2026版《優(yōu)化設(shè)計(jì)大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計(jì)新高考版）第4節(jié)數(shù)列求和

第4節(jié)數(shù)列求和高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.鞏固等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.2.掌握數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、并項(xiàng)求和法、倒序相加法,能夠解決數(shù)列的求和問題.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識(shí)梳理

2.倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.3.分組轉(zhuǎn)化法:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列的通項(xiàng)公式的和(或差),則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法,分別求和后再相加(或減).如已知an=2n+(2n-1),求Sn.4.并項(xiàng)求和法:若一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中兩兩結(jié)合后可求和,則可用并項(xiàng)求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.錯(cuò)位相減時(shí),要注意最后一項(xiàng)的符號(hào)5.錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法來(lái)求,如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.6.裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和.自主診斷

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3.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)習(xí)題4.3第6題改編)已知數(shù)列1,11,111,1111,11111,…,則它的前n項(xiàng)和為

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二、連線高考5.(2020·全國(guó)Ⅰ,理17)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項(xiàng).(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.

研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法例1(2024·貴州畢節(jié)一模)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1+2an=3n-5,n∈N*.(1)設(shè)bn=an-n+2,證明:{bn}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

考點(diǎn)二并項(xiàng)求和法例2(2024·福建泉州模擬)在數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1=2an+n-1.(1)證明:數(shù)列{an+n}為等比數(shù)列,并求出an;(2)記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,若an+bn=2Sn,求S11.(1)證明

因?yàn)閍n+1=2an+n-1,所以an+1+n+1=2an+2n=2(an+n).又a1+1=2,所以數(shù)列{an+n}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,故an+n=2×2n-1=2n,可得an=2n-n.(2)解

因?yàn)?Sn=an+bn=bn+2n-n,即2Sn=bn+2n-n,①所以當(dāng)n=1時(shí),2b1=b1+1,解得b1=1,當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=bn-1+2n-1-n+1,②①-②得2bn=bn-bn-1+2n-1-1,整理得bn+bn-1=2n-1-1.所以S11=b1+b2+b3+b4+b5+…+b11=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b10+b11)=1+(22-1)+(24-1)+…+(210-1)=(22+24+26+28+210)-4=1

360,即S11=1

360.

考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法

考點(diǎn)四錯(cuò)位相減法例4(2024·全國(guó)甲,理18)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知4Sn=3an+4.(1)求{a