2026版《優(yōu)化設(shè)計(jì)大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計(jì)新高考版）第1節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

第1節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102領(lǐng)航備考路徑新課標(biāo)核心考點(diǎn)20202021202220232024Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.等差數(shù)列模型T14T15T17T17

T3T7,T20T18T19T122.等比數(shù)列模型T18T18

T8

T193.等差數(shù)列與等比數(shù)列的交匯模型

T17

4.數(shù)列求和問(wèn)題T18T18T16

T17

T18

優(yōu)化備考策略考情分析:從題型和題量上看,高考對(duì)本章的考查多為“一大一小”的形式,有時(shí)也只考一道解答題.從內(nèi)容上看,小題主要考查等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算,等差、等比數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)列的遞推關(guān)系等.解答題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、等差(等比)數(shù)列的判斷與證明、數(shù)列求和等綜合問(wèn)題.復(fù)習(xí)策略:1.熟記公式.要熟練記憶等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)等.2.重視提高運(yùn)算正確率.本單元中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)無(wú)處不在,需要加強(qiáng)訓(xùn)練,如乘公比錯(cuò)位相減法求和等,要掌握方法,規(guī)避易錯(cuò)點(diǎn),不但要會(huì)做,還要做對(duì).3.關(guān)注數(shù)學(xué)文化背景的數(shù)列試題.數(shù)列非常適宜與數(shù)學(xué)文化結(jié)合命題,尤其是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著中涉及的一些常見(jiàn)數(shù)列題,解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是理解題意,轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列等模型.課標(biāo)解讀1.掌握數(shù)列的有關(guān)概念和表示方法.2.能利用an與Sn的關(guān)系以及遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式.3.理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調(diào)性解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識(shí)梳理1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義數(shù)列按照

排列的一列數(shù)

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的

數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,這個(gè)式子叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫做數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和確定的順序每一個(gè)數(shù)[教材知識(shí)深化]1.從函數(shù)觀點(diǎn)看,數(shù)列{an}可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí),所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.2.對(duì)于一個(gè)數(shù)列,如果只知道它的前幾項(xiàng),而沒(méi)有指出它的變化規(guī)律,是不能確定這個(gè)數(shù)列的.微思考數(shù)列的通項(xiàng)公式an=3n+5,n∈N*與函數(shù)y=3x+5有何區(qū)別與聯(lián)系?提示

數(shù)列的通項(xiàng)公式an=3n+5,n∈N*是特殊的函數(shù),其定義域?yàn)镹*,而函數(shù)y=3x+5的定義域是R,an=3n+5,n∈N*的圖象是離散的點(diǎn),且排列在y=3x+5的圖象上.2.數(shù)列的表示方法

列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n,an)畫在平面直角坐標(biāo)系中

數(shù)列的圖象是坐標(biāo)系中的一些孤立的點(diǎn)公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)用公式表示給出了數(shù)列相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系遞推公式使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表示數(shù)列的方法[教材知識(shí)深化]通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn):公式不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)n的值,直接代入求出an都可確定一個(gè)數(shù)列,也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可通過(guò)賦值,逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng),也可通過(guò)變形轉(zhuǎn)化,直接求出an

S1Sn-Sn-14.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an+1>ann∈N*遞減數(shù)列an+1<an常數(shù)列an+1=an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)微思考數(shù)列的單調(diào)性與對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性相同嗎?

自主診斷一、基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè).(

)(2)1,1,1,1,…,不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.(

)(3)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列.(

)(4)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則對(duì)?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(

)√××√

ABC

3

4.(人教B版選擇性必修第三冊(cè)5.2.2節(jié)練習(xí)B第4題)寫出數(shù)列2,0,2,0,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為

.

B

研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式

C

(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=3n2+2n,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

.6n-1解析

由題知Sn=3n2+2n,則Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=6n-1(n≥2).又a1=S1=5,符合上式,所以an=6n-1(n∈N*).變式探究本例(2)中將“Sn=3n2+2n”改為“Sn=3n2+2n+1”,其余不變,則{an}的通項(xiàng)公式an=

.

B

考點(diǎn)二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式例2(1)(2024·河北唐山二模)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+a1+2n,a10=130,則a1=(

)

A.1 B.2

C.3

D.4D

D

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](1)(2024·福建廈門模擬)南宋數(shù)學(xué)家在《解析九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,高階等差數(shù)列中前后兩項(xiàng)之差并不相等,但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項(xiàng)分別為1,2,4,7,11,16,22,則該數(shù)列的第50項(xiàng)為(

)A.1224 B.1225 C.1226 D.1227C

C

考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)(多考向探究預(yù)測(cè))考向1

數(shù)列的周期性例3

斐波那契數(shù)列{an}可以用如下方法定義:an+2=an+1+an,且a1=a2=1,若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{bn},則數(shù)列{bn}的前2025項(xiàng)和為(

)A.2703 B.2702 C.2700 D.2701C解析

∵an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),a1=a2=1,∴數(shù)列{an}為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列{bn}為1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,又2

025=6×337+3,∴數(shù)列{bn}是以6為周期的周期數(shù)列,∴S2

025=337×(1+1