2026版步步高大一輪數(shù)學江蘇基礎第三章§3.6函數(shù)中的構造問題（含答案或解析）

§3.6函數(shù)中的構造問題重點解讀1.函數(shù)中的構造問題是高考考查的一個熱點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過已知等式或不等式的結構特征，構造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.2.同構函數(shù)問題是指在不等式、方程、函數(shù)中，通過等價變形形成相同形式，再構造函數(shù)，同構法主要解決含有指數(shù)、對數(shù)混合的等式或不等式問題.題型一導數(shù)型構造函數(shù)命題點1利用f(x)與x構造函數(shù)例1(2024·綿陽模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(－x)，且當x∈(－∞，0]時，f(x)＋xf'(x)>0成立，若a＝30.2·f(30.2)，b＝ln2·f(ln2)，c＝log319·f

log319，則aA.a>b>c B.c>b>aC.c>a>b D.a>c>b思維升華(1)出現(xiàn)nf(x)＋xf'(x)形式，構造函數(shù)F(x)＝xnf(x).(2)出現(xiàn)xf'(x)－nf(x)形式，構造函數(shù)F(x)＝f(跟蹤訓練1已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf'(x)－f(x)<0，且f(2)＝2，則f(ex)－ex>0的解集是()A.(－∞，ln2) B.(ln2，＋∞)C.(0，e2) D.(e2，＋∞)命題點2利用f(x)與ex構造函數(shù)例2已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f'(x)>0，且有f(3)＝3，則f(x)>3e3－x的解集為.

思維升華(1)出現(xiàn)f'(x)＋nf(x)形式，構造函數(shù)F(x)＝enxf(x).(2)出現(xiàn)f'(x)－nf(x)形式，構造函數(shù)F(x)＝f(跟蹤訓練2已知f(x)為定義在R上的可導函數(shù)，f'(x)為其導函數(shù)，且f(x)<f'(x)恒成立，則()A.f(2025)<ef(2026)B.ef(2025)<f(2026)C.ef(2025)＝f(2026)D.ef(2025)>f(2026)命題點3利用f(x)與sinx，cosx構造函數(shù)例3(2025·杭州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)sinx＋f'(x)cosx>0，則()A.f

π3<3f

π6 B.f

π6<C.f

π3>3f

π6 D.f

π6>3思維升華函數(shù)f(x)與sinx，cosx相結合構造可導函數(shù)的幾種常見形式F(x)＝f(x)sinx，F(xiàn)'(x)＝f'(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝f(F'(x)＝f'(F(x)＝f(x)cosx，F(xiàn)'(x)＝f'(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝f(F'(x)＝f'(跟蹤訓練3(2024·齊齊哈爾模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，π)，其導函數(shù)是f'(x).若對任意的x∈(0，π)，有f'(x)sinx－f(x)cosx<0，則關于x的不等式f(x)>2f

π6sinxA.0，π3 C.π3，π 題型二同構法構造函數(shù)命題點1雙變量同構例4已知α，β均為銳角，且α＋β－π2>sinβ－cosαA.sinα>sinβ B.cosα>cosβC.cosα>sinβ D.sinα>cosβ命題點2指對同構例5(多選)若ea＋a>b＋lnb(a，b為變量)成立，則下列選項正確的是()A.a>lnb B.a<lnbC.ea>b D.ea<b思維升華指對同構的常用形式(1)積型：aea≤blnb，一般有三種同構方式：①同左構造形式：aea≤lnbelnb，構造函數(shù)f(x)＝xex；②同右構造形式：ealnea≤blnb，構造函數(shù)f(x)＝xlnx；③取對構造形式：a＋lna≤lnb＋ln(lnb)(a>0，b>1)，構造函數(shù)f(x)＝x＋lnx.(2)商型：eaa≤①同左構造形式：eaa≤elnblnb，構造函數(shù)f②同右構造形式：ealnea≤blnb，構造函數(shù)f③取對構造形式：a－lna≤lnb－ln(lnb)(a>0，b>1)，構造函數(shù)f(x)＝x－lnx.(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有兩種同構方式：①同左構造形式：ea±a>elnb±lnb，構造函數(shù)f(x)＝ex±x；②同右構造形式：ea±lnea>b±lnb，構造函數(shù)f(x)＝x±lnx.跟蹤訓練4(1)若2x－2y<3－x－3－y，則()A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0(2)(2024·鹽城模擬)若不等式ax－exlna≤0(a>e)在x∈[2，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的最大值為.

答案精析例1A[令g(x)＝xf(x)，x∈R，因為f(x)＝f(－x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，又因為當x∈(－∞，0]時，f(x)＋xf'(x)>0，所以當x∈(－∞，0]時，g'(x)＝f(x)＋xf'(x)>0，所以g(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，又g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又因為a＝30.2·f(30.2)＝g(30.2)，b＝ln2·f(ln2)＝g(ln2)，c＝log319·f

＝glog319＝又－2<0<ln2<lne＝1＝30<30.2，所以g(－2)<g(ln2)<g(30.2)，即a>b>c.]跟蹤訓練1A[令g(x)＝f(x)x，x∈(0則g'(x)＝xf'(故g(x)＝f(x)x在(0結合f(2)＝2，得g(2)＝f(2)2由f(ex)－ex>0，得f(e即g(ex)>g(2)，∴ex<2，則x<ln2，即f(ex)－ex>0的解集是(－∞，ln2).]例2(3，＋∞)解析設F(x)＝f(x)·ex，則F'(x)＝f'(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f'(x)]>0，∴F(x)是增函數(shù).又f(3)＝3，則F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等價于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集為(3，＋∞).跟蹤訓練2B[設g(x)＝f(x)ex，則g'(因為f(x)<f'(x)恒成立，即f'(x)－f(x)>0恒成立，所以g'(x)>0恒成立，g(x)為增函數(shù)，則g(2025)<g(2026)，則f(2025)e2025即ef(2025)<f(2026).]例3B[令F(x)＝f(x)cosx，x≠π2＋k故F'(x)＝f'(x)cosx＋f(x)sinxcos2x故Fπ6<Fπ3，即fπ6cosπ6fπ6<3fπ3跟蹤訓練3B[令函數(shù)g(x)＝f(x)sinx，x∈則g'(x)＝f'(因此函數(shù)g(x)在(0，π)上單調(diào)遞減，不等式f(x)>2fπ6sinx?f(x即g(x)>gπ6，解得0<x<π所以原不等式的解集為0，π例4D[∵α＋β－π2>sinβ－cosα∴β－sinβ>π2－α－sinπ令f(x)＝x－sinx，x∈0，π則f'(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在0，π∵α，β均為銳角，則π2－α∈0，π2，β∴β>π2－α∴cosβ<cosπ2sinβ>sinπ2∴cosβ<sinα，sinβ>cosα.]例5AC[方法一由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋a>elnb＋lnb，令f(x)＝ex＋x，則f(a)>f(lnb)，因為f(x)在R上是增函數(shù)，所以a>lnb，即ea>b.方法二由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋lnea>b＋lnb，令g(x)＝x＋lnx，則g(ea)>g(b)，因為g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以ea>b，即a>lnb.]跟蹤訓練4(1)A[由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2t為增函數(shù)，y＝3－t為減函數(shù)，∴f(t)為增函數(shù)，∴x<y，∴y－x＋1>1，∴l(xiāng)n(y－x＋1)>0，故A正確，B錯誤；∵|x－y|與1的大小不確定，故C，D無法確定.](2)e2解析由ax－exlna≤0得xex≤設f(x)＝xex，則f'(x)＝當x>1時，f'(x)<0，所以f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則xex≤lnaelna，即f(x)≤又x，lna∈(1，＋∞)，所以x≥lna恒成立，又x∈[2，＋∞)，即lna≤2，所以e<a≤e2，所以a的最大值為e2.

3.6函數(shù)中的構造問題重點解讀1.函數(shù)中的構造問題是高考考查的一個熱點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過已知等式或不等式的結構特征，構造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.2.同構函數(shù)問題是指在不等式、方程、函數(shù)中，通過等價變形形成相同形式，再構造函數(shù)，同構法主要解決含有指數(shù)、對數(shù)混合的等式或不等式問題.題型一導數(shù)型構造函數(shù)命題點1利用f(x)與x構造函數(shù)例1(2024·綿陽模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(-x)，且當x∈(-∞，0]時，f(x)+xf'(x)>0成立，若a=30.2·f(30.2)，b=ln2·f(ln2)，c=log319·f

log319，則a，b，A.a>b>c B.c>b>aC.c>a>b D.a>c>b答案A解析令g(x)=xf(x)，x∈R，因為f(x)=f(-x)，所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，又因為當x∈(-∞，0]時，f(x)+xf'(x)>0，所以當x∈(-∞，0]時，g'(x)=f(x)+xf'(x)>0，所以g(x)在(-∞，0]上單調(diào)遞增，又g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又因為a=30.2·f(30.2)=g(30.2)，b=ln2·f(ln2)=g(ln2)，c=log319·f

log319=glo又-2<0<ln2<lne=1=30<30.2，所以g(-2)<g(ln2)<g(30.2)，即a>b>c.思維升華(1)出現(xiàn)nf(x)+xf'(x)形式，構造函數(shù)F(x)=xnf(x).(2)出現(xiàn)xf'(x)-nf(x)形式，構造函數(shù)F(x)=f(跟蹤訓練1已知定義在(0，+∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf'(x)-f(x)<0，且f(2)=2，則f(ex)-ex>0的解集是()A.(-∞，ln2) B.(ln2，+∞)C.(0，e2) D.(e2，+∞)答案A解析令g(x)=f(x)x，x∈(0則g'(x)=xf'(故g(x)=f(x)x在(0結合f(2)=2，得g(2)=f(2)2由f(ex)-ex>0，得f(e即g(ex)>g(2)，∴ex<2，則x<ln2，即f(ex)-ex>0的解集是(-∞，ln2).命題點2利用f(x)與ex構造函數(shù)例2已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f'(x)>0，且有f(3)=3，則f(x)>3e3-x的解集為.

答案(3，+∞)解析設F(x)=f(x)·ex，則F'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f'(x)]>0，∴F(x)是增函數(shù).又f(3)=3，則F(3)=f(3)·e3=3e3.∵f(x)>3e3-x等價于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集為(3，+∞).思維升華(1)出現(xiàn)f'(x)+nf(x)形式，構造函數(shù)F(x)=enxf(x).(2)出現(xiàn)f'(x)-nf(x)形式，構造函數(shù)F(x)=f(跟蹤訓練2已知f(x)為定義在R上的可導函數(shù)，f'(x)為其導函數(shù)，且f(x)<f'(x)恒成立，則()A.f(2025)<ef(2026)B.ef(2025)<f(2026)C.ef(2025)=f(2026)D.ef(2025)>f(2026)答案B解析設g(x)=f(x)ex，則g'(因為f(x)<f'(x)恒成立，即f'(x)-f(x)>0恒成立，所以g'(x)>0恒成立，g(x)為增函數(shù)，則g(2025)<g(2026)，則f(2025)e2025即ef(2025)<f(2026).命題點3利用f(x)與sinx，cosx構造函數(shù)例3(2025·杭州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)sinx+f'(x)cosx>0，則()A.fπ3<3fπ6 BC.fπ3>3fπ6 D答案B解析令F(x)=f(x)cosx，x≠π2+k故F'(x)=f'(x故F(x)=f(x)cosx在?故Fπ6<Fπ3，即fπ6cosπ6<fπ3cos思維升華函數(shù)f(x)與sinx，cosx相結合構造可導函數(shù)的幾種常見形式F(x)=f(x)sinx，F(xiàn)'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx；F(x)=f(F'(x)=f'(F(x)=f(x)cosx，F(xiàn)'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx；F(x)=f(F'(x)=f'(跟蹤訓練3(2024·齊齊哈爾模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，π)，其導函數(shù)是f'(x).若對任意的x∈(0，π)，有f'(x)sinx-f(x)cosx<0，則關于x的不等式f(x)>2f

π6sinx的解集為(A.0，π3 B.0，π6 C.π答案B解析令函數(shù)g(x)=f(x)sinx，x∈則g'(x)=f'(x因此函數(shù)g(x)在(0，π)上單調(diào)遞減，不等式f(x)>2f

π6sinx?f(x即g(x)>gπ6，解得0<x<π所以原不等式的解集為0，π題型二同構法構造函數(shù)命題點1雙變量同構例4已知α，β均為銳角，且α+β-π2>sinβ-cosα，則(A.sinα>sinβ B.cosα>cosβC.cosα>sinβ D.sinα>cosβ答案D解析∵α+β-π2>sinβ-cosα∴β-sinβ>π2-α-sinπ令f(x)=x-sinx，x∈0，π則f'(x)=1-cosx>0，∴f(x)在0，π∵α，β均為銳角，則π2-α∈0，π2，β∴β>π2-α∴cosβ<cosπ2?α，sinβ∴cosβ<sinα，sinβ>cosα.命題點2指對同構例5(多選)若ea+a>b+lnb(a，b為變量)成立，則下列選項正確的是()A.a>lnb B.a<lnbC.ea>b D.ea<b答案AC解析方法一由ea+a>b+lnb，可得ea+a>elnb+lnb，令f(x)=ex+x，則f(a)>f(lnb)，因為f(x)在R上是增函數(shù)，所以a>lnb，即ea>b.方法二由ea+a>b+lnb，可得ea+lnea>b+lnb，令g(x)=x+lnx，則g(ea)>g(b)，因為g(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，所以ea>b，即a>lnb.思維升華指對同構的常用形式(1)積型：aea≤blnb，一般有三種同構方式：①同左構造形式：aea≤lnbelnb，構造函數(shù)f(x)=xex；②同右構造形式：ealnea≤blnb，構造函數(shù)f(x)=xlnx；③取對構造形式：a+lna≤lnb+ln(lnb)(a>0，b>1)，構造函數(shù)f(x)=x+lnx.(2)商型：eaa≤①同左構造形式：eaa≤elnblnb，構造函數(shù)f②同右構造形式：ealnea≤blnb，構造函數(shù)f③取對構造形式：a-lna≤lnb-ln(lnb)(a>0，b>1)，構造函數(shù)f(x)=x-lnx.(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有兩種同構方式：①同左構造形式：ea±a>elnb±lnb，構造函數(shù)f(x)=ex±x；②同右構造形式：ea±lnea>b±lnb，構造函數(shù)f(x)=x±lnx.跟蹤訓練4(1)若2x-2y<3-x-3-y，則()A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0答案A解析由2x-2y<3-x-3-y，得2x-3-x<2y-3-y，令f(t)=2t-3-t，∵y=2t為增函數(shù)，y=3-t為減函數(shù)，∴f(t)為增函數(shù)，∴x<y，∴y-x+1>1，∴l(xiāng)n(y-x+1)>0，故A正確，B錯誤；∵|x-y|與1的大小不確定，故C，D無法確定.(2)(2024·鹽城模擬)若不等式ax-exlna≤0(a>e)在x∈[2，+∞)上恒成立，則實數(shù)a的最大值為.

答案e2解析由ax-exlna≤0得xex≤lna設f(x)=xex，則f'(x)=當x>1時，f'(x)<0，所以f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，則xex≤lnaelna，即f(x)≤又x，lna∈(1，+∞)，所以x≥lna恒成立，又x∈[2，+∞)，即lna≤2，所以e<a≤e2，所以a的最大值為e2.課時精練(分值：52分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.已知a>0，b>0，則“a>b”是“l(fā)nab>1a-1b”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析lnab>1a-即lna-1a>lnb-1記f(x)=lnx-1x，x>0顯然f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，因為f(a)>f(b)，所以a>b>0.2.已知f'(x)是函數(shù)f(x)(x∈R)的導函數(shù)，且?x∈R，f'(x)>2x，f(2)=5，則不等式f(x)>x2+1的解集為()A.(-∞，2) B.(2，+∞)C.(-∞，2) D.(2，+∞)答案B解析令g(x)=f(x)-x2，則g'(x)=f'(x)-2x>0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又f(2)=5，所以g(2)=f(2)-22=1，不等式f(x)>x2+1，即f(x)-x2>1，即g(x)>g(2)，所以x>2，即不等式f(x)>x2+1的解集為(2，+∞).3.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當x>0時，f'(x)sinx+f(x)cosx>0，則下列說法正確的是()A.f5π6<-f7π6<-B.-f7π6<f5π6<-C.-f?π6<-f7π6D.-f?π6<f5π6答案D解析令g(x)=f(x)sinx，因為f(x)為奇函數(shù)，則g(x)為偶函數(shù)，g'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx，又當x>0時，f'(x)sinx+f(x)cosx>0，則g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，則有g?π6=gπ6<g5π6即-12f?π6<12f5π即-f?π6<f5π6<-4.設a，b都為正數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若aea<blnb，則()A.ab>e B.b>eaC.ab<e D.b<ea答案B解析由aea<blnb，得ealnea<blnb.設f(x)=xlnx(x>0)，因為a>0，則ea>1，因為b>0，且blnb>aea>0，則b>1.當x>1時，f'(x)=lnx+1>0，則f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，ealnea<blnb，即f(ea)<f(b)，所以ea<b.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.(2025·滁州模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，其導函數(shù)為f'(x)，且對任意的x∈R，都有f(x)+f'(x)>0，則下列說法正確的是()A.ef(1)<f(0) B.ef(1)>f(0)C.2f(ln2)<ef(1) D.2f(ln2)>ef(1)答案BC解析令g(x)=exf(x)，所以g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0，所以g(x)在R上是增函數(shù)，所以g(0)<g(1)，即f(0)<ef(1)，故A錯誤，B正確；又g(ln2)<g(1)，所以eln2f(ln2)<ef(1)，即2f(ln2)<ef(1)，故C正確，D錯誤.6.已知正數(shù)a，b滿足2a+log2a=4b+2log4b，則()A.a>2b B.a<2bC.a>b D.a<b答案BC解析原等式可化為2a+log2a=22b+log2b，令f(x)=2x+log2x，顯然f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∵2b>b>0，∴2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b)，∴f(a)<f(2b)，∴a<2b，故A錯誤，B正確；又2a+log2a=22b+log2b>2b+log2b，∴f(a)>f(b)，∴a>b，故C正確，D錯誤.三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)為f(x)的導函數(shù)，且滿足f(x)<-xf'(x)，則不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是.

答案(2，+∞)解析根據(jù)題意，構造函數(shù)y=xf(x)，x∈(0，+∞)，則y'=f(x)+xf'(x)<0，所以函數(shù)y=xf(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.又因為f(x+1)>(x-1)f(x2-1)，所以(x+1)f(x+1)>(