上海市華師大第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

上海市華師大第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若存在實數(shù)，，使不等式對一切正數(shù)都成立（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的最小值是（）.A． B．4 C． D．22．等于（）A． B． C． D．3．用1，2，3，4，5，6這六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則5和6在兩端，1和2相鄰的六位數(shù)的個數(shù)是A．24 B．32 C．36 D．484．設(shè)函數(shù)，若實數(shù)分別是的零點，則（）A． B． C． D．5．給出以下命題：（1）若，則；（2）；（3）的原函數(shù)為，且是以為周期的函數(shù)，則：其中正確命題的個數(shù)為（）．A．1 B．2 C．3 D．46．設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部等于（）A． B． C． D．7．某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的的值是（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．9．已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．或10．函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（）．A． B．C． D．11．在20張百元紙幣中混有4張假幣，從中任意抽取2張，將其中一張在驗鈔機(jī)上檢驗發(fā)現(xiàn)是假幣，則這兩張都是假幣的概率是()A． B． C． D．以上都不正確12．某軍工企業(yè)為某種型號的新式步槍生產(chǎn)了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服從正態(tài)分布，從已經(jīng)生產(chǎn)出的槍管中隨機(jī)取出一只，則其口徑誤差在區(qū)間內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機(jī)變量的分布列如表所示，則______.01Pa14．若復(fù)數(shù)，，（為虛數(shù)單位）則實數(shù)__________．15．在正四面體P-ABC，已知M為AB的中點，則PA與CM所成角的余弦值為____.16．若復(fù)數(shù)z=(x2-2x-3)+(x+1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)．若，求隨機(jī)變量X的分布列與均值.18．（12分）已知函數(shù)，（1）當(dāng)，時，求函數(shù)在上的最小值；（2）若函數(shù)在與處的切線互相垂直，求的取值范圍；（3）設(shè)，若函數(shù)有兩個極值點，，且，求的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍．20．（12分）甲、乙兩隊進(jìn)行一場排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為.本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽相互間沒有影響且無平局.求：（1）前三局比賽甲隊領(lǐng)先的概率；（2）設(shè)本場比賽的局?jǐn)?shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.(用分?jǐn)?shù)表示)21．（12分）每年暑期都會有大量中學(xué)生參加名校游學(xué)，夏令營等活動，某中學(xué)學(xué)生社團(tuán)將其今年的社會實踐主題定為“中學(xué)生暑期游學(xué)支出分析”，并在該市各個中學(xué)隨機(jī)抽取了共名中學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)共名中學(xué)生參與了各類游學(xué)、夏令營等活動，從中統(tǒng)計得到中學(xué)生暑期游學(xué)支出（單位：百元）頻率分布方圖如圖.（I）求實數(shù)的值；（Ⅱ）在，，三組中利用分層抽樣抽取人，并從抽取的人中隨機(jī)選出人，對其消費情況進(jìn)行進(jìn)一步分析.（i）求每組恰好各被選出人的概率；（ii）設(shè)為選出的人中這一組的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）在數(shù)列中，，，其中實數(shù)．(1)求，并由此歸納出的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(Ⅰ)的結(jié)論．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

分別畫出和的圖象，依題意存在實數(shù)，，使不等式對一切正數(shù)都成立，要求參數(shù)的最小值，臨界條件即為直線：恰為函數(shù)和的公切線，設(shè)函數(shù)上的切點，則，即轉(zhuǎn)化為求，設(shè)函數(shù)的切點為，表示出切線方程，即可得到方程組，整理得到，令，求出令即可得解；【詳解】解：分別畫出和的圖象，依題意存在實數(shù)，，使不等式對一切正數(shù)都成立，要求參數(shù)的最小值，臨界條件即為直線：恰為函數(shù)和的公切線，設(shè)函數(shù)上的切點，，，所以，所以切線方程為，整理得，同時直線也是函數(shù)的切線，設(shè)切點為，所以切線方程為，整理得，所以，整理得，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，顯然，故當(dāng)時取得最小值，即實數(shù)的最小值為4，故選：B．本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析恒成立問題，兩曲線的公切線問題，屬于中檔題．2、A【解析】

根據(jù)排列數(shù)的定義求解.【詳解】，故選A.本題考查排列數(shù)的定義.3、A【解析】

特殊元素優(yōu)先排，相鄰元素捆綁排，然后再分析剩余元素的排列.【詳解】先排，方法有：種；將捆綁在一起，方法有：種；將這個整體和以及全排列，方法有：種，所以六位數(shù)的個數(shù)為：個，故選：A.本題考查排列組合的簡單應(yīng)用，難度一般.在排列組合的過程中，一般我們要注意：特殊元素優(yōu)先排，相鄰元素捆綁排這樣一個原則.4、A【解析】由題意得，函數(shù)在各自的定義域上分別為增函數(shù)，∵，又實數(shù)分別是的零點∴，∴，故．選A．點睛：解答本題時，先根據(jù)所給的函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性，然后利用判斷零點所在的范圍，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍，其中借助0將與聯(lián)系在一起是關(guān)鍵．5、B【解析】

(1)根據(jù)微積分基本定理,得出,可以看到與正負(fù)無關(guān).

(2)注意到在的取值符號不同,根據(jù)微積分基本運(yùn)算性質(zhì),化為求解判斷即可.

(3)根據(jù)微積分基本定理,兩邊分別求解,再結(jié)合,判定.【詳解】(1)由,得,未必.(1)錯誤.(2),(2)正確.(3),；故；(3)正確.所以正確命題的個數(shù)為2,故選：B.本題主要考查了命題真假的判定與定積分的計算,屬于中檔題.6、D【解析】分析：對所給的復(fù)數(shù)分子、分母同乘以，利用進(jìn)行化簡，整理出實部和虛部即可．詳解：∵∴復(fù)數(shù)的虛部為故選D.點睛：本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位的冪運(yùn)算性質(zhì)，兩個復(fù)數(shù)相除時，一般需要分子和分母同時除以分母的共軛復(fù)數(shù)，再進(jìn)行化簡求值．7、A【解析】

根據(jù)框圖，模擬計算即可得出結(jié)果.【詳解】程序執(zhí)行第一次，，，第二次，，第三次，，第四次，，跳出循環(huán)，輸出，故選A.本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于中檔題.8、C【解析】，選C.9、B【解析】試題分析：因為成等差數(shù)列，所以因為成等比數(shù)列，所以，由得，，故選B.考點：1、等差數(shù)列的性質(zhì)；2、等比數(shù)列的性質(zhì).10、A【解析】分析：判斷的奇偶性，在上的單調(diào)性，計算的值，結(jié)合選項即可得出答案.詳解：設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，排除B；由當(dāng)時，，排除D；因為，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除C，故選A.點睛：本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的應(yīng)用，試題有一定綜合性，屬于中檔試題，著重考查了分析問題和解答問題的能力.11、A【解析】設(shè)事件A表示“抽到的兩張都是假鈔”，事件B表示“抽到的兩張至少有一張假鈔”，則所求的概率即P(A|B).又，由公式.本題選擇A選項.點睛：條件概率的求解方法：(1)利用定義，求P(A)和P(AB)，則.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得.12、C【解析】

根據(jù)已知可得，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.【詳解】.故選：C本題考查正態(tài)分布中兩個量和的應(yīng)用，以及正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先由分布列，根據(jù)概率的性質(zhì)求出，再求出期望，根據(jù)方差的計算公式，即可得出結(jié)果.【詳解】由分布列可得：，解得，所以，因此，所以.故答案為：.本題主要考查求離散型隨機(jī)變量的方差，熟記計算公式即可，屬于?？碱}型.14、【解析】

由題得，解方程即得解.【詳解】由題得,所以.故答案為本題主要考查復(fù)數(shù)模的性質(zhì)和計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.15、【解析】分析：取的中點，連接，由三角形中位線定理可得即為與所成的角或其補(bǔ)角，利用余弦定理可得結(jié)果.詳解：取的中點，連接，由三角形中位線定理可得，，故即為與所成的角或其補(bǔ)角，因為是正四面體，不妨設(shè)令其棱長為，則由正四面體的性質(zhì)可求得，故，故答案為.點睛：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用以及異面直線所成角的求法，求異面直線所成的角的做題步驟分為三步，分別為：作角、證角、求角，尤其是第二步證明過程不可少，是本題易失點分，切記.16、3【解析】由題設(shè){x2-2x-3=0三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】

根據(jù)該畢業(yè)生得到面試的機(jī)會為0時的概率，求出乙、丙公司面試的概率，根據(jù)題意得到X的可能取值，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出概率得出分布列及期望．【詳解】∵P（X＝0），∴，∴p，由題意知X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)，則X的可能取值是0，1，2，3，P（X＝1）P（X＝2），P（X＝3）＝1，X0123P∴E（X），本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是一個基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）或；（3）【解析】

（1）求導(dǎo)后可得函數(shù)的單調(diào)性，從而得到；（2）利用切線互相垂直可知，展開整理后可知關(guān)于的方程有解，利用可得關(guān)于的不等式，解不等式求得結(jié)果；（3）根據(jù)極值點的定義可得：，，從而得到且，進(jìn)而得到，令，利用導(dǎo)數(shù)可證得，從而得到所求范圍.【詳解】（1）當(dāng)，時，，則當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增（2）由解析式得：，函數(shù)在與處的切線互相垂直即：展開整理得：則該關(guān)于的方程有解整理得：，解得：或（3）當(dāng)時，是方程的兩根，且，，令，則在上單調(diào)遞增即：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用，涉及到函數(shù)最值的求解、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)與極值之間的關(guān)系；本題的難點在于根據(jù)極值點的定義將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，從而通過構(gòu)造函數(shù)的方式求得函數(shù)的最值，進(jìn)而得到取值范圍.19、（1）8（2）[－2,0].【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)f（x）最小值是f（﹣1）=0，且c=1，求出a，b，c的值，即可求F（2）+F（﹣2）的值；（2）由于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），且a=1，c=0，所以f（x）=x2+bx，進(jìn)而在滿足|f（x）|≤1在區(qū)間（0，1]恒成立時，求出即可．【詳解】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，從而|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立等價于－1≤x2＋bx≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立.又－x的最小值為0，－－x的最大值為－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范圍是[－2，0].利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.20、（1）；（2）詳見解析.【解析】

（1）分為甲隊勝三局和甲隊勝二局兩種情況，概率相加得到答案.（2）本場比賽的局?jǐn)?shù)為有3,4,5三種情況，分別計算概率得到分布列，最后計算得到答案.【詳解】解：（1）設(shè)“甲隊勝三局”為事件，“甲隊勝二局”為事件，則，，所以，前三局比賽甲隊領(lǐng)先的概率為（2）甲隊勝三局或乙勝三局，甲隊或乙隊前三局勝局，第局獲勝甲隊或乙隊前四局勝局，第局獲勝的分部列為：數(shù)學(xué)期望為本題考查了概率的計算，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和解決問題的能力.21、（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）見解析【解析】

（1）利用頻率分布直方圖中，各個小矩形面積和等于1，求出；（2）由頻率分布直方圖得三組中人數(shù)的比例為，所以抽取的10人，在每組中各占4人、3人、3人；隨機(jī)變量的所有可能取值為.【詳解】解（Ⅰ）由題意，得，解得.（Ⅱ）按照分層抽