2016年數(shù)學(xué)全國i卷試題及答案

2016年數(shù)學(xué)全國i卷試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題20分）1.設(shè)集合\(A=\{x|x^2-4x+3<0\}\)，\(B=\{x|2x-3>0\}\)，則\(A\capB=(\)\)A.\((-3,-\frac{3}{2})\)B.\((-3,\frac{3}{2})\)C.\((1,\frac{3}{2})\)D.\((\frac{3}{2},3)\)2.設(shè)\((1+2i)(a+i)\)的實(shí)部與虛部相等，其中\(zhòng)(a\)為實(shí)數(shù)，則\(a=(\)\)A.\(-3\)B.\(-2\)C.\(2\)D.\(3\)3.為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{5}{6}\)4.\(\triangleABC\)的內(nèi)角\(A\)、\(B\)、\(C\)的對邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，已知\(a=\sqrt{5}\)，\(c=2\)，\(\cosA=\frac{2}{3}\)，則\(b=(\)\)A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(2\)D.\(3\)5.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)前9項(xiàng)的和為27，\(a_{10}=8\)，則\(a_{100}=(\)\)A.100B.99C.98D.976.如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是\(\frac{28\pi}{3}\)，則它的表面積是（）A.\(17\pi\)B.\(18\pi\)C.\(20\pi\)D.\(28\pi\)7.函數(shù)\(y=2x^2-e^{|x|}\)在\([-2,2]\)的圖像大致為（）8.若\(a>b>0\)，\(0<c<1\)，則（）A.\(\log_ca<\log_cb\)B.\(c^a>c^b\)C.\(a^c<b^c\)D.\(\log_ac<\log_bc\)9.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的\(x=0\)，\(y=1\)，\(n=1\)，則輸出\(x\)，\(y\)的值滿足（）A.\(y=2x\)B.\(y=3x\)C.\(y=4x\)D.\(y=5x\)10.以拋物線\(C\)的頂點(diǎn)為圓心的圓交\(C\)于\(A\)，\(B\)兩點(diǎn)，交\(C\)的準(zhǔn)線于\(D\)，\(E\)兩點(diǎn).已知\(|AB|=4\sqrt{2}\)，\(|DE|=2\sqrt{5}\)，則\(C\)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）A.2B.4C.6D.8二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題20分）1.下列函數(shù)中，定義域是\(R\)且為增函數(shù)的有（）A.\(y=3^x\)B.\(y=x^3\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=\sinx\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,m)\)，\(\vec=(3,-2)\)，且\((\vec{a}+\vec)\perp\vec\)，則\(m\)的值可能為（）A.-8B.-6C.6D.83.已知直線\(l\)過點(diǎn)\((-2,0)\)，當(dāng)直線\(l\)與圓\(x^2+y^2=2x\)有兩個交點(diǎn)時(shí)，其斜率\(k\)的可能取值有()A.\(-\frac{\sqrt{2}}{4}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{3}{4}\)4.在\(\triangleABC\)中，\(\cosA=\frac{3}{5}\)且\(\cosB=\frac{5}{13}\)，則\(\cosC\)的值不可能為（）A.\(\frac{33}{65}\)B.\(\frac{16}{65}\)C.\(-\frac{16}{65}\)D.\(-\frac{33}{65}\)5.設(shè)函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\varphi)(-\pi\lt\varphi\lt0)\)，\(y=f(x)\)圖像的一條對稱軸是直線\(x=\frac{\pi}{8}\)，則下列說法正確的是（）A.\(\varphi=-\frac{3\pi}{4}\)B.\(f(x)\)在區(qū)間\((\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8})\)上單調(diào)遞減C.\(f(0)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)6.已知三棱錐\(P-ABC\)的所有棱長都相等，\(D\)，\(E\)，\(F\)分別是\(AB\)，\(BC\)，\(CA\)的中點(diǎn)，則（）A.\(BC\parallel\)平面\(PDF\)B.\(DF\perp\)平面\(PAE\)C.平面\(PDF\perp\)平面\(ABC\)D.平面\(PAE\perp\)平面\(ABC\)7.設(shè)等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公比為\(q\)，其前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，前\(n\)項(xiàng)積為\(T_n\)，并且滿足條件\(a_1>1\)，\(a_{7}a_{8}>1\)，\(\frac{a_{7}-1}{a_{8}-1}<0\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(0\ltq\lt1\)B.\(a_7>1\)C.\(S_n\)最大值為\(S_7\)D.\(T_n\)最大值為\(T_7\)8.已知函數(shù)\(y=f(x)\)是\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\geqslant0\)時(shí)，\(f(x)=3^x-1\)，則\(f(-2)\)和\(f(a^2-1)\)的值可能是（）A.\(f(-2)=-8\)B.\(f(-2)=8\)C.若\(a=0\)，\(f(a^2-1)=-2\)D.若\(a=2\)，\(f(a^2-1)=80\)9.直線\(y=x+m\)與圓\(x^2+y^2=1\)在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點(diǎn)，則\(m\)的取值范圍可能是（）A.\((0,1)\)B.\((\sqrt{2},2)\)C.\((1,\sqrt{2})\)D.\((\frac{\sqrt{2}}{2},1)\)10.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\lt0\\x^2+ax,x\geqslant0\end{cases}\)，若\(f(f(-1))=2a\)，則\(a\)的值可能為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.\(\frac{3}{2}\)D.2三、判斷題（每題2分，共10題20分）1.若復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(z(1+i)=2\)，則\(|z|=\sqrt{2}\)。()2.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與\(\vec=(2,4)\)共線。()3.函數(shù)\(y=\cos2x\)的最小正周期是\(\pi\)。()4.在\(\triangleABC\)中，\(a=2\)，\(b=3\)，\(A=45^{\circ}\)，此三角形有兩解。()5.若直線\(a\)不平行于平面\(\alpha\)，則平面\(\alpha\)內(nèi)不存在與直線\(a\)平行的直線。()6.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}-a_n=3\)，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列。()7.函數(shù)\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)是奇函數(shù)。()8.橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)上一點(diǎn)\(M\)到焦點(diǎn)\(F_1\)的距離為\(2\)，\(N\)是\(MF_1\)的中點(diǎn)，則\(|ON|=4\)（\(O\)為坐標(biāo)原點(diǎn)）。()9.對于函數(shù)\(y=f(x)\)與\(y=g(x)\)，若\(f(x_0)=g(x_0)\)，則\(x_0\)是\(y=f(x)\)與\(y=g(x)\)的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。()10.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)且\(x+3y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為\(4+2\sqrt{3}\)。()四、簡答題（每題5分，共4題20分）1.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，\(a_3=7\)，\(S_4=24\)，求\(a_n\)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)公差為\(d\)，由\(a_3=7\)，\(S_4=24\)得\(\begin{cases}a_1+2d=7\\4a_1+6d=24\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a_1=3\\d=2\end{cases}\)，所以\(a_n=3+2(n-1)=2n+1\)。2.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分別是\(\triangleABC\)內(nèi)角\(A\)，\(B\)，\(C\)的對邊，\(a=2\)，\(b=\sqrt{2}\)，\(A=45^{\circ}\)，求\(B\)。答案：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，得\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}\)，將\(a=2\)，\(b=\sqrt{2}\)，\(A=45^{\circ}\)代入，得\(\sinB=\frac{\sqrt{2}\times\sin45^{\circ}}{2}=\frac{1}{2}\)。又\(a\gtb\)，所以\(B=30^{\circ}\)。3.求函數(shù)\(y=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間。答案：化簡\(y=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\)。最小正周期\(T=\pi\)。令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{3}\)，\(k\inZ\)，即單調(diào)遞增區(qū)間為\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)。4.已知圓\(C\)的圓心在直線\(x-2y-3=0\)上，且過點(diǎn)\(A(2,-3)\)，\(B(-2,-5)\)，求圓\(C\)的標(biāo)準(zhǔn)方程。答案：設(shè)圓心坐標(biāo)為\(C(2m+3,m)\)，因?yàn)閈(|CA|=|CB|\)，即\((2m+3-2)^2+(m+3)^2=(2m+3+2)^2+(m+5)^2\)，解得\(m=-2\)，圓心\(C(-1,-2)\)，半徑\(r=\sqrt{(2+1)^2+(-3+2)^2}=\sqrt{10}\)，所以圓\(C\)的標(biāo)準(zhǔn)方程為\((x+1)^2+(y+2)^2=\sqrt{10}\)。五、討論題