2025年中考數(shù)學總復習《弧長與扇形面積》專項測試卷(附答案)

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學總復習《弧長與扇形面積》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，在中，，點E在上，以為直徑的經過上的點D，與交于點F，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．2．如圖，是的外接圓，為直徑，點是的內心，連接并延長交于點，過點作，交的延長線于點．(1)求證：與相切；(2)連接，若的半徑為2，，求陰影部分的面積（結果用含的式子表示）．3．如圖，矩形內接于，是對角線，點在上（不與點重合），連接分別交于點，，于點，，連接交于點．(1)如圖1，當點為的中點，時，①求證：．②求的長．(2)如圖2，若，求的值．4．如圖，已知等腰中，，以為直徑的與底邊交于點，過點作，垂足為，連接．(1)求證：為的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．5．如圖，點在以為直徑的上，點是的中點，點在的延長線上，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．6．如圖，四邊形是菱形，是對角線上一點，以點為圓心，為半徑畫圓交于點，邊與相切于點．(1)①判斷點和的位置關系，并說明理由；②求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的周長．7．如圖，在中，，是的平分線，O是上一點，O經過A，D兩點，交于點E，交于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長l．8．如圖，在⊙O中，弦垂直于半徑，垂足為D，點E在的延長線上，且．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結果保留）．9．如圖，在中，是直徑，D是的中點，連接、．(1)求證：；(2)若，，求的長（結果保留）．10．如圖，是直徑，點C為劣弧中點，弦、相交于點E，點F在的延長線上，，垂足為G，且．(1)求證：是的切線；(2)當、時，求的長度；(3)當時，求的值．11．如圖，中．，點為邊上一點，以點為圓心，為半徑作圓與相切于點，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長．12．如圖，是的直徑，為弦，是的中點，過點作的垂線，交的延長線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．13．如圖，在中，，平分交于點E，O為上一點，經過A，E的分別交，于點D，F(xiàn)，連接交于點M．

(1)求證：是的切線：(2)若，，求的半徑；(3)若，的半徑為2，求陰影部分面積．14．已知是⊙的直徑，是圓外一點，直線交⊙于點，、不重合，平分交⊙于點，過作，垂足為．(1)判斷與⊙的位置關系，并說明理由；(2)若，，求的長度．15．如圖，是的內接三角形，點E是直徑延長線上一點，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．參考答案1．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，證明，得到，即可證明解析；（2）設的半徑為，由題意求出半徑，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，再求出，再由弧長公式進行計算即可．【詳解】（1）證明：連接，在和中，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：設的半徑為，∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得，，，，，，，，，，，．【點睛】本題主要考查圓的切線長定理，全等三角形的判定和性質，三角函數(shù)的計算，熟練掌握相關性質定理是解題的關鍵．2．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，交于點，根據(jù)等腰三角形的性質得到，由為的內心，得到，求得，根據(jù)圓周角定理得到，求得，根據(jù)切線的性質得到，根據(jù)平行線的判定定理得到結論；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，求得，求得，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）證明：連接，交于點，∵，∴，∵為的內心，∴，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴∵∴∴∵為的半徑，∴為的切線；（2）解：∵，∴，∴，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了三角形的內切圓與內心，切線的判定，三角函數(shù)的定義，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算．正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．3．(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質、余角的性質等可證得，根據(jù)圓周角定理可得出，然后等量代換即可得證；②連接，，根據(jù)圓周角定理的推論可得、是的直徑，則是中點，也是中點，根據(jù)垂直平分線的性質可得，根據(jù)等邊對等角可得，結合①中，以及，得出，則可求出，得出，然后根據(jù)等邊對等角和三角形內角和定理可求出，則，根據(jù)弧、圓心角的關系可求出，則，最根據(jù)弧長公式求解即可；（2）根據(jù)，可設，則，，，根據(jù)勾股定理求出，結合（1）中，求出，，證明，可求出，在中求出，過P作于M，根據(jù)等角的正切值相等可得出，故設，則，在中，根據(jù)正切的定義求出，根據(jù)勾股定理求出，結合，可求出，則可求出，，，即可求解．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中點，∴，∴，∴；②解：連接，，∵，∴是的直徑，∴是中點，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴是的直徑，∴是中點，∵，，∴，∴，由①知：，又，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的長為；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，，，∵，∴設，則，，∴，由（1）知∶，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，過P作于M，∵，∴，∴，設，則，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理以及推論，弧、圓心角的關系，矩形的性質，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，解直角三角形等知識，熟練掌握以上知識，并正確添加輔助線是解題的關鍵．4．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、扇形的面積、解直角三角形等知識，熟練掌握圓的切線的判定定理和扇形的面積公式是解題關鍵．（1）連接，先根據(jù)等腰三角形的性質可得，，從而可得，再根據(jù)平行線的判定可得，然后根據(jù)平行線的性質可得，最后根據(jù)圓的切線的判定定理即可得證；（2）先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，解直角三角形可得，根據(jù)圓周角定理可得，然后根據(jù)圖中陰影部分的面積等于求解即可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵是的半徑，∴為的切線．（2）解：∵是的直徑，∴，即，∴，（等腰三角形的三線合一）∵在中，，∴，，，∴，，∴，∴圖中陰影部分的面積為．5．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了圓周角定理、圓的切線的判定、特殊角的三角函數(shù)值、弧長公式等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵。（1）根據(jù)圓周角定理可得即，再說明，進而求得，即可證明結論；（2）如圖，連接，由特殊角的三角函數(shù)值可得，進而求得，然后說明，最后根據(jù)弧長公式求解即可?！驹斀狻浚?）證明：是的直徑，，，，，，，即，，是的直徑，是的切線。（2）解：如圖，連接，，點是的中點，，，

，，的長為．6．(1)①點在上，理由見解析；②見解析(2)【分析】（1）①連接，，根據(jù)菱形的性質得到三角形全等，利用全等三角形的性質求解；②根據(jù)全等三角形的性質和切線的判定來求解；（2）根據(jù)菱形的性質和圓周角定理求出，再利用含角的直角三角形性質求出，由勾股定理求出的長度，利用弧長公式求解．【詳解】（1）解：①點在上，理由如下：連接，，在菱形中，，∴，∴．又是半徑，∴點在上；②∵，∴．又與相切，切點為，∴，是半徑，∴，∴，∴是的切線．（2）解：∵，∴，在菱形中，，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴，，，即，∴，，∴，∴弧長，∴．【點晴】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，點和圓的位置關系，切線的判定和性質，含角的直角三角形性質，勾股定理，弧長公式，理解相關知識是解答關鍵．7．(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定、弧長公式、等邊三角形的判定和性質、解直角三角形，圓周角定理，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．（1）連接，只要證明即可解決問題；（2）作于點G，連接，證明為矩形，則可得求得的度數(shù)，再求得，即可利用弧長公式解答．【詳解】（1）證明：如圖，連接．是的平分線，

．，．

．．

．

．是的半徑，

是的切線；（2）解：如圖，作于點G，連接．則，是的直徑，，四邊形為矩形，．．．

．，．，．

∴．8．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接．根據(jù)半徑相等可得，根據(jù)，，等量代換可得，即可得證；（2）連接，根據(jù)，，進而可得是等邊三角形．再結合垂徑定理，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接．．，．又．，．又是的半徑，直線是的切線．（2）解：如圖，連接．在中，，．．又是等邊三角形．又弦垂直于半徑．．．【點睛】本題考查了切線的判定，垂徑定理，求扇形面積，等邊三角形的判定和性質等知識，熟練掌握切線的性質與判定，垂徑定理是解題的關鍵．9．(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，求弧長，三角形內角和定理：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到，則，由垂徑定理得到，則，由此即可證明；（2）如圖所示，連接，由圓周角定理得到，則由垂徑定理可得，可得，據(jù)此利用弧長公式求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，記，的交點為，∵是直徑，∴，∴，∵D是的中點，是直徑，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接，∵，∴，∵D是的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴的長度．10．(1)見詳解(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等弧所對的圓周角相等和等腰三角形的性質（三線合一），可以證明，再根據(jù)，可以證明結論成立；（2）先由圓周角定理得，再結合點C為劣弧中點，得，則，最后由弧長公式進行列式計算，即可作答．（3）先證明，再根據(jù)全等三角形的性質和銳角三角函數(shù)可以求得的值，即可作答．【詳解】（1）解：連接，如圖1所示，點為劣弧中點，，，，，平分，，，，，，，；，，，，是直徑，是的切線；（2）解：連接，如圖所示：∵，，則，∵點C為劣弧中點，∴，∴，即，∵，∴的長度；（3）解：如圖2，作于點，則，由（1）得，即，在和中，，，，設，則，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題是一道圓的綜合題目，考查切線的判定，弧長公式、圓周角定理、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、角平分線的性質和銳角三角函數(shù)，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．11．(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的性質，解直角三角形，求弧長：（1）連接，證明，得到，平分，進而得到垂直平分，根據(jù)同角的余角相等，得到，即可得證；（2）求出，進而求出，三角函數(shù)求出的長，利用弧長公式進行求解即可．【詳解】（1）解：連接，則，∵以點為圓心，為半徑作圓與相切于點，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，，，∴，∴，由（1）知：，∴，，∴的長為：．12．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查圓周角定理、等弧所對的圓周角相等、圓的切線的判定、等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟悉圓的相關性質．（1）連接，證明，由，得即可證明結論．（2）連接，．證明是等邊三角形，進而可得，．，即可求面積．【詳解】（1）證明：連接，是的中點，，．又，．，，，．．又是半徑，是的切線．（2）解：連接，．，是等邊三角形，，．由（1）知，，．，，．13．(1)見解析(2)3(3)【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線的性質及同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出即可；（2）由勾股定理可得出答案．（3）先利用等腰三角形的性質與角平分線，三角形內角和定理，求出，從而求得，即可由扇形面積公式得，再由直角三角形的性質與勾股定理求出，從而求得，即可由求解．【詳解】（1）證明：連接，

平分交于點，，，，，，，又是的半徑，是的切線；（2）解：由（1）知，是的切線，∴∴設，，，解得，，即圓的半徑為3．（3）解：如圖，連接，

∵∴∵平分∴∴∵∴∴∵∴∴∴由（1）知，是的切線，∴∴∴∴∴∴．【點睛】本題主要考查切線的判定和性質，勾股定理，扇形面積，三角形面積，等腰三角形的性質，三角形外角性質，角平分線，三角形內角和定理等知訓．熟練掌握切線的判定定理和勾股定理是解題的關鍵．14．(1)相切，見解析；(2)．【分析】本題主要考查了切線的判定、弧長公式、勾股定理，解決本題的關鍵是根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定證明，從而證明直線與圓相切．連接，根據(jù)圓的基本性質可證，根據(jù)角平分線定理可證，等量代換可得，根據(jù)內錯角相等可證，從而可得，可證結論成立；過作于，根據(jù)圓的基本性質可證四邊形是矩形，利用勾股定理可求，設，則，，利用勾股定理可得關于的方程，解方程求出的值，即為圓的半徑，再根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】（1）解：與相切，理由如下：連接，，，平分，，，，，，與相切；（2）解：過作于，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，設，則，，在中，，，解得：，．15．(1)見解析(2