江蘇省連云港市贛榆區(qū)海頭高中2024-2025學年高二下數(shù)學期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

江蘇省連云港市贛榆區(qū)海頭高中2024-2025學年高二下數(shù)學期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前項和為，，則（）A． B． C．2 D．42．若從1，2，3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有A．60種 B．63種 C．65種 D．66種3．下列求導運算的正確是（）A．為常數(shù) B．C． D．4．2018年元旦期間，某高速公路收費站的三個高速收費口每天通過的小汽車數(shù)（單位：輛）均服從正態(tài)分布，若，假設(shè)三個收費口均能正常工作，則這個收費口每天至少有一個超過700輛的概率為（）A． B． C． D．5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．16 B．(10＋)π C．4＋(5＋)π D．6＋(5＋)π6．的展開式中的系數(shù)是A．－20 B．－5 C．5 D．207．在中，，，，點滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．78．已知回歸直線的斜率的估計值為1.8，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線方程是（）A． B． C． D．9．在區(qū)域內(nèi)任意取一點，則的概率是（）A．0 B． C． D．10．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知數(shù)列的前項和為，，則“”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．若直線與曲線相切，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在(2x2-1x14．兩根相距的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于的概率是__________．15．若是函數(shù)的極值點，則在上的最小值為______.16．設(shè)函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，點在以為直徑的圓上，垂直與圓所在平面，為的垂心（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.18．（12分）已知橢圓的一個焦點為，左右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）記與的面積分別為和，求的最大值.19．（12分）某學校高三年級學生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制，各等級劃分標準見下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級ABCD規(guī)定：A，B，C三級為合格等級，D為不合格等級為了解該校高三年級學生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n名學生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計．按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分數(shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計該校高一年級學生成績是合格等級的概率；根據(jù)頻率分布直方圖，求成績的中位數(shù)精確到；在選取的樣本中，從A，D兩個等級的學生中隨機抽取2名學生進行調(diào)研，求至少有一名學生是A等級的概率．20．（12分）已知函數(shù).（1）計算??的值；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，試從中歸納出函數(shù)的一般結(jié)論，并證明這個結(jié)論；（3）若實數(shù)滿足，求證：.21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2），，求a的取值范圍．22．（10分）已知拋物線的焦點為拋物線上的兩動點，且，過兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為.（1）證明：為定值；（2）設(shè)的面積為，寫出的表達式，并求的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式，求的公比，進而可求解，得到答案．【詳解】由題意得，，，公比，則，故選A．本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式和求和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和求和公式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】試題分析：要得到四個數(shù)字的和是偶數(shù)，需要分成三種不同的情況，當取得個偶數(shù)時，有種結(jié)果，當取得個奇數(shù)時，有種結(jié)果，當取得奇偶時有種結(jié)果,共有種結(jié)果.故答案為D.考點：分類計數(shù)原理.3、B【解析】

根據(jù)常用函數(shù)的求導公式.【詳解】因為（為常數(shù)），，，，所以，選項B正確.本題考查常用函數(shù)的導數(shù)計算.4、C【解析】分析：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求解即可.詳解：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，每個收費口超過輛的概率，這三個收費口每天至少有一個超過輛的概率，故選C.點睛：本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)與實際應(yīng)用，屬于中檔題.有關(guān)正態(tài)分布的應(yīng)用題考查知識點較為清晰，只要掌握以下兩點，問題就能迎刃而解：（1）仔細閱讀，將實際問題與正態(tài)分布“掛起鉤來”；（2）熟練掌握正態(tài)分布的性質(zhì)，特別是狀態(tài)曲線的對稱性以及各個區(qū)間概率之間的關(guān)系.5、C【解析】分析：由該幾何體的三視圖判斷出組合體各部分的幾何特征，以及各部分的幾何體相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，由面積公式求出該幾何體的表面積.詳解：該幾何體是兩個相同的半圓錐與一個半圓柱的組合體，其表面積為：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.故選：C.點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù).6、A【解析】

利用二項式展開式的通項公式，求解所求項的系數(shù)即可【詳解】由二項式定理可知：；要求的展開式中的系數(shù)，所以令，則；所以的展開式中的系數(shù)是是-20；故答案選A本題考查二項式定理的通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。7、D【解析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積．【詳解】在中，，，，點滿足，可得則==本題考查了向量的數(shù)量積運算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量．8、D【解析】

根據(jù)回歸直線必過樣本點的中心可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】回歸直線斜率的估計值為1.8，且回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，，即.故選：.本題考查回歸直線的求解問題，關(guān)鍵是明確回歸直線必過樣本點的中心，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

求得區(qū)域的面積，x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，由圓的面積公式可得其在正方形OABC的內(nèi)部的面積，由幾何概型的計算公式，可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），表示的區(qū)域為以正方形OABC的內(nèi)部及邊界，其面積為1；x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，在正方形OABC的內(nèi)部的面積為，由幾何概型的計算公式，可得點P（x，y）滿足x2+y2＜1的概率是；故選C．本題考查幾何概型的計算，解題的關(guān)鍵是將不等式（組）轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系下的圖形的面積，進而由其公式計算．10、B【解析】

運用復數(shù)乘法的運算法則，化簡復數(shù)，最后確定復數(shù)所對應(yīng)的點所在的象限.【詳解】，因此復數(shù)對應(yīng)點的坐標為，在第二象限，故本題選B.本題考查了復數(shù)的乘法運算法則，以及復數(shù)對應(yīng)點復平面的位置.11、C【解析】

先令，求出，再由時，根據(jù)，求出，結(jié)合充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】解：當時，，當時，時，，，數(shù)列是等比數(shù)列；當數(shù)列是等比數(shù)列時，，，，所以，是充分必要條件。故選C本題主要考查充分必要條件的判定，熟記概念，以及數(shù)列的遞推公式即可求解，屬于?？碱}型.12、C【解析】分析：由直線與曲線相切，可以表示出的值，然后用導數(shù)求出的最小值詳解：由題意可得，設(shè)切點坐標為，，則則，令，時，，遞減時，，遞增的最小值為故選點睛：本題主要考查了運用導數(shù)的幾何意義來求相切情況，在解答多元問題時，要將其轉(zhuǎn)化為單元問題，本題在求解中轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的最值，利用導數(shù)即可求出最小值。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、240【解析】

直接利用二項式展開式的通項公式得到答案.【詳解】(2當r=2時，展開式為：C6含x7的項的系數(shù)是故答案為240本題考查了二項式定理，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】在距繩子兩段兩米處分別取A，B兩點，當繩子在線段AB上時（不含端點），符合要求，所以燈與兩端距離都大于2m的概率為，故填．15、【解析】

先對f(x)求導，根據(jù)可解得a的值，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出區(qū)間上的最小值．【詳解】，則，解得，所以，則.令，得或；令，得.所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.所以.本題考查由導數(shù)求函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的最小值，解題關(guān)鍵是由求出未知量a．16、【解析】

首先根據(jù)奇函數(shù)的定義，得到，即，從而確定出函數(shù)的解析式，之后對函數(shù)求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，求得對應(yīng)切線的斜率，應(yīng)用點斜式寫出直線的方程，最后整理成一般式，得到結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，從而得到，即，所以，所以，所以切點坐標是，因為，所以，所以曲線在點處的切線方程為，故答案是.該題考查的是有關(guān)函數(shù)圖象在某點處的切線問題，涉及到的知識點有奇函數(shù)的定義，導數(shù)的幾何意義，屬于簡單題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）.【解析】試題分析：（1）延長交于點，由重心性質(zhì)及中位線性質(zhì)可得，再結(jié)合圓的性質(zhì)得，由已知，可證平面，進一步可得平面平面（2）以點為原點，，，方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，利用二面角與二個半平面的法向量的夾角間的關(guān)系可求二面角的余弦值．試題解析：（1）如圖，延長交于點.因為為的重心，所以為的中點.因為為的中點，所以.因為是圓的直徑，所以，所以.因為平面，平面，所以.又平面，平面=，所以平面.即平面，又平面，所以平面平面.（2）以點為原點，，，方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，則，.平面即為平面，設(shè)平面的一個法向量為，則令，得.過點作于點，由平面，易得，又，所以平面，即為平面的一個法向量.在中，由，得，則，.所以，.所以.設(shè)二面角的大小為，則.點睛：若分別二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小滿足，二面角的平面角的大小是的夾角(或其補角，需根據(jù)觀察得出結(jié)論)．在利用向量求空間角時，建立合理的空間直角坐標系，正確寫出各點坐標，求出平面的法向量是解題的關(guān)鍵．18、（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）因為為橢圓的焦點，所以，又，所以，所以橢圓方程為.（Ⅱ）當直線無斜率時,此時,,.當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，設(shè)，直線與橢圓方程聯(lián)立得，消掉得，顯然，方程有根，且此時.上式，（時等號成立），所以的最大值為.19、（1），；合格等級的概率為；（2）中位數(shù)為；（3）【解析】

由題意求出樣本容量，再計算x、y的值，用頻率估計概率值；根據(jù)頻率分布直方圖，計算成績的中位數(shù)即可；由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，利用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值．【詳解】由題意知，樣本容量，，；因為成績是合格等級人數(shù)為：人，抽取的50人中成績是合格等級的概率為，即估計該校高一年級學生成績是合格等級的概率為；根據(jù)頻率分布直方圖，計算成績的中位數(shù)為；由莖葉圖知，A等級的學生有3人，D等級的學生有人，記A等級的學生為A、B、C，D等級的學生為d、e、f、g、h，從這8人中隨機抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28個；至少有一名是A等級的基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18個；故所求的概率為．本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題．20、（1），，.（2）一般結(jié)論為：對任意實數(shù)都有，證明見解析（3）證明見解析【解析】

代入計算可得所求和為定值；

可得，代入計算，化簡可得所求結(jié)論；

求得的導數(shù)，判斷單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性利用反證法可得證明．【詳解】（1），，.（2）對任意實數(shù)都有.證明：.（3）由知，為上的單調(diào)增函數(shù).假設(shè)，則或，若，由為上的單調(diào)增函數(shù)知，；若，由為上的單調(diào)增函數(shù)知，，則，與條件矛盾，故假設(shè)不成立.原命題成立.本題主要考查三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是單調(diào)性的應(yīng)用，反證法，考查化簡運算能力，屬于中檔題．21、(1)．(2)．【解析】

（1）f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1|，根據(jù)f（1）＞2分別解不等式即可'（2）根據(jù)絕對值三角不等式求出f（x）的值域，然后由條件可得f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，解出a的范圍．【詳解】（1）∵f（x）＝|x+2a|﹣|x﹣a|，∴f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1|，∵f（1）＞2，∴，或，或，∴a＞1，或a≤1，或a＜﹣4，∴a的取值范圍為；（2）∵||x+2a|﹣|x﹣a||≤|（x+2a）﹣（x﹣a）|＝3|a|，∴f（x）∈[﹣3|a|，3|a|]，∵?x、y∈R，f（x）＞f（y）﹣6，∴只需f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，∴6|a|＜6，∴﹣1＜a＜1，∴a的取值范圍為[﹣1，1]．本題考查了絕對值不等式的解法和利用絕對值三角不等式求函數(shù)的范圍，考查了分類討論和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．22、（Ⅰ）定值為0；（2）S=，S取得最小值1．【解析】分析：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根據(jù)拋物線方程可得焦點坐標和準線方程，設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得和，根據(jù)曲線1y=x2上任意一點斜率為y′=，可得切線AM和BM的方程，聯(lián)立方程求得交點坐標，求得和，進而可求得的結(jié)果為0，進而判斷出AB⊥FM．（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)的關(guān)系式求