云南省玉溪市通海縣第二中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

云南省玉溪市通海縣第二中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合A=1,2,4，B=3,4，則集合A．4 B．1,4 C．2,3 D．1,2,3,42．對(duì)于偶函數(shù)，“的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”是“是周期為2的周期函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件3．已知曲線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的最小值為（）A．10 B．9 C．6 D．44．函數(shù)在處的切線與直線:垂直，則（）A．3 B．3 C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的為2，則輸出的值是（）A．2 B．1 C． D．-16．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的最大值為 B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增7．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則()A．-1 B． C． D．18．已知x，y滿足不等式組則z="2x"+y的最大值與最小值的比值為A． B． C． D．29．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A．2019 B．1 C．0 D．-110．定義運(yùn)算，，例如，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．12．定義在上的函數(shù)，若對(duì)于任意都有且則不等式的解集是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則____14．已知曲線F（x，y）=0關(guān)于x軸、y軸和直線y=x均對(duì)稱，設(shè)集合S={（x，y）|F（x，y）=0，x∈Z，y∈Z}．下列命題：①若（1，2）∈S，則（-2，-1）∈S；②若（0，2）∈S，則S中至少有4個(gè)元素；③S中元素的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)；④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}?S，則{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}?S．其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____．（寫出所有正確命題的序號(hào)）15．已知向量，，若，則__________．16．若""是""的必要不充分條件,則的取值范圍是____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）數(shù)列滿足.（1）計(jì)算，并由此猜想通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.18．（12分）若，(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求證：；(Ⅲ)在(Ⅱ)中的不等式中，能否找到一個(gè)代數(shù)式，滿足所求式？若能，請(qǐng)直接寫出該代數(shù)式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，，且，證明：（為自然對(duì)數(shù)）.20．（12分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，求多面體的體積．21．（12分）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為和.（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（III）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.22．（10分）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在是減函數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用交集的運(yùn)算律可得出集合A∩B?！驹斀狻坑深}意可得A∩B=4，故選：A本題考查集合的交集運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。2、D【解析】

將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)推導(dǎo)的結(jié)果選出正確選項(xiàng).【詳解】依題意，函數(shù)為偶函數(shù)，即.“的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”“是周期為2的周期函數(shù)”.故為充要條件，即本小題選D.本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性，屬于中檔題.3、B【解析】

曲線過(guò)點(diǎn)得，所以展開(kāi)利用均值不等式可求最小值.【詳解】由曲線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)得.所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B本題考查利用均值不等式求滿足條件的最值問(wèn)題，特殊數(shù)值1的特殊處理方法，屬于中檔題.4、A【解析】

先利用求導(dǎo)運(yùn)算得切線的斜率，再由互相垂直的兩直線的關(guān)系，求得的值?！驹斀狻亢瘮?shù)在（1，0）處的切線的斜率是，所以，與此切線垂直的直線的斜率是故選A.本題考查了求導(dǎo)的運(yùn)算法則和互相垂直的直線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，執(zhí)行循環(huán)體，逐次計(jì)算、判斷，即可得到輸出的結(jié)果，得到答案．【詳解】由題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，可得：第一次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第二次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第三次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第四次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第五次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第六次循環(huán)：，不滿足判斷條件，輸出結(jié)果，故選A．本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出問(wèn)題，其中利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法，一定要先確定是用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是用直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是先判斷再循環(huán)，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷；注意輸入框、處理框、判斷框的功能，不可混用，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

根據(jù)平移變換和伸縮變換的原則可求得的解析式，依次判斷的最值、最小正周期、對(duì)稱軸和單調(diào)性，可求得正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得：橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍得：最大值為，可知錯(cuò)誤；最小正周期為，可知錯(cuò)誤；時(shí)，，則不是的對(duì)稱軸，可知錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，可知正確.本題正確選項(xiàng)：本題考查三角函數(shù)平移變換和伸縮變換、正弦型函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、值域和最小正周期的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確圖象變換的基本原則，同時(shí)采用整體對(duì)應(yīng)的方式來(lái)判斷正弦型函數(shù)的性質(zhì).7、B【解析】分析：求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切線方程可得，即可得到答案.詳解：的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，有，解得.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】

解：因?yàn)閤，y滿足不等式組，作出可行域，然后判定當(dāng)過(guò)點(diǎn)（2,2）取得最大，過(guò)點(diǎn)（1,1）取得最小，比值為2，選D9、C【解析】

根據(jù)題意推導(dǎo)出函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，可得出該函數(shù)的周期為，于是得出可得出答案．【詳解】函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)的周期為，且，，，，，，，故選C．本題考查抽象函數(shù)求值問(wèn)題，求值要結(jié)合題中的基本性質(zhì)和相應(yīng)的等式進(jìn)行推導(dǎo)出其他性質(zhì)，對(duì)于自變量較大的函數(shù)值的求解，需要利用函數(shù)的周期性進(jìn)行求解，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題．10、D【解析】分析：欲求函數(shù)y=1*2x的值域，先將其化成分段函數(shù)的形式，再畫出其圖象，最后結(jié)合圖象即得函數(shù)值的取值范圍即可．詳解：當(dāng)1≤2x時(shí)，即x≥0時(shí)，函數(shù)y=1*2x=1當(dāng)1＞2x時(shí)，即x＜0時(shí)，函數(shù)y=1*2x=2x∴f（x）=由圖知，函數(shù)y=1*2x的值域?yàn)椋海?，1]．故選D．點(diǎn)睛：遇到函數(shù)創(chuàng)新應(yīng)用題型時(shí)，處理的步驟一般為：①根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，先確定函數(shù)的定義域；②再化簡(jiǎn)解析式，求函數(shù)解析式的最簡(jiǎn)形式，并分析解析式與哪個(gè)基本函數(shù)比較相似；③根據(jù)定義域和解析式畫出函數(shù)的圖象④根據(jù)圖象分析函數(shù)的性質(zhì)．11、A【解析】

由題意，求得，則，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求解．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，，則，則根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得.故選A.本題主要考查了復(fù)數(shù)的表示，以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

令,求導(dǎo)后根據(jù)題意知道在上單調(diào)遞增，再求出，即可找到不等式的解集。【詳解】令則所以在上單調(diào)遞增，又所以的解集故選D本題考查利用導(dǎo)數(shù)解不等式，屬于中檔題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

去括號(hào)化簡(jiǎn)，令虛部為0，可得答案.【詳解】，故答案為4.本題主要考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的等價(jià)條件.14、①②④【解析】

結(jié)合曲線F（x，y）=0關(guān)于x軸、y軸和直線y=x均對(duì)稱，利用對(duì)稱性分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】①若（1，2）∈S，則（1，2）關(guān)于y=x對(duì)稱的點(diǎn)（2，1）∈S，關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)（2，-1）∈S，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)（-2，-1）∈S；故①正確，②若（0，2）∈S，關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)（0，-2）∈S，關(guān)于y=x對(duì)稱的點(diǎn)（2，0）∈S，（-2，0）∈S，此時(shí)S中至少有4個(gè)元素；故②正確，③若（0，0）∈S，則（0，0）關(guān)于x軸，y軸，y=x對(duì)稱的點(diǎn)是自身，此時(shí)S中元素的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，故③錯(cuò)誤；④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}?S，則關(guān)于y對(duì)稱的集合為{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}?S，從而{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}?S關(guān)于y=x對(duì)稱的集合{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}?S，故④正確，故答案為：①②④本題主要考查命題的真假判斷，結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)稱性分別進(jìn)行驗(yàn)證是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．15、【解析】

先根據(jù)向量的平行求出x的值，再根據(jù)向量的數(shù)量積計(jì)算即可．【詳解】解：∵，因?yàn)?，所以，解得：，所以．本題考查了向量的平行和向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義,結(jié)合不等式的關(guān)系進(jìn)行求解,即可求得答案.【詳解】若""是""的必要不充分條件則即即的取值范圍是:.故答案為:.本題考查利用必要不充分條件求參數(shù)的取值范圍,利用“小范圍能推出大范圍”即可得出參數(shù)的范圍,考查了分析能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，可求a1，a2，a3，a4的值，猜想{an}的通項(xiàng)公式．（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟對(duì)這個(gè)猜想加以證明．詳解：（1）根據(jù)數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；同理，由此猜想；（2）當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；假設(shè)（為大于等于1的正整數(shù)）時(shí)，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)（大于等于1的正整數(shù)）時(shí)，∴，∴，即時(shí)，結(jié)論成立，則.點(diǎn)睛：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法18、(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析；(Ⅲ)答案見(jiàn)解析.【解析】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)由不等式的性質(zhì)可證得.則.(Ⅲ)利用放縮法可給出結(jié)論：,或．詳解：（Ⅰ）因?yàn)椋?，所以，所?Ⅱ)因?yàn)?所以．又因?yàn)?所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得．所以．所以.（i)因?yàn)?所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得．所以(ii)所以由兩邊都是正數(shù)的同向不等式的相乘性可將以上兩不等式(i)(ii)相乘得.(Ⅲ)因?yàn)?，，所?或．(只要寫出其中一個(gè)即可)點(diǎn)睛：本題主要考查不等式的性質(zhì)，放縮法及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】分析：（1）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在為增函數(shù)，所以在上恒成立，等價(jià)于，由此可求的取值范圍；（2）求出，因?yàn)橛袃蓸O值點(diǎn)，所以，設(shè)令，則，上式等價(jià)于要證，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證出即可．詳解：（1）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在為增函數(shù)，所以在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，即，因?yàn)?，所以，故的取值范圍?（2）可知，所以，因?yàn)橛袃蓸O值點(diǎn)，所以，欲證，等價(jià)于要證：，即，所以，因?yàn)?，所以原式等價(jià)于要證明：，①由，可得，則有，②由①②原式等價(jià)于要證明：，即證，令，則，上式等價(jià)于要證，令，則因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，即.所以原不等式成立，即.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，屬難題．20、（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）平面得到，，得到平面.（Ⅱ）證明平面，平面，再計(jì)算得到答案.【詳解】（Ⅰ）∵平面平面，，平面平面，∴平面，∴．在菱形中，，可知為等邊三角形，為中點(diǎn)，∴．∵，∴平面．（Ⅱ）如圖，取的中點(diǎn)為，連接，則．矩形和菱形所在的平面相互垂直，平面平面，故平面，平面，∴．本題考查了線面垂直，幾何體的體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.21、（I）；（II）增區(qū)間是，，減區(qū)間是；（III）最大值為，最小值為.【解析】試題分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由于導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以這兩個(gè)零點(diǎn)值滿足，解方程組求出m,n；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，先求f(1),求出切點(diǎn)，再求得出斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程，求單調(diào)區(qū)間只需在定義域下解不等式和，求出增區(qū)間和減區(qū)間；求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，先研究函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性、極值，求出區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值，比較后得出最值.試題解析：（1）∵，∴，由知，解得從而