2026版《優(yōu)化設(shè)計(jì)大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計(jì)新高考版）微點(diǎn)突破9數(shù)列的新定義問(wèn)題

微點(diǎn)突破9數(shù)列的新定義問(wèn)題高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026所謂“新定義”型試題是指給出一個(gè)考生從未接觸過(guò)的新概念或運(yùn)算的新法則,要求考生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用,其目的是考查學(xué)生的閱讀理解能力、知識(shí)遷移能力和創(chuàng)新能力,旨在培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)方式.數(shù)列可以與各個(gè)模塊的知識(shí)交匯,尤其是概率、不等式、函數(shù)、計(jì)數(shù)原理、集合等聯(lián)系密切,必將成為“新定義”型試題的主陣地,值得我們關(guān)注.典例

在數(shù)列{an}中對(duì)于確定的正整數(shù)m,若存在正整數(shù)n使得am+n=am+an成立,則稱數(shù)列{an}為“m階可分拆數(shù)列”.(1)設(shè){an}是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,證明:{an}為“3階可分拆數(shù)列”.(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n-a(a>0),若數(shù)列{an}為“1階可分拆數(shù)列”,求實(shí)數(shù)a的值.(3)設(shè)an=2n+n2+12,試探求是否存在m使得若數(shù)列{an}為“m階可分拆數(shù)列”?若存在,請(qǐng)求出所有m;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)解

假設(shè)存在m使得數(shù)列{an}為“m階可分拆數(shù)列”,即對(duì)于確定的正整數(shù)m,存在正整數(shù)n使得am+n=am+an成立,2m+n+(m+n)2+12=2m+m2+12+2n+n2+12,即(2m-1)(2n-1)+2mn=13,①當(dāng)m=1時(shí),2n-1+2n=13,n=3時(shí)方程成立.②當(dāng)m=2時(shí),3(2n-1)+4n=13,當(dāng)n=1時(shí),3(2n-1)+4n=7;當(dāng)n=2時(shí),3(2n-1)+4n=17;當(dāng)n>2時(shí),3(2n-1)+4n>17,所以此時(shí)不存在正整數(shù)n使得am+n=am+an成立.③當(dāng)m=3時(shí),7(2n-1)+6n=13,當(dāng)n=1時(shí),7(2n-1)+6n=13成立.④當(dāng)m≥4時(shí),(2m-1)(2n-1)+2mn≥15(2n-1)+8n≥23,所以當(dāng)m≥4時(shí)不存在正整數(shù)n使得am+n=am+an成立.綜上,m=1或m=3.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練](2024·湖北武漢模擬)對(duì)于數(shù)列{an},如果存在等差數(shù)列{bn}和等比數(shù)列{cn},使得an=bn+cn(n∈N*),則稱數(shù)列{an}是“優(yōu)分解”的.(1)證明:如果{an}是等差數(shù)列,則{an}是“優(yōu)分解”的.(2)記Δan=an+1-an,Δ2an=Δan+1-Δan(n∈N*),證明:如果數(shù)列{an}是“優(yōu)分解”的,則Δ2an=0(n∈N*)或數(shù)列{Δ2an}是等比數(shù)列.(3)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,如果{an}和{Sn}都是“優(yōu)分解”的,并且a1=3,a2=4,a3=6,求{an}的通項(xiàng)公式.(1)證明

∵{an}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,∴an=a1+(n-1)d=[a1-1+(n-1)d]+1.令bn=a1-1+(n-1)d,cn=1,則{bn}是等差數(shù)列,{cn}是等比數(shù)列,所以數(shù)列{an}是“優(yōu)分解”的.(2)證明

∵數(shù)列{an}是“優(yōu)分解”的,設(shè)an=bn+cn(n∈N*),{cn}的公比為q,其中bn=b1+(n-1)d,cn=c1qn-1(c1≠0,q≠0),則Δan=an+1-an=d+c1qn-1(q-1),Δ2an=Δan+1-Δan=c1qn-1(q-1)2.當(dāng)q=1時(shí),Δ2an=0(