哈工大數(shù)字信號(hào)處理2-5章答案

第二章(冀振元主編)

1.

根據(jù)奇偶序列的定義，有.：

xi(—n)=A：i(n),X2(—n)=-xz(n),

那么y(一〃)=xi(-〃)?X2(一〃)

=xi(〃)?(—X2(H))

=-x\(n)?X2(n)

=-y(n)

故)S)為奇序列。

2.

的共規(guī)對(duì)稱局部是：

用其實(shí)部與虛部表示x(〃)，得

故M(〃)的實(shí)部是偶對(duì)稱的，虛部是奇對(duì)稱的。

3.

(1)69=5兀/8,那么lit!co-16/5

故x(n)是周期的，最小周期為160

(2)對(duì)照復(fù)指數(shù)序列的一般公式x(〃)=exp[cr+/M〃，得出口二1/8,因此2n/co=16r,是無(wú)理

數(shù)，所以x(〃)是非周期的。

4.

＜法一＞

＜法二＞

5.

交換律：

令k=n—ni,那么

結(jié)合律:(x(n)*/?i(n)}*fe(n)=x{n)*{h\(n)*hi(n)]

證：

右邊二%(〃)*{〃1(〃)*力2(〃)}

=左邊

分配律：+〃2(〃)}二人(〃)*/?1(〃)+工(〃)*42(〃)

、*T-

證：

左邊=x(〃)*{%i(〃)+hi(n)}

=右邊

6.

⑴穩(wěn)定，因果，非線性，移不變

穩(wěn)定性：假設(shè)1MgM

那么|y(/?)|=|2x(n)+3|＜2M+3有界，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)。

因果性：對(duì)任意小，系統(tǒng)在m深刻的響應(yīng)僅取決于在時(shí)刻，尸處的輸入，所以是因果系統(tǒng)。

線性：

所以系統(tǒng)非線性。

移不變性：7(x(〃一4))=2x(〃-〃J+3=y(〃-〃n)所以是移不變系統(tǒng)。

⑵穩(wěn)定，因果，線性，移變

線性：

27r7t27r7t

設(shè)x(〃)=ax(z?)sin[—n+—],y(n)=/7x(/?)sinl—7?+—],由于

}3622~36

y(n)=T[axx(n)+bx2{n}]=[ax^n)+bx2(n)]sin[—n+―]系統(tǒng)是線性的

=他(〃)+勿2(〃)

移不變性：

T[x(n-k)]^y(n-k)f故系統(tǒng)是移變的

穩(wěn)定性：

設(shè)|x(〃)|SM,那么有

系統(tǒng)是穩(wěn)定的

因果性：

因)，00只取決于現(xiàn)在和過(guò)去的輸入龍。川不取決于未來(lái)的輸入，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。

⑶不穩(wěn)定，因果，線性，移不變

穩(wěn)定性：不穩(wěn)定似〃)|=.8。

Ar="oo

因果性：因M〃)只取決于現(xiàn)在和過(guò)去的輸入x(〃)，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。

線性：

因此為線性系統(tǒng)。

r”一%

移不變性：T(X(H-/2O))=￡1("2-4)=￡移不變系統(tǒng)

m=Fi="oo

(4)不穩(wěn)定，因果|非因果，線性，移變

穩(wěn)定性：卜(〃)|二2工(攵)Wn-n()\-M.As〃-8,7.8.所以系統(tǒng)不穩(wěn)定

因果性：假設(shè)〃2%,該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，當(dāng)〃v〃o時(shí)，非因果系統(tǒng)

線性：

因此為線性系統(tǒng)。

移不變性：

所以是移變系統(tǒng)。

⑸穩(wěn)定I不穩(wěn)定，因果，線性，移變

穩(wěn)定性：

設(shè)上(〃)|<M<oo

那么|y(〃)|?|g(叫"

如果g(〃)有界,那么系統(tǒng)穩(wěn)定。

因果性：

因y(〃)只取決于現(xiàn)在的輸入尤(〃),不取決于未來(lái)的輸入，故系統(tǒng)是因果系統(tǒng)

線性：

因此為線性系統(tǒng)。

移不變性：

所以是移變系統(tǒng)。

(6)穩(wěn)定，因果|非因果，線性，移不變

穩(wěn)定性：設(shè)|x(n)\<M

那么［戈(〃)j=,〃一%)歸”所以是穩(wěn)定系統(tǒng)。

因果性：假設(shè)為20,那么系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，否那么為非因果系統(tǒng)。

線性：

因此為線性系統(tǒng)。

移不變性：

因此為移不變系統(tǒng)。

7.

(1)

當(dāng)〃<0時(shí)，6(〃)，0,所以系統(tǒng)是非因果的。

所以當(dāng)時(shí)>1時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)同S時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

⑵

當(dāng)〃<0時(shí)，/?(/?)/0,所以系統(tǒng)是非囚果的。

因?yàn)椤陓力(〃)|=1，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

H=-oo

(3)

當(dāng)〃<0時(shí)，/?5),0,所以系統(tǒng)是非因果的。

y"(〃)|=1+2-|+2-2+,,=」1=2,故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

"=V|___

2

(4)

當(dāng)〃V0時(shí),/?(n)=0,所以系統(tǒng)是因果的。

8（IA1

Zl/7（,7）l=1+2故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

T=-00\乙）

2

(5)

假設(shè)N*,那么71x(〃)］的值取決于x(〃)當(dāng)前和過(guò)去的值，所以是因果系統(tǒng)；否那么是非因

果系統(tǒng)。

假設(shè)Ix(n)\<M

,|Af-l1N-l|

那么,xSM"*）《元?￡,（〃-%）歸萬(wàn)=M,所以是穩(wěn)定系統(tǒng)

/Vk=n/Vk=ON

(6)

的值取決于未來(lái)的值，所以是非因果系統(tǒng)。

假設(shè)Ix(n)\<M

那么,口:⑺］二,(〃)十+1)|《卜(〃)|十卜(〃十D|《"十"二2",所以是穩(wěn)定系統(tǒng)。

(7)

當(dāng)〃o#O時(shí)，7］x(〃)］的值取決于x(〃)未來(lái)的值，所以為非因果系統(tǒng)；當(dāng)加二。時(shí)，為因果系

統(tǒng)。

假設(shè)Ix(7?)|<M

那么「卜⑺』wfk(Z)閆+所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

?="一%

(8)

7U5)］的值僅取決于工(〃)當(dāng)前的值，所以為因果系統(tǒng)。

假設(shè)Ix(n)\<M

那么,卜⑺卜卜⑶卜”㈤,所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

8.

⑴當(dāng)/?<()或〃>15時(shí)，>(〃)=0

(2)當(dāng)0</?<5時(shí)，

(3)當(dāng)5力<10時(shí)，

(4)當(dāng)10</?<15時(shí)，

所以，

v法二〉

9.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

10.

令x(n)=^(n)

那么對(duì)于n<0,y(n)=h(n)=O

可以推出

即

II.

證：

右邊j［豆A-(77>>MfXd(o

24無(wú)n=-<x>\zn=-ooj

二左邊

12.

(1)羽⑺的周期是7；尸1戶0.05s

(2)

⑶M〃)的數(shù)字角頻率為以=乃

的波形如下列圖所示：

如下圖,x(〃)的周期為1(不是2n/con=2)

%%====MatlabCode====

phai=pi/2;

n=-8:8;

xn=cos(pi*n+phai);

figure,stem(n,xn),xlabel('n'),ylabel('x(n)'),axis([n(l)n(end)-11])

第三章習(xí)題（冀振元主編）

1、

解

00

Z[2~nu(n)]=Z2一〃〃=Z2-"z-/I

⑴n=-<o〃=0

1..1

Z[-2~nu(-n-])]=-2-”〃(-〃

n=-oo

f-2fz±2”z”

⑵-/I

Zl=-00n=l

-2z1

l-2zl-2~'z-'

一8

=L2z

(3)n=0

I

廿、占lzl<I

⑷Z|^(/?)|=l,()<|z|<oo

⑸=z',0<|z|<oo

Z\a"(〃(〃)一〃(〃-10))]="z"

(6)〃=0

l-a'V0八」

=-~~工一二,0v|z區(qū)8

\-az

8I

⑺X[z]=^-z,-/1

?=i幾

因?yàn)?/p>

積分得

而X[z]的收斂域和也包的收斂域相同，所以X[z]的收斂域?yàn)閨z|>lo

az

18)設(shè)y(n)=(sin(“)〃))?〃(〃)

那么有sin(“用二—-)

2j

而

所以

因此，收斂域?yàn)閨z|>為

2、

(1)

z=l處得零、極點(diǎn)相互對(duì)消。圖略

(2)

零點(diǎn)：z=「cos(%-⑺=eg,Z2=o,極點(diǎn):z3=%，=/O.9,z4=，/'=_jo.9,圖略。

cos。

3、

解X[z]有兩個(gè)極點(diǎn)：4=0.5/2=2,因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界，因此收斂域有以下三

種情況：

三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。

(1)當(dāng)收斂域|z|<().5時(shí)，

5z-7

令%Z)=X(Z)Z”T-------i------z------------z

(l-0.5z-1)(l-z-1r)(z-0.5)(z-2)

71>0,因?yàn)镃內(nèi)無(wú)極點(diǎn)，](〃)=()；

⑵當(dāng)收斂域0.5Vzk2時(shí),

最后得到

(3)當(dāng)收斂域|z|>2時(shí),

〃<0,由收斂域判斷，這是一個(gè)因果序列，因此了(〃)二0。

或者這樣分析，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5,2,。，但0是一個(gè)〃階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外無(wú)極點(diǎn),

所以x(")=0。

最后得到

4、

解

⑴Z[x(n)]=^8a,,^z~>'=----1--]z\>a

"=oi-az

si7r(dX[z]azII

⑵Z[m(7?)]=-z-----=-------Az\>a

dz(z-〃)~

f11

(3)Z[anu(-n)]=Z，""-"二-—,|z|>-

Mza

5、

(i)根據(jù)極-零點(diǎn)圖得到的z變換

因傅里葉變換收斂，所以單位圓在收斂域內(nèi)，因而收斂域?yàn)椋?lt;|z|<2。故M")是雙邊序歹人

2

(2)因?yàn)閤(〃)是雙邊序列，所以它的Z變換的收斂域是一個(gè)圓環(huán)。根據(jù)極點(diǎn)分布情況，收

斂域有兩種可能：；z|<2或2<|z|<3。

采用留數(shù)定理法求對(duì)應(yīng)的序列，被積函數(shù)為X⑵Z”T=—產(chǎn)B------Z“T

(z-^)(z-2)(z-3)

對(duì)于收斂域,<|z|<2,被積函數(shù)有1個(gè)極點(diǎn)z=，在積分圍線內(nèi)，故得

22

被積函數(shù)有2個(gè)極點(diǎn)4=2刃z?=3在積分圍線外，又因?yàn)榉帜付囗?xiàng)式的階比分子多項(xiàng)式的

階高3-〃>2(因〃4()),故

最后得到

對(duì)于收斂域2<|z|<3,被積函數(shù)有2個(gè)極點(diǎn)4和Z2=2在積分圍線內(nèi)，故

被積函數(shù)有1個(gè)極點(diǎn)z=3在積分圍線外，又因分母多項(xiàng)式的階比分子多項(xiàng)式的階高

3-〃>2(因〃<0),故

最后得

6、

分析

①長(zhǎng)除法：對(duì)右邊序列(包括因果序列)，⑵的分子、分母都要按z的降暴排列，對(duì)左邊序

列(包括反因果序列)”⑵的分子、分母都要按z的升室排列。

②局部分式法：假設(shè)X⑵用z的正累表示，那么按X(z)|z寫成局部分式，然后求各極點(diǎn)的留

數(shù)，最后利用變換關(guān)系求Z反變換可得河力。

③留數(shù)定理法：a注意留數(shù)表示是Res(X(z)z'i)Lf=(z-z“)X(z)z〃T|弓，因而X(Z)Z〃T也要

化成’的形式才能與z-z人相抵消，」^和z-z,不能相抵消，這是常出現(xiàn)的錯(cuò)誤。

Zf1—Z

b用圍線內(nèi)極點(diǎn)留數(shù)時(shí)不必取“一〃號(hào)，用圍線外極點(diǎn)留數(shù)時(shí)要取“一〃號(hào)。

(1)

a長(zhǎng)除法

直接可得：x(n)=3(〃)--1)

2

b留數(shù)定理法

當(dāng)〃=1時(shí)，x(n)=--

2

當(dāng)〃>111寸，x(n)=O

當(dāng)〃=0時(shí)，x(/?)=l

當(dāng)〃<0時(shí)，1-〃N2,滿足留數(shù)輔助定理應(yīng)用條件，故乂〃)=0

綜上所述：M〃)=bS)-L?b(〃-i)

2

(c)局部分式法

由題得X(z)=l

Z

所以x(n)=5(〃)——?5(〃一1)

⑵

(a)長(zhǎng)除法

由于極點(diǎn)為z=，，收斂域?yàn)閨z|<,，因而x(〃)是左邊序列，所以要按z的升幕排列。

44

所以x(〃)=8?b(n)+7?(L)”?〃(一"-1)

4

(b)留數(shù)定理法

綜上所述，有

(c)局部分式法

那么

由于宜⑶是左邊序列,所以

7、

w

被積函數(shù)：X1(Z)Z”T=X2(z)z-'=X<z)z'i二(zT)z”

(z+l)(z+1)

⑴limX(z)=i,收斂域|Z|>1對(duì)應(yīng)于因果序列。在〃20札被積函數(shù)在積分圍線內(nèi)有2

二T8

個(gè)極點(diǎn)-1和-,，因此

3

(2)limX2(z)=l，收斂域|z|<，對(duì)應(yīng)于非因果序列。在〃<°時(shí)，被積函數(shù)在積分圍線外

Z—>003

有2個(gè)極點(diǎn)-1和-g；且被積函數(shù)在z=8處有2-5+1)=1-〃22階零點(diǎn)，因此得

(3)收斂域g<|z|<l對(duì)應(yīng)于雙邊序列。當(dāng)〃之0時(shí)，被積函數(shù)在積分闈線內(nèi)有1個(gè)極點(diǎn)-g,

故

當(dāng)〃<()時(shí)\被積函數(shù)在積分圍線外有1個(gè)極點(diǎn)-1,且被積函數(shù)在Z=8處有

2—(〃+1)=1—〃22口介零點(diǎn)，因止匕

曷尸徂(\一2(一；)",〃20

最后得X(H)=<3

—3(—1)”,〃<0

8、

分析

a移位定理

b假設(shè))，(〃)=%(〃)*x2(n),那么Y(z)=X|(z)*X2(z)

解

而

所以

9、

解

J

(1)F[x(n-n())]=e-^X(jw)

(2)F[x(n)]=X\-jw)

(3)F[x(-n)]=X(-jw)

(4)F[x(n)*y(?)]=X(?r(?

(5)F[x(n)y(n)]=^-X(Jw)*Y(jw)

2/r

(6)F[/?.￥(/?)]=j*(jw)(由z變換可推得)

dvv

F[x(2n)]=￡=2n

n=-oo

=￡x(n)eJ%

/=偶數(shù)

,、1-y-2H'n

⑺=^-[x(n)+(-\yx(fi)]e

n=-oo乙

00I1I—f-.H17：

=Z—IM〃)+eJ/rilx(n)\e2

n=-oo2

I/-H'/(Ls—r)

=-[X(e2)+X(e-)]

⑻F[.r2(/?)]=^-x(jw)*Xjvv)

2乃

(9)

(10)

10、

(1)儀5(〃—%)J=Z傳5-叫))J1=

(2)F[e-aliu(n)]=4"〃”(，川之扭=

p>w

⑶“—，，(〃)]=7

(4)

11、

證明

設(shè)

那么

那么

而

又因?yàn)?/p>

那么

所以得證

12、

(1)

閆)，

〃<0,y(〃)=0

最后得到：

⑵

〃X),

/?=-1，M〃)=1

〃<-1,y(〃)=0

最后得到：

(3)

以)，

最后得到：

13.

⑴

對(duì)差分方程兩邊進(jìn)行Z變換，得

因此

零點(diǎn):zo=O

1+V51-75

極點(diǎn):Z[=，z)=

1222

零極圖

%%

b=[()1()];

a=[l-1-1];

zplane(b,a)

1+5/5

(2)由于限定系統(tǒng)是因果的,收斂域需選包含8在內(nèi)的收斂域，即目〉

2

z,

令F(z)=H(z)z,,_,

(z-z,)(z-z2)

〃K),

因?yàn)槿?〃)是因果序列，〃<0時(shí)，取〃)=0

所以A(n)=〃(冷

WE2

(3)

由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域，即㈤<目<區(qū)|

Z”

令F(z)=H(z)z"T=--------------

㈠㈠(z-z.)(z-z2)

〃X),C內(nèi)只有極點(diǎn)Z2,只需求Z2點(diǎn)的留數(shù)，

〃<0,c內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)Z2和z=0,囚為z=O是一個(gè)n階極點(diǎn)，改成求圓外極點(diǎn)留數(shù)，圓外極點(diǎn)

只有一個(gè)，即ZI,那么

最后得到

14.

(1)

由y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)

得y(z)=0.9y(z)z-'+X(z)+0.9X(z)z-,

所以〃(z)

')Jl+-0.9z-1

〈方法一:圍線積分法(留數(shù)法)

令尸(Z)=”(Z)Z"T=￡±2zl

n>l,c內(nèi)有極點(diǎn)0.9

n=O,c內(nèi)有極點(diǎn)0.9,0

其中

所以〃(0)=1

最后得到力(〃)=20.9"〃("1)+5(〃)

Q)

極點(diǎn)zi=0.9,零點(diǎn)為二一09零極點(diǎn)分布圖圖下列圖(a)所示，幅頻特性曲線如下列圖(b)所

示：

%%

b=[l0.9];

a=fl-0.91;

zplanc(b,a)

freqz（b,a,'whole'）

零極圖

幅頻、相頻特性

⑶

注：

即：兒)

或者：

第四章習(xí)題(冀振元主編)

1、

解

；1片^

NTN-12￡,l-eNN,〃=0

（I）X（Q=KM〃=￡JN

.2*,

〃=0zr=Ol-ek

N-\N-\

⑵X（Q=Z55）叱弧二ZS（〃）=L攵=°，1，2,…,N-1

M=0〃=0

N-\N-1

⑶x（z）=￡s（〃—〃0）隙；〃=眠％￡次〃—%）=叱料攵=0,1,2,…,N—1

n~（）〃=0

?n-\i_ivA/n-sin（二；mk）

⑷乂（公=￡吟=；^=JN—M—,k=Q12...,N-l

司「％sin（-A9

N

i-呼（"T〉N

N-l2nJV-1.2^.,、[—6N\N,k=m

（5）x（〃）=￡i〃M=s0<^<AZ-l

H=0H=0-白[0,k*"i

l-eN

2、

解我們知道X(e")=X(z兒“卬是以24為周期的周期函數(shù)，所以

以N為周期，將文(k)看作一周期序列((〃)的DFS系數(shù),那么

代入

由于

《齊儼皿北黑+W

N卜=0[0,具匕加

所以

由題意知

所以根據(jù)有關(guān)X(k)與4伽)的周期延拓序列的DFS系數(shù)的關(guān)系有

由于—所以

因此

3、

解(1)記錄時(shí)間即時(shí)域信號(hào)的時(shí)間長(zhǎng)度。

?=—<_!—1

⑵=0.5/775

,廠-2xl()3

2xlQ3

⑶=40

￥V50

(4)頻帶寬度不變就意味著采樣間隔A不變，應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大一倍為0.04s實(shí)現(xiàn)頻率

分辨率提高1倍(V變?yōu)樵瓉?lái)的1/2)。

4、

5、

分析

離散時(shí)域每?jī)牲c(diǎn)間插入戶1個(gè)零值點(diǎn)，相當(dāng)于頻域以N為周期延拓r次，即

丫伏)周期為小。

解

由

可得

而

所以丫(口是將X(Q(周期為N)延拓r次形成的，即丫(口周期為‘加。

6、

解

和有限長(zhǎng)序列x(〃)的性質(zhì)|x(n)|2=x(n)x(n)

所以我們可得

得證

7、

解：x^DFSX^k)

令■n=n-N,那么

8、

9、

ID、

解

(八ACf10xl0?Hzcrs、

(1)M=5=---------=9.766Hz

N1024

(2)

第五章快速傅里葉變換

1.如果一臺(tái)通用計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)乘需要50us,每次復(fù)加需要10us,用來(lái)就散N=1024點(diǎn)的DFT,

問(wèn)：

(U直接計(jì)算需要多少時(shí)間？用FFT計(jì)算呢？

〔2〕照這樣計(jì)算，用FFT計(jì)算快速卷積對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理是，估計(jì)可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率？

疆

分析：直接利用DFT計(jì)算：復(fù)賓次數(shù)為N2,復(fù)加次數(shù)為N(N-l)；

利用FFT計(jì)算：復(fù)乘次數(shù)為OSNlogzN,復(fù)加次數(shù)為Nlog?"；

(1)直接DFT計(jì)算：

復(fù)乘所需時(shí)間工=N2X50US=1024?x50〃s=52.4288s

復(fù)加所需時(shí)間7；=N(N-1)x1(to=1024(1024-1)x1Ous=10.47552s

所以總時(shí)間TDrr=T,+T2=62.90432.9

FFT計(jì)算:

復(fù)乘所需時(shí)間7；=0.5Nlog?Nx50?5=0.5x1024xlogj024x50us=0.256s

復(fù)加所需時(shí)間4=Nlog?Nx1Ous=1024xlog21024x1Ous=0.1024.y

所以總時(shí)間為%r=%+4=0.3584s-

(2)假設(shè)計(jì)算兩個(gè)N長(zhǎng)序列為(〃)和々5)的卷積

計(jì)算過(guò)程為如下：

第一步：求乂(幻，、2(Q;所需時(shí)間為2x。門

第二步：計(jì)算X(Q=X1伙)?X2(A),共需要N次復(fù)乘運(yùn)算

所需時(shí)間為7b=Nx50us=1024x50〃s=0.0512s

第三步：計(jì)算IFFT(X(k)),所需時(shí)間為7；口

所以總時(shí)間為7=2xTFFI.+TO=3X0.3584s+0.0512.y=l.l264s

容許計(jì)算信號(hào)頻率為N7T=911.3Hz

2.