天津市靜海區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

天津市靜海區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．某幾何體的三視圖如圖所示,其中圓的半徑均為,則該幾何體的體積為()A． B． C． D．3．五個人站成一排，其中甲乙相鄰的站法有（）A．18種 B．24種 C．48種 D．36種4．的展開式中只有第5項二項式系數(shù)最大，則展開式中含項的系數(shù)是（）A． B． C． D．5．如圖，在正方體中，分別是,的中點，則四面體在平面上的正投影是A． B． C． D．6．設(shè)n=0π2A．20 B．-20 C．120 D．-1207．函數(shù)的極值點所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．8．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為A． B．45 C． D．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點間隔3分鐘先后從點，繞原點按逆時針方向作角速度為弧度/分鐘的勻速圓周運動，則與的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時，運動的時間為（）A．37.5分鐘 B．40.5分鐘 C．49.5分鐘 D．52.5分鐘11．已知，的線性回歸直線方程為，且，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法錯誤的為A．變量，之間呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系 B．可以預(yù)測，當(dāng)時，C． D．由表格數(shù)據(jù)可知，該回歸直線必過點12．已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x均有f（x+2）+f（x）＝0，f（0）＝3，則f（2022）等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．北緯圈上有A，B兩點，該緯度圈上劣弧長為（R為地球半徑），則A，B兩點的球面距離為________.14．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為__________.15．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點為,則_____．16．已知一組數(shù)據(jù)，，，的線性回歸方程為，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求證：當(dāng)時，.18．（12分）隨著“互聯(lián)網(wǎng)＋交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享助力單車”在很多城市相繼出現(xiàn)．某“共享助力單車”運營公司為了解某地區(qū)用戶對該公司所提供的服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了100名用戶，得到用戶的滿意度評分，現(xiàn)將評分分為5組，如下表：組別一二三四五滿意度評分[0，2）[2，4）[4，6）[6，8）[8，10]頻數(shù)510a3216頻率0.05b0.37c0.16(1)求表格中的a，b，c的值；(2)估計用戶的滿意度評分的平均數(shù)；(3)若從這100名用戶中隨機(jī)抽取25人，估計滿意度評分低于6分的人數(shù)為多少？19．（12分）已知復(fù)數(shù).（1）若是純虛數(shù)，求；（2）若，求.20．（12分）從1、2、3、4、5五個數(shù)字中任意取出無重復(fù)的3個數(shù)字.（I）可以組成多少個三位數(shù)？（II）可以組成多少個比300大的偶數(shù)？（III）從所組成的三位數(shù)中任取一個，求該數(shù)字是大于300的奇數(shù)的概率.21．（12分）如圖，在長方體中，、分別是棱,上的點，,（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）證明平面（3）求二面角的正弦值．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）將，的方程化為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線？（2）以坐標(biāo)原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為．若上的點對應(yīng)的參數(shù)為，點在上，點為的中點，求點到直線距離的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：由f（x）的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點，令g（x）=ex﹣kx，g′（x）=ex﹣k，需要對k進(jìn)行分類討論來確定導(dǎo)函數(shù)為0時的根．詳解：∵函數(shù)的定義域是（0，+∞），∴f′（x）=．x=1是函數(shù)f（x）的唯一一個極值點∴x=1是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=0的唯一根．∴ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點，令g（x）=ex﹣kxg′（x）=ex﹣k①k≤0時，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）時單調(diào)遞增的g（x）的最小值為g（0）=1，g（x）=0無解②k＞0時，g′（x）=0有解為：x=lnk0＜x＜lnk時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減lnk＜x時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增∴g（x）的最小值為g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=ex和y=ex圖象，它們切于（1，e），綜上所述，k≤e．故答案為：A．點睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是分析轉(zhuǎn)化ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點.2、A【解析】該幾何體為一棱長為6的正方體掏掉一個棱長為2的小正方體，再放置進(jìn)去一個半徑為1的球，所以體積為.故選A.3、C【解析】

將甲乙看作一個大的元素與其他元素進(jìn)行排列，再乘即可得出結(jié)論．【詳解】五個人站成一排，其中甲乙相鄰，將甲乙看作一個大的元素與其他3人進(jìn)行排列，再考慮甲乙順序為，故共種站法.故選：C.本題考查排列組合的應(yīng)用，求排列組合常用的方法有：元素優(yōu)先法、插空法、捆綁法、隔板法、間接法等，解決排列組合問題對學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力要求較高，本題屬于簡單題.4、C【解析】

根據(jù)只有第5項系數(shù)最大計算出，再計算展開式中含項的系數(shù)【詳解】只有第5項系數(shù)最大,展開式中含項的系數(shù),系數(shù)為故答案選C本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力.5、C【解析】分析：根據(jù)正投影的概念判斷即可.詳解：根據(jù)正投影的概念判斷選C.選C.點睛：本題考查正投影的概念，需基礎(chǔ)題.6、B【解析】

先利用微積分基本定理求出n的值，然后利用二項式定理展開式通項，令x的指數(shù)為零，解出相應(yīng)的參數(shù)值，代入通項可得出常數(shù)項的值。【詳解】∵n=0二項式x-1x6令6-2r=0，得r=3，因此，二項式x-1x6故選：B.本題考查定積分的計算和二項式指定項的系數(shù)，解題的關(guān)鍵就是微積分定理的應(yīng)用以及二項式展開式通項的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題。7、A【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，然后運用函數(shù)零點存在性定理進(jìn)行驗證可得所求區(qū)間．【詳解】∵，∴，且函數(shù)單調(diào)遞增．又，∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點，即函數(shù)的極值點在區(qū)間內(nèi)．故選A．本題考查函數(shù)零點存在性定理的應(yīng)用，解答本題時要弄清函數(shù)的極值點即為導(dǎo)函數(shù)的零點，同時還應(yīng)注意只有在導(dǎo)函數(shù)零點左右兩側(cè)的函數(shù)值變號時，該零點才為極值點，否則導(dǎo)函數(shù)的零點就不是極值點．8、B【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸常為,故選B.9、B【解析】由已知及等差數(shù)列性質(zhì)有，故選B.10、A【解析】

分析：由題意可得：yN=，yM=，計算yM﹣yN=sin，即可得出．詳解：由題意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin，令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，k=0，1，2，1．∴M與N的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時，N運動的時間=1×12+=17.5（分鐘）．故選A．點睛：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、和差公式、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．也查到了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義指的是單位圓上的點坐標(biāo)和這一點的旋轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系.11、C【解析】

A中，根據(jù)線性回歸直線方程中回歸系數(shù)0.82＞0，判斷x，y之間呈正相關(guān)關(guān)系；B中，利用回歸方程計算x＝5時的值即可預(yù)測結(jié)果；C中，計算、，代入回歸直線方程求得m的值；D中，由題意知m＝1.8時求出、，可得回歸直線方程過點（，）．【詳解】已知線性回歸直線方程為0.82x+1.27，0.82＞0，所以變量x，y之間呈正相關(guān)關(guān)系，A正確；計算x＝5時，0.82×5+1.27＝5.37，即預(yù)測當(dāng)x＝5時y＝5.37，B正確；（0+1+2+3）＝1.5，（0.8+m+3.1+4.3），代入回歸直線方程得0.82×1.5+1.27，解得m＝1.8，∴C錯誤；由題意知m＝1.8時，1.5，2.5，所以回歸直線方程過點（1.5，2.5），D正確．故選C．本題考查了線性回歸方程的概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．12、B【解析】

分析可得，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，據(jù)此可得，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)對任意的實數(shù)均有，即，則有，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則，故選B．本題主要考查了函數(shù)的周期的判定及其應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，求得函數(shù)的周期是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出北緯圈所在圓的半徑，是、兩地在北緯圈上對應(yīng)的圓心角，得到線段的長，設(shè)地球的中心為，解三角形求出的大小，利用弧長公式求、這兩地的球面距離．【詳解】解：北緯圈所在圓的半徑為，它們在緯度圈上所對應(yīng)的劣弧長等于為地球半徑），是、兩地在北緯圈上對應(yīng)的圓心角），故，線段，，、這兩地的球面距離是，故答案為：．本題考查球的有關(guān)經(jīng)緯度知識，球面距離，弧長公式，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬于基礎(chǔ)題．14、.【解析】

作出函數(shù)f（x）的圖象，設(shè)f（a）=f（b）=t，根據(jù)否定，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍即可．【詳解】作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：設(shè)f（a）=f（b）=t，則0＜t≤，∵a＜b，∴a≤1，b＞﹣1，則f（a）=ea=t，f（b）=2b﹣1=t，則a=lnt，b=（t+1），則a﹣2b=lnt﹣t﹣1，設(shè)g（t）=lnt﹣t﹣1，0＜t≤，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（t）=﹣1=，則當(dāng)0＜t≤時g′（t）＞0，此時函數(shù)g（t）為增函數(shù)，∴g（t）≤g（）=ln﹣﹣1=﹣﹣2，即實數(shù)a﹣2b的取值范圍為（﹣∞，﹣﹣2]，故答案為：（﹣∞，﹣﹣2]．本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系，利用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．15、4038.【解析】

由函數(shù)圖象的對稱性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關(guān)于點對稱，則，,即，得解．【詳解】由知：得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關(guān)于點對稱則故，即本題正確結(jié)果：本題考查利用函數(shù)圖象的對稱性來求值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對稱中心，屬中檔題．16、【解析】

樣本數(shù)據(jù)的回方程必經(jīng)過樣本點的中心，該組數(shù)據(jù)的中心為，代入回歸方程，得到關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)這組數(shù)據(jù)的中心為，，，，整理得：.本題考查回歸直線方程經(jīng)過樣本點中心，考查統(tǒng)計中簡單的數(shù)據(jù)處理能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】分析：（1）依題意，的定義域為，，分類討論可求的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，要證明，即證明，只需證明.設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，即可證明詳解：（1）依題意，的定義域為，，（1）當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（3）當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，要證明，即證明，因為，所以只需證明，只需證明.設(shè)，則，設(shè)，則，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以，所以當(dāng)時，.點睛：本小題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類與整合思想等．18、(1)，，；(2)5.88；(3)13.【解析】

（1）由頻數(shù)分布表，即可求解表格中的的值；（2）由頻數(shù)分布表，即可估計用戶的滿意度平分的平均數(shù)；（3）從這100名用戶中隨機(jī)抽取25人，由頻數(shù)分布表能估計滿意度平分低于6分的人數(shù)．【詳解】(1)由頻數(shù)分布表得，解得，，；(2)估計用戶的滿意度評分的平均數(shù)為：.(3)從這100名用戶中隨機(jī)抽取25人，估計滿足一度評分低于6分的人數(shù)為：人.本題主要考查了頻數(shù)分布表的應(yīng)用，以及平均數(shù)、頻數(shù)的求解，其中解答中熟記頻數(shù)分布表的性質(zhì)，合理準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，以及分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）；（2）或1-2i.【解析】分析：（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義得到，解不等式組即得a的值.(2)由題得，解之得a的值，再求.詳解：（1）若是純虛數(shù)，則，所以（2）因為，所以，所以或.當(dāng)時，，當(dāng)時，.點睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和基本的運算能力.(2)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)不要把下面的b≠0漏掉了.20、(1).（2）比三百大的數(shù)字有15個.(3).【解析】分析：（1）根據(jù)乘法計數(shù)原理可知可組成個個；（2）第一類：以2結(jié)尾百位有3種選擇，十位有3種選擇，則有9個，第二類：以4結(jié)尾，百位有2種選擇，十位有3種選擇，則共有6個；（3）比300大的數(shù)字，百位上有3種選擇，十位上有4種選擇，個位上有3種選擇，則共有36個數(shù)字，則奇數(shù)共有21個，根據(jù)古典概型的計算公式得到結(jié)果即可.詳解：（1）百位數(shù)字有5種選擇，十位數(shù)字有4種選擇，各位數(shù)字有3種選擇，根據(jù)乘法計數(shù)原理可知可組成個三位數(shù)。（2）各位數(shù)字上有兩類：第一類：以2結(jié)尾百位有3種選擇，十位有3種選擇。則有9個數(shù)字。第二類：以4結(jié)尾，百位有2種選擇，十位有3種選擇，則共有6個數(shù)字。則比三百大的數(shù)字有15個（3）比300大的數(shù)字，百位上有3種選擇，十位上有4種選擇，個位上有3種選擇，則共有36個數(shù)字，則奇數(shù)共有21個，則該數(shù)字是大于300的奇數(shù)的概率是.點睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．21、（1）,（2）見解析（3）【解析】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點A為坐標(biāo)原點，設(shè),依題意得,,,（1）解：易得,于是所以異面直線與所成