第20講期末復(fù)習(xí)（講義）

第20講期末復(fù)習(xí)模塊一：三角一、單選題1．（2021·上海高一單元測(cè)試）若，則點(diǎn)必在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由的范圍，判斷的正負(fù)，即可得出結(jié)論.【詳解】，點(diǎn)在第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.2．（2021·上海）在△中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C試題分析：由正弦定理，得，由得，即，由大邊對(duì)大角得；當(dāng)?shù)?，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要條件，故答案為C.考點(diǎn)：1、正弦定理的應(yīng)用；2、充要條件的判斷.3．（2021·上海）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理直接求解即可.【詳解】由正弦定理知，,即，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于容易題.4．（2021·上海）設(shè)，.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，則滿(mǎn)足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（a,b）的對(duì)數(shù)為.（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B試題分析：，，又，，注意到，只有這兩組．故選B．【考點(diǎn)】三角函數(shù)【名師點(diǎn)睛】本題根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，利用分類(lèi)討論的方法，確定得到的可能取值.本題主要考查考生的邏輯思維能力、基本運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想等.5．（2021·上海高一單元測(cè)試）使成立的的一個(gè)變化區(qū)間是A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)線解不等式得解.【詳解】如圖所示當(dāng)和時(shí)，，故使成立的的一個(gè)變化區(qū)間是.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)線的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6．（2021·上海高一單元測(cè)試）若，則的值為A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可得，所以，再利用余弦的倍角公式和兩角差的正弦公式，即可求解.【詳解】由題意，因?yàn)?，可得，所以又由余弦的倍角公式，可?故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的倍角公式，以及兩角差的正弦公式的應(yīng)用，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，若，，則（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的解析式，求得，，進(jìn)而得到，，結(jié)合兩角差的余弦公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令，即，即，所以，令，即，即，所以，又因?yàn)椋?，即，，所以，，即，，平方可得，，兩式相加可得，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式，三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，以及函數(shù)的解析式的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用三角函數(shù)的恒等變換的公式進(jìn)行運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.二、填空題8．（2021·上海）在中，若，則這個(gè)三角形一定為_(kāi)_____三角形.【答案】直角【分析】由正弦定理得到，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谥校?，由正弦定理可得：，滿(mǎn)足勾股定理，因此，該三角形是直角三角形.故答案為直角【點(diǎn)睛】本題主要考查判斷三角形的形狀，熟記正弦定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.9．（2021·上海）在中，若，，，則______.【答案】【分析】先由正弦定理求出，再由大邊對(duì)大角，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，，由正弦定理可得：，所以，又，所以，因?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理以及三角形的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.10．（2021·上海）在中，若，，，則______.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理，可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，，由正弦定理可得：，所?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.11．（2021·上海楊浦區(qū)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知扇形的圓心角為，半徑為5，則扇形的面積為_(kāi)_____.【答案】【分析】利用弧長(zhǎng)公式先求解弧長(zhǎng)，再利用扇形的面積公式求解.【詳解】因?yàn)樯刃蔚膱A心角為，半徑為，所以扇形的弧長(zhǎng)，所以面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的弧長(zhǎng)公式與面積公式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題..12．（2021·上海楊浦區(qū)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知某扇形的圓心角為2弧度，弧長(zhǎng)為6，則扇形的面積為_(kāi)_________．【答案】9【分析】記圓心角為，弧長(zhǎng)為，扇形所在圓的半徑為，根據(jù)題中條件，由扇形面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】記圓心角為，弧長(zhǎng)為，扇形所在圓的半徑為，由題意可得，，，所以，因此扇形的面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求扇形的面積，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.13．（2020·上海南匯中學(xué)高一期末）若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則________．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，直接求解.【詳解】由條件可知，.故答案為：14．（2021·上海高一單元測(cè)試）若（為第四象限角），則__________.【答案】【分析】由得，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系求出，切化弦化簡(jiǎn)，再代入即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，由為第四象限角得，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查同角的三角函數(shù)關(guān)系，在解題時(shí)可先化簡(jiǎn)再求值以減少計(jì)算量，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（2021·上海高一單元測(cè)試）某班在東方綠洲軍訓(xùn)時(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽（如圖），它由腰長(zhǎng)為，頂角為的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，則該八邊形的面積的最大值為_(kāi)__________.【答案】【分析】由八邊形求出的范圍，把八邊形面積用表示后由三角函數(shù)性質(zhì)求得最大值．【詳解】由題意圖中正方形邊長(zhǎng)為，∴八邊形面積為，又由題意，∴，∴時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)用已知角表示出八邊形面積，由三角函數(shù)恒等變換化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值．本題中注意由八邊形條件求出的范圍．16．（2020·上海南匯中學(xué)高一期末）一個(gè)扇形的周長(zhǎng)是，圓心角為，則此扇形的面積為_(kāi)_______．【答案】【分析】設(shè)該扇形的半徑為，根據(jù)已知條件求出的值，再利用扇形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)該扇形的半徑為，則該扇形的弧長(zhǎng)為，扇形的周長(zhǎng)為，解得，因此，該扇形的面積為.故答案為：.17．（2021·上海）若，且，則________.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式求出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、的值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，所以，，，故，故答案為?18．（2021·上海高一單元測(cè)試）如圖，在△中，三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，為△外一點(diǎn)，，，則平面四邊形面積的最大值為_(kāi)_______【答案】【分析】根據(jù)題意和正弦定理，化簡(jiǎn)得，進(jìn)而得到，在中，由余弦定理，求得，進(jìn)而得到，，得出四邊形的面積為，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，在中，因?yàn)?，所以，可?即，所以，所以，又因?yàn)?，可得，所以，?因?yàn)椋?，在中，，由余弦定理，可得，又因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，所以，又因?yàn)椋运倪呅蔚拿娣e為，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積有最大值，最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知，，，則__________.【答案】【分析】由于，故先求出、，再根據(jù)兩角和的正弦公式求值即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，，∴，，又，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正弦公式的應(yīng)用，注意角與角之間的關(guān)系，考查整體思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．20．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的兩個(gè)根，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【分析】由題意，根的判別式且，求出的范圍，再根據(jù)韋達(dá)定理，用表示出和，然后用兩角和的正切公式表示出，借助一次函數(shù)的單調(diào)性即可求出最小值．【詳解】解：由題意有，且，∴，且，∵是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，和，∴，∵，且，∴，且，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正切公式得應(yīng)用，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．21．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知α為第二象限角，化簡(jiǎn)=________【答案】1【分析】直接利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，變換是解題的關(guān)鍵.22．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知?jiǎng)t________.【答案】【分析】先由的范圍和求得的符號(hào)和的值，再根據(jù)余弦的二倍角公式，求得的值.【詳解】，所以，，又因?yàn)樗杂忠驗(yàn)榻獾霉蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，二倍角的余弦公式的應(yīng)用，注意的符號(hào)，這是本題的易錯(cuò)點(diǎn).三、解答題23．（2021·上海）的外接圓半徑是2，若，，求邊長(zhǎng).【答案】或【分析】先正弦定理得到，求出，或，進(jìn)而可得出，或，從而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈耐饨訄A半徑是2，，，所以（其中為外接圓半徑），即，所以，或，因此，或，所以或.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理即可，屬于?？碱}型.24．（2021·上海）在中，，，，求邊長(zhǎng)和的面積.【答案】;【分析】先由求出；再由正弦定理求出，根據(jù)三角形面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，，所以；由正弦定理可得：，所以，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理以及三角形面積公式即可，屬于?？碱}型.25．（2021·上海高一單元測(cè)試）若角的終邊上有一點(diǎn)，且.（1）判斷實(shí)數(shù)符號(hào)，并說(shuō)明理由；（2）求的值.【答案】（1），見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由可得是第二象限，然后根據(jù)，得到的取值范圍；（2）由，計(jì)算出的長(zhǎng)，按點(diǎn)在第二象限和第三象限分類(lèi)討論，然后計(jì)算出和的值，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以得到和異?hào)，所以在第二象限或者第三象限，當(dāng)在第二象限可得，，當(dāng)在第三象限時(shí)，不成立，綜上，的取值為.（2）因?yàn)楫?dāng)在第二象限可得，所以，當(dāng)在第二象限，，所以可得，，，所以，【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的正負(fù)判斷角所在的象限，由終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值，屬于簡(jiǎn)單題.26．（2021·上海高一單元測(cè)試）求證：（1）；（2）．【分析】直接利用同角的三角函數(shù)關(guān)系證明．【詳解】證：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查同角的三角函數(shù)關(guān)系及其應(yīng)用，屬于中檔題．27．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，將兩邊同時(shí)平方先求出，再求出；（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合立方差公式求；（3）由和（1）的結(jié)論聯(lián)立求出和，求出，將原式弦化切后再代入求值．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，又，∴，，∴；（2）由（1）可知，，∴；（3）∵，，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查同角的三角函數(shù)關(guān)系以及齊次式的化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．28．（2021·上海）在中，若，求的取值范圍.【答案】【分析】利用正弦定理，把邊化角，結(jié)合二倍角公式，可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可得所以所以因?yàn)椋?，于是，因此，即，故的取值范圍?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，還考查了二倍角公式，屬中檔題.29．（2021·上海楊浦區(qū)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知，且是第四象限角，求的值.【答案】.【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，且是第四象限角，所以，因?yàn)?，解得或因?yàn)槭堑谒南笙藿牵运?0．（2021·上海）在△ABC中，若，試判斷△ABC的形狀．【答案】△ABC為等腰三角形或直角三角形．【分析】利用正弦定理和切化弦技巧化簡(jiǎn)，得到，解得或，從而判斷△ABC的形狀.【詳解】由正弦定理，得，即，．∴，或．∵，則或．故△為等腰三角形或直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，切化弦技巧，解三角方程，屬于中檔題.31．（2021·上海楊浦區(qū)·高一專(zhuān)題練習(xí)）某輪船以海里/小時(shí)的速度航行，在點(diǎn)測(cè)得海面上油井在南偏東60度．輪船從處向北航行30分鐘后到達(dá)處，測(cè)得油井在南偏東15度，且海里．輪船以相同的速度改為向東北方向再航行60分鐘后到達(dá)點(diǎn)．（1）求輪船的速度；（2）求、兩點(diǎn)的距離（精確到l海里）．【答案】（1）40海里/小時(shí)；（2）56海里.【分析】（1）在中，利用正弦定理求解.（2）在中，ly余弦定理求解.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，即，解得.所以海里/小時(shí)；（2）在中，由余弦定理得：，，，所以海里【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.模塊二：三角函數(shù)一、單選題1．（2021·上海楊浦區(qū)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的是（）A．在第一象限和第四象限內(nèi)是減函數(shù)B．在第一象限和第三象限內(nèi)是增函數(shù)C．在上是減函數(shù)D．在上是增函數(shù)【答案】D【分析】直接利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可【詳解】對(duì)于，該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，故A錯(cuò)，C錯(cuò).對(duì)于，該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，故B錯(cuò)，D對(duì).故選：D【點(diǎn)睛】此題考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題2．（2021·上海高一單元測(cè)試）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【分析】將函數(shù)表示為，結(jié)合三角函數(shù)的變換規(guī)律可得出正確選項(xiàng).【詳解】，因此，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移變換，解決三角函數(shù)平移變換需要注意以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）變換前后兩個(gè)函數(shù)名稱(chēng)要保持一致；（2）平移變換指的是在自變量上變化了多少.3．（2021·上海高一單元測(cè)試）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A.是奇函數(shù)，上單調(diào)遞增，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B.是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C.是奇函數(shù)，且定義域?yàn)?，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為，D選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義域、單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.4．（2021·上海楊浦區(qū)·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷．【詳解】記每個(gè)函數(shù)為，A中，是偶函數(shù)，錯(cuò)；B中，是偶函數(shù)，錯(cuò)；C中函數(shù)原點(diǎn)不是對(duì)稱(chēng)中心，軸不是對(duì)稱(chēng)軸，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，錯(cuò)；D中函數(shù)，是奇函數(shù)，正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇偶性的定義是解題關(guān)鍵．5．（2021·上海）已知、均為銳角，且，則、的大小關(guān)系是A． B． C． D．不能確定【答案】A【分析】將等式化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)有界性，利用不等式以及的單調(diào)性判斷出、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)樵谏线f增，且，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度一般.(1)分析角的大小，可通過(guò)相應(yīng)的三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析；(2)注意借助三角函數(shù)的有界性進(jìn)行不等式的放縮.6．（2021·上海）把函數(shù)的圖象沿著軸向左平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）后得到函數(shù)的圖象，對(duì)于函數(shù)有以下四個(gè)判斷：（1）該函數(shù)的解析式為；（2）該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（3）該函數(shù)在上是增函數(shù)；（4）若函數(shù)在上的最小值為，則.其中正確的判斷有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】利用正弦型函數(shù)的圖象變換規(guī)律求得函數(shù)的解析式，然后利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可得出結(jié)論.【詳解】把函數(shù)的圖象沿著軸向左平移個(gè)單位，可得的圖象，再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）后得到函數(shù)的圖象，對(duì)于函數(shù)，故（1）錯(cuò)誤；由于當(dāng)時(shí)，，故該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故（2）正確；在上，，故函數(shù)該函數(shù)在上不是增函數(shù)，故（3）錯(cuò)誤；在上，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上取得最小值為，，故（4）正確，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型三角函數(shù)圖象變換，同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)基本性質(zhì)的判斷，考查推理能力，屬于中等題.7．（2021·上海高一單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)，，值域?yàn)椋瑒t以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．的最小值為 B．a(chǎn)不可能等于，C．的最大值為 D．b不可能等于，【答案】D【分析】作出正弦函數(shù)y=sinx的圖象，并加以觀察并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)A、B、C、D各項(xiàng)的結(jié)論進(jìn)行推理論證，結(jié)合取特殊的a、b值檢驗(yàn)，可得選項(xiàng).【詳解】解：作出正弦函數(shù)y=sinx的圖象，加以觀察得：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)的最小值為，函數(shù)的最大值，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?，達(dá)到最小值，故A正確；對(duì)于B，如果，由于沒(méi)有達(dá)到最小值1，則才能出現(xiàn)函數(shù)的最小值1.而此時(shí)函數(shù)的最大值為1，而不是，與題設(shè)矛盾，因此，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)的最小值為，函數(shù)的最大值，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?，達(dá)到最大值，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋詁可能等于，，故D不正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題給出正弦函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論要求找出其中的假命題，考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.8．（2021·上海高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】去絕對(duì)值號(hào)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，即可求出值域.【詳解】因?yàn)椋烧液瘮?shù)的值域可知，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的值域，考查了分段函數(shù)值域的求法，屬于中檔題．9．（2021·上海楊浦區(qū)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題：①若是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，則.②若銳角、滿(mǎn)足，則.③若，則對(duì)恒成立.④要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位..其中真命題的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】對(duì)于①，聯(lián)系偶函數(shù)和增函數(shù)得到函數(shù)在上為減函數(shù)后即可解決；對(duì)于②，，化成同名三角函數(shù)后利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可解決；③，根據(jù)三角函數(shù)的周期性解決；④函數(shù)的中x的系數(shù)，要引起特別注意，它對(duì)平移變換的量產(chǎn)生影響.【詳解】解：①由已知可得函數(shù)在上為減函數(shù)，且由于，②由已知角的范圍可得：，③錯(cuò)，因?yàn)橐字渲芷跒?，故?yīng)有恒成立，④錯(cuò)，應(yīng)向右平移個(gè)單位得到.故其中真命題的是：②.故選：A.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理，屬于中檔題．10．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的周期，然后可以求出，通過(guò)函數(shù)經(jīng)過(guò)的最大值點(diǎn)求出值，即可得到結(jié)果.【詳解】由函數(shù)的圖象可知:，.當(dāng)，函數(shù)取得最大值1，所以，，，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式，通過(guò)周期求的值，通過(guò)最值點(diǎn)求的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題11．（2021·上海高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____【答案】【分析】由解此不等式可得函數(shù)的定義域【詳解】解：由，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢福骸军c(diǎn)睛】此題考查求正切型函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題12．（2021·上海楊浦區(qū)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_______.【答案】【分析】由余弦的倍角公式知，結(jié)合最小正周期即可求出最小正周期【詳解】由余弦函數(shù)的最小正周期知：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了已知三角函數(shù)求最小正周期，首先根據(jù)三角恒等變換中的余弦倍角公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)的周期公式求最小正周期13．（2021·上海楊浦區(qū)·高一課時(shí)練習(xí)）余弦函數(shù)在閉區(qū)間[______，]上是增函數(shù).【答案】【分析】由余弦函數(shù)圖像的性質(zhì)可直接得結(jié)果.【詳解】由余弦函數(shù)圖像的性質(zhì)可知在閉區(qū)間[，]上是增函數(shù)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)圖像的性質(zhì)，考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡(jiǎn)單題.14．（2021·上海高一單元測(cè)試）若，，則____________.【答案】或.【分析】由已知直接利用反三角函數(shù)求解.【詳解】由，且，得，綜上可知，或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查反三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.15．（2021·上海）余弦函數(shù)的定義域是______，最大值是______，最小值是____，周期是____，遞增區(qū)間是_____________________，遞減區(qū)間是______________________，對(duì)稱(chēng)軸是__________________，對(duì)稱(chēng)中心是____________.【答案】R1【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，分別填入橫線.【詳解】定義域是，最大值1，最小值1，周期，遞增區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間為，遞減區(qū)間是；對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心.故答案為：R；1；；；；；；16．（2021·上海高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)________．【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)過(guò)點(diǎn)，代入求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處有定義，且圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故點(diǎn)在函數(shù)上.故，即，解得.此時(shí)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)滿(mǎn)足條件.故.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.17．（2021·上海楊浦區(qū)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的最小值為_(kāi)_______.【答案】【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【詳解】，，，所以函數(shù)的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由定義域求函數(shù)的值域是常見(jiàn)題型，需要熟練掌握，屬于容易題.18．（2021·上海高一單元測(cè)試）若函數(shù)的局部圖像如下圖，則_______．【答案】4【分析】根據(jù)圖象確定周期，解得.【詳解】由圖得故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，屬基礎(chǔ)題.19．（2021·上海楊浦區(qū)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，將的圖像向右平移個(gè)單位得到的圖像，若，則________.【答案】【分析】先由題意，得到，再由函數(shù)奇偶性，根據(jù)題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】將的圖像向右平移個(gè)單位得到的圖像，所以，又，所以為奇函數(shù)，因此只需，，則，，又，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查三角函數(shù)的平移原則，屬于基礎(chǔ)題型.20．（2021·上海高一單元測(cè)試）函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象重合，則下列結(jié)論正確的是______.①的一個(gè)周期為；②的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)；③是的一個(gè)零點(diǎn)；④在單調(diào)遞減；【答案】①②③【分析】先由圖像的平移變換推導(dǎo)出的解析式，再分析函數(shù)的周期、零點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性，判斷是否正確．【詳解】解：函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象重合，，的一個(gè)周期為，故①正確；的對(duì)稱(chēng)軸滿(mǎn)足：，，當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故②正確；由，得，是的一個(gè)零點(diǎn)，故③正確；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查三角函數(shù)的平移變換、三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．21．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸為，則______；【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知在取得最大值或最小值，建立方程即可求解.【詳解】，其中是輔助角，是的一條對(duì)稱(chēng)軸，，整理得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)性質(zhì)得應(yīng)用，利用在對(duì)稱(chēng)軸的函數(shù)值是最大或最小是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.22．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，將其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象為偶函數(shù)，則的最小值是_______【答案】【分析】先利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)的解析式，然后再利用圖象平移變換的規(guī)律求平移后的解析式，最后由奇偶性可得的最小值.【詳解】，將其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得的圖象，由圖象為偶函數(shù)圖象可得所以令，得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，以及三角函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.23．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線是其圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸，且，則的解析式為_(kāi)__________.【答案】【分析】首先根據(jù)函數(shù)的最大值和最小值，列式求，根據(jù)周期公式求，再代入對(duì)稱(chēng)軸，求，最后再驗(yàn)證，確定函數(shù)的解析式.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，重點(diǎn)考查公式計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題24．（2021·上海）求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說(shuō)出最大值是什么（1）y＝cosx＋1，x∈R；（2）y＝sin2x，x∈R.【答案】（1）2，；（2）1，.【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，直接求函數(shù)的最大值，并求此時(shí)對(duì)應(yīng)的值.【詳解】（1）函數(shù)y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2，此時(shí)；（2）函數(shù)y＝sin2x，x∈R的最大值是1，此時(shí)，得.25．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由，求解在上的值，即可得到函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和．【詳解】解：（1）由，得，．取，可得，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）由，得，則或，．又，，，，．即函數(shù)在區(qū)間，上的所有零點(diǎn)是0，，故零點(diǎn)之和為．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，考查利用三角函數(shù)值求角，屬于基礎(chǔ)題．26．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的最大為2.（1）求的值，并求的最小正周期；（2）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1），最小正周期為；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為和.【分析】（1）先根據(jù)二倍角公式和輔助角公式將原式化簡(jiǎn)整理，得到，根據(jù)函數(shù)最值，即可求出，再由正弦函數(shù)的周期，即可求出周期；（2）先由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間列出不等式求解，得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再由給定區(qū)間，即可得出結(jié)果.【詳解】（1），所以，因?yàn)楹瘮?shù)的最大為2，所以，解得；所以，因此最小正周期為；（2）由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，又，取，得在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.【點(diǎn)睛】本題主要考查由正弦型函數(shù)的最值求參數(shù)，考查求正弦型函數(shù)的最小正周期，以及正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，涉及二倍角公式以及輔助角公式，屬于?？碱}型.27．（2021·上海高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的最小值是2，其圖象相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)差是3，又圖象過(guò)點(diǎn)(0，1)，求函數(shù)解析式．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的最值求出，根據(jù)周期求出，根據(jù)函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)求出，可得函數(shù)解析式.【詳解】易知：A=2，半周期，∴T=6，即，從而，則，令x=0，有，又，∴，∴所求函數(shù)解析式為.28．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知(a為實(shí)常數(shù)).（1）當(dāng)定義域?yàn)镽時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，進(jìn)而求得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由（1）得，再求出的取值范圍，進(jìn)而得到函數(shù)的最大值，從而求得實(shí)數(shù)a的值.【詳解】（1），，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），，當(dāng)，即時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換、正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、由函數(shù)的最值求參數(shù)的值等，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.29．（2021·上海高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，.（1）把化成（，，）的形式，并寫(xiě)出函數(shù)的最小正周期和值域；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）定義：對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，，設(shè)，（常數(shù)），若對(duì)于任意，總存在，使得恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），，；（2），；（3）.【分析】（1）結(jié)合二倍角正弦公式和輔助角公式即可化簡(jiǎn)；（2）結(jié)合（1）中所求表達(dá)式，利用正弦型函數(shù)單調(diào)增區(qū)間計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)題意可得，，求出的值域，列出關(guān)于的不等式組，即可求解.【詳解】（1），，值域?yàn)椋唬?）令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，;（3）若對(duì)于任意，總存在，使得恒成立，則，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，故，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，函數(shù)恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.30．（2021·上海楊浦區(qū)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，設(shè)、是半徑為1的圓上的動(dòng)點(diǎn)，且、分別在第一、二象限，是圓與軸正半軸的交點(diǎn)，△為等邊三角形，記以軸正半軸為始邊、射線為終邊的角為.（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求值；（2）設(shè)，求函數(shù)的解析式和值域.【答案】（1）3；（2），值域?yàn)?【分析】（1）根據(jù)的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的定義，求出，，再利用誘導(dǎo)公式，即可得到結(jié)論；（2）由題意，，利用余弦定理，可得函數(shù)的解析式，從而可求函數(shù)的值域．【詳解】解：（1）的坐標(biāo)為，以軸正半軸為始邊，射線為終邊的角為根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，，；（2）為正三角形，．，，，所以，．【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查余弦定理求邊長(zhǎng)的平方，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．31．（2021·上海高一單元測(cè)試）如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形的四條邊上，，.如果與的夾角為，那么當(dāng)為何值時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大？并求這個(gè)最大值.【答案】時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大，最大值為.【分析】由題意可知的取值范圍，分別求得矩形的邊長(zhǎng)關(guān)于的三角函數(shù)表達(dá)式，得到周長(zhǎng)關(guān)于的三角函數(shù)表達(dá)式，利用輔助角公式化簡(jiǎn)后，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)研究最大值.【詳解】由題意可知，，而，，所以.同理可得，.于是矩形的周長(zhǎng)為.所以，當(dāng)，即時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大，最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解實(shí)際應(yīng)用中的最值問(wèn)題，涉及輔助角公式，屬基礎(chǔ)題.32．（2021·上海高一單元測(cè)試）如圖，學(xué)校門(mén)口有一塊扇形空地，已知半徑為常數(shù)，，現(xiàn)由于防疫期間，學(xué)校要在其中圈出一塊矩形場(chǎng)地作為體溫檢測(cè)使用，其中點(diǎn)、在弧上，且線段平行于線段.取的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，交線段于點(diǎn).記，（1）用表示線段和的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)取何值時(shí)，矩形的面積最大？最大值為多少？【答案】(1)，;(2)當(dāng)時(shí)，面積最大為【分析】(1)由題目已知可求出且，在直角三角形中，結(jié)合三角函數(shù)值可求出；由題目已知可求出，進(jìn)而可知，結(jié)合即可求出的長(zhǎng)度.(2)由(1)可求出面積的表達(dá)式，結(jié)合二倍角公式以及輔助角公式可求，結(jié)合即可求出面積的最大值.【詳解】(1)解：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以且，所以，，因?yàn)?，所以，即，則，所以.(2)由(1)知，矩形的面積，由題意知，，所以當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的定義的應(yīng)用，考查了輔助角公式，考查了二倍角公式，考查了正弦型函數(shù)最值的求解.模塊三：平面向量一、單選題1．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則（）A． B．4 C． D．3【答案】C【分析】化簡(jiǎn)得，即得解.【詳解】，，得．故選：C．2．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則可得.【詳解】，故選：C.3．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)分別是，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用向量加法法則及數(shù)乘法的法則計(jì)算．【詳解】如圖，的三邊，，的中點(diǎn)分別是，，；.故選：C.4．（2021·浙江杭州市·學(xué)軍中學(xué)高一期中）已知，為單位向量，，記是與方向相同的單位向量，則在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量投影的定義求解.【詳解】由題設(shè)可得，即，則，設(shè)與的夾角為，則.又，故,因?yàn)槭桥c方向相同的單位向量，所以在方向上的投影向量為.故選:C5．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖，ABC中，，＝3，＝2，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的加法、減法和平面向量基本定理求解.【詳解】，，，，故選：D二、填空題6．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）中，__.【答案】【分析】直接利用向量加法法則即可求出答案.【詳解】故答案為：.【點(diǎn)睛】用符號(hào)表示的向量的加減法：①加法：首尾相連，方向?yàn)榈谝粋€(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)（符合三角形法則）；②減法：起點(diǎn)相同，方向指向被減向量（符合三角形法則）.7．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是的相等向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_．【答案】【分析】由題設(shè)，易知的坐標(biāo)，根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量相等求，即可寫(xiě)出的坐標(biāo).【詳解】由題意，得：，∴,,,．故答案為：．8．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標(biāo)表示__．【答案】【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，結(jié)合已知基底，即可確定向量的坐標(biāo).【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標(biāo)表示．故答案為：．9．（2021·浙江高一期末）如圖，在中，是線段上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)向量的運(yùn)算關(guān)系可求得，再結(jié)合已知建立關(guān)系即可求出.【詳解】設(shè)，則，，，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出，利用向量關(guān)系將表示出來(lái).10．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，若存在實(shí)數(shù)使得成立，則________.【答案】【分析】由已知等式可知為的重心，由重心的性質(zhì)知，由向量的線性運(yùn)算可構(gòu)造等式求得結(jié)果.【詳解】，為的重心，設(shè)中點(diǎn)為，則，，則.故答案為：.11．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，，.若，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_______．【答案】【分析】由，帶入，整理即可得解.【詳解】由得，整理，得k－2＋(1－2k)＝0，可得，所以，故答案為：.三、解答題12．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）作五邊形，求作下列各題中的和向量：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量的加法法則求解即可；（2）利用平面向量的加法法則求解即可．【詳解】（1）；（2）.13．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在中，，，，，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值及；（2）若，求四邊形的面積．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)可得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得出的值，再利用直角三角形的性質(zhì)可可求得；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在的直線為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)求出的值，可求得、，由此可求得四邊形的面積.【詳解】（1）由，可知為的中點(diǎn)，若，則為的中點(diǎn)，即，又，所以；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在的直線為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則、、，，，又，，則，解得，則，則，，因此，四邊形的面積為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用平面向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，同時(shí)也考查了四邊形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用向量的垂直關(guān)系求出實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而利用四邊形的面積公式求解.14．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知,，（1）求與的夾角；（2）求與的夾角的余弦值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知得出，進(jìn)而利用夾角公式即得；（2）分別求出和差向量的模及數(shù)量積，代入夾角公式即得．【詳解】解：（1）,∴，∵θ∈[0，π]，∴.（2）∵，∴∵，∴∴模塊四：復(fù)數(shù)一、單選題1．（2021·浙江高一期末）復(fù)數(shù)的虛部是（）A．i B． C．1 D．6【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得.【詳解】的虛部