2026版步步高大一輪數(shù)學(xué)江蘇基礎(chǔ)第十章§10.1計(jì)數(shù)原理（含答案或解析）

§10.1計(jì)數(shù)原理課標(biāo)要求1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法.分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法.(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法.分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同.()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.()(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.()2.從6名班委中選出2人分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng)，一共有種選法()

A.11 B.12 C.30 D.363.每天從甲地到乙地的飛機(jī)有5班，高鐵有10趟，動(dòng)車有6趟，公共汽車有12班.某人某天從甲地前往乙地，則其出行方案共有()A.22種 B.33種 C.300種 D.3600種4.現(xiàn)有4種不同的顏色，對(duì)圖中四邊形中的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有種.題型一分類加法計(jì)數(shù)原理例1(1)有紅、黃、藍(lán)的小旗各一面，從中選用1面、2面或3面升上旗桿，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，則可表示不同的信號(hào)種數(shù)為()A.6 B.12 C.14 D.15(2)(2024·湛江模擬)某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備編號(hào)為1，2，3，4的四道試題，編號(hào)為1，2，3，4的四名面試者分別回答其中的一道試題(每名面試者回答的試題互不相同)，則每名面試者回答的試題的編號(hào)和自己的編號(hào)都不同的情況共有()A.9種 B.10種 C.11種 D.12種思維升華使用分類加法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏.(2)分類時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).跟蹤訓(xùn)練1從集合{3，5，7，9，11}中任取兩個(gè)數(shù)作為a，b，可以得到不同的焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程x2a2A.25 B.20 C.10 D.16題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理例2(1)(2025·重慶模擬)無人機(jī)集群智能燈光秀是一種集無人機(jī)技術(shù)和智能照明相結(jié)合的藝術(shù)表演.它利用大量無人機(jī)排列組合，加上燈光智能照明的“協(xié)作”，依據(jù)編程和算法，制造出驚人的3D視覺效果.如圖，在某一次無人機(jī)燈光表演秀中，有8架無人機(jī)排布成如圖形式，已知每架無人機(jī)均可以發(fā)出紅、黃、藍(lán)3種顏色的光，編號(hào)1至5號(hào)的無人機(jī)顏色必須相同，編號(hào)7，8號(hào)的無人機(jī)顏色必須相同，編號(hào)6號(hào)的無人機(jī)與其他無人機(jī)顏色均不相同，則這8架無人機(jī)同時(shí)發(fā)光時(shí)，一共可以有種燈光組合()

A.9 B.12 C.15 D.18(2)(多選)高二年級(jí)安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多位同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說法正確的有()A.所有可能的安排方法有45種B.如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有369種C.如果同學(xué)甲、乙、丙、丁中任何兩人都不在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法有120種D.如果甲與乙、甲與丙不能在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有400種思維升華利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的.(2)將這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·徐州模擬)甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長(zhǎng)沙四個(gè)城市中任選一個(gè)前去游玩，其中甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有()A.18種 B.48種 C.108種 D.192種(2)甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是.(用數(shù)字作答)

題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3(1)(2025·濮陽(yáng)模擬)對(duì)一個(gè)四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)著色，現(xiàn)有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連接的兩個(gè)頂點(diǎn)不能著相同的顏色，則不同的著色方法有種.(用數(shù)字作答)

(2)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是()A.48 B.18C.24 D.36思維升華求完成一件事的方法種數(shù)的計(jì)算步驟(1)審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的.(2)分析完成這件事應(yīng)采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種.(3)弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù).(4)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出完成這件事的方法種數(shù).跟蹤訓(xùn)練3(1)一個(gè)圓的圓周上均勻分布6個(gè)點(diǎn)，在這些點(diǎn)與圓心共7個(gè)點(diǎn)中，任取3個(gè)點(diǎn)，這3個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成不同的等邊三角形的個(gè)數(shù)為.(2)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著無窮無盡的美，尤以對(duì)稱美最為直觀和顯著.回文數(shù)是對(duì)稱美的一種體現(xiàn)，它是從左到右讀與從右到左讀都一樣的整數(shù)，如22，121，3443，94249等，則10000以內(nèi)的自然數(shù)中，回文數(shù)有個(gè).

答案精析落實(shí)主干知識(shí)(1)m+nm1+m2+…+mn(2)m×nm1×m2×…×mn自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)√2.C[6×(6－1)＝30.]3.B[從甲地到乙地不同的出行方案數(shù)為5+10+6+12＝33.]4.48解析將四個(gè)區(qū)域標(biāo)記為A，B，C，D，如圖所示，第一步涂A，有4種涂法，第二步涂B，有3種涂法，第三步涂C，有2種涂法，第四步涂D，有2種涂法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，一共有4×3×2×2＝48(種)著色方法.探究核心題型例1(1)D[掛一面旗時(shí)，有3種情況；掛兩面旗時(shí)，有3×2＝6(種)情況；掛三面旗時(shí)，有3×2×1＝6(種)情況，所以共3+6+6＝15(種)情況.](2)A[第一類，編號(hào)為1的面試者回答2號(hào)試題，則有2143，2341，2413，共3種情況；第二類，編號(hào)為1的面試者回答3號(hào)試題，則有3142，3412，3421，共3種情況；第三類，編號(hào)為1的面試者回答4號(hào)試題，則有4123，4312，4321，共3種情況.所以共有3+3+3＝9(種)不同的情況.]跟蹤訓(xùn)練1C[焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程中，必有a>b，則a可取5，7，9，11，共4個(gè)可能，b可取3，5，7，9，共4個(gè)可能，若a＝5，則b＝3，有1個(gè)滿足條件的橢圓；若a＝7，則b＝3，5，有2個(gè)滿足條件的橢圓；若a＝9，則b＝3，5，7，有3個(gè)滿足條件的橢圓；若a＝11，則b＝3，5，7，9，有4個(gè)滿足條件的橢圓，所以共有1+2+3+4＝10(個(gè))滿足條件的橢圓.]例2(1)B[先考慮6號(hào)，有3種顏色可選，則剩下的1至5號(hào)有2種顏色可選，7，8號(hào)也有2種顏色可選，所以一共有3×2×2＝12(種)燈光組合.](2)BCD[安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多位同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，故有5×5×5×5＝54(種)安排方法，A錯(cuò)誤；如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有54－44＝369(種)，B正確；如果同學(xué)甲、乙、丙、丁中任何兩人都不在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法有5×4×3×2＝120(種)，C正確；如果甲與乙、甲與丙不能在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有5×4×4×5＝400(種)，D正確.]跟蹤訓(xùn)練2(1)D[因?yàn)榧撞蝗ケ本?，?yīng)該分步完成：第一步，甲在上海、西安、長(zhǎng)沙三個(gè)城市中任選一個(gè)，有3種選法；第二步，乙、丙、丁從北京、上海、西安、長(zhǎng)沙四個(gè)城市中分別任選一個(gè)，有4×4×4＝64(種)選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同選法有3×64＝192(種).](2)336解析甲有7種站法，乙有7種站法，丙有7種站法，故不考慮限制共有7×7×7＝343(種)站法，其中三個(gè)人站在同一級(jí)臺(tái)階上有7種站法，故符合本題要求的不同站法有343－7＝336(種).例3(1)420解析根據(jù)題意可知，在四棱錐P－ABCD中，如圖所示，按照P－A－B－C－D的順序進(jìn)行著色，則P點(diǎn)有5種顏色可選，A點(diǎn)有4種顏色可選，B點(diǎn)有3種顏色可選，若C點(diǎn)顏色與A點(diǎn)相同，則D點(diǎn)有3種顏色可選；若C點(diǎn)顏色與A點(diǎn)不同，則C點(diǎn)有2種顏色可選，此時(shí)D點(diǎn)有2種顏色可選，所以共有5×4×3×(1×3+2×2)＝420(種)不同的著色方法.(2)D[正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12＝24(個(gè))；對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)；不存在四個(gè)頂點(diǎn)確定的平面與體對(duì)角線垂直，所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24+12＝36(個(gè)).]跟蹤訓(xùn)練3(1)8解析如圖1，由圓上相鄰兩個(gè)點(diǎn)和圓心可構(gòu)成等邊三角形，共有6個(gè)；如圖2，由圓上相間隔的三點(diǎn)可構(gòu)成等邊三角形，共有2個(gè)，所以在這7個(gè)點(diǎn)中，任取3個(gè)點(diǎn)，這3個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成不同的等邊三角形的個(gè)數(shù)為6+2＝8.(2)199解析一位回文數(shù)有0，1，2，…，9，共10個(gè)；兩位回文數(shù)有11，22，33，…，99，共9個(gè)；三位回文數(shù)有101，111，121，…，191，202，…，999，共90個(gè)；四位回文數(shù)有1001，1111，1221，…，1991，2002，2112，2222，…，2992，…，9009，9119，9229，…，9999，共90個(gè)，所以10000以內(nèi)的自然數(shù)中，回文數(shù)有10+9+90+90＝199(個(gè)).

§10.1計(jì)數(shù)原理課標(biāo)要求1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(√)(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.(×)(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.(√)2.從6名班委中選出2人分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng)，一共有種選法()

A.11 B.12 C.30 D.36答案C解析6×(6-1)=30.3.每天從甲地到乙地的飛機(jī)有5班，高鐵有10趟，動(dòng)車有6趟，公共汽車有12班.某人某天從甲地前往乙地，則其出行方案共有()A.22種 B.33種 C.300種 D.3600種答案B解析從甲地到乙地不同的出行方案數(shù)為5+10+6+12=33.4.現(xiàn)有4種不同的顏色，對(duì)圖中四邊形中的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有種.

答案48解析將四個(gè)區(qū)域標(biāo)記為A，B，C，D，如圖所示，第一步涂A，有4種涂法，第二步涂B，有3種涂法，第三步涂C，有2種涂法，第四步涂D，有2種涂法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，一共有4×3×2×2=48(種)著色方法.題型一分類加法計(jì)數(shù)原理例1(1)有紅、黃、藍(lán)的小旗各一面，從中選用1面、2面或3面升上旗桿，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，則可表示不同的信號(hào)種數(shù)為()A.6 B.12 C.14 D.15答案D解析掛一面旗時(shí)，有3種情況；掛兩面旗時(shí)，有3×2=6(種)情況；掛三面旗時(shí)，有3×2×1=6(種)情況，所以共3+6+6=15(種)情況.(2)(2024·湛江模擬)某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備編號(hào)為1，2，3，4的四道試題，編號(hào)為1，2，3，4的四名面試者分別回答其中的一道試題(每名面試者回答的試題互不相同)，則每名面試者回答的試題的編號(hào)和自己的編號(hào)都不同的情況共有()A.9種 B.10種 C.11種 D.12種答案A解析第一類，編號(hào)為1的面試者回答2號(hào)試題，則有2143，2341，2413，共3種情況；第二類，編號(hào)為1的面試者回答3號(hào)試題，則有3142，3412，3421，共3種情況；第三類，編號(hào)為1的面試者回答4號(hào)試題，則有4123，4312，4321，共3種情況.所以共有3+3+3=9(種)不同的情況.思維升華使用分類加法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏.(2)分類時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).跟蹤訓(xùn)練1從集合{3，5，7，9，11}中任取兩個(gè)數(shù)作為a，b，可以得到不同的焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程x2a2A.25 B.20 C.10 D.16答案C解析焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程中，必有a>b，則a可取5，7，9，11，共4個(gè)可能，b可取3，5，7，9，共4個(gè)可能，若a=5，則b=3，有1個(gè)滿足條件的橢圓；若a=7，則b=3，5，有2個(gè)滿足條件的橢圓；若a=9，則b=3，5，7，有3個(gè)滿足條件的橢圓；若a=11，則b=3，5，7，9，有4個(gè)滿足條件的橢圓，所以共有1+2+3+4=10(個(gè))滿足條件的橢圓.題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理例2(1)(2025·重慶模擬)無人機(jī)集群智能燈光秀是一種集無人機(jī)技術(shù)和智能照明相結(jié)合的藝術(shù)表演.它利用大量無人機(jī)排列組合，加上燈光智能照明的“協(xié)作”，依據(jù)編程和算法，制造出驚人的3D視覺效果.如圖，在某一次無人機(jī)燈光表演秀中，有8架無人機(jī)排布成如圖形式，已知每架無人機(jī)均可以發(fā)出紅、黃、藍(lán)3種顏色的光，編號(hào)1至5號(hào)的無人機(jī)顏色必須相同，編號(hào)7，8號(hào)的無人機(jī)顏色必須相同，編號(hào)6號(hào)的無人機(jī)與其他無人機(jī)顏色均不相同，則這8架無人機(jī)同時(shí)發(fā)光時(shí)，一共可以有種燈光組合()

A.9 B.12 C.15 D.18答案B解析先考慮6號(hào)，有3種顏色可選，則剩下的1至5號(hào)有2種顏色可選，7，8號(hào)也有2種顏色可選，所以一共有3×2×2=12(種)燈光組合.(2)(多選)高二年級(jí)安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多位同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說法正確的有()A.所有可能的安排方法有45種B.如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有369種C.如果同學(xué)甲、乙、丙、丁中任何兩人都不在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法有120種D.如果甲與乙、甲與丙不能在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有400種答案BCD解析安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多位同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，故有5×5×5×5=54(種)安排方法，A錯(cuò)誤；如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有54-44=369(種)，B正確；如果同學(xué)甲、乙、丙、丁中任何兩人都不在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法有5×4×3×2=120(種)，C正確；如果甲與乙、甲與丙不能在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有5×4×4×5=400(種)，D正確.思維升華利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的.(2)將這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·徐州模擬)甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長(zhǎng)沙四個(gè)城市中任選一個(gè)前去游玩，其中甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有()A.18種 B.48種 C.108種 D.192種答案D解析因?yàn)榧撞蝗ケ本瑧?yīng)該分步完成：第一步，甲在上海、西安、長(zhǎng)沙三個(gè)城市中任選一個(gè)，有3種選法；第二步，乙、丙、丁從北京、上海、西安、長(zhǎng)沙四個(gè)城市中分別任選一個(gè)，有4×4×4=64(種)選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同選法有3×64=192(種).(2)甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是.(用數(shù)字作答)

答案336解析甲有7種站法，乙有7種站法，丙有7種站法，故不考慮限制共有7×7×7=343(種)站法，其中三個(gè)人站在同一級(jí)臺(tái)階上有7種站法，故符合本題要求的不同站法有343-7=336(種).題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3(1)(2025·濮陽(yáng)模擬)對(duì)一個(gè)四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)著色，現(xiàn)有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連接的兩個(gè)頂點(diǎn)不能著相同的顏色，則不同的著色方法有種.(用數(shù)字作答)

答案420解析根據(jù)題意可知，在四棱錐P-ABCD中，如圖所示，按照P-A-B-C-D的順序進(jìn)行著色，則P點(diǎn)有5種顏色可選，A點(diǎn)有4種顏色可選，B點(diǎn)有3種顏色可選，若C點(diǎn)顏色與A點(diǎn)相同，則D點(diǎn)有3種顏色可選；若C點(diǎn)顏色與A點(diǎn)不同，則C點(diǎn)有2種顏色可選，此時(shí)D點(diǎn)有2種顏色可選，所以共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(種)不同的著色方法.(2)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是()A.48 B.18 C.24 D.36答案D解析正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12=24(個(gè))；對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)；不存在四個(gè)頂點(diǎn)確定的平面與體對(duì)角線垂直，所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24+12=36(個(gè)).思維升華求完成一件事的方法種數(shù)的計(jì)算步驟(1)審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的.(2)分析完成這件事應(yīng)采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種.(3)弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù).(4)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出完成這件事的方法種數(shù).跟蹤訓(xùn)練3(1)一個(gè)圓的圓周上均勻分布6個(gè)點(diǎn)，在這些點(diǎn)與圓心共7個(gè)點(diǎn)中，任取3個(gè)點(diǎn)，這3個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成不同的等邊三角形的個(gè)數(shù)為.

答案8解析如圖1，由圓上相鄰兩個(gè)點(diǎn)和圓心可構(gòu)成等邊三角形，共有6個(gè)；如圖2，由圓上相間隔的三點(diǎn)可構(gòu)成等邊三角形，共有2個(gè)，所以在這7個(gè)點(diǎn)中，任取3個(gè)點(diǎn)，這3個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成不同的等邊三角形的個(gè)數(shù)為6+2=8.(2)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著無窮無盡的美，尤以對(duì)稱美最為直觀和顯著.回文數(shù)是對(duì)稱美的一種體現(xiàn)，它是從左到右讀與從右到左讀都一樣的整數(shù)，如22，121，3443，94249等，則10000以內(nèi)的自然數(shù)中，回文數(shù)有個(gè).

答案199解析一位回文數(shù)有0，1，2，…，9，共10個(gè)；兩位回文數(shù)有11，22，33，…，99，共9個(gè)；三位回文數(shù)有101，111，121，…，191，202，…，999，共90個(gè)；四位回文數(shù)有1001，1111，1221，…，1991，2002，2112，2222，…，2992，…，9009，9119，9229，…，9999，共90個(gè)，所以10000以內(nèi)的自然數(shù)中，回文數(shù)有10+9+90+90=199(個(gè)).課時(shí)精練(分值：73分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.(2025·深圳模擬)某高校要求學(xué)生除了學(xué)習(xí)第二語(yǔ)言英語(yǔ)，還要求同時(shí)進(jìn)修第三語(yǔ)言和第四語(yǔ)言，其中第三語(yǔ)言可從A類語(yǔ)言：日語(yǔ)、韓語(yǔ)、越南語(yǔ)、柬埔寨語(yǔ)中任選一個(gè)，第四語(yǔ)言可從E類語(yǔ)言：法語(yǔ)、德語(yǔ)、俄語(yǔ)、西班牙語(yǔ)、意大利語(yǔ)中任選一個(gè)，則學(xué)生可選取的語(yǔ)言組合數(shù)為()A.20 B.25 C.30 D.35答案A解析第三語(yǔ)言可從4個(gè)A類語(yǔ)言中任選一個(gè)，有4種方法；第四語(yǔ)言可從5個(gè)E類語(yǔ)言中任選一個(gè)，有5種方法，所以共有4×5=20(種).2.(2024·宿遷統(tǒng)考)某女生有3件不同顏色的襯衣，4件不同花樣的半裙，另有3套不同樣式的連衣裙，“五一”節(jié)選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有()A.24種 B.10種 C.9種 D.15種答案D解析第一類：選擇襯衣和半裙，共有3×4=12(種)選擇方式；第二類：選擇連衣裙，共有3種選擇方式，所以共有12+3=15(種)選擇方式.3.如圖所示，要接通從A到B的一條電路，不同的接法共有()A.6種 B.7種 C.8種 D.12種答案C解析最上面的線路有3種，中間線路1種，下面線路有2×2=4(種)，三種情況相加為8種.4.(2024·北京模擬)某興趣小組組織A，B，C三項(xiàng)比賽，請(qǐng)甲、乙、丙三位同學(xué)參加，每項(xiàng)冠軍只有一人，若甲恰好拿到其中一項(xiàng)冠軍，則不同的冠軍歸屬情況有()A.6種 B.12種 C.18種 D.27種答案B解析先從A，B，C三項(xiàng)冠軍中挑選一項(xiàng)冠軍安排給甲，有3種情況，剩余兩項(xiàng)冠軍可以給乙，也可以給丙，有22=4(種)情況，綜上，當(dāng)甲恰好拿到其中一項(xiàng)冠軍時(shí)，不同的冠軍歸屬情況有3×4=12(種).5.已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A.40 B.16 C.13 D.10答案C解析分兩類情況討論：第一類，直線a分別與直線b上的8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面；第二類，直線b分別與直線a上的5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定8+5=13(個(gè))不同的平面.6.(2024·來賓模擬)中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙安排2人，夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙安排1人.若安排甲、乙兩人在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有()A.12種 B.16種 C.20種 D.24種答案B解析按照甲、乙兩人在天和核心艙與問天實(shí)驗(yàn)艙兩種情況討論：①若甲、乙兩人在天和核心艙，則需要從剩余4人中再選1人，剩下的3人去其余的兩個(gè)艙位，則有C41②若甲、乙兩人在問天實(shí)驗(yàn)艙，則在剩下的4人中選3人去天和核心艙即可，共有C43根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有12+4=16(種)不同的安排方案.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共18分)7.現(xiàn)有4個(gè)興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說法正確的是()A.選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為30B.每組選1名組長(zhǎng)的選法種數(shù)為3024C.若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335D.若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種答案ABC解析選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為6+7+8+9=30，故A正確；每組選1名組長(zhǎng)的選法種數(shù)為6×7×8×9=3024，故B正確；2人需來自不同的小組的選法種數(shù)為6×7+6×8+6×9+7×8+7×9+8×9=335，故C正確；依題意，若不考慮限制，每個(gè)人有4種選擇，共有43種選擇，若第一組沒有人選，每個(gè)人有3種選擇，共有33種選擇，所以不同的選法有43-33=37(種)，故D錯(cuò)誤.8.(2025·廣州模擬)第15屆全運(yùn)會(huì)于2025年11月9日至11月21日在廣東、香港、澳門三地舉行.現(xiàn)安排小明、小紅、小兵三名志愿者到甲、乙、丙、丁四個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行服務(wù)，每名志愿者只能選擇一個(gè)場(chǎng)館，且允許多人選擇同一個(gè)場(chǎng)館，下列說法中正確的有()A.所有可能的方法有34種B.若甲場(chǎng)館必須有志愿者去，則不同的安排方法有37種C.若志愿者小明必須去甲場(chǎng)館，則不同的安排方法有16種D.若三名志愿者所選場(chǎng)館各不相同，則不同的安排方法有24種答案BCD解析對(duì)于A，所有可能的方法有43種，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若甲場(chǎng)館沒有志愿者去，則不同的安排方法有33種，所以甲場(chǎng)館必須有志愿者去的不同的安排方法有43-33=37(種)，故B正確；對(duì)于C，若小明必去甲場(chǎng)館，則小紅、小兵兩名志愿者各有4種安排，共有4×4=16(種)不同的安排方法，故C正確；對(duì)于D，若三名志愿者所選場(chǎng)館各不相同，則共有A43=24(種)不同的安排方法，故D9.某市地鐵按照乘客乘坐的站數(shù)實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價(jià)如表所示.現(xiàn)有小明、小華兩位乘客同時(shí)從首站乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個(gè)站下地鐵的可能性相同，則下列結(jié)論正確的是()站數(shù)x0<x≤33<x≤66<x≤9票價(jià)/元234A.若小明、小華兩人共花費(fèi)5元，則小明、小華下地鐵的方案共有9種B.若小明、小華兩人共花費(fèi)5元，則小明、小華下地鐵的方案共有18種C.若小明、小華兩人共花費(fèi)6元，則小明、小華下地鐵的方案共有27種D.若小明、小華兩人共花費(fèi)6元，則小明比小華先下地鐵的方案共有12種(同一地鐵站出站不分先后)答案BCD解析兩人共花費(fèi)5元分為兩類：小明花費(fèi)2元，小華花費(fèi)3元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有3×3=9(種)，同理當(dāng)小明花費(fèi)3元，小華花費(fèi)2元時(shí)，兩人下地鐵的方案也是9種，所以兩人下地鐵的方案共有18種，A不正確，B正確；兩人共花費(fèi)6元分為三類：①小明花費(fèi)2元，小華花費(fèi)4元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有3×3=9(種)；②小明花費(fèi)3元，小華花費(fèi)3元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有3×3=9(種)；③小明花費(fèi)4元，小華花費(fèi)2元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有3×3=9(種)，所以兩人下地鐵的方案共有27種，C正確；小明比小華先下地鐵分為兩類：①小明花費(fèi)2元，小華花費(fèi)4元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有9種；②小明和小華均花費(fèi)3元，小明比小華先下地鐵僅有3種方案，所以共有12種方案，D正確.三、