第8講正切函數(shù)圖像及其性質(zhì)（講義）

第8講正切函數(shù)圖像及其性質(zhì)知識(shí)梳理1、正切函數(shù)的圖像：可選擇的區(qū)間作出它的圖像，通過單位圓和正切線，類比正、余弦函數(shù)圖像的畫法作出正切函數(shù)的圖像xyyxyy0x根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖像向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)，且的圖像，稱“正切曲線”.由正弦函數(shù)圖像可知：（1）定義域：，（2）值域：觀察：當(dāng)從小于，時(shí)，當(dāng)從大于，時(shí)，.周期性：（4）奇偶性：，所以是奇函數(shù)（5）單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增.（6）中心對(duì)稱點(diǎn)：2、余切函數(shù)的圖象：即將的圖象，向左平移個(gè)單位，再以x軸為對(duì)稱軸上下翻折，即得的圖象由余弦函數(shù)圖像可知：（1）定義域：，（2）值域：（3）周期性：（4）奇偶性：，所以是奇函數(shù)（5）單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增.（6）中心對(duì)稱點(diǎn)：例題解析一、正切函數(shù)的圖像例1．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期?對(duì)稱中心；（2）作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.【答案】（1）最小正周期，對(duì)稱中心是；（2）答案見解析.【分析】（1）首先根據(jù)正切函數(shù)的周期公式即可得到函數(shù)的周期，再根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱中心即可得到函數(shù)的對(duì)稱中心.（2）根據(jù)函數(shù)的解析式得到的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象上的、兩點(diǎn)，再找到兩側(cè)相鄰的漸近線方程，畫出函數(shù)的圖象即可.【詳解】（1），，令，，解得，，故對(duì)稱中心為.（2）令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象上的點(diǎn)有、兩點(diǎn)，在這個(gè)周期內(nèi)左右兩側(cè)相鄰的漸近線方程分別為和，從而得到函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖(如圖).【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的周期和對(duì)稱中心，同時(shí)考查了正切函數(shù)的圖象，關(guān)鍵點(diǎn)是找出圖象上的點(diǎn)用描點(diǎn)法畫圖象，屬于中檔題.例2．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）用定義判斷函數(shù)的奇偶性；（3）在上作出函數(shù)的圖象．【答案】（1）；（2）奇函數(shù),見解析；(3)見解析【分析】（1）根據(jù),求解即可；（2）由（1）可知的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,判定和的關(guān)系,從而判定奇偶性；（3）將寫為分段函數(shù),畫出圖象即可【詳解】（1）由,得（）,所以函數(shù)的定義域是.（2）由（1）知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因?yàn)?所以是奇函數(shù).（3）,所以在上的圖象如圖所示,【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域,考查奇偶性的判斷,考查函數(shù)圖象.例3.作函數(shù)的圖像.【難度】★★【答案】如圖【解析】等價(jià)于，圖像如圖所示．例4.求函數(shù)的定義域、周期、單調(diào)增區(qū)間，并畫草圖．【難度】★★★【答案】定義域：，周期：，單調(diào)增區(qū)間：例5.根據(jù)正切函數(shù)圖象，寫出滿足下列條件的的范圍.（1）（2）（3）（4）【難度】★【答案】（1）,（2）（3）,（4）例6.根據(jù)正切函數(shù)圖像，寫出使下列不等式成立的值的集合：（1）（2）【難度】★★【答案】（1）（2）例7.比較下列兩數(shù)的大?。?）與（2）與（3）與【難度】★【答案】（1）（2）（3）例8.函數(shù)與的圖像在上的交點(diǎn)有（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)【難度】★★【答案】【鞏固訓(xùn)練】1．作出函數(shù)的圖象.【難度】★★【答案】如圖2．利用圖像，不等式的解集為____________.【難度】★★【答案】3．比較與的大小【難度】★【答案】，，內(nèi)單調(diào)遞增.4．若，試比較，并按從小到大的順序排列：_________.【難度】★★【答案】5.（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期，對(duì)稱中心；（2）作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖．【答案】（1），；（2）圖象見解析【分析】（1）首先根據(jù)正切函數(shù)的周期公式即可得到函數(shù)的周期，再根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱中心即可得到函數(shù)的對(duì)稱中心.（2）首先根據(jù)函數(shù)的解析式得到數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，在這個(gè)交點(diǎn)左右兩側(cè)相鄰的漸近線方程分別為和，再畫出函數(shù)的圖象即可.【詳解】（1），.令，，解得，，故對(duì)稱中心為.（2）令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，在這個(gè)交點(diǎn)左右兩側(cè)相鄰的漸近線方程分別為和.故函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的周期和對(duì)稱中心，同時(shí)考查了正切函數(shù)的圖象，屬于中檔題.二、正切函數(shù)的定義域及值域 1、正切函數(shù)的定義域例1.求下列函數(shù)的定義域（1）（2）（3）（4）【難度】★【答案】（1）（2）（3）（4）例2．（2019·寶山區(qū)·上海交大附中高一期末）下列四個(gè)函數(shù)中，與函數(shù)完全相同的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)的定義域是否相同，再通過化簡(jiǎn)判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，從而判斷出與相同的函數(shù).【詳解】的定義域?yàn)椋珹.，因?yàn)?，所以，定義域?yàn)榛颍c定義域不相同；B.，因?yàn)?，所以，所以定義域?yàn)?，與定義域不相同；C.，因?yàn)?，所以定義域?yàn)?，又因?yàn)?，所以與相同；D.，因?yàn)?，所以，定義域?yàn)椋c定義域不相同.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的相同函數(shù)的判斷，難度一般.判斷相同函數(shù)時(shí)，首先判斷定義域是否相同，定義域相同時(shí)再去判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同（函數(shù)化簡(jiǎn)），結(jié)合定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系即可判斷出是否是相同函數(shù).例3．（2019·上海市大同中學(xué)高一期中）函數(shù)的定義域是________【答案】【分析】解不等式即得解.【詳解】由題得所以x∈.故函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椤军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，考查反三角函數(shù)和正切函數(shù)的定義域，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.例4．（2017·上海楊浦區(qū)·復(fù)旦附中高一期中）已知函數(shù)，則的定義域是____.【答案】【分析】由意義得出，解出該不等式組即可得出函數(shù)的定義域.【詳解】函數(shù)，，，，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域的求解，同時(shí)也涉及了正切不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.例5.求函數(shù)的定義域．【難度】★★【答案】【解析】由此不等式組作圖：∴【鞏固訓(xùn)練】1．函數(shù)的定義域?yàn)開_________【難度】★【答案】2．與函數(shù)的圖象不相交的一條直線是（）【難度】★【答案】3．求下列函數(shù)的定義域(1)；(2)．【難度】★★★【答案】見解析解：等價(jià)轉(zhuǎn)化為求一個(gè)不等式組的解(1)(2)．注：轉(zhuǎn)化過程中要注意必須是等價(jià)轉(zhuǎn)換，才能保證結(jié)果既不擴(kuò)大也不縮小．在求條件組的解時(shí)，常會(huì)求角集得交集，可以畫數(shù)軸，用單位圓或函數(shù)的圖像，應(yīng)熟練掌握這種技能．2、正切函數(shù)的值域與最值例1．（2016·上海浦東新區(qū)·華師大二附中高一期中）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的性質(zhì)，下列說法正確的是_________.①定義域是；②值域是；③最小正周期是；④是奇函數(shù)；⑤在定義域上單調(diào)遞增.【答案】③④【分析】先求定義域，再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)求值域、求周期、判斷單調(diào)性與奇偶性.【詳解】且，定義域是；所以；最小正周期是；是奇函數(shù)；在定義域上不具有單調(diào)性故答案為：③④【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式以及函數(shù)綜合性質(zhì)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.例2．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由定義域可得，令則，所以，再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以令則所以因?yàn)?，所以，，，，即?）因?yàn)樗粤?，所以所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，所以即函數(shù)的值域?yàn)椤军c(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，換元法求函數(shù)的值域，屬于中檔題.例3．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）首先令，得到，再根據(jù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)的值域.（2）首先令，得到，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到值域.（3）首先將函數(shù)化簡(jiǎn)為，令，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）令，因?yàn)?，所以，又在上為增函?shù)，所以所求函數(shù)值域?yàn)椋?）令，因?yàn)?，所以．．因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以在為增函數(shù)，即：在上為增函數(shù)，所以，.所以函數(shù)的值域?yàn)椋?）．令，所以．．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的值域問題，利用換元法求值域?yàn)榻鉀Q本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.例4.函數(shù)的值域?yàn)椤倦y度】★【答案】例5.若，求函數(shù)的最值及相應(yīng)的值；.【難度】★★【答案】時(shí)，；時(shí)，例6.已知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.【難度】★【答案】例7.求函數(shù)的值域.【難度】★★【答案】【鞏固訓(xùn)練】1．求函數(shù)的值域【難度】★★【答案】2．求函數(shù)的最大值，并求當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，自變量的集合.【難度】★★【答案】，此時(shí)3．已知，求它的最小值【難度】★★【答案】當(dāng)時(shí)，4．函數(shù)的值域?yàn)開___________【難度】★【答案】【解析】令則轉(zhuǎn)化為的二次函數(shù)求最值。三、正切函數(shù)的性質(zhì) 1、正余切函數(shù)的周期性例1．（2016·上海浦東新區(qū)·高一期末）下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的周期，排除選項(xiàng)后，再通過函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間找出正確選項(xiàng)即可.【詳解】由題意觀察選項(xiàng)，C的周期不是，所以C不正確；對(duì)于A，，函數(shù)的周期為，但在區(qū)間上為增函數(shù)，故A不正確；對(duì)于B，，函數(shù)的周期為，且在區(qū)間上為減函數(shù)，故B正確；對(duì)于D，，函數(shù)的周期為，但在區(qū)間上為增函數(shù)，故D不正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，需熟記正弦、余弦、正切、余切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.例2．（2015·上海）下列函數(shù)中，以為周期的偶函數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D試題分析：由正余弦函數(shù)周期求解公式可知的周期為，的周期為，的周期為，的周期為，其中是偶函數(shù)考點(diǎn)：三角函數(shù)周期性與奇偶性例3．（2018·上海市青浦高級(jí)中學(xué)）函數(shù)的最小正周期為______________.【答案】【分析】利用函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為，得出結(jié)論．【詳解】函數(shù)y＝3tan（3x）的最小正周期是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為．例4．（2019·上海市向明中學(xué)高一期中）函數(shù)的最小正周期為______.【答案】【分析】的周期.【詳解】.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題.例5．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的最小正周期：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用周期公式計(jì)算得到答案.（2）化簡(jiǎn)得到，得到周期.【詳解】（1），故.（2），，，故.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.例6.求下列函數(shù)的周期:（1）（2）（3）（4）（5）【難度】★【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【鞏固訓(xùn)練】1．函數(shù)的周期為_____________.【難度】★【答案】【解析】2．函數(shù)的最小正周期為_____________,【難度】★【答案】3．函數(shù)y＝的周期為【難度】★★【答案】2、正切函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性【難度】★【答案】（1）偶函數(shù)（2）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；（3）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)（4）偶函數(shù)；（5）定義域是不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。例2.求函數(shù)的最小正周期，并判斷函數(shù)的奇偶性.【難度】★★【解析】，奇函數(shù).例3．（2020·上海市南洋模范中學(xué)高一月考）函數(shù)的最小正周期為____________，對(duì)稱中心為____________.【答案】，.【分析】由題意利用正切函數(shù)的周期性以及圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)的最小正周期，令，求得，可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，，故答案為：；，.【點(diǎn)睛】本題考查正切型函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.例4.．（2015·上海）下列結(jié)論中：1）函數(shù)為奇函數(shù)2）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱3）函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為4）若，則其中正確的結(jié)論序號(hào)為____________________．【答案】1,3,4試題分析：1），因此函數(shù)是奇函數(shù)；2）代入函數(shù)不成立，因此該點(diǎn)不是對(duì)稱中心點(diǎn)；3）中當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值，因此對(duì)稱軸為；4）中考點(diǎn)：三角函數(shù)對(duì)稱性奇偶性等性質(zhì)例5.求函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)．【難度】★【答案】【解析】是奇函數(shù)，它的對(duì)稱中心有無窮多個(gè)，即．由得∴對(duì)稱中心坐標(biāo)為例6.若圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，若，求的值.【難度】★【答案】【鞏固訓(xùn)練】1．判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）；（2）；.【難度】★【答案】（1）奇函數(shù)（2）偶函數(shù)2．判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）（2）【難度】★【答案】（1）非奇非偶函數(shù)（2）非奇非偶函數(shù)3．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.【難度】★【答案】，.4．下列坐標(biāo)所表式的點(diǎn)中，不是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心的是（）【難度】★【答案】3、正切函數(shù)的單調(diào)性例1．（2020·上海徐匯區(qū)·位育中學(xué)高一月考）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A.是奇函數(shù)，上單調(diào)遞增，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B.是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C.是奇函數(shù)，且定義域?yàn)?，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為，D選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義域、單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.例2．（2019·上海市宜川中學(xué)高一期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.【答案】（，），k∈Z．【分析】根據(jù)正切函數(shù)y＝tanx的單調(diào)增區(qū)間，令kπ2xkπ，k∈Z；求出不等式組的解集即可．【詳解】函數(shù)令kπ2xkπ，k∈Z；解得x，k∈Z；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：（，），k∈Z．故答案為：（，），k∈Z．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正切函數(shù)的單調(diào)性以及整體代換的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．例3．（2019·上海市向明中學(xué)高一期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】【分析】的增區(qū)間是，由此可列式求解.【詳解】令，因?yàn)榈脑鰠^(qū)間是，所以，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題.例4.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）（2）【難度】★★【答案】（1）（2）【解析】（1）令，則是增函數(shù)，且的遞增區(qū)間為所以由知：是單調(diào)遞增區(qū)間是：（2）因?yàn)樵瘮?shù)可以化為：令，則單調(diào)遞增區(qū)間為：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間為例5.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）（2）【難度】★★【答案】（1）遞增區(qū)間（2）遞減區(qū)間為遞增區(qū)間為例6.已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則（）【難度】★★【答案】例7.已知函數(shù)是增函數(shù)，值域?yàn)?，求的值?！倦y度】★★【答案】例8.求函數(shù)的定義域、值域并指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性.【難度】★★【解析】(1)定義域(2)值域：；(3)周期；(4)在上是減函數(shù)，在上是遞增函數(shù)；(5)是非奇非偶函數(shù)。例9．（2018·上海靜安區(qū)·高一期末）已知余切函數(shù).（1）請(qǐng)寫出余切函數(shù)的奇偶性，最小正周期，單調(diào)區(qū)間；（不必證明）（2）求證：余切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.【答案】（1）奇函數(shù)；周期為，單調(diào)遞減速區(qū)間：【分析】（1）直接利用函數(shù)的性質(zhì)寫出結(jié)果．（2）利用單調(diào)性的定義和三角函數(shù)關(guān)系式的變換求出結(jié)果．【詳解】（1）奇函數(shù)；周期為，單調(diào)遞減區(qū)間：（2）任取，，，有因?yàn)椋?，于是，，從而?因此余切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．例10.設(shè)足球場(chǎng)寬65米，球門寬7米，當(dāng)足球運(yùn)動(dòng)員沿邊路帶球突破，距底線多遠(yuǎn)處射球門，對(duì)球門所張的角最大.（保留兩位小數(shù)）【難度】★★【解析】米，由球場(chǎng)寬米，可知米，米，設(shè)足球運(yùn)動(dòng)員在邊線上的點(diǎn)處射球門，，顯然越大，越有利于射門，設(shè)點(diǎn)與底線的距離為米，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以當(dāng)9（米）時(shí)，取最大值【鞏固訓(xùn)練】1．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【難度】★★【答案】【解析】是增函數(shù)．∴即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是2．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1）（2）【難度】★★【答案】（1）單調(diào)遞增；（2）單調(diào)遞減3．下列函數(shù)中，周期為，且在上是單調(diào)遞增函數(shù)的是（）【難度】★【答案】3．下列命題中正確的是（）在第一象限單調(diào)遞增 在函數(shù)中，越大，也越大當(dāng)時(shí)，總有的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【難度】★【答案】4．下列命題中正確的是（）在第二象限是減函數(shù)在定義域內(nèi)