云南省保山市昌寧一中2025年高二下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題含解析

云南省保山市昌寧一中2025年高二下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法正確的是（）A． B．C． D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點在第四象限2．函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．3．已知點，則它的極坐標(biāo)是（）A． B．C． D．4．已知n，，，下面哪一個等式是恒成立的（）A． B．C． D．5．已知點P的極坐標(biāo)是，則過點P且平行極軸的直線方程是A． B． C． D．6．若函數(shù)，對任意實數(shù)都有，則實數(shù)的值為（）A．和 B．和 C． D．7．已知，若；，．那么p是q的（）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件8．函數(shù)y=x2㏑x的單調(diào)遞減區(qū)間為A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）9．在中，，，，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若，則A．1 B． C． D．10．設(shè)，由不等式，，，…，類比推廣到，則()A． B． C． D．11．某公司在年的收入與支出情況如下表所示：收入（億元）支出y（億元）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，依此名計，如果年該公司的收入為億元時，它的支出為（）A．億元 B．億元 C．億元 D．億元12．曲線在點處的切線方程是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．隨機變量的分布列如下：若，則__________.14．如圖，正方體中，E為線段的中點，則AE與所成角的余弦值為____．15．已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列.若，且，則數(shù)列的公比__________.16．的二項展開式中含的項的系數(shù)是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）對任意正整數(shù)n，設(shè)表示n的所有正因數(shù)中最大奇數(shù)與最小奇數(shù)的等差中項，表示數(shù)列的前n項和.（1）求，，，，的值；（2）是否存在常數(shù)s，t，使得對一切且恒成立？若存在，求出s，t的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；若不存在，請說明理由.18．（12分）已知函數(shù)f(x)=m（1）當(dāng)n-m=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-3m2x2的兩個零點分別為x1,x2(19．（12分）（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知，函數(shù).（1）若，求的值；（2）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間.21．（12分）已知四棱錐的底面是正方形，底面.（1）求證：直線平面；（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，二面角的大小為？22．（10分）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，上頂點為，，（為坐標(biāo)原點）.（1）求橢圓的方程；（2）定義：曲線在點處的切線方程為.若拋物線上存在點（不與原點重合）處的切線交橢圓于、兩點，線段的中點為.直線與過點且平行于軸的直線的交點為，證明：點必在定直線上.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由復(fù)數(shù)的乘法除法運算求出，進而得出答案【詳解】由題可得，在復(fù)平面內(nèi)表示的點為，位于第二象限，，故A,C,D錯誤；，，故B正確；本題考查復(fù)數(shù)的基本運算與幾何意義，屬于簡單題．2、A【解析】

求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性判斷選項.【詳解】解：當(dāng)時，，則，若，，，若，，，則恒成立，即當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞減，

故選：A.本題主要考查函數(shù)的圖象，可以通過函數(shù)的性質(zhì)進行排除，屬于中檔題.3、C【解析】

由計算即可?！驹斀狻吭谙鄳?yīng)的極坐標(biāo)系下，由于點位于第四象限，且極角滿足，所以.故選C.本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬于簡單題。4、B【解析】

利用排列數(shù)、組合數(shù)公式以及組合數(shù)的性質(zhì)可對各選項中的等式的正誤進行判斷.【詳解】由組合數(shù)的定義可知，A選項錯誤；由排列數(shù)的定義可知，B選項正確；由組合數(shù)的性質(zhì)可知，則C、D選項均錯誤.故選B.本題考查排列數(shù)、組合數(shù)的定義以及組合數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查對這些公式與性質(zhì)的理解應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】分析：把點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，求出過點且平行極軸的直線直角坐標(biāo)方程，再把它化為極坐標(biāo)方程．詳解：把點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為故過點且平行極軸的直線方程是，

化為極坐標(biāo)方程為，

故選D．點睛：本題主要考查把點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，把直角坐標(biāo)方程化為即坐標(biāo)方程的方法，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】由得函數(shù)一條對稱軸為,因此,由得,選A.點睛：求函數(shù)解析式方法：(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求.（4）由求對稱軸7、C【解析】

轉(zhuǎn)化，為，分析即得解【詳解】若命題q為真，則，等價于因此p是q的充分不必要條件故選：C本題考查了充分必要條件的判定，及存在性問題的轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生邏輯推理，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，得（x>0）,令解得，因此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故選B考點定位：本小題考查導(dǎo)數(shù)問題，意在考查考生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)本身隱含的定義域9、D【解析】

通過解直角三角形得到，利用向量的三角形法則及向量共線的充要條件表示出利用向量共線的充要條件表示出，根據(jù)平面向量就不定理求出，值．【詳解】在中，又所以為AD的中點故選D．本題考查解三角形、向量的三角形法則、向量共線的充要條件、平面向量的基本定理．10、D【解析】由已知中不等式：歸納可得：不等式左邊第一項為，第二項為，右邊為，故第個不等式為：，故，故選D.【方法點睛】本題通過觀察幾組不等式，歸納出一般規(guī)律來考察歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.11、B【解析】，，代入回歸直線方程，，解得：，所以回歸直線方程為：，當(dāng)時，支出為億元，故選B.12、D【解析】

求導(dǎo)得到，故，計算切線得到答案.【詳解】，，，所以切線方程為，即.故選：.本題考查了切線方程，意在考查學(xué)生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用概率之和為以及數(shù)學(xué)期望列方程組解出和的值，最后利用方差的計算公式可求出的值?！驹斀狻坑深}意可得，解得，因此，，故答案為：。本題考查隨機分布列的性質(zhì)以及隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差的計算，解題時要注意概率之和為這個隱含條件，其次就是熟悉隨機變量數(shù)學(xué)期望和方差的公式，考查計算能力，屬于中等題。14、；【解析】

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AE與CD1所成角的余弦值．【詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，則A（2，0，0），E（2，2，1），C（0，2，0），D1（0，0，2），（0，2，1），（0，﹣2，2），設(shè)AE與CD1所成角為θ，則cosθ，∴AE與CD1所成角的余弦值為．故答案為．本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．15、2【解析】

本題可以點把轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于公比的一元二次方程，再根據(jù)遞增數(shù)列得出結(jié)論。【詳解】，或因為等比數(shù)列為遞增數(shù)列所以要注意一個遞增的等比數(shù)列，它的公比大于1。16、60【解析】

，令即可.【詳解】二項式展開式的通項為，令，得，故的項的系數(shù)是60.故答案為：60本題考查求二項展開式中的特定項的系數(shù)問題，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，，，；（2），見解析.【解析】

（1）根據(jù)定義計算即可；（2）先由，，確定出s，t的值，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】（1）1的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，2的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，3的最大正奇因數(shù)為3，最小正奇因數(shù)為1，所以，4的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，5的最大正奇因數(shù)為5，最小正奇因數(shù)為1，所以.（2）由（1）知，，，，所以，解得.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，，成立；②假設(shè)當(dāng)（，）時，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)時，易知當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，.所以.所以當(dāng)時，結(jié)論成立.綜合①②可知，對一切且恒成立.本題考查數(shù)列中的新定義問題，利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點分類討論，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)區(qū)間，（2）先求導(dǎo)數(shù)得函數(shù)g(x)的圖像在x=x【詳解】（1）∵所以當(dāng)m≤0時，f'(x)=0?x=1，所以增區(qū)間(0,1)當(dāng)0<m<1時，f'(x)=0?x=1,x=1m>1當(dāng)m=1時，f'(x)≥0，所以增區(qū)間當(dāng)m>1時，f'(x)=0?x=1,x=1m（2）因為g(x)=f(x)-3m所以g'因此函數(shù)g(x)的圖像在x=x0因為函數(shù)g(x)的兩個零點分別為x1所以m即(m(所以g令h(t)=-lnt+所以h(t)<h(1)=0，從而g本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查綜合分析求解能力，屬難題.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)不等式的特征，分，，，構(gòu)造，研究其單調(diào)性即可.（2）將當(dāng)時，恒成立，轉(zhuǎn)化為時，恒成立，當(dāng)時，顯然成立，當(dāng)且時，轉(zhuǎn)化為，，利用（1）的結(jié)論求解.【詳解】（1）當(dāng)時，原不等式左邊與右邊相等，當(dāng)時，原不等式，等價于，令，所以，所以在上遞增，，所以，當(dāng)時，原不等式，等價于，令，所以，所以在上遞增，，所以，綜上：當(dāng)時，；（2）因為當(dāng)時，恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，顯然成立，當(dāng)且時，恒成立，由（1）知當(dāng)且時，，所以，所以.實數(shù)的取值范圍是.本題主要考查導(dǎo)數(shù)于函數(shù)的單調(diào)性研究不等式恒成立問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】

（1）由得，解出即可（2）用三角函數(shù)的和差公式和二倍角公式將化為，然后求出即可【詳解】（1）又，.（2），，，的單調(diào)遞增區(qū)間為解決三角函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題時應(yīng)先將函數(shù)化為基本型.21、(1)證明見解析；(2)1.【解析】分析：（1）由線面垂直的性質(zhì)可得，由正方形的性質(zhì)可得，由線面垂直的判定定理可證平面；（2）設(shè)，以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面的法向量與平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式列方程可得結(jié)果.詳解：（1）證明：∵平面，平面，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴平面.（2）解：設(shè)，以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，為計算方便，不妨設(shè)，則，，，，則，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，∴.設(shè)平面的法向量為，，令，又，則，∴.要使二面角的大小為，必有，∴，∴，∴.即當(dāng)時，二面角的大小為.點睛：本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.22、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）由得出，再由得出，求出、的值，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)中定義得出直線的方程，并設(shè)點、，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用中點坐標(biāo)公式求出點的