表示集合的定義，以及交集的運(yùn)算．3、C【解析】

因?yàn)?可得時(shí)，的系數(shù)為，C正確.4、D【解析】試題分析：由題意，知取出一好晶體管后，盒子里還有5只好晶體管，4支壞晶體管，所以若已知第一支是好晶體管，則第二支也是好晶體管的概率為59考點(diǎn)：等可能事件的概率．5、A【解析】試題分析：正態(tài)分布曲線關(guān)于均值對(duì)稱，故均值a=1,選A.考點(diǎn)：正態(tài)分布與正態(tài)曲線.6、D【解析】

首先需要根據(jù)方程特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù),將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，并根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化成方程解的問題，最后利用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求切線斜率問題，從而根據(jù)斜率的幾何意義得到解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，，所以零點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，依題意，方程有兩個(gè)不同的正根，又當(dāng)時(shí)，，所以方程可以化為：，即，記，，設(shè)直線與圖像相切時(shí)的切點(diǎn)為，則切線方程為，過點(diǎn)，所以或（舍棄），所以切線的斜率為，由圖像可以得.選D.本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，突顯了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的考查.屬中檔題.7、B【解析】

由圖判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合為在點(diǎn)P處的切線方程，則有，由此可判斷極值情況.【詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，則有是的極小值點(diǎn)，故選B.本題通過圖象考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性與極值，分析圖象不難求解.8、A【解析】

直接利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解．【詳解】，且，．．故選：A．本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，考查曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

通過對(duì)式子的分析，把求零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成求方程的根，結(jié)合圖象，數(shù)形結(jié)合得到根的個(gè)數(shù)，即可得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)即方程和的根，函數(shù)的圖象如圖所示：由圖可得方程和共有個(gè)根，即函數(shù)有個(gè)零點(diǎn),故選：A.本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，注意結(jié)合圖象，利用數(shù)形結(jié)合求得結(jié)果時(shí)作圖很關(guān)鍵，要標(biāo)準(zhǔn)．10、D【解析】已知180°對(duì)應(yīng)弧度，則轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為.本題選擇D選項(xiàng).11、C【解析】分析：根據(jù)向量的運(yùn)算，化簡(jiǎn)，由向量的數(shù)量積定義即可求得模長(zhǎng)．詳解：平面向量數(shù)量積，所以所以選C點(diǎn)睛：本題考查了向量的數(shù)量積及其模長(zhǎng)的求法，關(guān)鍵是理解向量運(yùn)算的原理，是基礎(chǔ)題．12、D【解析】分析：分別判斷p，q的真假即可.詳解：指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，＋∞)，對(duì)任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p為真命題；x2＋x＋1＝2＋>0恒成立,不存在x0∈R，使x＋x0＝－1成立，故q為假命題，則p∧q，┐p為假命題，┐q為真命題，┐p∧┐q，┐p∧q為假命題，p∧┐q為真命題．故選：D.點(diǎn)睛：本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與二次函數(shù)方面的知識(shí).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

在曲線極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，由可將曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程.【詳解】在曲線極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，得，化為普通方程得，即，故答案為：.本題考查曲線極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，解題時(shí)充分利用極坐標(biāo)與普通方程之間的互化公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.14、60【解析】

先寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，，令，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式的通項(xiàng)為：，令，則，所以項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：本題主要考查求指定項(xiàng)的系數(shù)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.15、【解析】

由曲線與直線聯(lián)立，求出交點(diǎn)，以確定定積分中的取值范圍，最后根據(jù)定積分的幾何意義表示出區(qū)域的面積，根據(jù)定積分公式即可得到答案?！驹斀狻柯?lián)立，得到交點(diǎn)為，故曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積；故答案為本題考查利用定積分求面積，確定被積區(qū)間與被積函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。16、.【解析】分析：利用幾何概型的概率公式進(jìn)行求解.解析：正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率，∴．點(diǎn)睛：本題考查幾何概型的應(yīng)用，處理幾何概型問題的關(guān)鍵在于合理選擇幾何模型（長(zhǎng)度、角度、面積和體積等），一般原則是“一個(gè)變量考慮長(zhǎng)度、兩個(gè)變量考慮面積、三個(gè)變量考慮體積）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】試題分析：（1）由已知條件證明出平面，根據(jù)面面垂直的判定定理證明出平面平面；（2）取BE的中點(diǎn)為,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)且平行于的直線為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由線面垂直的性質(zhì)定理，分別求出的坐標(biāo)，求出二面角的余弦值．試題解析：（1）證明：在圖1中連接，則，，．∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）解：取中點(diǎn)，連接，∵，∴，∵平面平面，∴平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)且平行于的直線為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由可得；由可得；則，由圖形知二面角的平面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．18、（1）；（2）分布列見解析；（3）.【解析】

（Ⅰ）設(shè)隨機(jī)選取一件產(chǎn)品，能夠通過檢測(cè)的事件為A，事件A包括兩種情況，一是抽到的是一個(gè)一等品，二是抽到的是一個(gè)二等品，這兩種情況是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果；（II）由題意知X的可能取值是0，1，2，3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和等可能事件的概率，寫出變量的概率，寫出分布列；（III）隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，這三件產(chǎn)品都不能通過檢測(cè)，包括兩個(gè)環(huán)節(jié)，第一這三個(gè)產(chǎn)品都是二等品，且這三件都不能通過檢測(cè)，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果．【詳解】（Ⅰ）設(shè)隨機(jī)選取一件產(chǎn)品，能夠通過檢測(cè)的事件為事件等于事件“選取一等品都通過檢測(cè)或者是選取二等品通過檢測(cè)”；(Ⅱ)由題可知可能取值為0,1,2,3.,,,.故的分布列為

0

1

2

3

(Ⅲ)設(shè)隨機(jī)選取3件產(chǎn)品都不能通過檢測(cè)的事件為事件等于事件“隨機(jī)選取3件產(chǎn)品都是二等品且都不能通過檢測(cè)”所以，.本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查等可能事件的概率，本題是一個(gè)概率的綜合題目19、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）求得曲線在點(diǎn)處的切線，根據(jù)題意可知圓C的圓心在此切線上，可得a的值.（2）根據(jù)得出極值，結(jié)合單調(diào)區(qū)間和函數(shù)圖像，分類討論的值和交點(diǎn)個(gè)數(shù)?！驹斀狻浚?），∴，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為由切線平分圓C：的周長(zhǎng)可知圓心在切線上，∴，∴（2）由（1）知，，令，解得或當(dāng)或時(shí)，，故在，上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù).由此可知，在處取得極大值在處取得極小值大致圖像如圖：當(dāng)或時(shí)，的圖象與直線有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)或時(shí)，的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn).本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線，研究單調(diào)區(qū)間，考查數(shù)形結(jié)合思想求解交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）見解析【解析】

(1)在上恒成立即在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)求最值即可；（2）對(duì)x分類討論，轉(zhuǎn)證的最值與零的關(guān)系即可.【詳解】解：（1）由，得在上恒成立.令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故的最小值為.所以，即的取值范圍為.（2）因?yàn)?，所以?令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，即當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.又因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是對(duì)恒成立.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).21、（1）詳見解析；（2）．【解析】

取BC中點(diǎn)F，連接FE，F(xiàn)D，可證平面AFDE，則，求解三角形證明，再由線面垂直的判定可得直線平面BCE；

以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BED與平面BCD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，如圖，由題意知，四邊形為矩形，且．因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋云矫?，所以．?所以平面．（2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則0，，0，，，

，，

設(shè)平面BED的一個(gè)法向量為，

由，取，得．

取平面BCD的一個(gè)法向量為，

．

且二面角為銳角，

二面角的余弦值為．本題考查線面垂直的判定，利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．22、(1)見解析;(2)【解析】

（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表,由表中數(shù)據(jù)計(jì)算觀測(cè)值,對(duì)照臨界值得出結(jié)論；（2）用分層抽樣法選出6人,利用列舉法求出基本事件數(shù),再計(jì)算所求的概率值.【詳解】(1)根據(jù)題意填寫2×2列聯(lián)表如下:年齡低于40歲年齡不低于40歲總計(jì)經(jīng)常使用共享單車18624不經(jīng)常使用共享單車121436總計(jì)302050由表中數(shù)據(jù),計(jì)算所以沒有95%的把握認(rèn)為以