矩陣?yán)碚摎v年試題及答案

矩陣?yán)碚摎v年試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.矩陣\(A\)的特征值之和等于（）A.\(A\)的跡B.\(A\)的行列式C.\(A\)的秩D.\(0\)2.\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是（）A.\(|A|=0\)B.\(r(A)<n\)C.\(|A|\neq0\)D.\(A\)有\(zhòng)(n\)個不同特征值3.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A=B\)B.\(|A|\neq|B|\)C.\(A\)與\(B\)有相同特征值D.\(A\)與\(B\)秩不同4.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充要條件是（）A.存在全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)C.任何一個向量都能由其余向量線性表示D.向量組中只有一個零向量5.矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)等于它的（）A.行向量組的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)B.列向量組中向量個數(shù)C.非零行的行數(shù)D.方程\(Ax=0\)基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)6.若\(A\)是正交矩陣，則（）A.\(A^TA=I\)B.\(A^T=-A\)C.\(|A|=-1\)D.\(A\)是對稱矩陣7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(A^2\)的一個特征值是（）A.\(\lambda\)B.\(\lambda^2\)C.\(2\lambda\)D.\(\lambda+1\)8.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解的充要條件是（）A.\(r(A)<n\)B.\(r(A)=n\)C.\(|A|=0\)D.\(A\)的列向量組線性相關(guān)9.矩陣\(A\)的最小多項(xiàng)式\(m(\lambda)\)整除（）A.任意多項(xiàng)式B.\(A\)的特征多項(xiàng)式\(f(\lambda)\)C.零多項(xiàng)式D.次數(shù)大于\(n\)的多項(xiàng)式10.若\(A\)與\(B\)合同，則（）A.\(A\)與\(B\)相似B.\(A\)與\(B\)等價(jià)C.\(|A|=|B|\)D.\(A\)與\(B\)有相同特征值二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是矩陣的相似不變量（）A.特征值B.行列式C.秩D.跡2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)，則可能有（）A.\(\alpha_1\)可由\(\alpha_2,\alpha_3\)線性表示B.\(\alpha_2\)可由\(\alpha_1,\alpha_3\)線性表示C.\(\alpha_3\)可由\(\alpha_1,\alpha_2\)線性表示D.向量組中至少有一個零向量3.關(guān)于正交矩陣\(Q\)，正確的有（）A.\(Q^TQ=I\)B.\(|Q|=\pm1\)C.\(Q\)的列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組D.\(Q\)的行向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組4.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaI)\xi=0\)C.\(\lambda\)是\(A^T\)的特征值D.\(\xi\)是\(A^2\)對應(yīng)特征值\(\lambda^2\)的特征向量5.矩陣\(A\)可對角化的充要條件有（）A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量B.\(A\)的每個特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)C.\(A\)的最小多項(xiàng)式無重根D.\(A\)是對稱矩陣6.以下關(guān)于矩陣的秩正確的是（）A.\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)B.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)C.若\(A\)可逆，則\(r(AB)=r(B)\)D.若\(B\)可逆，則\(r(AB)=r(A)\)7.線性方程組\(Ax=b\)有解的充要條件是（）A.\(r(A)=r(A|b)\)B.\(b\)可由\(A\)的列向量組線性表示C.對應(yīng)的齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解D.\(A\)的行向量組線性無關(guān)8.設(shè)\(A\)為實(shí)對稱矩陣，則（）A.\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)B.不同特征值對應(yīng)的特征向量正交C.存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對角矩陣D.\(A\)的秩等于非零特征值的個數(shù)9.關(guān)于矩陣的初等變換，正確的有（）A.初等變換不改變矩陣的秩B.初等行變換可將矩陣化為行最簡形C.初等列變換可將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形D.任何矩陣都可經(jīng)初等變換化為單位矩陣10.若矩陣\(A\)與\(B\)等價(jià)，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的秩B.存在可逆矩陣\(P\)，\(Q\)，使得\(PAQ=B\)C.\(A\)與\(B\)有相同的行數(shù)和列數(shù)D.\(A\)與\(B\)相似三、判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)的行列式為\(0\)，則\(A\)不可逆。（）2.向量組中向量個數(shù)大于向量維數(shù)時，向量組一定線性相關(guān)。（）3.正交矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣也是正交矩陣。（）4.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的特征向量。（）5.矩陣的初等行變換和初等列變換不改變矩陣的行列式的值。（）6.齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)等于\(n-r(A)\)。（）7.實(shí)對稱矩陣一定可正交對角化。（）8.若\(A\)的特征值全為\(0\)，則\(A\)是零矩陣。（）9.矩陣\(A\)的秩等于它的行向量組的秩，也等于列向量組的秩。（）10.若\(A\)與\(B\)合同，則\(A\)與\(B\)的正負(fù)慣性指數(shù)相同。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可對角化的判定方法。答案：矩陣\(A\)可對角化的充要條件是\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量；或\(A\)的每個特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)；或\(A\)的最小多項(xiàng)式無重根。2.說明正交矩陣的性質(zhì)。答案：正交矩陣\(Q\)滿足\(Q^TQ=I\)，\(|Q|=\pm1\)，其行向量組和列向量組都是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，且正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣。3.如何求矩陣的秩？答案：可通過對矩陣進(jìn)行初等行變換化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩。也可根據(jù)矩陣的定義，找其最高階非零子式的階數(shù)確定秩。4.簡述特征值與特征向量的定義。答案：設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若存在數(shù)\(\lambda\)和非零\(n\)維列向量\(\xi\)，使得\(A\xi=\lambda\xi\)，則\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是\(A\)對應(yīng)于特征值\(\lambda\)的特征向量。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣相似、合同、等價(jià)之間的關(guān)系。答案：等價(jià)是最寬泛的關(guān)系，矩陣\(A\)與\(B\)等價(jià)只需同型且秩相等。相似和合同都是等價(jià)的特殊情況。相似的矩陣有相同特征值，合同的實(shí)對稱矩陣有相同的正負(fù)慣性指數(shù)。相似不一定合同，合同不一定相似，但正交相似則既相似又合同。2.若矩陣\(A\)不可逆，分析線性方程組\(Ax=b\)解的情況。答案：若\(A\)不可逆，則\(r(A)<n\)。當(dāng)\(r(A)\neqr(A|b)\)時，\(Ax=b\)無解；當(dāng)\(r(A)=r(A|b)\)時，\(Ax=b\)有無窮多解，因?yàn)榇藭r基礎(chǔ)解系有非零向量，通解包含特解和基礎(chǔ)解系的線性組合。3.闡述實(shí)對稱矩陣正交對角化的意義和應(yīng)用。答案：意義在于將復(fù)雜的實(shí)對稱矩陣轉(zhuǎn)化為對角矩陣，簡化運(yùn)算。應(yīng)用廣泛，如在二次型中，通過正交對角化將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，便于研究其性質(zhì)；在物理中用于分析力學(xué)系統(tǒng)的振動等問題，降低問題復(fù)雜度。4.如何根據(jù)矩陣的特征值和特征向量來理解矩陣的性質(zhì)？答案：特征值反映矩陣的伸縮特性，絕對值大小表示對特征向量方向的拉伸程度，正負(fù)決定伸縮方向。特征向量確定矩陣作用的特殊方向。矩陣的可對角化由特征值和特征向量決定，實(shí)對稱矩陣特征值和特征向量性質(zhì)決定其可正交對角化，從而了解矩陣的結(jié)構(gòu)和運(yùn)算特性。答案一、單項(xiàng)選擇題1.A2.C3.C4.B