八年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

八年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每題3分，共18分）

1.下列四副圖案中，不是軸對(duì)稱圖形的是（

2.如果等腰三角形兩邊長(zhǎng)是8cm和4cm,那么它的周長(zhǎng)是（）

A.20cmB.16cmC.20cm或16cmD.12cm

3.小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊）,

你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去玻璃店，就能配一塊與原來(lái)一樣大小的三角形玻璃.應(yīng)該帶

A.第1塊B.第2塊C.第3塊D.第4塊

4.將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是（）

A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

5.如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧

相交于點(diǎn)M,N,作直線MN,交BC于點(diǎn)D,連接AD.若△ADC的周長(zhǎng)為10,AB=7,

則^ABC的周長(zhǎng)為（）

6.如圖，AABE、△ADC和△ABC分別是關(guān)于AB,AC邊所在直線的軸對(duì)稱圖形,

A.90°B.108°C.110°D.1260

二、填空題（每題3分，共30分）

7.如圖，若N1=Z2,加上一個(gè)條件,則有△AOC合△BOC.

8.等腰三角形的一個(gè)角為40。，則它的底角為.

9.如圖，△ABC與△關(guān)于直線1對(duì)稱，則/B的度數(shù)為度.

A

10.如圖，已知△ABC中，ZACB=90°,以△ABC的各邊為邊在△ABC外作三個(gè)正

方形，Si、S2、S3分別表示這三個(gè)正方形的面積，若S1=9,S2=16,則S3=.

11.已知一個(gè)直角三角形的三邊的平方和為1800cm2,則斜邊長(zhǎng)為cm.

12.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30。，則它的頂角為.

13.如圖，△ABC中，CD_LAB于D,E是AC的中點(diǎn).若AD=6,DE=5,則CD的

長(zhǎng)等于.

14.如圖，方格紙中△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)分別在小正方形的頂點(diǎn)（格點(diǎn)）上，這樣的三

角形叫格點(diǎn)三角形，圖中與△ABC全等的格點(diǎn)三角形共有個(gè)（不含△ABC）.

B

15.如圖，AD是△ABC中NBAC的角平分線，DE_LAB于點(diǎn)E,SAABC=7，DE=2,

AB=4,則AC長(zhǎng)是

16.如圖，NAOB=30°,點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，旦OM=5,ON=12,點(diǎn)P、

Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是

三、解答題（共102分）

17.如圖，在11x11的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（即三角形的頂點(diǎn)都

在格點(diǎn)上）.

（1）在圖中作出△ABC關(guān)于直線I對(duì)稱的△A|B|C,（要求A與A],B與B|,C與

Ci相對(duì)應(yīng)）;

（2）在直線1上找一點(diǎn)P,使得APAC的周長(zhǎng)最小.

18.如圖，ND=NC=9(K,AC=BD.求證：AD=BC.

D.C

19.已知，如圖，AB=AE,BC=ED,ZB=ZE,AFJLCD,F為垂足，求證：FC=FD.

20.如圖，在△ABC中,CD_LAB于D,AD=9,BD=16,CD=12.

(1)求^ABC的周長(zhǎng)；

(2)△ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.△ABC中，ZABC與NACB的平分線交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作一直線交AB、AC于

E、F.且BE=EO.

(1)說(shuō)明OF與CF的大小關(guān)系；

(2)若BC=12cm,點(diǎn)O到AB的距離為4cm,求△OBC的面積.

22.如圖，△ABC中,NACB=90°,ZB=30°,AD平分NCAB,延長(zhǎng)AC至E,使CE=AC.

(1)求證：DE=DB；

(2)連接BE,試判斷△ABE的形狀，并說(shuō)明理由.

D

23.如圖，將邊長(zhǎng)為a與b、對(duì)角線長(zhǎng)為c的長(zhǎng)方形紙片ABCD,繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90。得到長(zhǎng)方形FGCE,連接AF.通過(guò)用不同方法計(jì)算楞形ABEF的面枳可驗(yàn)證勾股定理,

請(qǐng)你寫出驗(yàn)證的過(guò)程.

24.如圖，△ABC中，ZA=60°.

（1）試求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)的距離相等，并且到AC、BC兩邊的距離

也相等（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

（2）在（1）的條件下，若NABP=15。，求NBPC的度數(shù).

25.我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五〃.

觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇

數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò).

（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：；

（2）若第一個(gè)數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且唾3）表示，那么后兩個(gè)數(shù)用含n的代數(shù)式分

別表示為和，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明它們是一組勾股數(shù).

26.（14分）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1,△ACB和4DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋

轉(zhuǎn)至點(diǎn)A,D,E在同一直線上，連接BE.

填空：①/AEB的度數(shù)為；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是.

（2）拓展研究：

如圖2,△ACB和ADCE均為等腰三角形，且NACB=NDCE=90。，點(diǎn)A、D、E在同

一直線上，若AE=15,DE=7,求AB的長(zhǎng)度.

（3）探究發(fā)現(xiàn)：

圖1中的△ACB和△DCE,在△DCE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中當(dāng)點(diǎn)A,D,E不在同一直線上時(shí)，

設(shè)直線AD與BE相交于點(diǎn)O,試在備用圖中探索NAOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說(shuō)明

理由.

八年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每題3分，共18分）

1.下列四副圖案中，不是軸對(duì)稱圖形的是（

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形.

【分析】關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形叫軸對(duì)稱圖形.

【解答】解：A、沿某條直線折香后直線兩旁的部分不能夠完全重合，不是?軸對(duì)稱圖形,

故A符合題意;

B、C、D都是軸對(duì)稱圖形，不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】軸對(duì)稱圖形的判斷方法：如果一個(gè)圖形沿一條宣線折疊后，直線兩旁的部分

能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形.

2.如果等腰三角形兩邊長(zhǎng)是8cm和4cm,那么它的周長(zhǎng)是（）

A.20cmB.I6cmC.20cm或16cmD.12cm

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系.

【分析】分腰長(zhǎng)為8cm和4cm兩種情況，再利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判定，再計(jì)算

周長(zhǎng)即可.

【解答】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為8cn】時(shí)，則三角形的三邊長(zhǎng)分別為8cm、8cni、4cm,滿足三角

形的三邊關(guān)系，此時(shí)周長(zhǎng)為20cm；

當(dāng)腰長(zhǎng)為4cm時(shí)，則三角形的三邊長(zhǎng)分別為4cm、4cm、8cm,此時(shí)4+4=8,不滿足三

角形的三邊關(guān)系，不符合題意；

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況并利用三

角形的二邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證是解題的關(guān)鍵.

3.小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊）,

你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去玻璃店，就能配一塊與原來(lái)一樣大小的三角形玻璃.應(yīng)該帶

（）

A.第1塊B.第2塊C.第3塊D.第4塊

【考點(diǎn)】全等三角形的，應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題意應(yīng)先假定選擇哪塊，再對(duì)應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行驗(yàn)證.

【解答】解：1、3、4塊玻璃不同時(shí)具備包括一完整邊在內(nèi)的三個(gè)證明全等的要素，所

以不能帶它們?nèi)ィ?/p>

只有第2塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA,滿足題目要求的條件，是符合題意的.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個(gè)包含的條件符合某個(gè)

判定.判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.HL.

4.將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是（）

A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的三角形相似，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求解.

【解答】解：將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形與原三侑形

相似，因而得到的三角形是直角三角形.

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定以及性質(zhì).

5.如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于5AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧

相交于點(diǎn)M,N,作直線MN,交BC于點(diǎn)D,連接AD.若△ADC的周長(zhǎng)為10,AB=7,

則^ABC的周長(zhǎng)為（）

A.7B.14C.17D.20

【考點(diǎn)】線段垂直，平分線的性質(zhì).

【專題】幾何圖形問(wèn)題；數(shù)形結(jié)合.

【分析】首先根據(jù)題意可得MN是AB的垂直平分線，即可得AD=BD,又由△ADC

的周長(zhǎng)為10,求得AC+BC的長(zhǎng)，則可求得△ABC的周長(zhǎng).

【解答】解：?.?在^ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于aAB的長(zhǎng)為半徑畫弧,

兩弧相交于點(diǎn)M,N,作直線MN,交BC于點(diǎn)D,連接AD.

「?MN是AB的垂直平分線，

AD=BD,

???△ADC的周長(zhǎng)為10,

AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10,

?「AB=7,

/.△ABC的周長(zhǎng)為：AC+BC+AB=I0+7=P7.

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與作法.題目難度不大，解題時(shí)要注意數(shù)

形結(jié)合思想的應(yīng)用.

6.如圖，AABE、△ADC和△ABC分別是關(guān)?于AB,AC邊所在直線的軸對(duì)稱圖形，

若Nl：Z2：Z3=7：2：1,則Na的度數(shù)為（)

、E

J

BC

A.9(rB.108cc.110"D.126"

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì).

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和折置的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：,二/1：Z2：Z3=7：2：1,

設(shè)Nl=7x,Z2=2x,Z3=x,

由N1+Z2+Z3=180?得:

7x+2x+x=180°,

解得x=18,

故N1=7x18=126°,Z2=2x18=36°,Z3=1x18=18%

,??△ABE和^ADC是^ABC分別沿著AB、AC邊翻折180。形成的，

...ZDCA=ZE=Z3=18°,Z2=ZEBA=ZD=36°,Z4=ZEBA+ZE=360+18°=54%

z5=z2+z3=18°+36O=54°,

故NEAC=Z4+N5=54°+54O=I08°,

在4EGF與ACAF中，ZE=ZDCA,ZDFE=ZCFA,

△EGF-△CAF,

a=ZEAC=108°.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查佟形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理.關(guān)鍵是要理解折疊是一種

對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置

變化.

二、填空題(每題3分，共30分)

7三.如圖，若/1=Z2,加上一個(gè)條件NA=NB,則有△AOC合△BOC.

R

【考點(diǎn)】全等三角形的判定.

【分析】此題是一道開(kāi)放型的題目，答案不唯一，如NA=NB,或者OA=OB等.

【解答】解：ZA=ZB,

理由是:在^AOC和ABOC中，

2A二NB

<N1=N2，

OC=OC

△A08△BOC(AAS).

故答案為：zA=ZB.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有

SAS,ASA,AAS,SSS.

8.等腰三角形的一個(gè)角為40。，則它的底角為40?；?0。.

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).

【分析】由于不明確40。的角是等腰三角形的底角還是頂角，故應(yīng)分40。的角是頂角和

底角兩種情況討論.

【解答】解：當(dāng)40。的角為等腰三角形的頂角時(shí)，

底角的度數(shù)J-。-70。；

當(dāng)40。的角為等腰三角形的底角時(shí)，其底角為40。，

故它的底角的度數(shù)是70。或40。.

故答案為：40?；?0c.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)這一知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，由于不明

確40。的角是等腰三角形的底角還是頂角，所以要采用分類討論的思想.

9.如圖，△ABC與△關(guān)于直線1對(duì)稱，則NB的度數(shù)為100度.

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì).

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)先求出NC等于/C,再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出

ZB.

【解答】解：:△ABC與〉A(chǔ)EC關(guān)于直線1對(duì)稱，

/.zC=z030°,

/.ZB=1800-ZA-ZC

=180°-50°-30°

=100°.

故應(yīng)填100.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查關(guān)于某直線對(duì)稱的兩圖形全等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等以及三角

形的內(nèi)角和定理.

10.如圖，己知△ABC中，NACB=90。，以△ABC的各邊為邊在△ABC外作三個(gè)正

方形，Si、S2、S3分別表示這三個(gè)正方形的面積，若S|=9,S2=I6,則S3=Z.

【考點(diǎn)】勾股定理.

【分析】根據(jù)勾股定理求出BC2=AB2-AC2=7,即可得出結(jié)果.

【解答】解:根據(jù)題意得：AB2=16,AC2=9,

ZACB=90°,

BC2=AB2-AC2=16-9=7,

2

則S3=BC=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、正方形的面積；熟練掌握勾股定理，由勾

股定理求出BC的平方是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

11.已知一個(gè)直角三角形的三邊的平方和為1800cm2,則斜邊長(zhǎng)為Qcm.

【考點(diǎn)】勾股定理.

【分析】設(shè)出直角三角形的兩直角邊分別為acm,bcm,斜邊為ccm,利用勾股定理列

出關(guān)系式，再由三邊的平方和為1800,列出關(guān)系式，聯(lián)立兩關(guān)系式，即可求出斜邊的長(zhǎng).

【解答】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為acm,bcm,斜邊為ccm,

根據(jù)勾股定理得：a2+b2=c2,

1/a2+b2+c2=18OO,

/.2C2=18()0,即C2=900,

則c=30cm：

故答案為：30.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

12.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30。，則它的頂角為60。或120°.

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；分類討論.

【分析】等腰三角形的高相對(duì)于三角形有三種位置關(guān)系，三角形內(nèi)部，三角形的外部，

三角形的邊上.根據(jù)條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成了，因而應(yīng)分兩種情況

進(jìn)行討論.

【解答】解：當(dāng)高在三角形內(nèi)部時(shí)，頂角是1200；

當(dāng)而在三角形外部時(shí)，頂角是60。.

故答案為：60。或120°.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對(duì)丁三角形的三種位置

關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是只是求出120。一種情況，把三角形簡(jiǎn)單的認(rèn)為是

銳角三角形.因此此題屬于易錯(cuò)題.

13.如圖，△ABC中，CD_LAB于D,E是AC的中點(diǎn).若AD=6,DE=5,則CD的

長(zhǎng)等于8.

A

【考點(diǎn)】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線.

【專題】計(jì)算題.

【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半“求得AC=2DE=10；然后在直角

△ACD中，利用勾股定理來(lái)求線段CD的長(zhǎng)度即可.

【解答】解：如圖，?「△ABC中，CD_LAB于D,E是AC的中點(diǎn)，DE=5,

二DE=-AC=5,

2

/.AC=10.

在直角△ACD中，ZADC=90°,AD=6,AC=10,則根據(jù)勾股定理，得

CD=7AC2-AD^VlO2-G^8-

故答案是：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線.利用直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半求得AC的長(zhǎng)度是解題的難點(diǎn).

14.如圖，方格紙中△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)分別在小正方形的頂點(diǎn)（格點(diǎn)）上，這樣的三

角形叫格點(diǎn)三角形，圖中與△ABC全等的格點(diǎn)三角形共有2_個(gè)（不含△ABC）.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定.

【專題】網(wǎng)格型.

【分析】本題考查的是用SSS判定兩三角形全等.認(rèn)真觀察圖形可得答案.

【解答】解：如圖所示每個(gè)大正方形上都可作兩個(gè)全等的三角形，所以共有八個(gè)全等

三角形，除去△ABC外有七個(gè)與△ABC全等的三角形.

故答案為：7.

B

DC

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是sss判定三角形全等，注意觀察圖形，數(shù)形結(jié)合是解決本題的

又一關(guān)鍵.

15.如圖，AD是△ABC中/BAC的角平分線，DE_LAB于點(diǎn)E,SAABC=7,DE=2,

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=DF,再根據(jù)三角形的面積

公式列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：AD是△ABC中NBAC的角平分線，DE±AB,DF±AC,

/.DE=DF,

SAABC=~X4X2+-^AC*2=7,

解得AC=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

16.如圖，NA0B=30。，點(diǎn)M、N分別在邊OA、0B上，.且0M=5,ON=I2,點(diǎn)P、

Q分別在邊OB、0A上，則MP+PQ+QN的最小值是13.

Q

.w

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.

【分析】首先作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M，，作N關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)連接即

為MP+PQ+QN的最小值，易得△ONN，為等邊三角形，△OMM，為等邊三角形，/N，OM=9(T,

繼而求得答案.

【解答】解：作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M，，作N關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)N，，連接M，N\即

為MP+PQ+QN的最小值.

根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：ZNfOQ=ZMZOB=30%N0NN，=6()。，0MZ=0M=5,

ONZ=ON=12,

」.△ONN，為等邊三角形，△OMM，為等邊三角形，

/.ZNWM,

.?.在RSM'ON'中，MNROM，2+ON，區(qū).

故答案為：13.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最短路徑問(wèn)題，根據(jù)軸對(duì)稱的定義，找到相等的線段，得到直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共102分)

17.如圖，在11x11的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC(即三角形的頂點(diǎn)都

在格點(diǎn)上).

(1)在圖中作出△ABC關(guān)于直線1對(duì)稱的△A|B|C|(要求A與A|,B與B|,C與

Ci相對(duì)應(yīng));

(2)在直線1上找一點(diǎn)P,使得aPAC的周長(zhǎng)最小.

【考點(diǎn)】作圖-軸對(duì)稱變換；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題.

【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線1對(duì)稱的點(diǎn)，然后順次連接;

（2）連接AC,與1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,此時(shí)△PAC的周長(zhǎng)最小.

【解答】解：（1）所作圖形如圖所示；

（2）點(diǎn)P即為所求的點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)軸對(duì)稱變換作圖，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出點(diǎn)A、

B、C關(guān)于直線I對(duì)稱的點(diǎn)，然后順次連接.

18.如圖，ZD=ZC=90°,AC=BD.求證：AD=BC.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】根據(jù)HL證明RsADB與RtAACB全等，進(jìn)而證明AD=BC.

【解答】證明：090°,

在RtAADB與RtAACB中，

(AC=BD

lAB=AB，

...RtAADB空RtAACB(HL),

/.AD=BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)；全等三角形的判定是重點(diǎn)，本題是道

基礎(chǔ)題，是對(duì)全等三角形的判定的訓(xùn)練.

19.已知，如圖，AB=AE,BC=ED,ZB=ZE,AF±CD,F為垂足，求證：FC=FD.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】連接AC、AD-,根據(jù)SAS推出△AB8&AED,推出AC=AD,根據(jù)等腰三

角形性質(zhì)推出即可.

在4ABC和^AED中

'AB=AE

<NB=NE

BC=DE

/.二ABC號(hào)△AED,

?"AC二AD,

,/AFJLD,

/.FC=FD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等

三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.

20.如圖，在△ABC中，CDJ_AB于D,AD=9,BD=16,CD=12.

（1）求^ABC的周長(zhǎng)；

（2）△ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理.

【分析】（1）由勾股定理求出BC、AC,即可得出結(jié)果；

（2）由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）?「CD_LAB,

/.ZBDC=ZADC=9D°,

?<-BC=VBD2+CD2=2°*AC=VAD2+CD2=15?

???AB=AD+BD=25,

/.△ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=25+20+15=60：

60；

（2）△ABC是直角三角形；理由如下：

?「BC2+AC2=400+225=625=252=AB2,

△ABC是直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟練掌握勾股定理和勾股定理的

逆定理，由勾股定理求出BC和AC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

21.△ABC中，/ABC與NACB的平分線交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作一直線交AB、AC于

E、F.且BE=EO.

（1）說(shuō)明OF與CF的大小關(guān)系；

（2）若BC=12cm,點(diǎn)O到AB的距離為4cm,求△OBC的面積.

o

BC

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

【分析】（I）由BE=EO,根據(jù)等邊對(duì)等角，可得/EBO=ZEOB,又由△ABC中，ZABC

與/ACB的平分線交于點(diǎn)O,可得NEBO=/OBC,即可判定EFIIBC,則可證得

ZFOC=ZOCB=ZOCF,由等角對(duì)等邊，即可證得OF=CF：

（2）由點(diǎn)0到AB的距離為4cm,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得點(diǎn)0到BC的距離為

4cm,則可求得仆OBC的面積.

【解答】解：（1）OF=CF.

理由：/BE=EO,

/.ZEBO=ZEOB,

,「AABC中，ZABC與/ACB的平分線交于點(diǎn)0,

ZEBO=ZOBC,

ZEOB=ZOBC,

/.EFIIBC,

ZFOC=ZOCB=ZOCF,

OF=CF；

(2)過(guò)點(diǎn)。作OMJ_BC于M,作ON_LAB于N,

ABC中，ZABC與/ACB的平分線交于點(diǎn)O,點(diǎn)O到AB?的距離為4cm,

/.0N=0M=4cm,

2

SAOBC=^BC*OM=-^X12x4=24(cm).

Rc

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定與

性質(zhì).此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線?的作法.

22.如圖，△ABC中，/ACB=90°,ZB=30°,AD平分NCAB,延長(zhǎng)AC至E,使CE=AC.

（1）求證：DE=DB；

（2）連接BE,試判斷△ABE的形狀，并說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】等邊三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.

【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)和角平分線得出/DAir=NABC,得出DA=DB,再

由線段垂直平分線的性質(zhì)得出DE=DA,即可得出結(jié)論：

（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BA=BE,再由NCAB=60。，即可得出△ABE是等

邊三角形.

【解答】（1）證明：??./ACB=90°,ZABC=30°,

J.BC_LAE,ZCAB=60°,

??AD平分/CAB,

ZDAB旦CAB=30°=ZABC,

2

DA=DB,

?/CE=AC,

:?BC是線段AE的垂直平分線，

DE—DA,

DE=DB：

（2）△ABE是等邊三角形；理由如下：

???BC是線段AE的垂直平分線，

/.BA=BE,

即△ABE是等腰三角形，

又「ZCAB=6ir,

△ABE是等邊三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定方法、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的

判定等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度適中.

23.如圖，將邊長(zhǎng)為a與b、對(duì)角線長(zhǎng)為c的長(zhǎng)方形紙片ABCD,繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90。得到長(zhǎng)方形FGCE,連接AF.通過(guò)用不同方法計(jì)算楞形ABEF的面積可驗(yàn)證勾股定理,

請(qǐng)你寫出驗(yàn)證的過(guò)程.

AD

BachE

【考點(diǎn)】勾股定理的證明.

【分析】根據(jù)S梯形ABEF=SAABC+SACEF+S^ACF，利用三角形以及梯形的面積公式即可

證明.

【解答】證明：〈SM形ABEF=3(EF+AB)?BE=,(a+b)?(a+b)=-i(a+b)2,

,/RtACDA^RtACGF,

NACD=ZCFG,

???ZCFG+ZGCF=90°,

ZACD+ZGCF=90。,

即NACF=90°,

■'S梯形ABEF=S^ABC+SACEF+SAACF，

S榜形ABEF=^lb+/b+/2,

—(a+b)2=-ab+—ab+-^c2

2222

a2+2ab+b2=2ab+c2.

a2+b2=c2.?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用數(shù)形結(jié)合來(lái)證明勾股定理，證明勾股定理常用的方法是利用面

枳證明，本題鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法.

24.如圖，△ABC中，ZA=60°.

（1）試求作一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)的距離相等，并且到AC、BC兩邊的距離

也相等（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

（2）在（1）的條件下，若NABP=15。，求/BPC的度數(shù).

【考點(diǎn)】作圖一復(fù)雜作圖；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).

【分析】（1）利用線段垂直平分線的作法結(jié)合角平分線的作法進(jìn)而得出答案；

（2）利用角平分線的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)得出/ACD=ZDCB=ZPBC,結(jié)

合三角形內(nèi)角和定理得出答案.

【解答】解：（1）如圖所不：點(diǎn)P即為所求；

(2)連接BP,PC,

由題意可得：CD是NACB的角平分線，MN垂直平分BC,

則NACD=/DCB,BP=PC,

故/PBC=ZPCB,

則NACD=ZDCB=zPBC,

???ZA=60°,ZABP=15°,

ZACD=ZDCB=zPBC=4(180°-60°-15°)=35°,

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了線段垂?直平分線的性質(zhì)與畫法以及角平分線的性質(zhì)與畫法,

正確得出/ACD=ZDCB=ZPBC是解題關(guān)鍵.

25.我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五〃.

觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；...?發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇

數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò).

（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：II,60,61；

（2）若第一個(gè)數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且*3）表示，那么后兩個(gè)數(shù)用含n的代數(shù)式分

22

別表示為三二和三一旦，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明它們是一組勾股數(shù).

22

【考點(diǎn)】勾股數(shù).

【專題】規(guī)律型.

【分析】（1）分析所給四組的勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；

可得下一組一組勾股數(shù)：11,60,61：

（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二

分之一.

【解答】解：（1）11,60,61；

22

（2）后兩個(gè)數(shù)表示為工和工二旦，

22

42242

.?2_L小2-1\22,n"-2n2+ln+2n+l（n+l\2n+2n+l

?n+二n+^—二一4—''F二—4—'

2.o

.“+”）2二（n_tl）4

又???岸3,且n為奇數(shù)，

..?由n,工2二工，旦2上1三個(gè)數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù).

22

故答案為：11,60,61.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬規(guī)律性題目，考查的是勾股數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)

及關(guān)系式進(jìn)行猜想、證明即可.

26.（14分）（I）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1,△ACB和△DCE