高數(shù)第四版考試題及答案

高數(shù)第四版考試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\sinx$的周期是（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$4\pi$D.$3\pi$2.極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在3.函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.0D.34.$\intxdx$等于（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.$2x+C$5.$\sinx$的一個(gè)原函數(shù)是（）A.$\cosx$B.-$\cosx$C.$\sinx$D.-$\sinx$6.函數(shù)$y=\lnx$的定義域是（）A.$(-\infty,+\infty)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,0)$D.$[0,+\infty)$7.曲線$y=x^3$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.48.定積分$\int_{0}^{1}xdx$的值為（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.39.函數(shù)$y=\cos(2x)$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$\sin(2x)$B.-$\sin(2x)$C.$2\sin(2x)$D.-$2\sin(2x)$10.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}$的值為（）A.0B.1C.$\infty$D.不存在多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是基本初等函數(shù)（）A.$y=x^n$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\log_ax$2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則有（）A.$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$B.$(uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime$C.$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}$D.$(cf(x))^\prime=cf^\prime(x)$3.下列哪些是無(wú)窮小量（）A.$\lim\limits_{x\to0}x$B.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim\limits_{x\to0}\sinx$D.$\lim\limits_{x\to\infty}e^x$4.不定積分的性質(zhì)有（）A.$\intkf(x)dx=k\intf(x)dx$（$k$為常數(shù)）B.$\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx$C.$(\intf(x)dx)^\prime=f(x)$D.$\intf^\prime(x)dx=f(x)+C$5.函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)的條件是（）A.$f(x)$在$x_0$處有定義B.$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$存在C.$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$D.$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)6.下列哪些函數(shù)是奇函數(shù)（）A.$y=\sinx$B.$y=x^3$C.$y=e^x$D.$y=\frac{1}{x}$7.計(jì)算定積分的方法有（）A.牛頓-萊布尼茨公式B.換元積分法C.分部積分法D.湊微分法8.下列極限存在的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x^2}$B.$\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$C.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$D.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$9.曲線$y=f(x)$的拐點(diǎn)可能出現(xiàn)在（）A.$f^{\prime\prime}(x)=0$的點(diǎn)B.$f^{\prime\prime}(x)$不存在的點(diǎn)C.$f^\prime(x)=0$的點(diǎn)D.$f(x)$的間斷點(diǎn)10.下列哪些是常用的等價(jià)無(wú)窮小（）A.$x\sim\sinx$（$x\to0$）B.$x\sim\tanx$（$x\to0$）C.$x\sim\ln(1+x)$（$x\to0$）D.$1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2$（$x\to0$）判斷題（每題2分，共10題）1.常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0。（）2.函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)一定在該點(diǎn)連續(xù)。（）3.定積分的值與積分變量的選取無(wú)關(guān)。（）4.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的乘積一定是無(wú)窮小量。（）5.若$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$\int_{a}^f(x)dx$存在。（）6.函數(shù)$y=x^2+1$是偶函數(shù)。（）7.一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)是唯一的。（）8.$\lim\limits_{x\to\infty}e^x=0$。（）9.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在$x=0$處連續(xù)。（）10.若$f^\prime(x_0)=0$，則$x_0$一定是函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3+2x+1$的導(dǎo)數(shù)。答：根據(jù)求導(dǎo)公式$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0。$y^\prime=(x^3)^\prime+(2x)^\prime+1^\prime=3x^2+2$。2.計(jì)算$\int\frac{1}{x}dx$。答：根據(jù)基本積分公式，$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$，$C$為任意常數(shù)。3.求極限$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$。答：對(duì)分子因式分解，$x^2-1=(x-1)(x+1)$，則原式$=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2$。4.簡(jiǎn)述函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。答：函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)一定連續(xù)；但函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。例如$y=|x|$在$x=0$處連續(xù)，不可導(dǎo)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的定義域、值域、單調(diào)性和間斷點(diǎn)。答：定義域?yàn)?x\neq1$。值域?yàn)?y\neq0$。在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上分別單調(diào)遞減。$x=1$為間斷點(diǎn)，是無(wú)窮間斷點(diǎn)。2.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答：聯(lián)系：定積分計(jì)算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式建立其關(guān)聯(lián)。區(qū)別：不定積分是一族原函數(shù)，定積分是一個(gè)數(shù)值，由積分區(qū)間確定。3.討論函數(shù)極限存在的條件。答：函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充要條件是左右極限都存在且相等。對(duì)于趨近于無(wú)窮的情況，$x\to+\infty$與$x\to-\infty$時(shí)極限需都存在且相等，極限才存在。4.討論函數(shù)的極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的關(guān)系。答：駐點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如$y=x^3$，$x=0$是駐點(diǎn)不是極值點(diǎn)。答案單項(xiàng)選擇題1.B2.B3.B4.A5.B