2025年中考數學總復習《解答題》專項測試卷(附答案)

第第頁2025年中考數學總復習《解答題》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一．解答題（共12小題）1．（2025?校級模擬）【定義】如果平行四邊形的一邊中點和對邊兩端點連線的夾角恰好等于該平行四邊形的一個內角，那么這個平行四邊形叫做“中等平行四邊形”．（1）邊長為2的正方形“中等平行四邊形”（選填“是”或“不是”）；如圖1，在矩形ABCD中，E為邊CD中點，∠AEB＝∠C＝90°，則矩形ABCD是中等平行四邊形．若AB＝2，則AD＝，AE＝．【應用】（2）在中等平行四邊形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝2，求AD的長．（3）如圖2，若菱形ABCD是中等平行四邊形，銳角α是它的一個內角，則cosα＝．（參考公式：sin2α+cos2α＝1，tanα=sinα2．（2025?校級模擬）我們定義：有兩條邊相等，一組對角互補的四邊形稱為“奇妙”四邊形，其中相等的這組邊稱為“奇妙”邊．（1）下列選項中一定是“奇妙”四邊形的是.（填寫序號）①平行四邊形②矩形③菱形④正方形（2）如圖，在四邊形ABCD中，DB平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，請說明四邊形ABCD是“奇妙”四邊形：（3）已知在“奇妙”四邊形ABCD中，“奇妙”邊為兩相鄰邊，其中一條“奇妙”邊AB=3，對角線BD=6，∠3．（2025?成都一模）【問題提出】已知正方形ABCD和正方形AEGF共頂點A，把正方形AEGF繞點A順時針旋轉一定的度數，連接BG，探究BG的長．【問題探究】（1）如圖（1），若正方形AEGF的邊AF落在正方形ABCD的邊AD上時，當AE＝5，AB＝7時，BG＝．（2）如圖（2），當AE＝2，正方形AEGF的邊GF的中點剛好落在點D時，求BG的長．（3）閱讀材料并解決問題；在Rt△ACB中，設其中一個銳角∠A度數為α，則sinα=ac，cosα=b∵∠C＝90°，根據勾股定理：在Rt△ACB中：a2+b2＝c2，∴sin2+co請運用以上材料的結論，完成以下探究：一般情形，如圖（3），當旋轉度數為m（45°＜m＜90°），AB＝a，AE＝b，請你用含有a，b，m的式子直接表示出BG的長．【拓展應用】（4）如圖（4），已知長方形ABCD和長方形AEFG全等，把長方形AEFG繞點A順時針旋轉，當AE所在的直線恰好過BG的中點O時，當AB＝6，BC＝3時，請直接寫出BG的長．4．（2025?校級模擬）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點，AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線交于P點．直接寫出AE與EP的數量關系．（2）如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接CP，求∠DCP的大?。?）如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接DP，當AB=5時，求出△ADP5．（2025?成都二模）（1）如圖1，在矩形ABCD中，AD＝10，將AD沿DF折疊，A的對應點E恰好落在BC邊上．若sin∠DEC=35，求（2）如圖2，在矩形ABCD中，E為BC邊上的一點，∠ADE＝2∠BAE，sin∠DEC=817，BE＝2，求（3）如圖3，在（2）的條件下，F是射線EA上的一點，且AF=12AE6．（2025?校級模擬）已知：?ABCD中，E在BC上，F在CD上，∠AEF＝∠ABC．（1）如圖1，D、F重合，∠AEF＝∠ABC＝90°，BE＝1，EC＝4，求AB的長．（2）如圖2，若F為CD中點，CE＝3BE，求EFAB（3）如圖3，?ABCD中，∠DBC＝30°，P為對角線BD上一動點，過P作直線EF使得∠BPE＝120°，分別交直線AD、BC于點F、E，若BD＝6，請直接寫出BF+DE的最小值．7．（2025?成都二模）數學興趣小組在學習二次函數后，發(fā)現二次函數中字母系數與其圖象有直接聯系，他們借助學習函數的經驗，對二次函數y＝x2﹣2mx+m（m為常數）進行研究．【特例分析】（1）數學興趣小組分別取m＝1，2，3三個特殊值進行特例研究．①確定表達式：當m＝1時，y1＝x2﹣2x+1，當m＝2時，y2＝x2﹣4x+2，當m＝3時，y3＝；②畫函數圖象：平面直角坐標系中已畫出y1和y2的圖象，請你在同一坐標系中畫出y3的圖象；【性質探究】（2）數學興趣小組通過觀察圖象得到猜想：不論m為何值，二次函數y＝x2﹣2mx+m圖象經過點(1【性質應用】（3）已知點A（﹣2，﹣5），B（2，﹣1），若二次函數y＝x2﹣2mx+m圖象與線段AB有且只有一個交點，求m的取值范圍．8．（2025?校級模擬）數學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質．已知三角形紙片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．【初步感知】（1）如圖1，連接BD，CE，在紙片ADE繞點A旋轉過程中，試探究BDCE【深入探究】（2）如圖2，在紙片ADE繞點A旋轉過程中，當點D恰好落在△ABC的中線BM的延長線上時，延長ED交AC于點F，求CF的長．【拓展延伸】（3）在紙片ADE繞點A旋轉過程中，試探究C，D，E三點能否構成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由．9．（2025?成都二模）【概念感知】定義：我們將一組鄰邊相等且其中一邊鄰角（不是這組鄰邊的夾角）為直角的凸四邊形稱為單直鄰等四邊形．（凸四邊形是指所有內角均小于180°的四邊形）例如：如圖1，在四邊形ABCD中，如果BA＝BC，∠C＝90°，那么四邊形ABCD為單直鄰等四邊形．【實踐與操作】（1）如圖2，已知∠A＝90°，請利用尺規(guī)作圖，在射線AM上畫出點D，并補全四邊形ABCD，使四邊形ABCD是單直鄰等四邊形．（保留作圖痕跡，不用寫作法）；（2）如圖3，△ABC為等邊三角形，點E在∠ABC的角平分線上，連接EA，將EA繞點E順時針旋轉60°得到線段ED，連接CD，AD．求證：四邊形ABCD為單直鄰等四邊形；【拓展應用】（3）如圖4，四邊形ABCD為單直鄰等四邊形，∠BCD＝90°，AB=BC=3，連接BD，若∠CBD＝30°，BD＝AD，作∠DAE＝30°，且DE⊥AE，連接CE并延長交BD于點F，交AB于點M．求CM【解決問題】（4）如圖5，射線CF⊥CD于點C，∠ECF＝30°，CD=43，點A在射線CE上，DA=39，點B在射線CF上，且四邊形ABCD為單直鄰等四邊形，∠ABC的角平分線交CD于點P，請直接寫出BP的長10．（2025?校級模擬）【知識技能】（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為平面內一點（點A，B，D三點不共線），AE為△ABD的中線，延長AE至點M，使得ME＝AE，連接DM．求證：∠MDA+∠DAB＝180°．【數學理解】（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為平面內一點（點A，B，D三點不共線），AE為△ABD的中線，將AD繞點A按順時針方向旋轉90°得到AF，連接CF．求證：AE=1【拓展探索】（3）如圖3，在（2）的條件下，點D在以點A為圓心，AD的長為半徑的圓上運動（AD＞AB），直線AE與直線CF交于點G，連接BG，在點D的運動過程中，BG的長度存在最大值．若AB＝4，求BG的長度的最大值．11．（2025?成都二模）在菱形ABCD中，點E為射線BC（不與B點重合）上一動點，連接AE，點F為AE中點，連接BF，將△ABF沿BF翻折得到△GBF，連接GE．（1）如圖1，連接AG，GE與AG的位置關系是；GE與BF的位置關系是；（2）如圖2，若∠D＝60°，當點E運動到BC中點時，求EGBF（3）已知AB＝6，∠D＝60°，若∠AEG＝60°，則CE的長為．12．（2025?校級模擬）綜合與實踐【問題情境】：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，將△ABC和△DFE按圖2所示方式擺放，其中點B與點F重合（標記為點B）．當∠ABE＝∠A時，延長DE交AC于點G，試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由．【數學思考】：（1）請你解答老師提出的問題；【深入探究】：（2）老師將圖2中的△DBE繞點B逆時針方向旋轉，使點E落在△ABC內部，并讓同學們提出新的問題．①“善思小組”提出問題：如圖3，當∠ABE＝∠BAC時，過點A作AM⊥BE交BE的延長線于點M，BM與AC交于點N．試猜想線段AM和BE的數量關系，并加以證明．請你解答此問題；②“智慧小組”提出問題：如圖4，當∠CBE＝∠BAC時，過點A作AH⊥DE于點H，若BC＝6，AC＝8，求AH的長．請你思考此問題，直接寫出結果．參考答案與試題解析一．解答題（共12小題）1．（2025?校級模擬）【定義】如果平行四邊形的一邊中點和對邊兩端點連線的夾角恰好等于該平行四邊形的一個內角，那么這個平行四邊形叫做“中等平行四邊形”．（1）邊長為2的正方形不是“中等平行四邊形”（選填“是”或“不是”）；如圖1，在矩形ABCD中，E為邊CD中點，∠AEB＝∠C＝90°，則矩形ABCD是中等平行四邊形．若AB＝2，則AD＝1，AE＝2．【應用】（2）在中等平行四邊形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝2，求AD的長．（3）如圖2，若菱形ABCD是中等平行四邊形，銳角α是它的一個內角，則cosα＝34．（參考公式：sin2α+cos2α＝1，tanα=【解答】解：（1）如圖，正方形ABCD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，∠ACB＝45°，∵E為AD的中點，∴AE＝DE，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴BE＝CE，∴∠ECB＝∠EBC＞45°，∴∠BEC＜90°，∴邊長為2的正方形不是“中等平行四邊形”；∵矩形ABCD中，E為邊CD中點，∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°＝∠DAB＝∠ABC，DE＝CE，∴△DAE≌△CBE（SAS），∴AE＝BE，∵∠AEB＝∠C＝90°，AB＝2，∴∠EAB＝∠EBA＝45°，AE=BE=2∴∠DAE＝45°＝∠CBE，∴AD＝DE＝1＝BC＝CE，故答案為：不是，1，2；（2）當E為CD的中點，∠DAB＝45°＝∠AEB，∵平行四邊形ABCD，∴AB∥CD，∠AEB＝∠C＝45°，AB＝CD＝2，AD＝BC，∴∠CEB＝∠ABE，∴△CEB∽△EBA，∴BEAB∵E為CD的中點，∴CE＝DE＝1，∴BE2＝2，而BE＞0，∴BE=2如圖，過E作EH⊥BC于H，∴△EHC為等腰直角三角形，CH=EH=2∴BH=B∴AD=BC=6如圖，當E為CD的中點，∠AEB＝∠D＝180°﹣∠DAB＝135°，作EH⊥AB于H，取AB的中點M，連接EM，∴AM＝BM＝1，∵AB∥CD，∴∠DEA＝∠EAB，∴△ADE∽△BEA，∴AEBA同理可得：AE=2∵E為CD的中點，∴AM∥DE，AM＝DE，∴四邊形AMED是平行四邊形；∴AD∥|EM，AD＝EM，∴∠EMB＝∠DAB＝45°，設EH＝x，則MH＝x，∴x2解得：x=?1+∴AD=EM=2當E為BC中點，∠AED＝∠DAB＝45°，過E作EH⊥CD，同理可得：DE2＝AD?CE＝2CE2，設HE＝x，同理可得：CE=2∴DE=2∴DH=DE?E∵DC＝AB＝2，∴3x+x=2解得：x=3∴AD=BC=22如圖，當E為BE的中點，∠AED＝∠ABC＝135°時，過A作AH⊥CB于H，同理可得：AE2＝AD?BE＝2BE2，設BE＝x，則AE=2同理可得：AH=BH=2∴(2解得：x=2∴AD=BC=2x=22綜上：AD為：6±22（3）如圖，過E作EH⊥CD于H，∵菱形ABCD，AE＝DE，∠BEC＝∠D＝α，∴設BC＝AD＝CD＝2m，AE＝DE＝m，同理可得：CE2＝BC?DE＝2DE2，∴CE=2m，設DH＝∴(2解得：x=3∴cosα=DH2．（2025?校級模擬）我們定義：有兩條邊相等，一組對角互補的四邊形稱為“奇妙”四邊形，其中相等的這組邊稱為“奇妙”邊．（1）下列選項中一定是“奇妙”四邊形的是②④.（填寫序號）①平行四邊形②矩形③菱形④正方形（2）如圖，在四邊形ABCD中，DB平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，請說明四邊形ABCD是“奇妙”四邊形：（3）已知在“奇妙”四邊形ABCD中，“奇妙”邊為兩相鄰邊，其中一條“奇妙”邊AB=3，對角線BD=6，∠【解答】解：（1）∵矩形，正方形的對角為90°，對邊相等，∴矩形，正方形有兩條邊相等，一組對角互補，∴矩形，正方形是奇妙”四邊形，∴選項中一定是“奇妙”四邊形的是②④．故答案為：②④；（2）過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC，交BC的延長線于點F，如圖，∵DB平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵∠A+∠C＝180°，∠BCD＝∠DCF＝180°，∴∠A＝∠DCF．在△AED和△CFD中，∠A=∠DCF∠AED=∠DFC=90°∴△AED≌△CFD（AAS），∴AD＝DC．∵∠A+∠C＝180°，∴四邊形ABCD是“奇妙”四邊形；（3）①當AB＝AD=3延長CD至點E，使DE＝CB，連接AC，AE，過點A作AF⊥CD于點F，如圖，∵AB＝AD=3，BD=∴AB2+AD2＝3+3＝6，BD2＝6，∴AB2+AD2＝BD2，∴∠BAD＝90°．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE．在△ABC和△ADE中，AB=AD∠ABC=∠ADE∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE．∵∠BAC+∠CAD＝90°，∴∠DAE+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝90°，∴△CAE為等腰直角三角形，∴AF＝CF＝FE=12∵∠ADC＝60°，∴∠FAD＝30°，∴DF=12AD∴AF=A∴CE＝2AF＝3．∴該“奇妙”四邊形的周長＝AB+AD+BC+CD＝2AB+CD+DE＝2AB+CE＝23+②當AB＝BC=3延長DC至點E，使CE＝AD，連接BE，過點B作BF⊥CD于點F，BH⊥AD，交DA的延長線于點H，如圖，∵四邊形ABCD是“奇妙”四邊形，∵∠A+∠DCB＝180°，∵∠BCE+∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE．在△ABD和△BCE中，AB=BC∠A=∠BCE∴△ABD≌△BCE（SAS），∴BD＝BE=6，∠ADB＝∠E∵∠BAD+∠DCB＝180°，∵∠BAD+∠BAH＝180°，∴∠BAH＝∠BCD．在△ABH和△FBC中，∠BAH=∠BCD∠BHA=BFC=90°∴△ABH≌△FBC（AAS），∴BH＝BF，∵BF⊥CD，BH⊥AD，∴BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC=12∠∴∠E＝∠BDC＝30°．∵BE＝BD，BF⊥DE，∴EF＝DF=12∵BF=12BD∴DF=B∴DE＝32．∴該“奇妙”四邊形的周長＝AB+BC+AD+CD＝2AB+EC+CD＝2AB+DE＝23+32綜上，該“奇妙”四邊形的周長為23+3或233．（2025?深圳一模）【問題提出】已知正方形ABCD和正方形AEGF共頂點A，把正方形AEGF繞點A順時針旋轉一定的度數，連接BG，探究BG的長．【問題探究】（1）如圖（1），若正方形AEGF的邊AF落在正方形ABCD的邊AD上時，當AE＝5，AB＝7時，BG＝13．（2）如圖（2），當AE＝2，正方形AEGF的邊GF的中點剛好落在點D時，求BG的長．（3）閱讀材料并解決問題；在Rt△ACB中，設其中一個銳角∠A度數為α，則sinα=ac，cosα=b∵∠C＝90°，根據勾股定理：在Rt△ACB中：a2+b2＝c2，∴sin2+co請運用以上材料的結論，完成以下探究：一般情形，如圖（3），當旋轉度數為m（45°＜m＜90°），AB＝a，AE＝b，請你用含有a，b，m的式子直接表示出BG的長．【拓展應用】（4）如圖（4），已知長方形ABCD和長方形AEFG全等，把長方形AEFG繞點A順時針旋轉，當AE所在的直線恰好過BG的中點O時，當AB＝6，BC＝3時，請直接寫出BG的長．【解答】解：（1）在正方形AEGF和正方形ABCD中，AE＝DG＝5，AB＝7，∠GEB＝90°，∴BG=E故答案為：13；（2）如圖，過點G作GI⊥AB于點I，交AE于點H，在正方形ABCD中，AD⊥AB，∴GI∥AD，在正方形AEGF中，AE∥GF，∴四邊形ADGH是平行四邊形，∴AH＝DG，GH＝AD＝AE＝2，∵點D是GF的中點，GF＝AE＝2，∴AH=DF=DG=1在Rt△AFD中，AF＝AE＝2，∴AB=AD=D∵∠E＝∠AIH＝90°，∠EHG＝∠IHA，∴△EGH∽△IAH，∴EGAI=GH∴AI=255∴IH=AH2在Rt△GIB中，∠I＝90°，∴GB=B（3）過點G作GI⊥AB于點I，交AF于點K，則GI∥AD，∴∠GKF＝∠DAF＝m，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝a，在正方形AEGF中，AE＝AF＝GF＝EG＝b，∠F＝90°，在Rt△GFK中，sin∠GDF=GFGK，∴GK=bsinm，FK＝GK∴AK＝AF﹣KF＝b?bcosm在Rt△AIK中，∠AKI＝m，∴cos∠AKI=KIAK，∴KI=AK?cosm=(b?bcosmAI=AK?sinm=(b?bcosm∴GI＝GK+KI=bsinm+b?cosIB＝AB﹣AI＝a﹣（b?sinm﹣b?cosm），在Rt△GIB中，GB===a（4）過點B作BM⊥AE于M，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是全等的矩形，AB＝6，BC＝3，∴∠GAE＝∠AMB＝90°，AG＝BC＝3，AE＝AB＝6，∵BO＝BO，∠AOG＝∠MOB，∴△AOG≌△MOB（AAS），∴BM＝AG＝3，在Rt△ABM中，sin∠MAB=BM∴∠MAB＝30°，∴∠GAB＝∠GAO+∠MAB＝90°+30°＝120°，過點G作GN⊥AB，交BA的延長線于點N，則∠GAN＝180°﹣∠GAB＝60°，在Rt△GAN中，GN=AG?sin60°=3×32=∴BN＝AN+AB=3在Rt△GNB中，GB=G4．（2025?羅湖區(qū)校級模擬）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點，AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線交于P點．直接寫出AE與EP的數量關系EA＝EP．（2）如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接CP，求∠DCP的大?。?）如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接DP，當AB=5時，求出△ADP【解答】解：（1）（1）AE＝EP．理由如下：取AB的中點F，連接EF，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠DCB＝90°，∴∠DCG＝90°∵F、E分別為正方形的邊AB、BC的中點，∴AF＝BF＝BE＝CE，∴∠BFE＝∠BEF＝45°，∴∠AFE＝135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AFE＝∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠PEC＝∠BAE，∴△AFE≌△ECP（ASA），∴AE＝EP；（2）在AB上取AF＝EC，連接EF，如圖，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，∵AF＝EC，∵△AEP是等腰直角三角形∴AE＝EP，∴△FAE≌△CEP（SAS），∴∠ECP＝∠AFE，∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE，而∠B＝90°，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∴∠ECP＝135°，∴∠DCP＝45°；（3）連接CP，作DG⊥CP，交BC的延長線于G，交CP于Q，連接AG，PG，如圖，由（2）知，∠DCP＝45°，∴∠CDG＝45°＝∠QCG，∴∠DGC＝45°，∴CD＝CG，∴△DCG是等腰直角三角形，∴點D與G關于CP對稱，∴AP+DP＝AP+PG≥AG∴AP+DP最小值為AG的長，∵AB=5∴BG＝25，∠ABC＝90°，由勾股定理得AG=A∴△ADP周長的最小值為AD+AG=5+55．（2025?深圳二模）（1）如圖1，在矩形ABCD中，AD＝10，將AD沿DF折疊，A的對應點E恰好落在BC邊上．若sin∠DEC=35，求（2）如圖2，在矩形ABCD中，E為BC邊上的一點，∠ADE＝2∠BAE，sin∠DEC=817，BE＝2，求（3）如圖3，在（2）的條件下，F是射線EA上的一點，且AF=12AE【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AD＝10，將AD沿DF折疊，A的對應點E恰好落在BC邊上，∴DE＝AD＝10，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝10，∠C＝90°，∵DC＝DE?sin∠DEC＝6，在直角三角形CDE中，由勾股定理得：CE=D∴BE＝CB﹣CE＝2；（2）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAD＝90°﹣∠BAE，∠AEB＝90°﹣∠BAE，∠ADE＝∠DEC，∴∠DEC＝2∠BAE，∴∠AED＝180﹣∠AEB﹣∠DEC＝90°﹣∠BAE，∴∠AED＝∠EAD，∴AD＝ED，∵sin∠DEC=8設DC＝8x，DE＝17x，在直角三角形CDE中，由勾股定理得：EC=D∴DE﹣EC＝BC﹣EC＝17x﹣15x＝2，解得x＝1，∴AB＝DC＝8；（3）如圖3，當點F在線段AE上，過點F作FM∥AD交ED于點M，∵FM∥AD，∴△EFM∽△EAD，∵AF=∴EFAE∴FM=17∵AD∥BC，∵FM∥BC，∴△FPM∽△CPE，∴CPPF當點F在線段EA延長線上，如圖4，過點F作FN∥AD交ED的延長線于點N，∵FM∥AD，∴△EFN∽△EAD，∵AF=∴EFAE∴FN=51∵AD∥BC，∵FN∥BC，∴△FPN∽△CPE，∴CPPF綜上所述，CPPF的值為3017或6．（2025?寶安區(qū)校級模擬）已知：?ABCD中，E在BC上，F在CD上，∠AEF＝∠ABC．（1）如圖1，D、F重合，∠AEF＝∠ABC＝90°，BE＝1，EC＝4，求AB的長．（2）如圖2，若F為CD中點，CE＝3BE，求EFAB（3）如圖3，?ABCD中，∠DBC＝30°，P為對角線BD上一動點，過P作直線EF使得∠BPE＝120°，分別交直線AD、BC于點F、E，若BD＝6，請直接寫出BF+DE的最小值．【解答】解：（1）已知：?ABCD中，∠AEF＝∠ABC．∠AEF＝∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠ABE＝∠ECD＝90°，AB＝CD，∵∠AEB+∠CED＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠CED＝∠BAE，∴△ABE∽△ECD，∴ABEC∵BE＝1，EC＝4，∴AB4解得：AB＝2（負值不合題意，舍去）；（2）延長EF交AD的延長線于點Q，設BE＝a，則CE＝3a，則BC＝4a，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC＝4a，∴∠Q＝∠CEQ，∠EAQ＝∠AEB，∠CDQ＝∠ECF，∵F為CD中點，∴CF＝DF，在△CEF和△DQF中，∠ECF=∠QDF∠CEF=∠Q∴△CEF≌△DQF（AAS），∴DQ＝CE＝3a，EF＝FQ=1∴AQ＝AD+DQ＝7a，∵∠AEF＝∠ABC，∠AEF+∠CEQ＝∠ABC+∠BAE，∴∠CEQ＝∠BAE＝∠Q，∴△AEQ∽△EBA，∴BEAE=AE∴aAE∴AE=7∴ABEQ設EQ＝x，則AB=77x∴EFAB（3）BF+DE的最小值為6．理由如下：將DE平移到QF，點D的對應點是點Q，點E的對應點是點F，連接BQ，QD，如圖2，由平移的性質得QF∥DE，QF＝DE，∴四邊形QFED是平行四邊形，∴QD＝EF，QD∥EF，∴∠QDF＝∠DFE，∵∠DBC＝30°，∠BPE＝120°，∴∠BEF＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴BP＝PE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DFE＝∠BEF＝30°，∠FDB＝∠PBE＝30°，∴FP＝DP，∠QDF＝∠DFE＝30°，∴FP+PE＝PD+BP，∴EF＝BD＝6，即QD＝EF＝BD＝6，則∠QDB＝∠QDF+∠FDB＝60°，∴△QDB是等邊三角形，∴BQ＝BD＝6，在△BFQ中，BQ＜BF+QF，當B，F，Q三點共線時，則BQ＝BF+QF＝BF+DE，即BF+DE取最小值；此時BF+DE的最小值為6．7．（2025?深圳二模）數學興趣小組在學習二次函數后，發(fā)現二次函數中字母系數與其圖象有直接聯系，他們借助學習函數的經驗，對二次函數y＝x2﹣2mx+m（m為常數）進行研究．【特例分析】（1）數學興趣小組分別取m＝1，2，3三個特殊值進行特例研究．①確定表達式：當m＝1時，y1＝x2﹣2x+1，當m＝2時，y2＝x2﹣4x+2，當m＝3時，y3＝x2﹣6x+3；②畫函數圖象：平面直角坐標系中已畫出y1和y2的圖象，請你在同一坐標系中畫出y3的圖象；【性質探究】（2）數學興趣小組通過觀察圖象得到猜想：不論m為何值，二次函數y＝x2﹣2mx+m圖象經過點(1【性質應用】（3）已知點A（﹣2，﹣5），B（2，﹣1），若二次函數y＝x2﹣2mx+m圖象與線段AB有且只有一個交點，求m的取值范圍．【解答】（1）解：①把m＝3代入得y3＝x2﹣6x+3，故答案為：x2﹣6x+3；②∵y3＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，故頂點坐標為（3，﹣6），與y軸交于點（0，3），當x＝2或4時，y＝﹣5，畫出圖象如圖所示：（2）證明：猜想正確，理由如下：∵y＝x2﹣2mx+m＝x2﹣m（2x﹣1），∴令2x﹣1＝0，得x=12，此時y故二次函數y＝x2﹣2mx+m圖象經過點(1（3）解：∵點A（﹣2，﹣5），B（2，﹣1），故由待定系數法可知直線AB的解析式為y＝x﹣3．當m＞0時，二次函數y＝x2﹣2mx+m圖象與線段AB有且只有一個交點，則必須滿足當x＝2時，函數值y≤﹣1，即4﹣4m+m≤﹣1，可解得m≥5當m＜0時，二次函數y＝x2﹣2mx+m圖象與線段AB有且只有一個交點，則必須滿足當x＝﹣2時，函數值y＜﹣5，且當x＝2時，函數值y≥﹣1，即4+4m+m＜?54?4m+m≥?1，解得m＜?當y＝x﹣3與y＝x2﹣2mx+m相切時，二次函數y＝x2﹣2mx+m圖象與線段AB有且只有一個交點，聯立x﹣3＝x2﹣2mx+m，整理得x2﹣（2m+1）x+m+3＝0，令Δ＝0，即（2m+1）2﹣4（m+3）＝0，解得m=±11故m=?11綜上，m的取值范圍為m=?112或m≥538．（2025?羅湖區(qū)校級模擬）數學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質．已知三角形紙片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．【初步感知】（1）如圖1，連接BD，CE，在紙片ADE繞點A旋轉過程中，試探究BDCE【深入探究】（2）如圖2，在紙片ADE繞點A旋轉過程中，當點D恰好落在△ABC的中線BM的延長線上時，延長ED交AC于點F，求CF的長．【拓展延伸】（3）在紙片ADE繞點A旋轉過程中，試探究C，D，E三點能否構成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由．【解答】解：（1）∵AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ADE≌△ABC（SAS），AC＝AE=3∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC即∠CAE＝∠BAD，∵ADAB∴△ADB∽△AEC，∴BDCE∵AB＝3，AC＝5，∴BDCE（2）連接CE，延長BM交CE于點Q，連接AQ交EF于P，延長EF交BC于N，如圖：同（1）得△ADB∽△AEC，∴∠ABD＝∠ACE，∵BM是中線，∴BM＝AM＝CM=12AC∴∠MBC＝∠MCB，∵∠ABD+∠MBC＝90°，∴∠ACE+∠MCB＝90°，即∠BCE＝90°，∴AB∥CE，∴∠BAM＝∠QCM，∠ABM＝∠CQM，又AM＝CM，∴△BAM≌△QCM（AAS），∴BM＝QM，∴四邊形ABCQ是平行四邊形，∵∠ABC＝90°∴四邊形ABCQ矩形，∴AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，PQ∥CN，∴EQ=A∴EQ＝CQ，∴PQ是△CEN的中位線，∴PQ=12設PQ＝x，則CN＝2x，AP＝4﹣x，∵∠EPQ＝∠APD，∠EQP＝90°＝∠ADP，EQ＝AD＝3，∴△EQP≌△ADP（AAS），∴EP＝AP＝4﹣x，∵EP2＝PQ2+EQ2，∴（4﹣x）2＝x2+32，解得：x=7∴AP＝4﹣x=258，CN＝2x∵PQ∥CN，∴△APF∽△CNF，∴APCN∴AP+CNCN∵AC＝5，∴258∴CF=70方法2：∵BM是Rt△ABC斜邊AC上的中線，∴AM＝BM＝CM=12AC∴∠ABM＝∠BAM，∵AB＝AD，∴∠ABM＝∠ADB，∴∠BAM＝∠ADB，∵∠ABM＝∠DBA，∴△ABM∽△DBA，∴ABBD=BM∴BD=18∴DM＝BD﹣BM=18∵∠EAD＝∠CAB＝∠ABD＝∠ADB，∴DM∥AE，∴△FDM∽△FEA，∴DMAE=FM解得FM=55∴CF＝CM﹣FM=5（3）C，D，E三點能構成直角三角形，理由如下：①當AD在AC上時，DE⊥AC，此時△CDE是直角三角形，如圖，∴S△CDE=12CD?DE②當AD在CA的延長線上時，DE⊥AC，此時△CDE是直角三角形，如圖，∴S△CDE=12CD?DE③當DE⊥EC時，△CDE是直角三角形，過點A作AQ⊥EC于點Q，如圖，∵AQ⊥EC，DE⊥EC，DE⊥AD，∴四邊形ADEQ是矩形，∴AD＝EQ＝3，AQ＝DE＝4，∵AE＝AC＝5，∴EQ＝CQ=12∴12CE∴CE＝6，∴S△CDE=12AQ?CE④當DC⊥EC時，△CDE是直角三角形，過點A作AQ⊥EC于點Q，交DE于點N，如圖，∵DC⊥EC，AQ⊥EC，∴AQ∥DC，∵AC＝AE，AQ⊥EC，∴EQ＝CQ，∴NQ是△CDE的中位線，∴ND＝NE=12DE＝2，CD＝2∵∠AND＝∠ENQ，∠ADN＝∠EQN＝90°，∴∠DAN＝∠QEN，∴tan∠DAN＝tan∠QEN，∴DNAD∴NQEQ∴NQ=23∵NQ2+EQ2＝NE2，∴（23EQ）2+EQ2＝22解得EQ=6∴CE＝2EQ=121313，NQ=∴CD＝2NQ=8∴S△CDE=12CD?CE綜上所述，直角三角形CDE的面積為4或16或12或48139．（2025?南山區(qū)二模）【概念感知】定義：我們將一組鄰邊相等且其中一邊鄰角（不是這組鄰邊的夾角）為直角的凸四邊形稱為單直鄰等四邊形．（凸四邊形是指所有內角均小于180°的四邊形）例如：如圖1，在四邊形ABCD中，如果BA＝BC，∠C＝90°，那么四邊形ABCD為單直鄰等四邊形．【實踐與操作】（1）如圖2，已知∠A＝90°，請利用尺規(guī)作圖，在射線AM上畫出點D，并補全四邊形ABCD，使四邊形ABCD是單直鄰等四邊形．（保留作圖痕跡，不用寫作法）；（2）如圖3，△ABC為等邊三角形，點E在∠ABC的角平分線上，連接EA，將EA繞點E順時針旋轉60°得到線段ED，連接CD，AD．求證：四邊形ABCD為單直鄰等四邊形；【拓展應用】（3）如圖4，四邊形ABCD為單直鄰等四邊形，∠BCD＝90°，AB=BC=3，連接BD，若∠CBD＝30°，BD＝AD，作∠DAE＝30°，且DE⊥AE，連接CE并延長交BD于點F，交AB于點M．求CM【解決問題】（4）如圖5，射線CF⊥CD于點C，∠ECF＝30°，CD=43，點A在射線CE上，DA=39，點B在射線CF上，且四邊形ABCD為單直鄰等四邊形，∠ABC的角平分線交CD于點P，請直接寫出BP的長【解答】（1）解：如圖2，連接AC，作AC的垂直平分線交射線AM于點D，連接CD，則四邊形ABCD即為所求；（2）證明：如圖3，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=1∵EA繞點E順時針旋轉60°得到線段ED，∴ED＝AE，∠AED＝60°，∴△AED是等邊三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠DAE＝∠CAB，∴∠DAE﹣∠CAE＝∠CAB﹣∠CAE，∴∠DAC＝∠BAE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴∠ACD＝∠ABE＝30°，∴∠BCD＝∠ACB+ACD＝90°，∴四邊形ABCD為單直鄰等四邊形；（3）解：如圖4，連接DM，作DG⊥CM于G，∵四邊形ABCD為單直鄰等四邊形，∠BCD＝90°，∴BC＝AB=3∵∠BCD＝90°，∠CBD＝30°，∴tan30°=∴CD＝BC?tan30°=3×33=1，BD∴AD＝BD＝2，∵DE⊥AE，∠DAE＝30°，∴DE＝AD＝1，∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠ADB，∵CDDE∴△CDE∽△BDA，∴∠DCE＝∠ABD，CEAB∴點D、M、B、C共圓，CE3∴∠DMB＝180°﹣∠BCD＝90°，∠DMC＝∠DBC＝30°，CE=3∴BM＝AM=32，CG＝EG∴DM=2∴DG=12DM=134，GM∴CM＝CG+MG=3（4）解：如圖5，作DG⊥CE于G，設PB，CE交于點Q，則∠DGC＝90°，分兩種情況：①當點A在DG的上方時，∵∠DCF＝90°，∠ECF＝30°，∴∠DCE＝60°，∵∠DGC＝90°，∴∠CDG＝30°，∴CG=12CD=12×43=∴AG=A∴AC＝CG﹣AG＝23?∵AB＝BC，∴AQ＝CQ=12AC∴BC＝1，Rt△PCB中，∠BPC＝30°，∴BP＝2BC＝2；②如圖6，當點A在DG的下方時，由①知，AG=3，CG＝23∴AC＝33，∴CQ=12AC∴BC＝3，∴BP＝2BC＝6；綜上所述：BP＝2或6；故答案為：2或6．10．（2025?羅湖區(qū)校級模擬）【知識技能】（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為平面內一點（點A，B，D三點不共線），AE為△ABD的中線，延長AE至點M，使得ME＝AE，連接DM．求證：∠MDA+∠DAB＝180°．【數學理解】（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為平面內一點（點A，B，D三點不共線），AE為△ABD的中線，將AD繞點A按順時針方向旋轉90°得到AF，連接CF．求證：AE=1【拓展探索】（3）如圖3，在（2）的條件下，點D在以點A為圓心，AD的長為半徑的圓上運動（AD＞AB），直線AE與直線CF交于點G，連接BG，在點D的運動過程中，BG的長度存在最大值．若AB＝4，求BG的長度的最大值．【解答】（1）證明：∵AE為△ABD的中線，∴BE＝DE．在△ABE和△MDE中，BE=DE∠AEB=∠MED∴△ABE≌△MDE（SAS）．∴∠BAE＝∠DME．∴AB∥DM．∴∠MDA+∠DAB＝180°．（2）證明：如圖，延長AE至點M，使得ME＝AE，連接DM．∵將AD繞點A按順時針方向旋轉90°得到AF，∴AF＝AD，∠DAF＝90°．∵∠DAF+∠BAC+∠DAB+∠CAF＝360°，∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠CAF＝180°．由（1）得∠MDA+∠DAB＝180°，DM＝AB＝AC，∴∠CAF＝∠MDA．在△ACF和△DMA中，AF=DA∠CAF=∠ADM∴△ACF≌△DMA（SAS）．∴CF＝MA．∵AE=1∴AE=1（3）解：如圖，延長AE至點M，使EM＝AE，連接BM．在△ADE和△MBE中，AE=ME∠AED=∠MEB∴△ADE≌△MBE（SAS）．∴∠DAE＝∠M．AD＝BM，∴AD∥BM．∴∠DAB+∠ABM＝180°．∵∠DAF+∠BAC＝180°，∴∠DAB+∠CAF＝180°．∴∠ABM＝∠CAF．∵AD＝AF，∴AF＝MB．在△ABM和△CAF中，AB=AC∠ABM=∠CAF∴△ABM≌△CAF（SAS）．∴∠BAM＝∠ACF．∵∠BAC＝90°，∴∠BAM+∠CAG＝90°．∴∠ACF+∠CAG＝90°．∴∠AGC＝90°．∴點G在以AC為直徑的⊙O上運動，當且僅當B，O，G三點共線時，BG的長度取得最大值，此時BG＝OB+OG．∵O為AC的中點，AB＝AC，∴OA=1在Rt△ABO中，OB=A在Rt△ACG中，O為斜邊AC的中點，∴OG=1∴BG的長度的最大值為2511．（2025?坪山區(qū)二模）在菱形ABCD中，點E為射線BC（不與B點重合）上一動點，連接AE，點F為AE中點，連接BF，將△ABF沿BF翻折得到△GBF，連接GE．（1）如圖1，連接AG，GE與AG的位置關系是GE⊥AG；GE與