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四川省眉山市高中2025年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.為直線,為平面,則下列命題中為真命題的是()A.若,,則 B.則,,則C.若,,則 D.則,,則2.下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是()①若是假命題,則、都是假命題;②命題“,”的否定是“,”③若:,:,則是的充分不必要條件.A.0 B.1 C.2 D.33.已知隨機(jī)變量,若,則分別是()A.6和5.6 B.4和2.4 C.6和2.4 D.4和5.64.若正數(shù)滿足,則當(dāng)取最小值時(shí),的值為()A. B. C. D.5.設(shè)命題:,,則為()A., B.,C., D.,6.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i7.設(shè)在定義在上的偶函數(shù),且,若在區(qū)間單調(diào)遞減,則()A.在區(qū)間單調(diào)遞減 B.在區(qū)間單調(diào)遞增C.在區(qū)間單調(diào)遞減 D.在區(qū)間單調(diào)遞增8.已知拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)是拋物線C上一點(diǎn),以點(diǎn)M為圓心的圓與直線交于E,G兩點(diǎn),若,則拋物線C的方程是()A. B.C. D.9.已知函數(shù),,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù)使得,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.10.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,公比,則()A. B. C. D.11.已知函數(shù)f(x)=ex(x-b)(b∈R).若存在x∈,使得f(x)+xf′(x)>0,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A. B.C. D.12.在棱長(zhǎng)為的正方體中,如果、分別為和的中點(diǎn),那么直線與所成角的大小為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在ΔABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,D是AB的中點(diǎn),若CD=1且(a-14.對(duì)于,,規(guī)定,集合,則中的元素的個(gè)數(shù)為__________.15.有一個(gè)倒圓錐形的容器,其底面半徑是5厘米,高是10厘米,容器內(nèi)放著49個(gè)半徑為1厘米的玻璃球,在向容器倒?jié)M水后,再把玻璃球全部拿出來,則此時(shí)容器內(nèi)水面的高度為________厘米16.在平面幾何中,以下命題都是真命題:①過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行;②過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直;③平行于同一條直線的兩直線平行;④垂直于同一條直線的兩直線平行;⑤兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.則在立體幾何中,上述命題仍為真命題的是______.(寫出所有符合要求的序號(hào))三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某品牌經(jīng)銷商在一廣場(chǎng)隨機(jī)采訪男性和女性用戶各50名,其中每天玩微信超過6小時(shí)的用戶稱為“微信控”,否則稱其“非微信控”,調(diào)查結(jié)果如下:微信控非微信控合計(jì)男性262450女性302050合計(jì)5644100(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān)?(2)現(xiàn)從采訪的女性用戶中按分層抽樣的方法選出10人,再?gòu)闹须S機(jī)抽取3人贈(zèng)送禮品,求抽取3人中恰有2人為“微信控”的概率.參考數(shù)據(jù):P()0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828參考公式:,其中.18.(12分)已知,函數(shù).(1)若,求的值;(2)若,求的單調(diào)遞增區(qū)間.19.(12分)設(shè)函數(shù)的最小值為.(1)求的值;(2)若,,求的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù)的定義域?yàn)?,且?duì)任意實(shí)數(shù)恒有(且)成立.(1)求函數(shù)的解析式;(2)討論在上的單調(diào)性,并用定義加以證明.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),且直線與曲線交于兩點(diǎn),以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求的值22.(10分)已知函數(shù).(1)若,求曲線在處的切線方程;(2)若函數(shù)在上的最小值為,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)空間中平面和直線平行和垂直的位置關(guān)系可依次通過反例排除,從而得到結(jié)果.【詳解】選項(xiàng):若,則與未必平行,錯(cuò)誤選項(xiàng):垂直于同一平面的兩條直線互相平行,正確選項(xiàng):垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能相交也可能平行,錯(cuò)誤選項(xiàng):可能與平行或相交,錯(cuò)誤本題正確選項(xiàng):本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)命題的判定,通常通過反例,采用排除法的方式來得到結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】分析:由復(fù)合命題的真假判斷判斷①;寫出全程命題的否定判斷②;由不等式的性質(zhì)結(jié)合充分必要條件的判定方法判斷③.詳解:①若p∧q是假命題,則p,q中至少一個(gè)是假命題,故①錯(cuò)誤;②命題“?x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是“”,故②正確;③若x>1>0,則,反之,若,則x<0或x>1.又p:x≤1,q:,∴¬p是q的充分不必要條件,故③正確.∴正確命題的個(gè)數(shù)是2個(gè).故選:C.點(diǎn)睛:本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查充分必要條件的判定方法,考查命題的否定,屬于中檔題.3、B【解析】分析:根據(jù)變量ξ~B(10,0.4)可以根據(jù)公式做出這組變量的均值與方差,隨機(jī)變量η=8﹣ξ,知道變量η也符合二項(xiàng)分布,故可得結(jié)論.詳解:∵ξ~B(10,0.4),∴Eξ=10×0.4=4,Dξ=10×0.4×0.6=2.4,∵η=8﹣ξ,∴Eη=E(8﹣ξ)=4,Dη=D(8﹣ξ)=2.4故選:B.點(diǎn)睛:本題考查變量的均值與方差,均值反映數(shù)據(jù)的平均水平,而方差反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,屬于基礎(chǔ)題.方差能夠說明數(shù)據(jù)的離散程度,期望說明數(shù)據(jù)的平均值,從選手發(fā)揮穩(wěn)定的角度來說,應(yīng)該選擇方差小的.4、A【解析】
根據(jù)正數(shù)滿足,利用基本不等式有,再研究等號(hào)成立的條件即可.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).故選:A本題主要考查基本不等式取等號(hào)的條件,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】分析:直接利用特稱命題的否定解答.詳解:由特稱命題的否定得為:,,故答案為:D.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查特稱命題的否定,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)特稱命題,特稱命題的否定.6、B【解析】分析:化簡(jiǎn)已知復(fù)數(shù)z,由共軛復(fù)數(shù)的定義可得.詳解:化簡(jiǎn)可得z=∴z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i.故選B.點(diǎn)睛:本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算,涉及共軛復(fù)數(shù),屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】
根據(jù)題設(shè)條件得到函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù),同時(shí)關(guān)于對(duì)稱的偶函數(shù),根據(jù)對(duì)稱性和周期性,即可求解.【詳解】由函數(shù)滿足,所以是周期為2的周期函數(shù),由函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,可得單調(diào)遞減,所以B不正確;由函數(shù)在定義在上的偶函數(shù),在區(qū)間單調(diào)遞減,可得在區(qū)間單調(diào)遞增,所以A不正確;又由函數(shù)在定義在上的偶函數(shù),則,即,所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱,可得在區(qū)間單調(diào)遞增,在在區(qū)間單調(diào)遞增,所以C不正確,D正確,故選D.本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性的應(yīng)用,以及函數(shù)的周期性的判定,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
作,垂足為點(diǎn)D.利用點(diǎn)在拋物線上、,結(jié)合拋物線的定義列方程求解即可.【詳解】作,垂足為點(diǎn)D.由題意得點(diǎn)在拋物線上,則得.①由拋物線的性質(zhì),可知,,因?yàn)椋裕?,解得:.②.由①②,解得:(舍去)或.故拋物線C的方程是.故選C.本題考查拋物線的定義與幾何性質(zhì),屬于中檔題.9、C【解析】
先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),用導(dǎo)數(shù)的方法求最小值,再由基本不等式求出的最小值,結(jié)合題中條件,列出方程,即可求出結(jié)果.【詳解】由得,由得;由得;因此,函數(shù)在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增;所以;又,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故(當(dāng)且僅當(dāng)與同時(shí)取最小值時(shí),等號(hào)成立)因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)使得,所以,解得.故選C本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,以及由基本不等式求最小值,熟記利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法,以及熟記基本不等式即可,屬于??碱}型.10、D【解析】
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式分別表示出與,化簡(jiǎn)即可得到的值【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比,則,故選D.本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題。11、A【解析】,若存在,使得,即存在,使得,即在恒成立,令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,故,所以的取值范圍是,故選A.12、B【解析】
作出圖形,取的中點(diǎn),連接、,證明四邊形為平行四邊形,計(jì)算出的三邊邊長(zhǎng),然后利用余弦定理計(jì)算出,即可得出異面直線與所成角的大小.【詳解】如下圖所示:取的中點(diǎn),連接、,、分別為、的中點(diǎn),則,且,在正方體中,,為的中點(diǎn),且,則,所以,四邊形為平行四邊形,,則異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角.在中,,,.由余弦定理得.因此,異面直線與所成角的大小為.故選B.本題考查異面直線所成角的計(jì)算,一般利用定義法或空間向量法計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、15【解析】
由題意及正弦定理得到a2+b2-c2=ab2,于是可得cosC=14,sin【詳解】如圖,設(shè)∠CDA=θ,則∠CDB=π-θ,在ΔCDA和ΔCDB中,分別由余弦定理可得cosθ=兩式相加,整理得c2∴c2由(a-12b)整理得a2由余弦定理的推論可得cosC=a2把①代入②整理得a2又a2+b所以4≥2ab+ab2=所以SΔABC即ΔABC面積的最大值是155故答案為155本題考查解三角形在平面幾何中的應(yīng)用,解題時(shí)注意幾何圖形性質(zhì)的合理利用.對(duì)于三角形中的最值問題,求解時(shí)一般要用到基本不定式,運(yùn)用時(shí)不要忽視等號(hào)成立的條件.本題綜合性較強(qiáng),考查運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力和計(jì)算能力.14、2【解析】分析:由⊕的定義,ab=1分兩類進(jìn)行考慮:a和b一奇一偶,則ab=1;a和b同奇偶,則a+b=1.由a、b∈N*列出滿足條件的所有可能情況,再考慮點(diǎn)(a,b)的個(gè)數(shù)即可詳解:ab=1,a、b∈N*,若a和b一奇一偶,則ab=1,滿足此條件的有1×1=3×12=4×9,故點(diǎn)(a,b)有6個(gè);若a和b同奇偶,則a+b=1,滿足此條件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18組,故點(diǎn)(a,b)有35個(gè),所以滿足條件的個(gè)數(shù)為2個(gè).故答案為2.點(diǎn)睛:本題考查的知識(shí)要點(diǎn):列舉法在排列組合中的應(yīng)用,正確理解新定義的含義是解決本題的關(guān)鍵.15、6【解析】
設(shè)水面的高度為,根據(jù)圓錐體的體積等于全部玻璃的體積加上水的體積列方程求解即可.【詳解】解:設(shè)在向容器倒?jié)M水后,再把玻璃球全部拿出來,則此時(shí)容器內(nèi)水面的高度為,則,解得.故答案為:6.本題考查圓錐體積和球的體積的運(yùn)算,關(guān)鍵要找到體積之間的關(guān)系,是基礎(chǔ)題.16、①③【解析】
根據(jù)空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,逐一判斷,即可得到答案.【詳解】對(duì)于①,根據(jù)平行公理,可知過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行,在立體幾何中也正確,故①正確.對(duì)于②,在平面幾何中,過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直.在立體幾何中,過直線外一點(diǎn)可以做一個(gè)平面和直線垂直,即平面內(nèi)所有直線和其垂直.故②錯(cuò)誤.對(duì)于③,根據(jù)平行的傳遞性,平行于同一條直線的兩直線平行,在立體幾何中也正確,故③正確.對(duì)于④,平面幾何中,垂直于同一條直線的兩直線平行.在立體幾何中,垂直于同一條直線的兩直線可以是異面直線,故④錯(cuò)誤.對(duì)于⑤,平面幾何中兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.在立體幾何中,兩組對(duì)邊分別相等,可構(gòu)成空間四邊形,故⑤錯(cuò)誤.故答案為:①③.本題考查了命題真假的判定,平面幾何和立體幾何中線與線位置關(guān)系,掌握點(diǎn)線面關(guān)系的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)沒有;(2)【解析】
(1)根據(jù)列聯(lián)表及公式計(jì)算出,與比較大小即可得出答案;(2)分成抽樣可得“微信控”有6人,“非微信控”有4人,由古典概型的概率公式可得所求概率.【詳解】解:(1)由題意得由于,故沒有的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān).(2)在所選出的10人中“微信控”有6人,“非微信控”有4人.記事件A表示“抽取3人中恰有2人為“微信控”,則,所以,抽取3人中恰有2人為“微信控”的概率.本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)案例,考查古典概型的概率,是基礎(chǔ)題.18、(1);(2)【解析】
(1)由得,解出即可(2)用三角函數(shù)的和差公式和二倍角公式將化為,然后求出即可【詳解】(1)又,.(2),,,的單調(diào)遞增區(qū)間為解決三角函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題時(shí)應(yīng)先將函數(shù)化為基本型.19、(1);(2).【解析】
(1)由題意可把含兩個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)進(jìn)行對(duì)去絕對(duì)值得到一個(gè)分段函數(shù),再由分段函數(shù)可得到函數(shù)的最小值;(2)利用基本不等式和三角不等式即可求出的取值范圍.【詳解】(1),顯然當(dāng)時(shí),取得最小值.(2)∵,∴.本題考查了含兩個(gè)絕對(duì)值的分段函數(shù),基本不等式以及三角不等式求最值,屬于一般題.20、(1)(2)當(dāng)時(shí),在上為單調(diào)減函數(shù);當(dāng)時(shí),在上為單調(diào)增函數(shù).【解析】試題分析:(1)①,用替換①式中的有:②,由①②消去即可得結(jié)果;(2)討論兩種情況,分別利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性,再利用定義意且,判定的符合,即可證明結(jié)論.試題解析:(1)∵對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有:①,用替換①式中的有:②,①×②—②得:,(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),函數(shù)也為單調(diào)減函數(shù),∴在上為單調(diào)減函數(shù).當(dāng)時(shí),函數(shù)為單調(diào)增函數(shù),函數(shù)也為單調(diào)增函數(shù),∴在上為單調(diào)增函數(shù).證明:設(shè)任意且,則,∵,,①當(dāng)時(shí),則,∴∴在上是減函數(shù).②當(dāng)時(shí),則,∴∴在上是增函數(shù).綜上:當(dāng)時(shí),在
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