【整合課件】6.1-第1課時(shí)-兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

計(jì)數(shù)原理第六章6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課程內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)凝練1．通過實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義．2．能夠利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決簡單問題.在學(xué)習(xí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的過程中，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).第1課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理課前預(yù)習(xí)案完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_______種不同的方法．一、分類加法計(jì)數(shù)原理m＋n

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_______種不同的方法．二、分步乘法計(jì)數(shù)原理m×n

1．判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里打“√”，錯誤的打“×”．(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同． ()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事． ()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的． ()(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有兩個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成． ()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，若要求從兩類課程中選一門，則不同的選法共有 ()A．3種 B．4種C．7種 D．12種答案C3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，則(x，y)可表示不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ()A．1 B．3C．6 D．9答案D4．用1、2、3這3個(gè)數(shù)字可以寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)_________個(gè)．答案15

解析分三類：第一類為一位整數(shù)，有3個(gè)；第二類為兩位整數(shù)，有12,21,13,31,23,32，共6個(gè)；第三類為三位整數(shù)，有123,132,321,312,231,213，共6個(gè)，∴共寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)3＋6＋6＝15個(gè)．[知能解讀]

對分類加法計(jì)數(shù)原理的說明(1)核心：原理的核心是“分類”，完成一件事的方法分為若干類．(2)特點(diǎn)：相互獨(dú)立.各類方案相互獨(dú)立，各類方案中的各種方法也相互獨(dú)立，并且用任何一類方案中任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事．課堂探究案探究一分類加法計(jì)數(shù)原理(3)應(yīng)用：①根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)分類的標(biāo)準(zhǔn)；②在確定的標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；③分類不能重復(fù)，不能遺漏．(4)目的：原理的目的是求解“完成一件事的不同方法數(shù)”，因此在應(yīng)用原理解題時(shí)要有問題意識，明確并努力思考兩個(gè)問題，即問題要求我們完成一件什么事，如何完成這件事． (1)一個(gè)科技小組有3名男同學(xué)，5名女同學(xué)，從中任選1名同學(xué)參加學(xué)科競賽，不同的選派方法共有____________種．答案8

解析任選1名同學(xué)參加學(xué)科競賽，有兩類方案：第一類，從男同學(xué)中選取1名參加學(xué)科競賽，有3種不同的選法；第二類，從女同學(xué)中選取1名參加學(xué)科競賽，有5種不同的選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理得，不同的選派方法共有3＋5＝8種．(2)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個(gè)數(shù)為____________.答案13

解析①當(dāng)a＝0時(shí)，2x＋b＝0總有實(shí)數(shù)根，所以(a，b)的取值有4個(gè)．②當(dāng)a≠0時(shí)，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.a＝－1時(shí)，b的取值有4個(gè)；a＝1時(shí)，b的取值有3個(gè)；a＝2時(shí)，b的取值有2個(gè)．所以(a，b)的取法有9個(gè)．綜合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13個(gè)．[方法總結(jié)]1．使用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的兩個(gè)條件(1)根據(jù)問題的特點(diǎn)能確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類．(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法．只有滿足這些條件，才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理．2．利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題流程[訓(xùn)練1](1)某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有 ()A．3種 B．6種C．7種 D．9種答案C解析分3類：買1本書，買2本書和買3本書．各類的購買方式依次有3種、3種和1種，故購買方式共有3＋3＋1＝7種．(2)如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1,2,3,4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通.今發(fā)現(xiàn)A，B之間電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有____________種．答案13

解析按照可能脫落的個(gè)數(shù)分類討論．若脫落1個(gè)，則有(1)，(4)2種情況；若脫落2個(gè)，則有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)6種情況；若脫落3個(gè)，則有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)4種情況；若脫落4個(gè)，則有(1,2,3,4)1種情況．綜上，共有2＋6＋4＋1＝13種情況．[知能解讀]1．能用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的問題具有如下特點(diǎn)：(1)完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可；(2)完成每一步都有若干種方法；(3)把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．探究二分步乘法計(jì)數(shù)原理2．利用分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意：(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的；(2)“步”與“步”之間是連續(xù)的、不間斷的、缺一不可的，但也不能重復(fù)、交叉；(3)若完成某件事情需n步，則必須且只需依次完成這n個(gè)步驟后，這件事情才算完成． 一種號碼鎖有4個(gè)撥號盤，每個(gè)撥號盤上有從0到9共十個(gè)數(shù)字，這4個(gè)撥號盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號碼(各位上的數(shù)字允許重復(fù))?解按從左到右的順序撥號可以分四步完成：第一步，有10種撥號方式，所以m1＝10；第二步，有10種撥號方式，所以m2＝10；第三步，有10種撥號方式，所以m3＝10；第四步，有10種撥號方式，所以m4＝10.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共可以組成N＝10×10×10×10＝10000個(gè)四位數(shù)的號碼．[變式]本題中，若各位上的數(shù)字不允許重復(fù)，那么這個(gè)撥號盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號碼？解按從左到右的順序撥號可以分四步完成：第一步，有10種撥號方式，即m1＝10；第二步，去掉第一步撥的數(shù)字，有9種撥號方式，即m2＝9；第三步，去掉前兩步撥的數(shù)字，有8種撥號方式，即m3＝8；第四步，去掉前三步撥的數(shù)字，有7種撥號方式，即m4＝7.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共可以組成N＝10×9×8×7＝5040個(gè)四位數(shù)的號碼．[方法總結(jié)]利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路[訓(xùn)練2]已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，則方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圓的個(gè)數(shù)為____________.答案24

解析圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2由3個(gè)量a，b，r確定，確定a，b，r分別有3種，4種，2種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，表示不同圓的個(gè)數(shù)為3×4×2＝24． 現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？探究三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理簡單綜合應(yīng)用解題程序：第一步：泛讀題目明待求結(jié)論：求三種不同條件下選出畫來布置房間的選法種數(shù)．第二步：精讀題目挖已知條件：(1)從14幅中任選一幅畫；(2)從三種不同種類中各選一幅畫；(3)從14幅畫中選出兩幅不同種類的畫．第三步：建立聯(lián)系尋解題思路：(1)采用分類加法計(jì)數(shù)原理求解；(2)采用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；(3)先分類再分步求解．第四步：書寫過程養(yǎng)規(guī)范習(xí)慣．解(1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14種不同的選法．(2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種、2種、7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×2×7＝70種不同的選法．(3)分為三類：每一類又分兩步；第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×2＝10種不同的選法．第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×7＝35種不同的選法．第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有2×7＝14種不同的選法．所以有10＋35＋14＝59種不同的選法．[方法總結(jié)]利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的解題策略用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決具體問題時(shí)，首先要分清是“分類”還是“分步”，區(qū)分分類還是分步的關(guān)鍵是看這種方法能否完成這件事情．其次要清楚“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)，在“分類”時(shí)要遵循“不重不漏”的原則，在“分步”時(shí)要正確設(shè)計(jì)“分步”的程序，注