臺州市重點中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

臺州市重點中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若平面四邊形ABCD滿足，則該四邊形一定是()A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形2．若曲線與曲線在它們的公共點處具有公共切線，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則（）A． B． C．1 D．74．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．在三棱錐中，平面平面ABC，平面PAB，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)，若，則實數(shù)的值為()A． B．6 C． D．7．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（）A． B． C． D．8．從位男生，位女生中選派位代表參加一項活動，其中至少有兩位男生，且至少有位女生的選法共有()A．種 B．種C．種 D．種9．已知函數(shù)（其中）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．的展開式中各項系數(shù)之和為，設(shè)，則（）A． B． C． D．11．有6名學(xué)生，其中有3名會唱歌，2名會跳舞，1名既會唱歌又會跳舞，現(xiàn)從中選出2名會唱歌的，1名會跳舞的，去參加文藝演出，求所有不同的選法種數(shù)為()A．18 B．15 C．16 D．2512．若直線是曲線的切線，則（）A． B．1 C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知∈R，設(shè)命題P：；命題Q：函數(shù)只有一個零點.則使“PQ”為假命題的實數(shù)的取值范圍為______.14．已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是____.15．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，有______．16．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點為,則_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中國綠化基金會的支持下，庫布齊沙漠得到有效治理.2017年底沙漠的綠化率已達，從2018年開始，每年將出現(xiàn)這樣的情況，上一年底沙漠面積的被栽上樹改造為綠洲，而同時，上一年底綠洲面積的又被侵蝕，變?yōu)樯衬?（1）設(shè)庫布齊沙漠面積為1，由綠洲面積和沙漠面積構(gòu)成.2017年底綠洲面積為，經(jīng)過1年綠洲面積為，經(jīng)過n年綠洲面積為，試用表示；（2）問至少需要經(jīng)過多少年的努力才能使庫布齊沙漠的綠洲面積超過（年數(shù)取整數(shù)）.18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有兩個零點，求的取值范圍.19．（12分）幾個月前，成都街頭開始興起“mobike”、“ofo”等共享單車，這樣的共享單車為很多市民解決了最后一公里的出行難題．然而，這種模式也遇到了一些讓人尷尬的問題，比如亂停亂放，或?qū)⒐蚕韱诬囌紴椤八接小钡龋疄榇?，某機構(gòu)就是否支持發(fā)展共享單車隨機調(diào)查了50人，他們年齡的分布及支持發(fā)展共享單車的人數(shù)統(tǒng)計如下表：年齡受訪人數(shù)56159105支持發(fā)展共享單車人數(shù)4512973（Ⅰ）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為年齡與是否支持發(fā)展共享單車有關(guān)系；年齡低于35歲年齡不低于35歲合計支持不支持合計（Ⅱ）若對年齡在，的被調(diào)查人中各隨機選取兩人進行調(diào)查，記選中的4人中支持發(fā)展共享單車的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中．20．（12分）已知數(shù)列的前項和（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求的前項和（結(jié)果需化簡）21．（12分）對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，其中，同時滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)：②當(dāng)定義域為時，的值域為，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，區(qū)間稱為“保值函數(shù)”.（1）求證：函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”；（2）若函數(shù)（）是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，求的取值范圍；（3）對（2）中函數(shù)，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，三棱錐中，，，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：因為,所以四邊形ABCD為平行四邊形，又因為,所以BD垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.考點：向量在證明菱形當(dāng)中的應(yīng)用.點評：在利用向量進行證明時，要注意向量平行與直線平行的區(qū)別，向量平行兩條直線可能共線也可能平行.2、A【解析】分析：設(shè)公共點，求導(dǎo)數(shù)，利用曲線與曲線在它們的公共點處具有公共切線，建立方程組，即可求出a的值.詳解：設(shè)公共點，，，曲線與曲線在它們的公共點處具有公共切線，，解得.故選：A.點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查學(xué)生的計算能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.3、C【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，又由即得到答案。【詳解】由函數(shù)的解析式可得，又由，則本題考查了分段函數(shù)，解答的關(guān)鍵是運用函數(shù)的周期性把轉(zhuǎn)化有具體解析式的范圍內(nèi)。4、B【解析】分析：把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出的坐標(biāo)即可得到結(jié)論.詳解：，，在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點坐標(biāo)為，位于第二象限，故選B.點睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.5、B【解析】

如圖，由題意知，，的中點是球心在平面內(nèi)的射影，設(shè)點間距離為，球心在平面中的射影在線段的高上，則有，可得球的半徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】由題意知，，的中點是球心在平面中的射影，設(shè)點間距離為，球心在平面中的射影在線段的高上，，，，又平面平面ABC，，則平面，，到平面的距離為3，，解得：，所以三棱錐的外接球的半徑，故可得外接球的表面積為.故選：B本題主要考查了棱錐的外接球的表面積的求解，考查了學(xué)生直觀想象和運算求解能力，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵.6、D【解析】

根據(jù)題目復(fù)數(shù)，且，利用復(fù)數(shù)的除法運算法則，將復(fù)數(shù)z化簡成的形式，再令虛部為零，解出的值，即可求解出答案．【詳解】，∵，∴，則．故答案選D．本題主要考查了利用復(fù)數(shù)的除法運算法則化簡以及根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求參數(shù)．7、B【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸常為,故選B.8、B【解析】

由題意知本題要求至少有兩位男生，且至少有1位女生，它包括：兩個男生，兩個女生；三個男生，一個女生兩種情況，寫出當(dāng)選到的是兩個男生，兩個女生時和當(dāng)選到的是三個男生，一個女生時的結(jié)果數(shù)，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．解：∵至少有兩位男生，且至少有1位女生包括：兩個男生，兩個女生；三個男生，一個女生．當(dāng)選到的是兩個男生，兩個女生時共有C52C42=60種結(jié)果，當(dāng)選到的是三個男生，一個女生時共有C53C41=40種結(jié)果，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有60+40=100種結(jié)果，故選B．9、D【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)增減性與對數(shù)函數(shù)的增減性來進行判斷求解【詳解】，為減函數(shù)，若底數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，與題不符，舍去若底數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，的定義域滿足，，因在區(qū)間上單調(diào)遞減，故有，所以答案選D復(fù)合函數(shù)的增減性滿足同增異減，對于對數(shù)函數(shù)中底數(shù)不能確定的情況，需對底數(shù)進行分類討論，再進行求解10、B【解析】

先求出的值，再根據(jù)，利用通項公式求出的值.【詳解】令，可得的展開式中各項系數(shù)之和為，，設(shè)，則.故選：B本題考查了二項式定理求多項式的系數(shù)和，二項式定理展開式的通項公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】名會唱歌的從中選出兩個有種,名會跳舞的選出名有種選法,但其中一名既會唱歌又會跳舞的有一個,兩組不能同時用他,共有種，故選B.12、C【解析】

設(shè)切點坐標(biāo)，求導(dǎo)數(shù)，寫出切線斜率，由切線過點，求出切點坐標(biāo)，得切線斜率．【詳解】直線過定點，設(shè)，切點為，，，∴切線方程為，又切點過點，∴，解得．∴．故選：C.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在未知切點時，一般先設(shè)切點坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)得出切線方程，再結(jié)合已知條件求出切點坐標(biāo)，得切線方程．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：通過討論，分別求出為真時的的范圍，根據(jù)為假命題，則命題均為假命題，從而求出的范圍即可．詳解：命題中，當(dāng)時，符合題意．

當(dāng)時，，則，

所以命題為真，則，

命題中，∵，

由，得或，此時函數(shù)單調(diào)遞增，

由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞減．

即當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，

當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，

要使函數(shù)只有一個零點，則滿足極大值小于0或極小值大于0，

即極大值，解得．

極小值，解得．

綜上實數(shù)的取值范圍：或．為假命題，則命題均為假命題．

即或，

即答案為點睛：本題考查了復(fù)合命題的判斷及其運算，屬中檔題.14、9【解析】

令，先求出當(dāng)時的零點個數(shù)，然后利用周期性和奇偶性判斷在區(qū)間上零點的個數(shù)?！驹斀狻坑捎诙x在上的函數(shù)滿足，函數(shù)為奇函數(shù)，則在上必有，當(dāng)，由得，即，可得：，故，，函數(shù)為周期為3的奇函數(shù)，，此時有3個零點，又,，，此時有1，2，4，5四個零點；當(dāng)，故，即，此時有兩個零點綜上所述：函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是9.本題主要考查函數(shù)零點的判斷，利用函數(shù)的周期性和奇偶性，分別判斷零點的個數(shù)，做到不重不漏，綜合性較強，屬于中檔題。15、【解析】

根據(jù)題意可知，假設(shè)，代入可得到，當(dāng)時，，兩式相減，化簡即可求解出結(jié)果?！驹斀狻坑深}可知，，，所以．故答案為。本題主要考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式過程中的歸納遞推步驟。16、4038.【解析】

由函數(shù)圖象的對稱性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關(guān)于點對稱，則，,即，得解．【詳解】由知：得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關(guān)于點對稱則故，即本題正確結(jié)果：本題考查利用函數(shù)圖象的對稱性來求值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對稱中心，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）至少需要經(jīng)過5年的努力.【解析】

（1）根據(jù)變化規(guī)律確定與關(guān)系；（2）先根據(jù)遞推關(guān)系構(gòu)造一個等比數(shù)列，再求得，最后解不等式得結(jié)果.【詳解】（1）第n+1年綠洲面積由上一年即第n年綠洲面積、增加上一年底沙漠面積的以及減少上一年底綠洲面積的這三部分構(gòu)成，即（2）所以數(shù)列構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，因此由得因此至少需要經(jīng)過年的努力才能使庫布齊沙漠的綠洲面積超過本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式、等比數(shù)列定義以及解指數(shù)不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1），討論a，求得單調(diào)性即可（2）利用（1）的分類討論，研究函數(shù)最值，確定零點個數(shù)即可求解【詳解】（1）因為，其定義域為，所以.①當(dāng)時，令，得；令，得，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時，令，得或；令，得，此時在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.③當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減.④當(dāng)時，令，得或；令，得，此時在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知：①當(dāng)時，.易證，所以.因為，，.所以恰有兩個不同的零點，只需，解得.②當(dāng)時，，不符合題意.③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不符合題意.④當(dāng)時，由于在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，又，由于，，所以，函數(shù)最多只有1個零點，與題意不符.綜上可知，，即的取值范圍為.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)零點問題，考查推理求解能力及分類討論思想，是難題19、（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析.【解析】試題分析：（1）由題意可知a=30,b=10,c=5,d=5,代入：。（2）年齡在的5個受訪人中，有1人支持發(fā)展共享單車；年齡在的6個受訪人中，有5人支持發(fā)展共享單車．隨機變量的所有可能取值為2，3，1．所以，，.試題解析：（Ⅰ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：年齡低于35歲年齡不低于35歲合計支持301010不支持5510合計351550根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到的觀測值為．∴不能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為年齡與是否支持發(fā)展共享單車有關(guān)系．（Ⅱ）由題意，年齡在的5個受訪人中，有1人支持發(fā)展共享單車；年齡在的6個受訪人中，有5人支持發(fā)展共享單車．∴隨機變量的所有可能取值為2，3，1．∵，，，∴隨機變量的分布列為231∴隨機變量的數(shù)學(xué)期望．20、（1）；（2）；【解析】

（1）運用數(shù)列的遞推式得時，，時，，化簡計算可得所求通項公式；（2）求得，運用數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和．【詳解】（1）可得時，則（2）數(shù)列滿足，可得，即，前項和兩式相減可得化簡可得本題考查數(shù)列的遞推式的運用，考查數(shù)列的錯位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，考查運算能力，屬于中檔題．21、（1）證明見詳解；（2）或；（3）【解析】

（1）根據(jù)“保值函數(shù)