江蘇省南京市江寧區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

江蘇省南京市江寧區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，則的值是()A． B． C． D．2．橢圓的長軸長為（）A．1 B．2 C． D．3．已知的邊上有一點(diǎn)滿足，則可表示為()A． B．C． D．4．定義：如果一個(gè)向量列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常向量，那么這個(gè)向量列做等差向量列，這個(gè)常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以為首項(xiàng)，公差的等差向量列.若向量與非零向量）垂直，則（）A． B． C． D．5．口袋中裝有5個(gè)形狀和大小完全相同的小球，編號分別為1，2，3，4，5，從中任意取出3個(gè)小球，以表示取出球的最大號碼，則()A． B． C． D．6．在的展開式中，的系數(shù)等于A．280 B．300 C．210 D．1207．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．8．下列四個(gè)命題中，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）①經(jīng)過球面上任意兩點(diǎn)，可以作且只可以作一個(gè)大圓；②經(jīng)過球直徑的三等分點(diǎn)，作垂直于該直徑的兩個(gè)平面，則這兩個(gè)平面把球面分成三部分的面積相等；③球的面積是它大圓面積的四倍；④球面上兩點(diǎn)的球面距離，是這兩點(diǎn)所在截面圓上，以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長．A．0 B．1 C．2 D．39．若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．-2 B．2 C．-3 D．310．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．11．從中不放回地依次取個(gè)數(shù)，事件表示“第次取到的是奇數(shù)”，事件表示“第次取到的是奇數(shù)”，則（）A．B．C．D．12．已知，則（）A．18 B．24 C．36 D．56二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有一個(gè)容器，下部分是高為的圓柱體，上部分是與圓柱共底面且母線長為的圓錐，現(xiàn)不考慮該容器內(nèi)壁的厚度，則該容器的最大容積為___________．14．已知圓：的兩焦點(diǎn)為，，點(diǎn)滿足，則的取值范圍為______.15．若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則__________．16．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的底面半徑為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知傾斜角為α的直線l過點(diǎn)A（2，1）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ，直線l與曲線C分別交于P，Q兩點(diǎn)．（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程．（2）求｜AP｜?｜AQ｜的值．18．（12分）設(shè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且的面積為，求的值.19．（12分）已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件；(2)求實(shí)數(shù)a的一個(gè)值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個(gè)充分但不必要條件．20．（12分）已知函數(shù).（I）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).（II）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求證：.（為自然對數(shù)的底數(shù)）22．（10分）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析：由題意結(jié)合二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解實(shí)數(shù)p的值即可.詳解：隨機(jī)變量則的數(shù)學(xué)期望，據(jù)此可知：，解得：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2、B【解析】

將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，根據(jù)橢圓的方程可求，進(jìn)而可得長軸.【詳解】解：因?yàn)椋?，即，，所以，故長軸長為故選：本題主要考查了橢圓的定義的求解及基本概念的考查，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

由，結(jié)合題中條件即可得解.【詳解】由題意可知.故選D.本題主要考查了平面向量的基本定理，熟練掌握向量的加減法及數(shù)乘運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

先根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得向量，再根據(jù)向量垂直得遞推關(guān)系，最后根據(jù)累乘法求結(jié)果.【詳解】由題意得，因?yàn)橄蛄颗c非零向量）垂直，所以因此故選：D本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、向量垂直坐標(biāo)表示以及累乘法，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.5、A【解析】

首先計(jì)算各個(gè)情況概率,利用數(shù)學(xué)期望公式得到答案.【詳解】故.故本題正確答案為A.本題考查了概率的計(jì)算和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、D【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理，把每一項(xiàng)里的系數(shù)單獨(dú)寫下來，然后相加，再根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，化簡求值．【詳解】解：在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．故選D．本題主要考查二項(xiàng)式定理展開以及利用組合數(shù)性質(zhì)進(jìn)行化簡求值．7、C【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，再由兩直線垂直的條件，可得，b=2a，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到所求．【詳解】雙曲線的漸近線方程為，直線的斜率為，由題意有，所以，，故離心率.故選：C．本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程和離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

結(jié)合球的有關(guān)概念:如球的大圓、球面積公式、球面距離等即可解決問題,對于球的大圓、球面積公式、球面距離等的含義的理解,是解決此題的關(guān)鍵.【詳解】對于①,若兩點(diǎn)是球的一條直徑的端點(diǎn),則可以作無數(shù)個(gè)球的大圓,故①錯(cuò);

對于②三部分的面積都是，故②正確對于③,球面積=,是它大圓面積的四倍,故③正確;

對于④,球面上兩點(diǎn)的球面距離,是這兩點(diǎn)所在大圓上以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長,故④錯(cuò).

所以①④錯(cuò)誤.

所以C選項(xiàng)是正確的.本題考查球的性質(zhì),特別是求兩點(diǎn)的球面距離,這兩個(gè)點(diǎn)肯定在球面上,做一個(gè)圓使它經(jīng)過這兩個(gè)點(diǎn),且這個(gè)圓的圓心在球心上,兩點(diǎn)的球面距離對應(yīng)的是這個(gè)圓兩點(diǎn)之間的對應(yīng)的較短的那個(gè)弧的距離.9、C【解析】

本題首先可以確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，然后根據(jù)純虛數(shù)的相關(guān)性質(zhì)即可列出方程組，通過計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，故選C．本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查純虛數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，純虛數(shù)的實(shí)部為0且虛部不為0，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想，是簡單題．10、B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函數(shù)的最大值.詳解：由柯西不等式得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)即x=時(shí)取最大值）故答案為B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查柯西不等式求最值，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)二元柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)均為實(shí)數(shù)，則，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.11、D【解析】試題分析：由題意，，∴，故選D．考點(diǎn)：條件概率與獨(dú)立事件．12、B【解析】，故，.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)圓柱底面圓的半徑為，分別表示出圓柱和圓錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)求得極值點(diǎn)，并判斷在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值，即為容器的最大容積.【詳解】設(shè)圓柱底面圓的半徑為，圓柱體的高為，則圓柱的體積為；圓錐的高為，則圓錐的體積，所以該容器的容積為則，令，即，化簡可得，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值；代入可得，故答案為：.本題考查了導(dǎo)數(shù)在體積最值問題中的綜合應(yīng)用，圓柱與圓錐的體積公式應(yīng)用，屬于中檔題.14、【解析】

點(diǎn)滿足則點(diǎn)在橢圓內(nèi),且不包含原點(diǎn).故根據(jù)橢圓定義再分析即可.【詳解】由題有點(diǎn)在橢圓內(nèi),且不包含原點(diǎn).故,又當(dāng)在線段上（不包含原點(diǎn)）時(shí)取得最小值2.故.故答案為：本題主要考查了橢圓的定義及其性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】

設(shè)出冪函數(shù)，代入點(diǎn)計(jì)算函數(shù)表達(dá)式，將代入得到答案.【詳解】設(shè)：，圖像經(jīng)過點(diǎn)，即故答案為本題考查了冪函數(shù)的計(jì)算，屬于簡單題.16、1【解析】

先根據(jù)側(cè)面展開是面積為的半圓算出圓錐的母線，再根據(jù)側(cè)面展開半圓的弧長即底面圓的周長求解.【詳解】如圖所示：設(shè)圓錐的半徑為r，高為h，母線長為l，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是半徑為l，面積為的半圓面，所以，解得，因?yàn)閭?cè)面展開半圓的弧長即底面圓的周長，所以，故圓錐的底面半徑.本題考查圓錐的表面積的相關(guān)計(jì)算.主要依據(jù)側(cè)面展開的扇形的弧長即底面圓的半徑，扇形的弧長和面積計(jì)算公式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；x2＋y2＝2y；（2）3【解析】

（1）由直線的傾斜角與所過定點(diǎn)寫出直線的參數(shù)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，求得曲線的直角坐標(biāo)方程，即可得到答案．（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，以及的幾何意義，即可求解的值．【詳解】(1)由題意知，傾斜角為α的直線l過點(diǎn)A（2，1，所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，因?yàn)棣眩?sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，把y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y.(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，設(shè)P、Q的參數(shù)分別為t1、t2，由根與系數(shù)的關(guān)系得t1＋t2＝－4cosα，t1t2＝3，且由Δ＝(4cosα)2－4×3>0，所以|AP|·|AQ|=|t1|·|t2|=3.本題主要考查了直線的參數(shù)方程的求解，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，以及直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、(1);(2).【解析】分析：（1）由經(jīng)過點(diǎn)P，得，由離心率為得=，再根據(jù)a2=b2+c2聯(lián)立解方程組即可；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程消y，得，易知判別式△＞1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式可表示出△PAB的面積，令其為，即可解出m值，驗(yàn)證是否滿足△＞1．詳解：（1）解：由已知解得，，∴橢圓的方程為.（2）解：由得：由得：設(shè)，，則，∴又到的距離為，∴即，解得：.符合，故.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．19、(1)；(2)【解析】

（1）根據(jù)兩個(gè)集合的交集為，可知，即充要條件就是.（2）由（1）可知，要找充分不必要條件，即是在找一個(gè)值，都是符合題意的值.【詳解】(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件是－3≤a≤5；(2)求實(shí)數(shù)a的一個(gè)值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個(gè)充分但不必要條件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一個(gè)值，如取a＝0，此時(shí)必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一個(gè)充分不必要條件．本小題主要考查利用集合的交集來求解參數(shù)的取值范圍，考查找充分不必要條件的方法，屬于中檔題.20、（I）答案不唯一，具體見解析（II）見解析【解析】

（I）根據(jù)題目條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的極值的個(gè)數(shù)。（II）根據(jù)是的一個(gè)極值點(diǎn)，得出，再根據(jù)，求出的范圍，再利用（１）中的結(jié)論，得出的單調(diào)性，觀察得出，對與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可證明?！驹斀狻浚↖）∵，，．∴或1、當(dāng)，即時(shí)，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；此時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)：，．2、當(dāng)，即時(shí)，，f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)無極值點(diǎn).3、當(dāng)，即時(shí)，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；此時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)：，．故當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn).（II）由（Ⅰ）知，，且，∴，由（1）中3知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又（這一步是此題的關(guān)鍵點(diǎn)，觀察力）1、當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，成立.2、當(dāng)即時(shí)，成立.3、當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增.此時(shí)，成立.綜上所述，，當(dāng)時(shí)，“=”成立.本題主要考查了求含有參數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，以及利用利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，解題時(shí)用到了分類討論的思想。21、（1）當(dāng)時(shí)，只有增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】分析：⑴求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)