蘇州新區(qū)一中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

蘇州新區(qū)一中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)在上可導(dǎo)，，則（）A．2 B．4 C．-2 D．-42．已知函數(shù)，的圖象過點(diǎn)，且在上單調(diào)，的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象與原圖象重合，若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，滿足，則（）A． B． C． D．3．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）．A． B．C． D．4．拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線，弦過焦點(diǎn)，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．5．函數(shù)f(x)=13ax3A．0<a<1 B．1<a<2 C．0<a<2 D．a(chǎn)>26．若是虛數(shù)單位，，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．2 D．37．在一次期中考試中，數(shù)學(xué)不及格的人數(shù)占，語文不及格占，兩門都不及格占，若一名學(xué)生語文及格，則該生數(shù)學(xué)不及格的概率為（）A． B． C． D．8．設(shè)，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則9．已知橢圓（為參數(shù)）與軸正半軸，軸正半軸的交點(diǎn)分別為，動(dòng)點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，則面積的最大值為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．11．現(xiàn)有黨員6名，從中任選2名參加黨員活動(dòng)，則不同選法的種數(shù)為（）A．15 B．14 C．13 D．1212．圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示.則球的半徑是()A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為.由此推測(cè)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為________.14．設(shè)，則二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為__________．15．已知函數(shù)，若，則________16．將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有種（用數(shù)字作答）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的值.18．（12分）已知函數(shù).（1）若，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，，證明：，.19．（12分）2018年6月14日，國(guó)際足聯(lián)世界杯足球賽在俄羅斯舉行了第21屆賽事.雖然中國(guó)隊(duì)一如既往地成為了看客，但中國(guó)球迷和參賽的32支隊(duì)伍所在國(guó)球迷一樣，對(duì)本屆球賽熱情似火，在6月14日開幕式的第二天，我校足球社團(tuán)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了120名學(xué)生，對(duì)是否收看開幕式情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：收看沒收看男生6020女生2020（1）根據(jù)上表說明，能否有99%的把握認(rèn)為，是否收看開幕式與性別有關(guān)?（2）現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看了開幕式的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取12人參加志愿者宣傳活動(dòng).（i）問男、女學(xué)生各選取了多少人？（ⅱ）若從這12人中隨機(jī)選取3人到校廣播站開展足球項(xiàng)目的宣傳介紹，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為X，寫出X的分布列，并求.附：，其中.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.87920．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時(shí)？此時(shí)的值是多少？21．（12分）統(tǒng)計(jì)學(xué)中，經(jīng)常用環(huán)比、同比來進(jìn)行數(shù)據(jù)比較，環(huán)比是指本期統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與上期比較，如年月與年月相比，同比是指本期數(shù)據(jù)與歷史同時(shí)期比較，如年月與年月相比.環(huán)比增長(zhǎng)率（本期數(shù)上期數(shù)）上期數(shù)，同比增長(zhǎng)率（本期數(shù)同期數(shù)）同期數(shù).下表是某地區(qū)近個(gè)月來的消費(fèi)者信心指數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：序號(hào)時(shí)間年月年月年月年月年月年月年月年月消費(fèi)者信心指數(shù)2017年月年月年月年月年月年月年月年月年月求該地區(qū)年月消費(fèi)者信心指數(shù)的同比增長(zhǎng)率（百分比形式下保留整數(shù)）；除年月以外，該地區(qū)消費(fèi)者信心指數(shù)月環(huán)比增長(zhǎng)率為負(fù)數(shù)的有幾個(gè)月？由以上數(shù)據(jù)可判斷，序號(hào)與該地區(qū)消費(fèi)者信心指數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系，寫出關(guān)于的線性回歸方程（，保留位小數(shù)），并依此預(yù)測(cè)該地區(qū)年月的消費(fèi)者信心指數(shù)（結(jié)果保留位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)與公式：，，，，）22．（10分）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)（1）求橢圓的方程；（2）若直線l經(jīng)過F2與橢圓交于M，N

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題設(shè)可得，令可得，所以，則，應(yīng)選答案D．2、A【解析】

由圖像過點(diǎn)可得，由的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象與原圖象重合，可知，結(jié)合在上單調(diào)，從而得到，由此得到的解析式，結(jié)合圖像，即可得到答案?！驹斀狻恳?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，則，又，所以.一方面，的圖象向左平移單位后得到的圖象與原函數(shù)圖象重合，則，即，化簡(jiǎn)可知．另一方面，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，即，化簡(jiǎn)可知.綜合兩方面可知．則函數(shù)的解析式為，結(jié)合函數(shù)圖形，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可知?jiǎng)t，故選A．本題主要考查正弦函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)圖像的應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。3、D【解析】

根據(jù)最值計(jì)算，利用周期計(jì)算，當(dāng)時(shí)取得最大值2，計(jì)算，得到函數(shù)解析式.【詳解】由題意可知，因?yàn)?當(dāng)時(shí)取得最大值2，所以:，所以:，解得:，因?yàn)?，所以:可得，可得函數(shù)的解析式:．故選D．本題主要考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得函數(shù)的解析式，熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，可得，即三角形為直角三角形，利用基本不等式，可得當(dāng)直線垂直軸時(shí)，面積取得最小值.【詳解】設(shè)，過A，B的切線交于Q，直線的方程為：，把直線的方程代入得：，所以，則，由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)得：，所以，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得的最大值為，故選B.本題是一道與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的試題，如果能靈活運(yùn)用阿基米德三角形的結(jié)論，即當(dāng)直線過拋物線的焦點(diǎn)，則切線與切線互相垂直，能使運(yùn)算量變得更小.5、D【解析】

函數(shù)f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)【詳解】f'(x)=ax2-2x，函數(shù)f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)上不單調(diào)，即故答案為D.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題.6、B【解析】

先利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，即得解.【詳解】由于由復(fù)數(shù)相等的定義，故選：B本題考查了復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)和復(fù)數(shù)相等的概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

記“一名學(xué)生語文及格”為事件A，“該生數(shù)學(xué)不及格”為事件B，所求即為，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，和題設(shè)數(shù)據(jù)，即得解.【詳解】記“一名學(xué)生語文及格”為事件A，“該生數(shù)學(xué)不及格”為事件B，所求即為：故選：A本題考查了條件概率的計(jì)算，考查了學(xué)生概念理解，實(shí)際應(yīng)用，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)空間線面關(guān)系、面面關(guān)系及其平行、垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則與平行、相交、異面都可以，位置關(guān)系不確定；對(duì)于B選項(xiàng)，若，且，，，根據(jù)直線與平面平行的判定定理知，，，但與不平行；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，在平面內(nèi)可找到兩條相交直線、使得，，于是可得出，，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得；對(duì)于D選項(xiàng)，若，在平面內(nèi)可找到一條直線與兩平面的交線垂直，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理得知，只有當(dāng)時(shí)，才與平面垂直．故選C．本題考查空間線面關(guān)系以及面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷，判斷時(shí)要根據(jù)空間線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理來進(jìn)行，考查邏輯推理能力，屬于中等題．9、B【解析】分析：根據(jù)橢圓的方程算出A（4，1）、B（1，3），從而得到|AB|=5且直線AB：3x+4y﹣12=1．設(shè)點(diǎn)P（4cosθ，3sinθ），由點(diǎn)到直線的距離公式算出P到直線AB距離為d=|sin﹣1|，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)算出dmax=（），由此結(jié)合三角形面積公式，即可得到△PAB面積的最大值．詳解：由題得橢圓C方程為：，∴橢圓與x正半軸交于點(diǎn)A（4，1），與y正半軸的交于點(diǎn)B（1，3），∵P是橢圓上任一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]）∴點(diǎn)P到直線AB：3x+4y﹣12=1的距離為d==|sin﹣1|，由此可得：當(dāng)θ=時(shí)，dmax=（）∴△PAB面積的最大值為S=|AB|×dmax=6（）.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查橢圓的參數(shù)方程和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力計(jì)算能力.(2)對(duì)于|sin﹣1|，不是sin=1時(shí)，整個(gè)函數(shù)取最大值，而應(yīng)該是sin=-1，要看后面的“-1”.10、D【解析】

由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù),由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時(shí)是單調(diào)增函數(shù).則恒成立..令,則時(shí),單調(diào)遞減,時(shí)單調(diào)遞增.故選:D.本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問題,考查恒成立時(shí)求解參數(shù)問題,考查學(xué)生的分析問題的能力和計(jì)算求解的能力,難度較難.11、A【解析】分析：直接利用組合數(shù)求解即可．詳解：現(xiàn)有黨員6名，從中任選2名參加黨員活動(dòng)，則不同選法的種數(shù)為故選A點(diǎn)睛：本題考查組合的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題..12、C【解析】

設(shè)出球的半徑，根據(jù)題意得三個(gè)球的體積和水的體積之和，等于柱體的體積，結(jié)合體積公式求解即可．【詳解】設(shè)球半徑為，則由，可得，解得，故選C.本題主要考查了幾何體的體積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生空間想象能力以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知可歸納推測(cè)出的對(duì)稱中心為，再由函數(shù)平移可得的對(duì)稱中心.【詳解】由題意，題中所涉及的函數(shù)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)依次為，即由此推測(cè)的對(duì)稱中心為.又所以其對(duì)稱中心為.故答案為：本題考查歸納與推理，涉及到函數(shù)的對(duì)稱中心的問題，是一道中檔題.14、192【解析】因?yàn)?，所以，由于通?xiàng)公式，令，則，應(yīng)填答案。15、【解析】

考慮的奇偶性，利用奇偶性解決問題.【詳解】令，則有，且定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，則，即，所以.本題考查類奇偶函數(shù)的運(yùn)用，難度較易.關(guān)鍵是先構(gòu)造出奇偶函數(shù)，然后利用新函數(shù)的值去分析結(jié)果.16、36【解析】試題分析：將4人分成3組，再將3組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，考點(diǎn)：排列組合三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)已知求得，可求得曲線在處的切線方程;（2）由方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，進(jìn)行參變分離得，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)所構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo),分析出其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性和圖象趨勢(shì),極值,從而可得出a的值.【詳解】（1）函數(shù)，，，曲線在處的切線方程為，即.（2）方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∵，所以可得，顯然時(shí)，上式不成立；設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，得.本題考查求在函數(shù)上的一點(diǎn)的切線方程,和根據(jù)方程的根的情況求參數(shù)的值,解決的關(guān)鍵在于進(jìn)行參變分離,構(gòu)造合適的函數(shù),并對(duì)所構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo),分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性和圖象趨勢(shì)和極值,屬于?？碱},難度題.18、（1）（2）見解析【解析】

（1）將a的值代入f(x)，再求導(dǎo)得，在定義域內(nèi)討論函數(shù)單調(diào)性，再由函數(shù)的最小值正負(fù)來判斷它的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）把a(bǔ)的值代入f(x)，將整理化簡(jiǎn)為，即證明該不等式在上恒成立，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知其在定義域上的最小值，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證?！驹斀狻浚?）解：因?yàn)?，所?令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.（2）證明：因?yàn)?，從?又因?yàn)椋砸C，恒成立，即證，恒成立，即證，恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以，所以，所以，恒成立，即，.本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及證明不不等式，運(yùn)用了構(gòu)造新的函數(shù)的方法。19、（1）有（2）（i）男生有9人，女生有3人.（ⅱ）見解析，【解析】

（1）套用公式，算出的值與6.635比較大小，即可得到本題答案；（2）（i）由男女的比例為3：1，即可得到本題答案；（ii）根據(jù)超幾何分布以及離散型隨機(jī)變量的均值公式，即可得到本題答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?9%的把握認(rèn)為，是否收看開幕式與性別有關(guān).（2）（ⅰ）根據(jù)分層抽樣方法得，男生人，女生人，所以選取的12人中，男生有9人，女生有3人.（ⅱ）由題意可知，X的可能取值有0，1，2，3.，，，X0123P∴.本題主要考查分層抽樣，獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用和超幾何分布以及其分布列均值的求法，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20、（Ⅰ）