機器人學導論 課件 第2章 機器人運動學

第2章機器人運動學2.1節(jié)位姿描述與齊次變換第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103機器人技術基礎22.1.1位姿描述2.1.2坐標變換2.1.3其他姿態(tài)描述三角度姿態(tài)法等效軸-角法四元數

法本節(jié)目錄3大寫斜體加粗：矩陣R、T小寫斜體加粗：矢量p、默認矢量為列向量；小寫斜體不加粗：標量a，p左上標：變量所在坐標系

符號約定4

符號約定5如何描述機器人某構件，例如末端手爪的空間狀態(tài)建立一個世界坐標系{A}；在末端手爪某處，例如兩手指尖端中點建立一個坐標系{B}，其原點為P；坐標系{B}與手爪固聯(lián)，隨手爪運動；坐標系{B}相對于坐標系{A}的描述，就唯一確定了手爪的空間狀態(tài)——位姿P位姿描述6空間中某點P在坐標系{A}中的描述

位置描述7

結論：矢量與某坐標系各坐標軸單位向量的點積，就得到矢量在該坐標系中的表達姿態(tài)描述8

因為上述向量均為單位向量，所以：

姿態(tài)描述92025/6/1

姿態(tài)描述10將坐標系{B}的各坐標軸在{A}中的表達組成一個矩陣：矩陣中各元素均是{A}、{B}兩個坐標系各坐標軸之間夾角的余弦又稱為方向余弦矩陣（directioncosinematrix）。姿態(tài)描述11

姿態(tài)描述12將坐標系{A}的各坐標軸在{B}中的表達組成一個矩陣：{A}系的3個坐標軸相對{B}系的坐標就是其在{B}系三個坐標軸上的投影。{A}、{B}兩坐標系各軸夾角的大小與坐標軸向量在哪個坐標系表達無關姿態(tài)描述13結論：姿態(tài)描述14

在工業(yè)機器人領域，為了形象地描述機器人（俗稱機械臂、操作臂等，manipulator）的姿態(tài)，姿態(tài)矩陣一般寫成如下形式：a為接近矢量（approachvector），表示手爪接近物體的方向o為方位矢量（orientationvector），表示手爪中的一個手指指向另一個手指的方向n為法向矢量（normalvector）姿態(tài)描述15位置和姿態(tài)合稱位姿圖中代表手爪位姿的坐標系{B}，可表示為：其中：表示姿態(tài)表示位置工業(yè)機器人的位姿描述姿態(tài)描述16位姿圖的說明矢量箭頭從一個坐標原點指向另一個坐標系原點矢量指明它表示的是箭頭處坐標系相對于箭尾坐標系的相對關系例如：{B}相對于{A}機器人學中，機器人末端的位姿（矩陣）通常也稱作機器人的位形（configuration）。姿態(tài)描述172.1.1位姿描述2.1.2坐標變換2.1.3其他姿態(tài)描述三角度姿態(tài)法等效軸-角法四元數

法本節(jié)目錄18坐標變換把一個矢量在{B}坐標系中的表達轉換到{A}坐標系中；矢量本身沒有變化，但是在不同坐標系中的值不同；坐標變換的本質所在，即描述的是坐標系之間的變換而不是對象本身。坐標變換（Transformation,映射Mapping）坐標變換19平移變換坐標系{B}相對于{A}僅有平移：已知矢量P在{B}中的表達：則矢量P在{A}中的表達：只有{A}、{B}姿態(tài)相同時，上式才成立20旋轉變換坐標系{B}相對于{A}僅有旋轉：由姿態(tài)矩陣的定義和性質：可知：坐標變換21旋轉變換已知矢量p在{B}中的表達：待求解矢量p在{A}中的表達：也即，點P在{A}坐標系各軸上的投影可利用{A}的各坐標軸在{B}中的表達與的點積來計算，即：只有在同一個坐標系中表達的兩個矢量才能執(zhí)行運算。點積結果是標量，與該矢量在哪個坐標系表達無關！BpApBp坐標變換22旋轉變換由于{B}相對于{A}的旋轉矩陣所以：訣竅：坐標變換23旋轉變換——實例解：可得：

注意：繞某一軸旋轉，規(guī)定按照右手定則，逆時針為正坐標變換24旋轉變換——實例解：

又已知點P在{B}系中的表達：求：注意：映射變換不改變向量本身，只是在不同坐標系描述向量，或者說求向量在不同坐標系中的坐標坐標變換25繞各坐標軸的旋轉矩陣

繞z軸有夾角θ：繞x軸有夾角θ：繞y軸有夾角θ：

坐標變換坐標變換的一般情況26坐標變換的一般情況

解：首先建立一個中間坐標系{C}，它與{A}姿態(tài)相同，與{B}原點重合

顯然：于是：因為{C}與{A}僅存在平移關系，所以：

齊次變換矩陣27一般坐標變換的表達一般情況下的坐標變換，可由下式計算：為了使表達更簡潔，引入齊次變換矩陣：原3×1坐標向量增加一行，變成4×1的齊次坐標向量齊次變換矩陣的性質28齊次變換矩陣的性質

齊次變換：舉例29一般坐標變換——實例

解：{B}相對于{A}的齊次變換矩陣為：其中：最后，可得：

30

逆變換解：其中旋轉矩陣部分，根據單位正交矩陣的性質直接寫出：利用一般變換的映射公式：顯然：由此，可得：

逆變換31解：于是最后，可得

逆變換：舉例32

復合變換：連續(xù)旋轉解：

如何求{C}系相對于{A}系的姿態(tài)？

則作為將{B}系映射到{A}系中的旋轉矩陣，這樣可將參考坐標系從{B}變到{A}，結果可變成了{C}系（相對于{A}系）的姿態(tài)。連續(xù)旋轉可通過矩陣相乘得到，即滿足旋轉矩陣的合成法則復合變換：連續(xù)旋轉33

復合變換：連續(xù)齊次變換解：

3.聯(lián)立上述兩式，得4.由此，可得注意：展開得變換方程（1）34

利用齊次變換的遞推特性，求不直接關聯(lián)兩坐標系的關系，或未知變換。根據第1個變換路徑，可得：從第2個變換路徑，也可得：前面兩式可構造一個變換方程：據此，可求得：變換方程（2）352025/6/1如右圖，注意{D}鄰近的兩坐標系與{D}的相對關系與前例相反。利用齊次變換的遞推特性，求不直接關聯(lián)兩坐標系的關系，或未知變換。

從第2個變換路徑，也可得：根據前面兩式，可求解鏈路中的其他變換，例如：變換方程（3）36

變換方程的實際用途根據右圖中的變換路徑，可得：變換方程（4）37

變換方程的實際用途根據右圖中的變換路徑，可得：式中，，為用戶給定的變換，由機器人正運動學模型得到

38【例】如下圖所示，一輪式移動機器人上搭載機械手在房間內進行拾取木塊的作業(yè)，天花板上安放一攝像頭用作機器人的視覺反饋系統(tǒng)。各坐標系如圖所示，其中，{W}為參考坐標系，{B}和{T}分別為附著在輪式移動機器人和機械手末端上的物體坐標系，{C}為攝像頭坐標系，{S}為附著在木塊上的物體坐標系。通過視覺傳感器測量得到通過關節(jié)角度測量裝置標定得到預先已知求：木塊相對機械手的位形變換方程（5）39自由矢量與線矢量的變換物理效果與作用點無關的矢量——自由矢量（freevector）線速度、力（偶）矩等物理效果與作用點有關的矢量——線矢量（linevector）角速度、力等兩坐標系間的自由矢量變換，僅涉及到旋轉線速度力（偶）矩兩坐標系間的線矢量變換，需要考慮坐標系原點偏移的影響本章目錄402025/6/12.1.1位姿描述2.1.2映射與算子2.1.3其他姿態(tài)描述三角度姿態(tài)法等效軸-角法四元數

法三角度姿態(tài)法41R有9個元素，是否一定需要9個變量才能唯一確定旋轉矩陣？再次考察旋轉變換矩陣R由于R是單位正交矩陣，所以存在6個約束條件：3個列向量是單位向量：3個正交條件：因此，R中只有3個獨立變量，也即用3個參數即可表示姿態(tài)。三角度姿態(tài)法42線性代數中的凱萊公式指出，對于任何一個正交陣R存在一個反對稱矩陣，滿足：再次考察旋轉變換矩陣R其中：這再次說明，可用3個參數表示姿態(tài)。

三角度姿態(tài)法43旋轉變換一般不滿足交換律，也即：再次考察旋轉變換矩陣R

注意：旋轉不滿足交換律，那么必須要使用三個有順序的參數才能準確描述姿態(tài)采用3個獨立的姿態(tài)角來描述3個姿態(tài)角的任意組合有33=27種形式，但是為了保持3個姿態(tài)角的獨立性，需要保證兩個連續(xù)旋轉軸的軸線不能平行，因此3姿態(tài)角存在12中形式。3*2*2=12X-Y-Z、X-Z-Y、Y-X-Z、Y-Z-X、Z-X-Y、Z-Y-X、Z-Y-Z、Z-X-Z、Y-Z-Y、Y-X-Y、X-Y-X、X-Z-XRPY（繞3個定軸的旋轉）歐拉角（繞3個動軸的旋轉）三角度姿態(tài)法4412×2=24種三角度姿態(tài)法45X-Y-Z固定角

繞固定坐標系三個軸的三次轉動，得到的三個轉角（

,

,

）稱為X-Y-Z固定角。在描述運動物體時，例如：飛機，它們又被稱為橫滾角（Roll）、俯仰角（Pitch）和偏航角（Yaw）——R-P-Y角

ZYaw三角度姿態(tài)法46X-Y-Z固定角

三角度姿態(tài)法47X-Y-Z固定角復合變換：計算，得：注意：繞固定坐標軸的連續(xù)變換，按變換順序“左乘”得到最終變換矩陣三角度姿態(tài)法48X-Y-Z固定角已知旋轉矩陣R，求對應的X-Y-Z固定角（

,

,

）在實現機器人連續(xù)運動控制的姿態(tài)插補時，經常需要根據已知旋轉矩陣求解姿態(tài)角已知：根據：三角度姿態(tài)法492025/6/1X-Y-Z固定角Atan2(y,x)—“四象限反正切函數”，內置于大多數編程語言，可根據x、y的符號給出不同的角度值，例如：Atan2(-2.0,-2.0)=-135°Atan2(2.0,2.0)=45°三角度姿態(tài)法50關于

角的說明計算中，通常取：－90°≤

≤90°若

＝±90°，則cos

＝0，此時，

和

的值無法計算規(guī)定：或51歐拉角是瑞士數學家歐拉（Euler，1707-1783）提出的一種采用繞動坐標系3個坐標軸的轉角組合描述剛體姿態(tài)的方法。A.Z-Y-X歐拉角B.Z-Y-Z（Z-X-Z）歐拉角A.Z-Y-X歐拉角將{B}繞其z軸旋轉角度

繞{B}的新y軸旋轉角度

繞{B}的新x軸旋轉角度

B.Z-Y-Z歐拉角將{B}繞其z軸旋轉角度

繞{B}的新y軸旋轉角度

繞{B}的新z軸旋轉角度

進動角章動角自旋角三角度姿態(tài)法三角度姿態(tài)法52Z-Y-X歐拉角坐標系{B}相對{A}的姿態(tài)的另一種表示法，是假想相對運動坐標系軸連續(xù)轉動，并利用旋轉映射得出旋轉矩陣。首先，假設初始{B}與{A}重合。

將{B}繞其z軸旋轉角度

繞{B}的新y軸旋轉角度

繞{B}的新x軸旋轉角度

三角度姿態(tài)法53Z-Y-X歐拉角

也即：注意：繞運動坐標軸的連續(xù)變換，按變換順序“右乘”得到最終變換矩陣三角度姿態(tài)法54Z-Y-X歐拉角Z-Y-X歐拉角定義的位姿矩陣為：上述結果與繞固定軸X-Y-Z旋轉得到的位姿矩陣相等！三角度姿態(tài)法55X-Y-Z固定角與Z-Y-X歐拉角Z-Y-X歐拉角X-Y-Z固定角結論：坐標系{B}相對于坐標系{A}的姿態(tài)可以假想繞三個坐標軸依次旋轉得到繞固定坐標系三個軸的連續(xù)旋轉與繞運動軸以相反順序旋轉的結果相同沿固定坐標系的固定角連續(xù)變換，按旋轉順序連續(xù)“左乘”沿運動坐標系的歐拉角連續(xù)變換，按旋轉順序連續(xù)“右乘”三角度姿態(tài)法56常用的Z-Y-Z歐拉角變換與機器人末端工具姿態(tài)描述常采用Z-Y-Z歐拉角描述，這樣可與腕部三個垂直正交旋轉關節(jié)的轉角直接對應用Z-Y-Z歐拉角描述的旋轉矩陣：若已知旋轉矩陣：則，三個歐拉角為：顯然，此時

角不能等于0°或180°。若出現此情況，則取

＝0°三角度姿態(tài)法57三角度位姿描述中的奇異點（SingularPoint）問題無論采用歐拉角還是固定角表示位姿，當中間軸轉角等于±90°或0°、180°時，總會出現無法求解的情況例如：Z-Y-Z歐拉角，

＝0°或180°Z-Y-X歐拉角，

＝±90°奇異發(fā)生在第一次轉動軸線與最后一次轉動軸線共線的位置第一次和最后一次旋轉的轉軸重合（即中間軸的轉角

=±90°）時，導致繞第一、第三軸的轉角無法計算，歐拉角描述的姿態(tài)發(fā)生奇異；對應的位形或位姿，稱為奇異位形（singularconfiguration）58三角度位姿描述中的奇異點問題從實際物理意義上來說，此種情況意味著第1、3軸重合，導致繞第1、3軸的轉角無法計算，稱為奇異現象對應的位姿點（由姿態(tài)角元素構成的點），稱為奇異點Z-Y-X歐拉角，

＝±90°三角度姿態(tài)法59位姿奇異現象的具體案例飛行器中的萬向節(jié)死鎖（Gimballock）問題陀螺儀：X軸控制偏航（右圖中的藍色圖示），Y軸控制俯仰（右圖中的紅色圖示），Z軸控制橫滾（右圖中的綠色圖示）。俯仰角

=±

/2時發(fā)生奇異發(fā)生萬向節(jié)鎖死時，俯仰角和航偏角沒影響，橫滾角度受影響。工程上一般在發(fā)生奇異時，人為設定橫滾角

=0。/hanjuefu5827/article/details/80659343?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task三角度姿態(tài)法60位姿奇異現象的具體案例機槍轉塔跟蹤過頂飛機目標飛機過頂飛行；轉塔方位跟蹤速度趨向于無窮大。當接近方位角為90

的位置，它的工作性能越來越不理想。為跟蹤飛過飛機頭頂的目標，槍手需要操控機槍以非?？斓乃俣壤@方位角轉動。如果目標直接飛過槍手頭頂，對方位角的跟蹤速度趨向于無窮大。三角度姿態(tài)法等效軸-角法612025/6/1能否用一次旋轉變換描述{B}相對于{A}的姿態(tài)？歐拉旋轉定理：在三維空間里，剛體的任意旋轉等價于一個繞著某固定軸的旋轉（簡化描述）假設{B}與{A}初始狀態(tài)重合，將{B}繞過原點的任意單位向量

按右手定則旋轉θ角，可到達{B}的實際姿態(tài)此旋轉記為：右手定則等效軸-角法62

等效軸-角法63等效軸-角旋轉矩陣表達式的推導

64等效軸角旋轉矩陣表達式的推導于是，根據旋轉變換方程可得：

由旋轉矩陣的正交性，可得：于是：根據假設：等效軸-角法652025/6/1等效軸-角旋轉矩陣表達式的推導可得將上式右端相乘，并利用可得等效軸-角法662025/6/1根據旋轉矩陣求解等效軸-角若已知旋轉矩陣R：可求解等效軸-角：注意：θ不能等于0°或180°，否則出現奇異現象，無法確定轉軸等效軸-角法反對稱矩陣67羅德里格斯（Rodrigues）公式等效軸-角法歐拉定理：任一旋轉矩陣R總可以等效為繞某一固定軸的旋轉運動。68羅德里格斯（Rodrigues）公式等效軸-角法四元數的定義692025/6/1

以超復數表達的四元數以四元向量表達的四元數威廉·若宛·哈密頓（WilliamRowanHamilton1805-1865）愛爾蘭數學家，他提出了四元數。四元數虛數單位i,j,k的乘法規(guī)則以（標量+向量）表達的四元數四元數的運算70加法乘法共軛四元數逆四元數的模模為1的四元數稱為單位四元數單位四元數利用單位四元數實現姿態(tài)旋轉71歐拉參數表示的四元數

利用單位四元數實現旋轉

72利用單位四元數實現連續(xù)旋轉利用單位四元數實現姿態(tài)旋轉用單位四元數實現連續(xù)兩次旋轉，可以先計算單位四元數的乘積（復合旋轉），再與被旋轉向量相乘它等價于：

兩個旋轉矩陣的復合，涉及27次乘法和18次加法兩個單位四元數的復合，僅需要16次乘法和12次加法單位四元數在實現連續(xù)旋轉時，計算效率高73姿態(tài)及旋轉描述方法匯總物體坐標系{B}最初與固定坐標系{A}重合。令{B}繞過坐標原點的單位向量

轉動120

，求當前坐標系{B}相對固定坐標系的姿態(tài)矩陣?！纠俊纠恳阎藨B(tài)矩陣

，求對應的等效轉軸和轉角。習題74已知單位四元數為【例】【例】已知姿態(tài)矩陣

，求對應的等效歐拉參數。，求對應的旋轉矩陣和等效轉軸。該四元數的物理意義是：繞z軸旋轉120

。75習題已知單位四元數為【例】該四元數的物理意義是：由前面的兩個例子可知，這兩個分解的運動分別為z軸轉動和x軸轉動。因此該轉動可看作是先繞x軸旋轉半周，再繞z軸旋轉120

。76，求對應的旋轉矩陣和等效轉軸。解：歐拉參數：，出現奇異。因此，無法直接給出其等效轉軸，不過可看作是兩個連續(xù)轉動的復合運動：習題第二章結束第2章機器人運動學2.2節(jié)機器人（操作臂）正運動學第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103機器人技術基礎792.2.1正運動學2.2.2連桿參數與連桿坐標系2.2.3操作臂的運動學方程2.2.4典型工業(yè)機器人的運動學模型2.2.5坐標系的命名本節(jié)目錄正運動學（ForwardKinematics）802025/6/1腕2基座{B}腰大臂小臂腕1腕3{W}工具T正運動學問題θ1θ2θ3θ4θ5θ6已知：關節(jié)變量[θ1,…,θn]T,

4×4求解：末端（或中間連桿）的空間位姿

關節(jié)變量[θ1,…,θn]T正運動學模型——從關節(jié)變量到末端工具位姿的映射關系812025/6/1{5}{0}{1}{2}{3}{4}{6}θ1θ2θ3θ4θ5θ6構型：從基座到末端的開鏈驅動效果：從基座到末端，關節(jié)驅動變量逐次作用于后續(xù)剛體，兩相鄰剛體之間的相對位姿，僅取決于它們之間的連接關節(jié)串聯(lián)機器人正運動學問題的特點建立串聯(lián)機器人正運動學模型的思路

正運動學822025/6/1構建機器人學的數學描述體系，是后續(xù)逆運動學、速度分析、動力學分析的理論基礎；在設計階段根據關節(jié)驅動電機特性和結構參數評估機器人工作空間、末端速度和加速度研究機器人正運動學問題的意義工具坐標系腕部坐標系基坐標系固定坐標系目標坐標系銷釘正運動學832.2.1正運動學2.2.2連桿參數與連桿坐標系2.2.3操作臂的運動學方程2.2.4典型工業(yè)機器人的運動學模型2.2.5坐標系的命名本節(jié)目錄連桿參數842025/6/1

DH參數法的由來JacquesDenavit(1930-2012)RichardHartenberg(1907-1997)后置坐標系前置坐標系如果剛體坐標系建立在前向關節(jié)上，則稱為前置坐標系（ModifiedDHConvention）連桿參數852025/6/1

連桿的結構參數，Linkparameters（2個）862025/6/1機器人中間某連桿，兩端為旋轉關節(jié)，關節(jié)分布及尺寸如圖連桿的結構參數——實例

連桿i-150mm50mm50mm125mm50mm75mm連桿參數872025/6/1

連桿的連接參數，Linkparameters（2個）連桿參數882025/6/10號連桿（基座）的參數

n號連桿（末端）的參數

連桿參數892025/6/1

連桿i-1的固聯(lián)坐標系定義在關節(jié)i-1上連桿坐標系定義——中間連桿IntermediateLink

連桿坐標系902025/6/1

連桿坐標系定義——基座Firstlink連桿坐標系912025/6/1

連桿坐標系定義——末端連桿，Lastlink連桿坐標系922025/6/1

連桿坐標系定義小結——參數連桿坐標系932025/6/1連桿坐標系定義小結——步驟

連桿坐標系942025/6/1連桿坐標系定義——實例1為右圖所示3自由度平面機械臂（3R機器人）建立連桿坐標系。連桿坐標系連桿參數表連桿坐標系952025/6/1連桿坐標系定義——實例2為右圖所示3自由度空間機械臂建立連桿坐標系。連桿坐標系連桿參數表連桿坐標系962.2.1正運動學2.2.2連桿參數與連桿坐標系2.2.3操作臂的運動學方程2.2.4典型工業(yè)機器人的運動學模型2.2.5坐標系的命名本節(jié)目錄連桿坐標變換972025/6/1

坐標系{i}相對于{i-1}的變換

982025/6/1坐標系{i}相對于{i-1}的變換

上式等價于：

于是：

上式中的每個變換矩陣都是簡單的平移或繞坐標軸旋轉變換，可寫成：

連桿坐標變換992025/6/1坐標系{i}相對于{i-1}的變換,LinkTransformation其中：

于是：連桿坐標變換1002025/6/1連桿坐標變換——實例1建立下圖所示平面3R機器人各連桿坐標系的齊次變換矩陣（前置坐標系）對應各連桿坐標系的齊次變換矩陣連桿坐標系連桿參數表連桿坐標變換101操作臂的運動學方程由于操作臂可以看成是由一系列桿件通過關節(jié)連接而成的，因此可以將各連桿變換矩陣順序序相乘，便可得到末端桿坐標系{n}相對于基坐標系{0}的齊次變換矩陣是關節(jié)變量di或θi的函數

由于機械手（或末端）的位姿可以由齊次矩陣描述，因此上式（2.2.8）稱為機器人的運動學方程，表示機械手位姿與各關節(jié)變量之間的關系。2025/6/1102關節(jié)空間、笛卡爾空間和驅動空間操作臂的連桿位置可由一組n個關節(jié)變量確定，這樣一組變量稱為n×1的的關節(jié)向量。所有關節(jié)矢量組成的空間稱為關節(jié)空間。當機械手的位姿是在直角坐標空間描述時，這個空間稱為笛卡爾空間，有時稱為任務空間或操作空間。把關節(jié)矢量表示成一組驅動器函數時，這個矢量稱為驅動器向量，這個空間稱為驅動空間。操作臂運動學正問題：驅動空間→關節(jié)空間→笛卡爾空間的描述。操作臂運動學逆問題：笛卡爾空間→關節(jié)空間→驅動空間的描述。對于串聯(lián)機器人，運動學正問題求解比逆問題容易；而對于并聯(lián)機器人，則相反。運動學方程的應用：工作空間分析1032025/6/1機器人的工作空間工作空間（Workspace）——機器人末端所能達到的范圍，機器人的重要性能指標，包含可達工作空間和靈巧工作空間兩個概念靈巧工作空間（DexterousWorkspace）——可達工作空間中的某個區(qū)域，在該區(qū)域中，對于任意位置點，機器人能從各個方向（以任意姿態(tài)）到達可達工作空間（ReachableWorkspace）——機器人至少能從一個方向（以一種姿態(tài)）達到的位置點構成的空間利用正運動學模型，對各關節(jié)變量遍歷求解可獲得可達工作空間對靈巧工作空間中的某位置點，直觀上，平面機器人末端可繞該點做圓周運動，空間機器人末端可繞該點做球面運動1042025/6/1例：平面2R機器人的工作空間若l1=l2=l，則可達工作空間為半徑為2l的圓（含內部），靈活工作空間為圓心點，圓周上的點對應唯一關節(jié)解，其他位置各點存在兩個解若l1≠l2，則可達工作空間為內徑為|l1-l2|、外徑為（l1+l2）的圓環(huán)，靈活工作空間為空集顯然，當靈活工作空間為一點或空集時，其運動靈活性比較差若想提高機器人的靈活性，可增加一個R關節(jié)，變成平面3R機器人l1=l2l1

l2運動學方程的應用：工作空間分析1052025/6/1例：平面3R機器人的工作空間設l1＞l2，l2＞l3，l1≤l2＋l3可達工作空間是半徑為l1＋l2＋l3的圓靈活工作空間是內徑為l1－l2＋l3、外徑為l1＋l2－l3的圓環(huán)可見，通過增加一個關節(jié)，能夠有效增加靈活工作空間運動學方程的應用：工作空間分析1062025/6/1串聯(lián)機器人關節(jié)配置的一般原則定位與定向分離靠近基座的關節(jié)用于定位，平面機器人2自由度，空間機器人3自由度靠近末端的關節(jié)用于定向，平面機器人1自由度，空間機器人3自由度空間機器人定向關節(jié)的3個軸線交于一點（腕心），理想情況下相互正交（即：末端定向機構等價于一個主動球鉸，也叫球腕）定位定向定位定向運動學方程的應用：工作空間分析1072.2.1正運動學2.2.2連桿參數與連桿坐標系2.2.3操作臂的運動學方程2.2.4典型工業(yè)機器人的運動學模型2.2.5坐標系的命名本節(jié)目錄典型工業(yè)機器人的運動學模型1082025/6/1利用D-H參數法對PUMA560機器人進行正向位移求解（前置坐標系）z1z2x2z3x3z4x4z5x5z6x6x0x1y01092025/6/1利用D-H參數法對PUMA560機器人進行正向位移求解（前置坐標系）連桿iαi-1ai-1di變量θi變量范圍10°00θ1-160°~160°2

90°0d2θ2-225°~45°30°a20θ3-45°~225°4

90°a3d4θ4-110°~170°590°00θ5-100°~100°6

90°00θ6-266°~266°典型工業(yè)機器人的運動學模型1102025/6/1利用D-H參數法對PUMA560機器人進行正向位移求解（前置坐標系）機器人的位移正運動學模型：根據關節(jié)變量求解末端位姿的過程稱為解析位移正解（Forwarddisplacementanalysis）典型工業(yè)機器人的運動學模型1112025/6/1

正運動學的建模步驟典型工業(yè)機器人的運動學模型1122.2.1正運動學2.2.2連桿參數與連桿坐標系2.2.3操作臂的運動學方程2.2.4典型工業(yè)機器人的運動學模型2.2.5坐標系的命名本節(jié)目錄坐標系的命名1132025/6/1典型工業(yè)機器人的坐標系命名工具坐標系{T}腕部坐標系{W}基坐標系{B}固定坐標系{S}目標坐標系{G}銷釘基坐標系{B}：坐標系{0}，位于機器人基座固定坐標系{S}：與任務相關，通常固定在工作臺的一角，也稱工作臺坐標系腕部坐標系{W}：坐標系{W}，固聯(lián)在機器人末端連桿上，原點通常在腕部法蘭中心1142025/6/1典型工業(yè)機器人的坐標系命名工具坐標系{T}腕部坐標系{W}基坐標系{B}固定坐標系{S}目標坐標系{G}銷釘工具坐標系{T}：固聯(lián)于工具末端，手指沒有抓持工具時，位于兩個指尖中間目標坐標系{G}：描述工具的目標位姿，當機器人運動結束時，工具坐標系{T}應當與目標坐標系{G}重合{T}相對于{G}的變換矩陣：坐標系的命名第2章機器人運動學2.3節(jié)機器人（操作臂）逆運動學第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103機器人技術基礎1162.3.1解的存在性問題2.3.2運動學方程的解法2.3.3操作臂逆運動學計算實例本節(jié)目錄逆運動學（InverseKinematics）1172025/6/1基座{B}工具{T}逆運動學問題θ1θ2θ3θ4θ5θ6

求解關節(jié)向量[θ1,θ2,…,θn]T逆運動學模型——從末端位姿矩陣到關節(jié)向量的映射機器人應用的基礎——通常給定末端工具位姿，需要求解關節(jié)變量，然后通過控制關節(jié)變量到指定值，使得末端工具到達給定位姿。1182025/6/1逆運動學解析解的求解過程已知機器人正運動學模型

求其反函數，得到關節(jié)變量函數——逆運動學模型

得到各關節(jié)變量?i

{W}{B}{S}{G}{T}

逆運動學1192025/6/1求解逆運動學方程的特點PUMA560的運動學正解逆運動學問題：已知12個方程，求解6個關節(jié)變量與旋轉矩陣相關的9個方程，存在6個約束條件，只有3個是獨立的實質上是根據6個方程，求解6個變量存在三角函數，是超越方程(transcendentalequation),含有未知量的超越式(指數、對數、三角函數、反三角函數等)的方程需要考慮解的存在性、多解問題，以及求解方法逆運動學1202025/6/1機器人運動學逆解的存在性在給定機器人末端位姿時，需要考慮逆解的存在性只有機器人末端位置點在可達工作空間（Reachableworkspace）內，且給定姿態(tài)也可達，才存在逆解對于可達工作空間邊緣的位置點，與位置相關的關節(jié)存在唯一解，且末端可達姿態(tài)受限對于靈巧工作空間中的位置點，理論上對任意末端姿態(tài)均存在關節(jié)逆解，但是受限于關節(jié)轉角范圍，通常僅在有限的末端姿態(tài)空間中存在逆解除上述兩個區(qū)域之外，其他可達空間中的位置點，只有有限的位姿存在關節(jié)逆解解的存在性1212025/6/1多解情況對于可達空間中的多數給定位姿，其逆運動學問題存在多解例如，對于PUMA機器人，對應著每個末端位姿，理論上都存在8個解對應著右圖所示的4個解，把4、6關節(jié)反轉180°，5關節(jié)取反，又可得到4個解解的存在性1222025/6/1多解情況障礙物的存在、結構尺寸限制、關節(jié)轉角限制，會使某些解無效對于存在多解的情況，求解時，取“最近”關節(jié)角當多個關節(jié)都存在多解時，以大連桿的“最近”關節(jié)角優(yōu)先為原則選取解。即：少移動大關節(jié)（腰、大臂、小臂）、多移動小關節(jié)（腕）“最近”解&“無效”解“次優(yōu)”解解的存在性1232.3.1解的存在性問題2.3.2運動學方程的解法2.3.3操作臂逆運動學計算實例本節(jié)目錄逆解的解法1242025/6/1數值解（Numericalsolution）封閉解（Analyticalsolution）空間6自由度機器人具有“封閉解”的充分條件是：相鄰三根關節(jié)軸交于一點，或相互平行“封閉解”計算效率高，機器人設計時，應盡量使其具有“封閉解”絕大多數工業(yè)機器人采用了這種設計針對給定末端位姿，以當前關節(jié)角為起點，根據運動學正解方程，利用牛頓迭代法求解可以用解析表達式顯式表達關節(jié)變量，也稱解析解相互平行三個相鄰軸交于一點封閉解——實例11252025/6/1平面2R機器人已知各桿的長度l1和l2和末端參考點B的坐標，計算關節(jié)角

1和

2存在兩組解：正運動學模型：逆解：封閉解——實例21262025/6/1平面3R機器人正運動學模型：逆解：封閉解——實例31272025/6/1空間3R機器人正運動學模型：逆解：1282.3.1解的存在性問題2.3.2運動學方程的解法2.3.3操作臂逆運動學計算實例本節(jié)目錄PUMA機器人運動學逆解1292025/6/1正運動學模型已知求1302025/6/1思路對于關節(jié)變量較多的串聯(lián)機器人而言，由于關節(jié)耦合嚴重，需進行逐次消元，以達到簡化求反解的目的。為此，可利用Paul反變換法來實現。左乘從等式兩邊矩陣對應的元素中尋找含單關節(jié)變量的等式，進而解出該變量。不斷重復此過程，直到所有變量解出左乘PUMA機器人運動學逆解1312025/6/1需用到的幾個中間變換矩陣PUMA機器人運動學逆解1322025/6/1求θ1正解的中間變換矩陣

1已知

PUMA機器人運動學逆解1332025/6/1求θ2和θ3

2

3PUMA機器人運動學逆解1342025/6/1求θ4和θ5

4

5PUMA機器人運動學逆解1352025/6/1求θ6

6理論上全部關節(jié)值存在8組解，但由于結構限制，部分解可能在實際中并不存在。上文僅介紹了求解方法和步驟，運動學逆解的解析表達式見教材。PUMA機器人運動學逆解第2章機器人運動學2.4節(jié)速度雅可比第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103機器人技術基礎1372.4.1剛體的線速度和角速度2.4.2操作臂連桿的運動速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇異性本節(jié)目錄時變位置的符號表示——線速度1382025/6/1若{B}中有一時變矢量BQ（t）設有兩坐標系{A}、{B}{A}{B}Q則，其在{B}中的速度表達為：其在{A}中的速度表達為：

（速度是自由矢量）剛體的線速度1392025/6/1{B}原點在{A}中的向量為APBORG；{B}相對于{A}僅有平移運動；{B}中有一向量BQ，相對于{B}原點的線速度為BVQ；求Q相對于{A}的線速度AVQ已知兩剛體，各自的固聯(lián)坐標系為{A}和{B}AVQ由兩個速度向量合成得到：AVQ注意：為求解AVQ，所有矢量都必須轉換到{A}坐標系中表達AVQ是相對于{A}的速度，需要用到速度矢量合成計算質點相對參考坐標系的運動坐標系之間的相對平動時變位置的符號表示——角速度1402025/6/1點的相對運動只有線速度、而沒有角速度剛體之間的相對運動既有線速度、又有角速度角速度一定指兩個剛體坐標系之間的相對轉動速度角速度表示符號Ω注意：AΩB為一向量，其方向表示{B}相對于{A}旋轉的瞬時旋轉軸，其大小為旋轉速率（回顧等效軸角姿態(tài)表示）；角速度也可以在不同坐標系描述，如：C(AΩB)為{B}相對于{A}的角速度在{C}中的描述；ωC=UΩC表示{C}相對于參考坐標系{U}的角速度設有兩個剛體坐標系{A}、{B}，原點重合，僅有相對轉動，則它們之間的角速度為：剛體的角速度1412025/6/1{A}、{B}原點重合；{B}相對于{A}僅有旋轉運動，旋轉角速度為AΩB；{B}中有一向量BQ，相對于{B}原點的線速度為BVQ；求Q相對于{A}的線速度AVQ已知兩剛體，各自的固聯(lián)坐標系為{A}和{B}首先假設Q在{B}中固定不動，即：但是，由于{B}相對于{A}的旋轉AΩB，AVQ顯然不等于零1422025/6/1從{A}觀察Q的變化情況，如右圖AQ(t)AQ(t+Δt)AQ(t)繞AΩB右圖軸轉動，下一時刻到達AQ(t+Δt)顯然，AQ(t)和AQ(t+Δt)是以坐標系原點為頂點、AΩB為軸線的圓錐上的兩條母線AQ的微分增量Δ一定垂直于AQ和AΩB，且其大小為：其中：θ為AQ與AΩB的夾角于是，AVQ的大小為：方向遵循右手定則，垂直于AQ和AΩB實際上，AVQ垂直等于AQ、AΩB的叉乘：剛體的角速度1432025/6/1如果考慮Q的相對于{B}的變化，即：則：于是，若：則：利用旋轉變換，把已知變量變換到{A}坐標系，得：質點相對參考坐標系的運動坐標系之間的相對轉動回顧叉乘計算方法：剛體的角速度角速度矢量的意義1442025/6/1假設通過等效軸-角變換獲得該矩陣剛體{B}相對于{A}的姿態(tài)矩陣為R

K為旋轉矢量

假設經過小時間間隔Δt，轉軸不變，而轉角為Δθ則可定義角速度矢量可以把角速度矢量簡單理解為剛體{B}繞瞬時轉軸旋轉的時，轉角對時間的導數與單位轉軸矢量的乘積1452025/6/1

對右圖所示的{i+1}坐標系，有：角速度矢量的意義線速度與角速度的綜合1462025/6/1綜合{A}和{B}純平動和純轉動：得：AVBORF≠0BVQ≠0AΩB≠0如果兩剛體{A}和{B}之間既有平動，也有轉動，且{B}中向量Q相對于{B}有運動，即：

AVBORG

≠0AΩB

≠0BVQ

≠0純平動純轉動質點相對參考坐標系的運動坐標系之間的相對轉動坐標系之間的相對平動注意：此式中，線速度矢量AVBORG、BVQ和位置矢量BQ很容易獲得，而如何獲得角速度矢量卻不明確1472.4.1剛體的線速度和角速度2.4.2操作臂連桿的運動速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇異性本節(jié)目錄機器人連桿運動——迭代計算1482025/6/1以坐標系{0}為參考坐標系，則各連桿{i}在坐標系{0}中的速度表示為：任一瞬時，連桿{i}的速度矢量如下圖所示線速度：υi角速度：ωi圖中線速度和角速度均定義在連桿坐標系{i}中線速度：iυi角速度：

iωi連桿{i}軸線{i}機器人連桿運動——迭代計算1492025/6/1考慮右圖通過轉動關節(jié)連接的兩個連桿：在{i}坐標系中考察{i+1}桿的角速度

iωi+1

iωi+1包含兩項：連桿{i}的角速度：

把第二項轉換到{i}坐標系，兩項相加，可得：機器人連桿運動——迭代計算1502025/6/1

在{i}坐標系中考察{i+1}桿坐標原點的線速度

iυi+1

兩項相加，可得：iυi+1包含兩項：連桿{i}的線速度：關節(jié)i的角速度iωi引起的線速度：轉換到{i+1}坐標系：機器人連桿運動——迭代計算1512025/6/1同樣地，可以寫出{i+1}為移動關節(jié)的速度迭代公式{i+1}為轉動關節(jié)的速度迭代公式根據上述迭代公式，即可從基坐標