2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓中相似三角形》專項(xiàng)檢測(cè)卷及答案

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓中相似三角形》專項(xiàng)檢測(cè)卷及答案

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.已知AD為。。的直徑，BC為。。的切線，切點(diǎn)為M,分別過A,D兩點(diǎn)作

BC的垂線，垂足分別為B,C,AD的延長線與BC相交于點(diǎn)E.

(1)求證：△ABMs^MCD；

(2)若AD=8,AB=5,求ME的長.

2.如圖AB是。O的直徑，PA與。O相切于點(diǎn)A,BP與。O相交于點(diǎn)D,C

為。O上的一點(diǎn)，分別連接CB、CD,

ZBCD=60°.

(1)求NABD的度數(shù)；

(2)若AB=6,求PD的長度.

3.如圖，AD是AABC的外接圓。O的直徑，點(diǎn)P在BC延長線上，且滿足

ZPAC=ZB.

(1)求證：PA是。O的切線；

(2)弦CELAD交AB于點(diǎn)F,若AF?AB=12,求AC的長.

B

D

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4.如圖所示，＜30的半徑為4,點(diǎn)A是。。上一點(diǎn)，直線1過點(diǎn)A；P是上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，過點(diǎn)P作PBL1于點(diǎn)B,交。。于點(diǎn)E,直

徑PD延長線交直線1于點(diǎn)F,點(diǎn)A是廢的中

(1)求證：直線1是。0的切線；(oX/\

(2)若PA=6,求PB的長.\//

5.如圖，在△ABC中，AB=BC,以AB為直徑的。。交BC于點(diǎn)D,交AC于

點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CE〃AB,與過點(diǎn)A的切線相交于點(diǎn)E,連接AD.

(1)求證：AD=AE；B

(2)若AB=6,AC=4,求AE的長.//\\

6.如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直,

垂足為D,且交。。于點(diǎn)E.連接0C,BE,相交于點(diǎn)F.

(1)求證：EF=BF；

(2)若DC=4,DE=2,求直徑AB的長.n

第2頁共20頁

7.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,NBAD=90。，點(diǎn)E在BC的延長線上，且

ZDEC=ZBAC.

(1)求證：DE是。。的切線；，

(2)若AC〃DE,當(dāng)AB=8,CE=2時(shí)，求AC的長.

8.如圖，AB是。M的直徑，BC是。M的切線，切點(diǎn)為B,C是BC上(除B

點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，連接CM交。M于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作DCLBC交BG的延

長線于點(diǎn)D,連接AG并延長交BC于點(diǎn)E.

(1)求證：AABEs^BCD；

A

(2)若MB=BE=1,求CD的長度.

9.如圖，P是。0外的一點(diǎn)，PA、PB是。0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，P0交

AB于點(diǎn)F,延長B0交。0于點(diǎn)C,交PA的延長交于點(diǎn)Q,連結(jié)AC.

(1)求證：AC//PO；

(2)設(shè)D為PB的中點(diǎn)，QD交AB于點(diǎn)E,若。。的半徑為3,CQ=2,求處的

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10.如圖，AB是。O的直徑，AC=BC.E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長到點(diǎn)F,

使EF=CE.連接AF交。O于點(diǎn)D,連接BD,BF.

(1)求證：直線BF是的切線;

(2)若OB=2,求BD的長.

11.已知：AB為。O的直徑，延長AB到點(diǎn)P,過點(diǎn)P作圓O的切線，切點(diǎn)為

C,連接AC,且AC=CP.

(1)求NP的度數(shù)；

(2)若點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E,且DE?DC=20,求。O

的面積.(兀取3.14)

O/E/Bp

12.如圖，AG是NHAF的平分線，點(diǎn)E在AF上，以AE為直徑的。。交AG

于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作AH的垂線，垂足為點(diǎn)C,交AF于點(diǎn)B.

(1)求證：直線BC是。。的切線；

(2)若AC=2CD,設(shè)。。的半徑為r,求BD的長度.

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13.如圖，CD是。0的切線，點(diǎn)C在直徑AB的延長線上.

(1)求證：ZCAD=ZBDC；

（2）若BD=2AD,AC=3,求CD的長.

3

24.如圖，點(diǎn)P是。O的直徑AB延長線上一點(diǎn)，且AB=4,點(diǎn)M為金上一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合)，射線PM與。0交于點(diǎn)N(不與M重合).

(1)當(dāng)M在什么位置時(shí)，AMAB的面積最大，并求出這個(gè)最大值；

(2)求證：△PANs^PMB.

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15.如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)(不與0,B重合)，作

ECXOB,交。0于點(diǎn)C,作直徑CD,過點(diǎn)C的切線交DB的延長線于點(diǎn)P,

作AFLPC于點(diǎn)F,連接CB.

(1)求證：AC平分NFAB；

(2)求證：BC2=CE?CP；

(3)當(dāng)AB=4點(diǎn)且空=旦時(shí)，求劣弧俞的長度.

CP4

16.如圖，已知BCLAC,圓心0在AC上，點(diǎn)M與點(diǎn)C分別是AC與。。的

交點(diǎn)，點(diǎn)D是MB與。0的交點(diǎn)，點(diǎn)P是AD延長線與BC的交點(diǎn)，且膽=

AP

AM

A01

(1)求證：PD是。0的切線；

(2)若AD=12,AM=MC,求坦的值.

MD

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參考答案

1?【解答】（1）證明：..2口為圓。的切線，

AZAMD=90°,

VZBMC=180°,

.*.Z2+Z3=90°,

VZABM=ZMCD=90°,

/.Z2+Zl=90°,

.\Z1=Z3,

則4ABM^AMCD；

(2)解：連接OM,

?；BC為圓O的切線,

AOMXBC,

VABXBC,

即AB_OM

sinZE=—=—-

AEOEAO+OEOE

：AD=8,AB=5,

5_4即OE=16,

4+OEOE

根據(jù)勾股定理得：ME=、/O62~QM2=、j]g22=4A/15,

2.【解答】解：（1）方法一：如圖1,連接AD.

??,BA是。O直徑，

.,.ZBDA=90°.

,?*BD=BD-

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.*.ZBAD=ZC=60°.

/.ZABD=90°-ZBAD=90°-60°=30°.

方法二：如圖2,連接DA、0D,則NBOD=2NC=2x60o=120。.

VOB=OD,

/.ZOBD=ZODB=1(180°-120°)=30°.

2

即NABD=30°.

(2)如圖1,：AP是。。的切線，

.*.ZBAP=90o.

在RtABAD中,ZABD=30°,

圖1

DA=—BA=—x6=3.

22

BD=IRDA=3?.

在RtABAP中，VcosZABD=^-,

PB

cos30°=-^-=^-^-.

PB2

.?.BP=4?.

/.PD=BP-BD=4近-3行證.圖2

3.【解答】(1)：AD是。O的直徑

/.ZACD=90°；

.*.ZCAD+ZD=90°

VZPAC=ZPBA,ZD=ZPBA,

.*.ZCAD+ZPAC=90°,

/.ZPAD=90°,

APAXAD,

?.?點(diǎn)A在。O上,

...PA是。O的切線

(2)VCF±AD,

/.ZACF+ZCAD=90°,

VZCAD+ZD=90°,

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.*.ZD=ZACF,

/.ZB=ZACF,

,?ZBAC=ZCAF,

.,.△ABC^AACF,

???A-F=--AC,

ACAB

.\AC2=AF?AB

VAF?AB=12,

.*.AC2=12,

?,.AC=2?.

4.【解答】(1)證明：連接DE,OA.

VPD是直徑，

ZDEP=90°,

VPBXFB,

ZDEP=ZFBP,

.?.DE〃BF,

VAD=AE，

AOAXDE,

.*.OA±BF,

??.直線1是。O的切線.

(2)解：作OHLPA于H.

VOA=OP,OH±PA,

.*.AH=PH=3,

VOA/7PB,

NOAH=NAPB,

VZAHO=ZABP=90°,

AAAOH^APAB,

?OA=AH

,*PAPB;

???4_―3,

6PB

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.\PB=1.

2

5.【解答】(1)證明：：AE與。O相切，AB是。。的直徑,

/.ZBAE=90°,ZADB=90°,

VCE//AB,

/.ZE=90°,

ZE=ZADB,

?在AABC中，AB=BC,

ZBAC=ZBCA,

VZBAC+ZEAC=90°,ZACE+ZEAC=90°,

/.ZBAC=ZACE,

ZBCA=ZACE,

XVAC=AC,

AAADC^AAEC(AAS),

.*.AD=AE；

⑵解：設(shè)AE=AD=x,CE=CD=y,

則BD=(6-y),

,/AAEC和^ADB為直角三角形，

AE2+CE2=AC2,AD2+BD2=AB2,

AB=6,AC=4,AE=AD=x,CE=CD=y,BD=(6-y)代入，

解得：y=A,

33

即AE的長為包1

3

6.【解答】(1)證明：VOCXCD,ADXCD,

...OC〃AD,ZOCD=90°,

/.ZOFE=ZOCD=90°,

VOB=OE,

，EF=BF；

(2)?「.?AB為。。的直徑，

ZAEB=90°,

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VZOCD=ZCFE=90°,

??.四邊形EFCD是矩形，

，EF=CD,DE=CF,

VDC=4,DE=2,

.?.EF=4,CF=2,

設(shè)＜30的為r,

VZOFB=90°,

.*.OB2=OF2+BF2,

即F二(r-2)2+42,

解得，r=5,

AB=2r=10,

即直徑AB的長是10.

7.【解答】解：(1)如圖，

連接BD,VZBAD=90°,

??.點(diǎn)。必在BD上，即：BD是直徑，

/.ZBCD=90°,

.,.ZDEC+ZCDE=90°,

ZDEC=ZBAC,

/.ZBAC+ZCDE=90°,

VZBAC=ZBDC,

/.ZBDC+ZCDE=90°,

AZBDE=90°,即：BD±DE,

?點(diǎn)D在。O上,

.??DE是的切線；

(2)VDE//AC,

ZBDE=90°,

.,.ZBFC=90°,

/.CB=AB=8,AF=CF=1AC,

2

VZCDE+ZBDC=90°,ZBDC+ZCBD=90°,

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ZCDE=ZCBD,

VZDCE=ZBCD=90°,

.,.△BCD^ADCE,

?BCCD

?百五，

?8CD

??-------，

CD2

.?.CD=4,

在RtABCD中，BD=^BC2+CD2=4A/5

同理：ACEDsaBCD,

?CFCD

?CF4

…鏟砒，

...CF=8遙,

5_

.*.AC=2AF=A^5.

5

8.【解答】（1）證明：..力?為。M切線

/.ZABC=90°

VDC±BC

/.ZBCD=90°

/.ZABC=ZBCD

VAB是。M的直徑

/.ZAGB=90°

即：BG±AE

/.ZCBD=ZA

AAABE^ABCD

（2）解：過點(diǎn)G作GHLBC于H

VMB=BE=1

.\AB=2

AAE=VAB2+BE2=V5

由（1）根據(jù)面積法

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AB?BE=BG?AE

.?.BG="而

5

由勾股定理：

AG=^LGE=在

55

：GH〃AB

?GH_GE

,*AB^AE

在

.GH_5

',TW

5

.?.GH=2

5

又：GH〃AB

坨?①

BC-MB

①+②，得

-HC-+-B-H=-G-H+GH

BCMB夜

?GH,GH,

MBDC

.?.CD=Z

3

9.【解答】(1)證明：..TA、PB是。O的兩條切線，A、B是切點(diǎn),

??.PA=PB,且PO平分NBPA,

APOXAB.

VBC是直徑，

/.ZCAB=90°,

.'.ACLAB,

.,.AC/7PO；

(2)解：連結(jié)OA、DF,如圖，

VPA,PB是。O的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，

/.ZOAQ=ZPBQ=90°.

第13頁共20頁

在Rt2\0AQ中，0A=0C=3,.\0Q=5.

由QA2+OA2=OQ2,得QA=4.

在RtZkPBQ中，PA=PB,QB=0Q+0B=8,

由QB2+PB2=PQ2,82+PB2=(PB+4)2,

解得PB=6,

，PA=PB=6,

VOP±AB,

.\BF=AF=1AB.

2

又「D為PB的中點(diǎn),

.?.DF〃AP,DF=1PA=3,

2

ADFE^AQEA,

???AE_AQ-_4,

FEDF3

設(shè)AE=4t,FE=3t,則AF=AE+FE=7t,

BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t,

?AE=4t=2

*,BETO75"

10.【解答】(1)證明：連接OC,

VAB是。O的直徑，AC=BC-

/.ZBOC=90°,

,.,E是OB的中點(diǎn)，

.*.OE=BE,

在^OCE和^BFE中，

rOE=BE

,?*.NOEC=NBEF，

CE=EF

/.△OCE^ABFE(SAS),

/.ZOBF=ZCOE=90°,

??.直線BF是。O的切線；一-

(2)解：VOB=OC=2,/

由(1)得：△OCE/aBFE,/o/

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，BF=0C=2,

AF=VAB2+BF2=V42+22=2

._11

??$c△ABF--ABpBF=_AFPBD,

4x2=2泥?BD,

.?.BD=^X

5

11.【解答】解：(1)連接OC,

：PC為。O的切線，

/.ZOCP=90°,即N2+NP=90°,

VOA=OC,

.\ZCAO=Z1,

VAC=CP,

.*.ZP=ZCAO,

又VZ2是^AOC的一個(gè)外角，

/.Z2=2ZCAO=2ZP,

.,.2ZP+ZP=90°,

.*.ZP=30°；

(2)連接AD,

：D為金的中點(diǎn)，

/.NACD=NDAE,

AACD^AEAD,

...AD=DC,即AD2=DC.DE,

DEAD

VDC?DE=20,

AD=2逐，

VAD=BD>

，AD=BD,

?..AB是。0的直徑，

ARtAADB為等腰直角三角形，

第15頁共20頁

AB=2VTO>

OA=^-AB='/lO,

.,?Soo=7i?OA2=10jr=31.4.

12.【解答】（1）證明：連接OD,

：AG是NHAF的平分線，

.*.ZCAD=ZBAD,

VOA=OD,

ZOAD=ZODA,

/.ZCAD=ZODA,

...OD〃AC,

VZACD=90°,

/.ZODB=ZACD=90°,即ODLCB,

：D在。O上，

??.直線BC是。O的切線；

（2）解：在Rt^ACD中，設(shè)CD=a,則AC=2a,AD=V^a,

連接DE,

：AE是。O的直徑，

ZADE=90°,

由NCAD=NBAD,ZACD=ZADE=90°,

AACD^AADE,

?ADAC

,*AE^AD，

即逗空^

2rV5aA/\

由（1）知：OD〃AC,I\::

c

ABD=OD（即BD

BCACBD+a2aH'XG

*.*a=—,解得BD=&r.

53

13.【解答】（1）證明：連接OD,如圖所示.

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?OB=OD,

\ZOBD=ZODB.

；CD是。O的切線，OD是。。的半徑,

,.ZODB+ZBDC=90o.

/AB是。0的直徑，

\ZADB=90o,

,.ZOBD+ZCAD=90°,

\ZCAD=ZBDC.

(2)解：：NC=NC,NCAD=NCDB,

,.△CDB^ACAD,

?BD=CD

*ADAC-

;BD=2AD,

3

BD--J

AD3

CD

AC--J

3

又"?=3,

.\CD=2.

14.【解答】解：(1)當(dāng)點(diǎn)M在篇的中點(diǎn)處時(shí)，AMAB面積最大,止匕時(shí)OMLAB,

OM=—AB=—x4=2，

22

??SAABM——AB?OM=—x4x2=4；

22

(2)VZPMB=ZPAN,ZP=ZP,

.,.△PAN^APMB.

15.【解答】(1)證明：..2:6是直徑，

/.ZACB=90°,

/.ZBCP+ZACF=90°,ZACE+ZBCE=90°,

ZBCP=ZBCE,

/.ZACF=ZACE,即AC平分NFAB.

(2)證明：VOC=OB,

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.*.ZOCB=ZOBC,

：PF是。O的切線，CE±AB,

.*.ZOCP=ZCEB=90°,

/.ZPCB+ZOCB=90°,ZBCE+ZOBC=90°,

/.ZBCE=ZBCP,

VCD是直徑，

.,.ZCBD=ZCBP=90°,

AACBE^ACPB,

?CB,CE

,*CPCB1

/.BC2=CE?CP；

(3)解：作BM±PF于M.則CE=CM=CF,設(shè)CE=CM=CF=3a,PC=4a,

PM=a,

VZMCB+ZP=90°,ZP+ZPBM=90°,

A