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文檔簡介
黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)哈爾濱三中2025年高二下數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)為隨機(jī)變量,,若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,則等于()A. B.C. D.2.已知,則的值是A. B. C. D.3.若直線l:過點,當(dāng)取最小值時直線l的斜率為()A.2 B. C. D.24.已知向量,,其中,.若,則的最大值為()A.1 B.2 C. D.5.已知命題;命題若,則.則下列命題為真命題的是A. B.C. D.6.已知正項等比數(shù)列的前項和為,且,則公比的值為()A. B.或 C. D.7.已知向量,,則向量在向量上的投影是()A.2 B.1 C.?1 D.?28.在正方體中,點,分別是,的中點,則下列說法正確的是()A. B.與所成角為C.平面 D.與平面所成角的余弦值為9.在平面內(nèi),點x0,y0到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=Ax0A.3 B.6 C.67710.若是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個虛數(shù)根,則()A., B., C., D.,11.12名同學(xué)合影,站成前排4人后排8人,現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排,若其他人的相對順序不變,則不同調(diào)整方法的總數(shù)是()A. B. C. D.12.已知函數(shù).若不等式的解集中整數(shù)的個數(shù)為,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù)是定義在上的周期為2的偶函數(shù),當(dāng),時,,則____.14.若甲、乙兩人從5門課程中各選修2門,則甲、乙所選修的課程都不相同的選法種數(shù)為___.15.設(shè),過下列點分別作曲線的切線,其中存在三條直線與曲線相切的點是__________.16.如圖所示,在平面四邊形中,,,為正三角形,則面積的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直,,.,.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值;(3)線段上是否存在點,使得平面?不需說明理由.18.(12分)我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關(guān)注,受到了觀眾的普遍好評.假設(shè)男性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為,女性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為.某機(jī)構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機(jī)采訪了4名觀眾(其中2男2女).(1)求這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多的概率;(2)設(shè)表示這4名觀眾中認(rèn)為《流浪地球》好看的人數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.19.(12分)某學(xué)校1800名學(xué)生在一次百米測試中,成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間,抽取其中50名學(xué)生組成一個樣本,將測試結(jié)果按如下方式分成五組:第一組,第二組……,第五組,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.(1)請估計學(xué)校1800名學(xué)生中,成績屬于第四組的人數(shù);(2)若成績小于15秒認(rèn)為良好,求該樣本中在這次百米測試中成績良好的人數(shù);(3)請根據(jù)頻率分布直方圖,求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù).20.(12分)盒子中放有大小形狀完全相同的個球,其中個紅球,個白球.(1)某人從這盒子中有放回地隨機(jī)抽取個球,求至少抽到個紅球的概率;(2)某人從這盒子中不放回地從隨機(jī)抽取個球,記每抽到個紅球得紅包獎勵元,每抽到個白球得到紅包獎勵元,求該人所得獎勵的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,過點作直線分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A,B.(1)若,求直線的一般式方程;(2)求當(dāng)取得最小值時直線的方程.22.(10分)在中國北京世界園藝博覽會期間,某工廠生產(chǎn)、、三種紀(jì)念品,每一種紀(jì)念品均有精品型和普通型兩種,某一天產(chǎn)量如下表:(單位:個)紀(jì)念品紀(jì)念品紀(jì)念品精品型普通型現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取個,其中種紀(jì)念品有個.(1)求的值;(2)從種精品型紀(jì)念品中抽取個,其某種指標(biāo)的數(shù)據(jù)分別如下:、、、、,把這個數(shù)據(jù)看作一個總體,其均值為,方差為,求的值;(3)用分層抽樣的方法在種紀(jì)念品中抽取一個容量為的樣木,從樣本中任取個紀(jì)念品,求至少有個精品型紀(jì)念品的概率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)解得,所以.【詳解】因為,得,即.所以.故選本題主要考查二項分布,同時考查了數(shù)學(xué)期望,熟記公式是解題的關(guān)鍵,屬于簡單題.2、D【解析】,,又,故選D.3、A【解析】
將點帶入直線可得,利用均值不等式“1”的活用即可求解.【詳解】因為直線過點,所以,即,所以當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號所以斜率,故選A本題考查均值不等式的應(yīng)用,考查計算化簡的能力,屬基礎(chǔ)題.4、D【解析】
已知向量,,根據(jù),得到,即,再利用基本不等式求解.【詳解】已知向量,,因為,所以,即,又因為,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),,即時,取等號,所以的最大值為.故選:D本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算和基本不等式的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.5、B【解析】試題分析:顯然命題是真命題;命題若,則是假命題,所以是真命題,故為真命題.考點:命題的真假.6、C【解析】
由可得,故可求的值.【詳解】因為,所以,故,因為正項等比數(shù)列,故,所以,故選C.一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時,則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.7、D【解析】
本題考察的是對投影的理解,一個向量在另一個向量上的投影即一個投影在另一個投影方向上的長度.【詳解】在上的投影方向相反,長度為2,所以答案是.本題可以通過作圖來得出答案.8、C【解析】
以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出結(jié)果.【詳解】解:設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2,以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,A1(2,0,2),E(2,1,0),B(2,2,0),F(xiàn)(0,2,1),(0,1,﹣2),(﹣2,0,1),2≠0,∴A1E與BF不垂直,故A錯誤;(﹣2,2,﹣1),(﹣2,﹣2,0),cos,0,∴A1F與BD所成角為90°,故B錯誤;(2,0,0),(0,2,1),(0,1,﹣2),?0,0,∴A1E⊥DA,A1E⊥DF,∴A1E⊥平面ADF,故C正確;(﹣2,2,﹣1),平面ABCD的法向量(0,0,1),設(shè)A1F與平面ABCD所成角為θ,則sinθ,∴cosθ.∴A1F與平面ABCD所成角的余弦值為,故D錯誤.故選:C.本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是中檔題.9、B【解析】
類比得到在空間,點x0,y【詳解】類比得到在空間,點x0,y0,所以點2,1,2到平面x+y+2z-1=0的距離為d=2+1+4-1故選:B本題主要考查類比推理,意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
利用實系數(shù)一元二次的虛根成對原理、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.【詳解】解:∵1i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復(fù)數(shù)根,∴1i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復(fù)數(shù)根,∴,解得b=﹣2,c=1.故選:D.本題考查了實系數(shù)一元二次的虛根成對原理、根與系數(shù)的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】試題分析:第一步從后排8人中選2人有種方法,第二步6人前排排列,先排列選出的2人有種方法,再排列其余4人只有1種方法,因此所有的方法總數(shù)的種數(shù)是考點:排列組合點評:此類題目的求解一般遵循先選擇后排列,結(jié)合分步計數(shù)原理的方法12、D【解析】
對進(jìn)行變形,得到,令,,即的整數(shù)個數(shù)為3,再由的函數(shù)圖像和的函數(shù)圖像,寫出限制條件,得到答案【詳解】,即設(shè),其中時,時,即符合要求,所以時,,單調(diào)遞減,,單調(diào)遞增,為極小值.有三個整數(shù)解,則還有一個整數(shù)解為或者是①當(dāng)解集包含時,時,所以需要滿足即,解得②當(dāng)解集包含時,需要滿足即整理得,而,所以無解集,即該情況不成立.綜上所述,由①②得,的范圍為故選D項.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像,兩個函數(shù)圖像的位置關(guān)系與解析式大小之間的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,題目較綜合,考查內(nèi)容比較多,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依題意能得到f()=f(),代入解析式即可求解.【詳解】依題意得f(﹣x)=f(x)且f(x+2)=f(x),∴f()=f()=f(2)=f()2,故答案為:.本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、30【解析】
根據(jù)題意知,采用分步計數(shù)方法,第一步,甲從5門課程中選2門,有種選法;第二步乙從剩下的3門中選2門,有種選法,兩者相乘結(jié)果即為所求的選法種數(shù).【詳解】.故答案為30.本題主要考查了分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用,分步要做到“步驟完整”,各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復(fù).15、.【解析】
設(shè)切點坐標(biāo)為,求出切線方程,將點代入切線方程,整理得,令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性求得極值,利用數(shù)形結(jié)合列不等式,將五個點逐一代入檢驗即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為,則切線方程為,設(shè)切線過點,代入切線方程方程可得,整理得,令,則,過能作出三條直線與曲線相切的充要條件為:方程有三個不等的實數(shù)根,即函數(shù)有三個不同的零點,故只需,分別把,代入可以驗證,只有符合條件,故答案為.本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值以及函數(shù)的零點,屬于中檔題.對于與“三次函數(shù)”的零點個數(shù)問題,往往考慮函數(shù)的極值符號來解決,設(shè)函數(shù)的極大值為,極小值為:一個零點或;兩個零點或;三個零點.16、.【解析】分析:在中設(shè)運用余弦定理,表示出,利用正弦定理可得,進(jìn)而用三角形面積公式表示出,利用三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.詳解:在中,由余弦定理可知,正三角形,,由正弦定理得:,,,,為銳角,,,,當(dāng)時,,最大值為,故答案為.點睛:本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用以及輔助角公式的應(yīng)用,屬于難題.對余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時,還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)詳見解析(2)(3)不存在【解析】
(1)根據(jù)平行四邊形求得,再利用線面平行的判定定理得證;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量和平面的法向量,再利用夾角公式求得余弦值;(3)求得平面的法向量,證明得出平面與平面不可能垂直,得出不存在點G.【詳解】解:(1)因為,且,所以四邊形為平行四邊形,所以.因為,所以平面.(2)在平面ABEF內(nèi),過A作,因為平面平面,,,所以,所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得,,,,,.所以,.設(shè)平面的法向量為則即令,則,,所以平面的一個法向量為則.所以二面角的余弦值.(3)線段上不存在點,使得平面,理由如下:解法一:設(shè)平面的法向量為,則即令,則,,所以.因為,所以平面與平面不可能垂直,從而線段上不存在點,使得平面.解法二:線段上不存在點,使得平面,理由如下:假設(shè)線段上存在點,使得平面,設(shè),其中.設(shè),則有,所以,,,從而,所以.因為平面,所以.所以有,因為上述方程組無解,所以假設(shè)不成立.所以線段上不存在點,使得平面.本題目主要考查了線面平行的判定,以及利用空間向量求二面角和線面垂直的方法,解題的關(guān)鍵是在于平面的法向量的求法,運算量較大,屬于中檔題.18、(1)(2)見解析【解析】
設(shè)表示2名女性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù),表示2名男性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù),則,.(1)設(shè)事件表示“這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多”,則,從而可得結(jié)果;(2)的可能取值為0,1,2,3,4,求出相應(yīng)的概率值,即可得到分布列與期望.【詳解】設(shè)表示2名女性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù),表示2名男性觀眾中認(rèn)為好看的人數(shù),則,.(1)設(shè)事件表示“這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多”,則,.(2)的可能取值為0,1,2,3,4,,,=,,,,,,∴的分布列為01234∴.求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為:第一步是“判斷取值”,即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每個值所表示的意義;第二步是:“探求概率”,即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式,以及對立事件的概率公式等),求出隨機(jī)變量取每個值時的概率;第三步是“寫分布列”,即按規(guī)范形式寫出分布列,并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或事件的概率是否正確;第四步是“求期望值”,一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值,對于有些實際問題中的隨機(jī)變量,如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布X~B(n,p)),則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.19、人;(2)人;15.70.【解析】試題分析:(1)利用頻率分布直方圖能估計學(xué)校1800名學(xué)生中,成績屬于第四組的人數(shù).(2)利用頻率分布直方圖能求出該樣本在這次百米測試中成績良好的人數(shù).(3)根據(jù)頻率分布直方圖,能求出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù).解析:學(xué)校1800名學(xué)生中,成績屬于第四組的人數(shù)人;(2)樣本在這次百米測試中成績良好的人數(shù)是:人;由圖可知眾數(shù)落在第三組,是,.20、(1);(2)42元.【解析】
(1)分為三種情況,即抽到個紅球,抽到個紅球和抽到個紅球,概率相加得到答案.(2)隨機(jī)變量可能的取值為,計算每個數(shù)對應(yīng)概率,得到分布列,計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(1)記至少抽到個紅球的事件為,法1:至少抽到個紅球的事件,分為三種情況,即抽到個紅球,抽到個紅球和抽到個紅球,每次是否取得紅球是相互獨立的,且每次取到紅球的概率均為,所以,答:至少抽到個紅球的概率為.法2:至少抽到個紅球的事件的對立事件為次均沒有取到紅球(或次均取到白球),每次取到紅球的概率均為(每次
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