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天津市靜海區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若是函數(shù)的唯一極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.某幾何體的三視圖如圖所示,其中圓的半徑均為,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.3.五個(gè)人站成一排,其中甲乙相鄰的站法有()A.18種 B.24種 C.48種 D.36種4.的展開式中只有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是()A. B. C. D.5.如圖,在正方體中,分別是,的中點(diǎn),則四面體在平面上的正投影是A. B. C. D.6.設(shè)n=0π2A.20 B.-20 C.120 D.-1207.函數(shù)的極值點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. B. C. D.8.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為()A. B. C. D.9.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且,則的值為A. B.45 C. D.10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,質(zhì)點(diǎn)間隔3分鐘先后從點(diǎn),繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向作角速度為弧度/分鐘的勻速圓周運(yùn)動(dòng),則與的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為()A.37.5分鐘 B.40.5分鐘 C.49.5分鐘 D.52.5分鐘11.已知,的線性回歸直線方程為,且,之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示,則下列說法錯(cuò)誤的為A.變量,之間呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系 B.可以預(yù)測(cè),當(dāng)時(shí),C. D.由表格數(shù)據(jù)可知,該回歸直線必過點(diǎn)12.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x均有f(x+2)+f(x)=0,f(0)=3,則f(2022)等于()A.﹣6 B.﹣3 C.0 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.北緯圈上有A,B兩點(diǎn),該緯度圈上劣弧長(zhǎng)為(R為地球半徑),則A,B兩點(diǎn)的球面距離為________.14.已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.15.已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為,則_____.16.已知一組數(shù)據(jù),,,的線性回歸方程為,則_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)若,求證:當(dāng)時(shí),.18.(12分)隨著“互聯(lián)網(wǎng)+交通”模式的迅猛發(fā)展,“共享助力單車”在很多城市相繼出現(xiàn).某“共享助力單車”運(yùn)營(yíng)公司為了解某地區(qū)用戶對(duì)該公司所提供的服務(wù)的滿意度,隨機(jī)調(diào)查了100名用戶,得到用戶的滿意度評(píng)分,現(xiàn)將評(píng)分分為5組,如下表:組別一二三四五滿意度評(píng)分[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10]頻數(shù)510a3216頻率0.05b0.37c0.16(1)求表格中的a,b,c的值;(2)估計(jì)用戶的滿意度評(píng)分的平均數(shù);(3)若從這100名用戶中隨機(jī)抽取25人,估計(jì)滿意度評(píng)分低于6分的人數(shù)為多少?19.(12分)已知復(fù)數(shù).(1)若是純虛數(shù),求;(2)若,求.20.(12分)從1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字中任意取出無重復(fù)的3個(gè)數(shù)字.(I)可以組成多少個(gè)三位數(shù)?(II)可以組成多少個(gè)比300大的偶數(shù)?(III)從所組成的三位數(shù)中任取一個(gè),求該數(shù)字是大于300的奇數(shù)的概率.21.(12分)如圖,在長(zhǎng)方體中,、分別是棱,上的點(diǎn),,(1)求異面直線與所成角的余弦值;(2)證明平面(3)求二面角的正弦值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)將,的方程化為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線?(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為.若上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,點(diǎn)在上,點(diǎn)為的中點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分析:由f(x)的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出ex﹣kx=0在(0,+∞)無變號(hào)零點(diǎn),令g(x)=ex﹣kx,g′(x)=ex﹣k,需要對(duì)k進(jìn)行分類討論來確定導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的根.詳解:∵函數(shù)的定義域是(0,+∞),∴f′(x)=.x=1是函數(shù)f(x)的唯一一個(gè)極值點(diǎn)∴x=1是導(dǎo)函數(shù)f′(x)=0的唯一根.∴ex﹣kx=0在(0,+∞)無變號(hào)零點(diǎn),令g(x)=ex﹣kxg′(x)=ex﹣k①k≤0時(shí),g′(x)>0恒成立.g(x)在(0,+∞)時(shí)單調(diào)遞增的g(x)的最小值為g(0)=1,g(x)=0無解②k>0時(shí),g′(x)=0有解為:x=lnk0<x<lnk時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減lnk<x時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增∴g(x)的最小值為g(lnk)=k﹣klnk∴k﹣klnk>0∴k<e,由y=ex和y=ex圖象,它們切于(1,e),綜上所述,k≤e.故答案為:A.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是分析轉(zhuǎn)化ex﹣kx=0在(0,+∞)無變號(hào)零點(diǎn).2、A【解析】該幾何體為一棱長(zhǎng)為6的正方體掏掉一個(gè)棱長(zhǎng)為2的小正方體,再放置進(jìn)去一個(gè)半徑為1的球,所以體積為.故選A.3、C【解析】
將甲乙看作一個(gè)大的元素與其他元素進(jìn)行排列,再乘即可得出結(jié)論.【詳解】五個(gè)人站成一排,其中甲乙相鄰,將甲乙看作一個(gè)大的元素與其他3人進(jìn)行排列,再考慮甲乙順序?yàn)?,故共種站法.故選:C.本題考查排列組合的應(yīng)用,求排列組合常用的方法有:元素優(yōu)先法、插空法、捆綁法、隔板法、間接法等,解決排列組合問題對(duì)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力要求較高,本題屬于簡(jiǎn)單題.4、C【解析】
根據(jù)只有第5項(xiàng)系數(shù)最大計(jì)算出,再計(jì)算展開式中含項(xiàng)的系數(shù)【詳解】只有第5項(xiàng)系數(shù)最大,展開式中含項(xiàng)的系數(shù),系數(shù)為故答案選C本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、C【解析】分析:根據(jù)正投影的概念判斷即可.詳解:根據(jù)正投影的概念判斷選C.選C.點(diǎn)睛:本題考查正投影的概念,需基礎(chǔ)題.6、B【解析】
先利用微積分基本定理求出n的值,然后利用二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng),令x的指數(shù)為零,解出相應(yīng)的參數(shù)值,代入通項(xiàng)可得出常數(shù)項(xiàng)的值?!驹斀狻俊遪=0二項(xiàng)式x-1x6令6-2r=0,得r=3,因此,二項(xiàng)式x-1x6故選:B.本題考查定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù),解題的關(guān)鍵就是微積分定理的應(yīng)用以及二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題。7、A【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),然后運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行驗(yàn)證可得所求區(qū)間.【詳解】∵,∴,且函數(shù)單調(diào)遞增.又,∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn),即函數(shù)的極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).故選A.本題考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,解答本題時(shí)要弄清函數(shù)的極值點(diǎn)即為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),同時(shí)還應(yīng)注意只有在導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值變號(hào)時(shí),該零點(diǎn)才為極值點(diǎn),否則導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)就不是極值點(diǎn).8、B【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,雙曲線的實(shí)半軸常為,故選B.9、B【解析】由已知及等差數(shù)列性質(zhì)有,故選B.10、A【解析】
分析:由題意可得:yN=,yM=,計(jì)算yM﹣yN=sin,即可得出.詳解:由題意可得:yN=,yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin,令sin=1,解得:=2kπ+,x=12k+,k=0,1,2,1.∴M與N的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí),N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間=1×12+=17.5(分鐘).故選A.點(diǎn)睛:本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、和差公式、數(shù)形結(jié)合方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.也查到了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用,三角函數(shù)的定義指的是單位圓上的點(diǎn)坐標(biāo)和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系.11、C【解析】
A中,根據(jù)線性回歸直線方程中回歸系數(shù)0.82>0,判斷x,y之間呈正相關(guān)關(guān)系;B中,利用回歸方程計(jì)算x=5時(shí)的值即可預(yù)測(cè)結(jié)果;C中,計(jì)算、,代入回歸直線方程求得m的值;D中,由題意知m=1.8時(shí)求出、,可得回歸直線方程過點(diǎn)(,).【詳解】已知線性回歸直線方程為0.82x+1.27,0.82>0,所以變量x,y之間呈正相關(guān)關(guān)系,A正確;計(jì)算x=5時(shí),0.82×5+1.27=5.37,即預(yù)測(cè)當(dāng)x=5時(shí)y=5.37,B正確;(0+1+2+3)=1.5,(0.8+m+3.1+4.3),代入回歸直線方程得0.82×1.5+1.27,解得m=1.8,∴C錯(cuò)誤;由題意知m=1.8時(shí),1.5,2.5,所以回歸直線方程過點(diǎn)(1.5,2.5),D正確.故選C.本題考查了線性回歸方程的概念與應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.12、B【解析】
分析可得,即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù),據(jù)此可得,即可求解,得到答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)均有,即,則有,即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù),則,故選B.本題主要考查了函數(shù)的周期的判定及其應(yīng)用,其中解答中根據(jù)題設(shè)條件,求得函數(shù)的周期是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出北緯圈所在圓的半徑,是、兩地在北緯圈上對(duì)應(yīng)的圓心角,得到線段的長(zhǎng),設(shè)地球的中心為,解三角形求出的大小,利用弧長(zhǎng)公式求、這兩地的球面距離.【詳解】解:北緯圈所在圓的半徑為,它們?cè)诰暥热ι纤鶎?duì)應(yīng)的劣弧長(zhǎng)等于為地球半徑),是、兩地在北緯圈上對(duì)應(yīng)的圓心角),故,線段,,、這兩地的球面距離是,故答案為:.本題考查球的有關(guān)經(jīng)緯度知識(shí),球面距離,弧長(zhǎng)公式,考查空間想象能力,邏輯思維能力,屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】
作出函數(shù)f(x)的圖象,設(shè)f(a)=f(b)=t,根據(jù)否定,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù),構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍即可.【詳解】作出函數(shù)f(x)的圖象如圖:設(shè)f(a)=f(b)=t,則0<t≤,∵a<b,∴a≤1,b>﹣1,則f(a)=ea=t,f(b)=2b﹣1=t,則a=lnt,b=(t+1),則a﹣2b=lnt﹣t﹣1,設(shè)g(t)=lnt﹣t﹣1,0<t≤,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′(t)=﹣1=,則當(dāng)0<t≤時(shí)g′(t)>0,此時(shí)函數(shù)g(t)為增函數(shù),∴g(t)≤g()=ln﹣﹣1=﹣﹣2,即實(shí)數(shù)a﹣2b的取值范圍為(﹣∞,﹣﹣2],故答案為:(﹣∞,﹣﹣2].本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用,涉及函數(shù)與方程的關(guān)系,利用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù),構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng).15、4038.【解析】
由函數(shù)圖象的對(duì)稱性得:函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則,,即,得解.【詳解】由知:得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則故,即本題正確結(jié)果:本題考查利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性來求值的問題,關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對(duì)稱中心,屬中檔題.16、【解析】
樣本數(shù)據(jù)的回方程必經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心,該組數(shù)據(jù)的中心為,代入回歸方程,得到關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)這組數(shù)據(jù)的中心為,,,,整理得:.本題考查回歸直線方程經(jīng)過樣本點(diǎn)中心,考查統(tǒng)計(jì)中簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)處理能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解析】分析:(1)依題意,的定義域?yàn)?,,分類討論可求的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),要證明,即證明,只需證明.設(shè),利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì),即可證明詳解:(1)依題意,的定義域?yàn)?,,?)當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減;(2)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(3)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;綜上,當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(2)當(dāng)時(shí),要證明,即證明,因?yàn)?,所以只需證明,只需證明.設(shè),則,設(shè),則,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;所以,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;所以,所以當(dāng)時(shí),.點(diǎn)睛:本小題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想,分類與整合思想等.18、(1),,;(2)5.88;(3)13.【解析】
(1)由頻數(shù)分布表,即可求解表格中的的值;(2)由頻數(shù)分布表,即可估計(jì)用戶的滿意度平分的平均數(shù);(3)從這100名用戶中隨機(jī)抽取25人,由頻數(shù)分布表能估計(jì)滿意度平分低于6分的人數(shù).【詳解】(1)由頻數(shù)分布表得,解得,,;(2)估計(jì)用戶的滿意度評(píng)分的平均數(shù)為:.(3)從這100名用戶中隨機(jī)抽取25人,估計(jì)滿足一度評(píng)分低于6分的人數(shù)為:人.本題主要考查了頻數(shù)分布表的應(yīng)用,以及平均數(shù)、頻數(shù)的求解,其中解答中熟記頻數(shù)分布表的性質(zhì),合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,以及分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2)或1-2i.【解析】分析:(1)根據(jù)純虛數(shù)的定義得到,解不等式組即得a的值.(2)由題得,解之得a的值,再求.詳解:(1)若是純虛數(shù),則,所以(2)因?yàn)?,所以,所以?當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)不要把下面的b≠0漏掉了.20、(1).(2)比三百大的數(shù)字有15個(gè).(3).【解析】分析:(1)根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理可知可組成個(gè)個(gè);(2)第一類:以2結(jié)尾百位有3種選擇,十位有3種選擇,則有9個(gè),第二類:以4結(jié)尾,百位有2種選擇,十位有3種選擇,則共有6個(gè);(3)比300大的數(shù)字,百位上有3種選擇,十位上有4種選擇,個(gè)位上有3種選擇,則共有36個(gè)數(shù)字,則奇數(shù)共有21個(gè),根據(jù)古典概型的計(jì)算公式得到結(jié)果即可.詳解:(1)百位數(shù)字有5種選擇,十位數(shù)字有4種選擇,各位數(shù)字有3種選擇,根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理可知可組成個(gè)三位數(shù)。(2)各位數(shù)字上有兩類:第一類:以2結(jié)尾百位有3種選擇,十位有3種選擇。則有9個(gè)數(shù)字。第二類:以4結(jié)尾,百位有2種選擇,十位有3種選擇,則共有6個(gè)數(shù)字。則比三百大的數(shù)字有15個(gè)(3)比300大的數(shù)字,百位上有3種選擇,十位上有4種選擇,個(gè)位上有3種選擇,則共有36個(gè)數(shù)字,則奇數(shù)共有21個(gè),則該數(shù)字是大于300的奇數(shù)的概率是.點(diǎn)睛:解答排列、組合問題的角度:解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手.(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論,哪些是“元素”,哪些是“位置”;(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合,對(duì)某些元素的位置有、無限制等;(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類,然后逐類解決;(4)“分步”就是把問題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟,而每一步都是簡(jiǎn)單的排列、組合問題,然后逐步解決.21、(1),(2)見解析(3)【解析】方法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),依題意得,,,(1)解:易得,于是所以異面直線與所成
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