云南省福貢縣一中2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析_第1頁(yè)
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云南省福貢縣一中2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知A(2,-5,1),B(2,-4,2),C(1,-4,1),則與的夾角為()A.30° B.60° C.45° D.90°2.已知,并且,則方差()A.B.C.D.3.直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.已知數(shù)列滿(mǎn)足(,且是遞減數(shù)列,是遞增數(shù)列,則A.B.C.D.5.在極坐標(biāo)系中,直線被圓截得的弦長(zhǎng)為()A. B.2 C. D.6.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若是奇函數(shù),則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為()A. B.-1 C. D.7.執(zhí)行如圖的程序框圖,如果輸入,那么輸出的()A.B.C.D.8.已知函數(shù),則等于()A.-1 B.0 C.1 D.9.已知雙曲線E:上的四點(diǎn)A,B,C,D滿(mǎn)足,若直線AD的斜率與直線AB的斜率之積為2,則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.10.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,對(duì)應(yīng)向量的模為3,且實(shí)部為,則復(fù)數(shù)等于()A. B. C. D.11.將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為()A. B.C. D.12.已知,,,則的大小關(guān)系為().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(文科學(xué)生做)函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____.14.若將函數(shù)表示為其中,,,…,為實(shí)數(shù),則=______________.15.兩名女生,4名男生排成一排,則兩名女生不相鄰的排法共有______

種(以數(shù)字作答)16.設(shè)向量,.其中.則與夾角的最大值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,且取相等的單位長(zhǎng)度,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),設(shè)點(diǎn).(Ⅰ)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,將直線的參數(shù)方程化為普通方程;(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.18.(12分)如圖,在四邊形中,,,四邊形為矩形,且平面,.(1)求證:平面;(2)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí),平面與平面所成銳二面角最大,并求此時(shí)二面角的余弦值.19.(12分)如圖,在多面體中,底面為菱形,底面,.(1)證明:平面;(2)若,,當(dāng)長(zhǎng)為多少時(shí),平面平面.20.(12分)如圖,在正四棱柱中,,,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)若,求異面直線與所成角的大??;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值;(3)若二面角的大小為,求實(shí)數(shù)的值.21.(12分)在四棱錐中,,是的中點(diǎn),面面(1)證明:面;(2)若,求二面角的余弦值.22.(10分)設(shè),且.(1)求的值;(2)求在區(qū)間上的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析:由題意可得,,進(jìn)而得到與,再由,可得結(jié)論.詳解:,,,并且,,與的夾角為,故選B.點(diǎn)睛:本題主要考查空間向量夾角余弦公式,屬于中檔題.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出向量的坐標(biāo)與向量求模.2、A【解析】試題分析:由得考點(diǎn):隨機(jī)變量的期望3、B【解析】分析:由于已知曲線函數(shù)中含有絕對(duì)值符號(hào),將x以0為分界進(jìn)行分類(lèi)討論,當(dāng)x≥0時(shí),曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,當(dāng)x<0時(shí),曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,進(jìn)而在坐標(biāo)系中作出直線與曲線的圖像,從而可得出交點(diǎn)個(gè)數(shù),詳解:當(dāng)x≥0時(shí),方程化為;當(dāng)x<0時(shí),化為,所以曲線是由半個(gè)雙曲線和半個(gè)橢圓組成的圖形,結(jié)合圖像可知,直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2故答案選B點(diǎn)晴:本題主要考查了學(xué)生對(duì)直線與圓錐曲線相交的掌握情況,熟練掌握橢圓,雙曲線的區(qū)別,然后利用數(shù)形結(jié)合即可解決本題4、D【解析】試題分析:由可得:,又是遞減數(shù)列,是遞增數(shù)列,所以,即,由不等式的性質(zhì)可得:,又因?yàn)?,即,所以,即,同理可得:;?dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),令,可得:,將這個(gè)式子相加得:,所以,則,所以選D.考點(diǎn):1.裂項(xiàng)相消法求和;2.等比數(shù)列求和;5、C【解析】試題分析:將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)可得和,圓心到直線的距離,故,所以應(yīng)選C.考點(diǎn):極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)之間的互化.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】極坐標(biāo)和參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)選修內(nèi)容中的核心內(nèi)容,也是高考必考的重要考點(diǎn).解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí),一定要扎實(shí)掌握極坐標(biāo)與之交坐標(biāo)之間的關(guān)系,并學(xué)會(huì)運(yùn)用這一關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換.本題在解答時(shí)充分利用題設(shè)條件,運(yùn)用將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,最后通過(guò)直角坐標(biāo)中的運(yùn)算公式求出弦長(zhǎng),從而使問(wèn)題巧妙獲解.6、D【解析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)是奇函數(shù),求出,進(jìn)而可得出曲線在點(diǎn)處切線的斜率.【詳解】由題意得,.是奇函數(shù),,即,解得,,則,即曲線在點(diǎn)處切線的斜率為.故選.本題主要考查曲線在某點(diǎn)處的切線斜率,熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可,屬于??碱}型.7、B【解析】分析:由題意結(jié)合流程圖運(yùn)行程序即可確定程序的輸出結(jié)果.詳解:結(jié)合所給的流程圖運(yùn)行程序如下:首先初始化數(shù)據(jù):,第一次循環(huán):,,,此時(shí)不滿(mǎn)足;第二次循環(huán):,,,此時(shí)不滿(mǎn)足;第三次循環(huán):,,,此時(shí)不滿(mǎn)足;一直循環(huán)下去,第十次循環(huán):,,,此時(shí)滿(mǎn)足,跳出循環(huán).則輸出的.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛:識(shí)別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu).(2)要識(shí)別、運(yùn)行程序框圖,理解框圖所解決的實(shí)際問(wèn)題.(3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證.8、B【解析】

先求,再求.【詳解】由已知,得:所以故選:B本題考查了分段函數(shù)求值,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】很明顯,A,B,C,D四點(diǎn)組成平行四邊形ABDC,如圖所示,設(shè),則:,點(diǎn)A在雙曲線上,則:,據(jù)此可得:,結(jié)合可得雙曲線的離心率為.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛:求雙曲線離心率或離心率范圍的兩種方法:一種是直接建立e的關(guān)系式求e或e的范圍;另一種是建立a,b,c的齊次關(guān)系式,將b用a,e表示,令兩邊同除以a或a2化為e的關(guān)系式,進(jìn)而求解.10、C【解析】

設(shè)復(fù)數(shù),根據(jù)向量的模為3列方程求解即可.【詳解】根據(jù)題意,復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,對(duì)應(yīng)向量的模為3,且實(shí)部為.設(shè)復(fù)數(shù),∵,∴,復(fù)數(shù).故.故選:C.本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及模的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.11、A【解析】

利用代入法,即可得到伸縮變換的曲線方程.【詳解】∵伸縮變換,∴xx′,yy′,代入曲線y=sin2x可得y′=3sinx′故選:A.本題考查代入法求軌跡方程,考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ).12、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】顯然,,,,因此最大,最小,故選A.本題考查三個(gè)數(shù)的大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】分析:先分離常數(shù),然后根據(jù)二次函數(shù)最值求解即可.詳解:由題可得:故答案為.點(diǎn)睛:考查函數(shù)的值域,對(duì)原式得正確分離常數(shù)是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.14、10【解析】法一:由等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等.即:.法二:對(duì)等式:兩邊連續(xù)對(duì)x求導(dǎo)三次得:,再運(yùn)用賦值法,令得:,即15、480【解析】分析:由題意,先排男生,再插入女生,即可得兩名女生不相鄰的排法.詳解:由題意,其中名男生共有種不同的排法,再將兩名女生插入名男生之間,共有中不同的方法,所以?xún)擅幌噜彽呐欧ü灿兄胁煌呐欧?點(diǎn)睛:本題主要考查了排列的應(yīng)用,其中認(rèn)真分析題意,得道現(xiàn)排四名男生,在把兩名女生插入四名男生之間是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.16、【解析】

由兩向量中的已知坐標(biāo)和未知坐標(biāo)間的關(guān)系,得出兩向量的終點(diǎn)的軌跡,運(yùn)用向量的夾角公式求解.【詳解】向量的終點(diǎn)都在以為圓心,1為半徑的圓上;向量的終點(diǎn)都在以為圓心,1為半徑的圓上;且為圓與圓的距離為1,如圖所示,兩向量的夾角最大,為.本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡和空間直角坐標(biāo)系中向量的夾角,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為:,直線的參數(shù)方程化為普通方程為:(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)曲線的極坐標(biāo)方程,然后兩邊乘以轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程.利用加減消元法消掉參數(shù),求得直線的普通方程.(Ⅱ)寫(xiě)出直線標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程,代入曲線的直角坐標(biāo)方程,化簡(jiǎn)后根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,求得的值.【詳解】解:(Ⅰ)曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為:,即;直線的參數(shù)方程化為普通方程為:.(Ⅱ)直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為,①將①式代入,得:,②由題意得方程②有兩個(gè)不同的根,設(shè)是方程②的兩個(gè)根,由直線參數(shù)方程的幾何意義知:.本小題主要考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,考查直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的求法,考查直線參數(shù)方程的幾何意義,屬于中檔題.18、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

試題分析:(Ⅰ)在梯形中,設(shè),題意求得,再由余弦定理求得,滿(mǎn)足,得則.再由平面得,由線面垂直的判定可.進(jìn)一步得到丄平面;(Ⅱ)分別以直線為:軸,軸軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),令得到的坐標(biāo),求出平面的一法向量.由題意可得平面的一個(gè)法向量,求出兩法向量所成角的余弦值,可得當(dāng)時(shí),有最小值為,此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.試題解析:(Ⅰ)證明:在梯形中,∵,設(shè),又∵,∴,∴∴.則.∵平面,平面,∴,而,∴平面.∵,∴平面.(Ⅱ)解:分別以直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),令,則,∴設(shè)為平面的一個(gè)法向量,由得,取,則,∵是平面的一個(gè)法向量,∴∵,∴當(dāng)時(shí),有最小值為,∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),平面與平面所成二面角最大,此時(shí)二面角的余弦值為.19、(1)證明見(jiàn)解析;(2)1【解析】

(1)先證明面面,從而可得平面.

(2)設(shè)的中點(diǎn)為,以為原點(diǎn),,,分別為,,軸,建立坐標(biāo)系,設(shè),易知平面的法向量為,求出平面的法向量,根據(jù)法向量垂直可求解.【詳解】證明:(1):∵,面,面,∴面.同理面,又,面,面,∴面面,又面,∴平面.(2)∵,,∴,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,則.以為原點(diǎn),,,分別為,,軸,建立坐標(biāo)系.則,,,令,則,,.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,∴.易知平面的法向量為,當(dāng)平面平面時(shí),,解之得.所以當(dāng)時(shí),平面平面.本題考查線面平行的證明和根據(jù)面面垂直求線段的長(zhǎng)度,屬于中檔題.20、(1)異面直線與所成角為;(2)與平面所成角的正弦值為;(3)二面角的大小為,的值為.【解析】分析:(1)由題意可得和的坐標(biāo),可得夾角的余弦值;(2)求出平面的法向量,即可求出答案;(3)設(shè),表示出平面的法向量和平面的法向量,利用二面角的大小為,即可求出t.詳解:(1)當(dāng)時(shí),,,,,,則,,故,所以異面直線與所成角為.(2)當(dāng)時(shí),,,,,,則,,設(shè)平面的法向量,則由得,不妨取,則,此時(shí),設(shè)與平面所成角為,因?yàn)?,則,所以與平面所成角的正弦值為.(3)由得,,,設(shè)平面的法向量,則由得,不妨取,則,此時(shí),又平面的法向量,故,解得,由圖形得二面角大于,所以符合題意.所以二面角的大小為,的值為.點(diǎn)睛:本題考查空間向量的數(shù)量積和模長(zhǎng)公式.21、(1)詳見(jiàn)解析;(2).【解析】試題分析:(Ⅰ)取PB的中點(diǎn)F,連接AF,EF,由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形.得到DE∥AF,再由線面平行的判定可得ED∥面PAB;(Ⅱ)法一、取BC的中點(diǎn)M,連接AM,由題意證得A在以BC為直徑的圓上,可得AB⊥AC,找出二面角A-PC-D的平面角.求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值.試題解析:(Ⅰ)證明:取PB的中點(diǎn)F,連接AF,EF.∵EF是△PBC的中位線,∴EF∥BC,且EF=.又AD=BC,且AD=,∴AD∥EF且AD=EF,則四邊形ADEF是平行四邊形.∴DE∥AF,又DE?面ABP,AF?面ABP,∴ED∥面PAB(Ⅱ)法一、取BC的中點(diǎn)M,連接AM,則AD∥MC且AD=MC,∴四邊形ADCM是平行四邊形,∴AM=MC=MB,則A在以BC為直徑的圓上.∴AB⊥AC,可得.過(guò)D作DG⊥AC于G,∵平面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD=AC,∴DG⊥平面PAC,則DG⊥PC.過(guò)G作GH⊥PC于H,則PC⊥面GHD,連接DH,則PC⊥DH,∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角.在△ADC中,,連接AE,.在Rt△GDH中,,∴,即二面角A﹣PC﹣D的余弦值法二、取BC的中點(diǎn)M,連接AM,則AD∥MC,且AD=MC.∴四邊形ADCM是平行四邊形,∴AM=MC=MB,則A在以BC為直徑的圓上,∴AB⊥AC.∵面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD=AC,∴AB⊥面PAC.如圖以A為原點(diǎn),方向分別為x軸正方向,y軸正方向建立空間

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