2025年中考數(shù)學復習：圓（二）方法研究-解答題（含答案）

板塊二十三圓（二）方法研究——解答題

方法研究1圓與勾股（一）單勾股

典例精講

技巧一作垂徑構(gòu)直角三角形

【例】（2023武漢中考）如圖,OA,OB,OC都是。。的半徑/ACB=2NBAC.

⑴求證:NAOB=2NBOC;

⑵若AB=4,BC=有，求。0的半徑.

典題精練

技巧二連直徑所對的圓周角構(gòu)直角三角形

1.（2024江岸區(qū)）如圖，在AABC中,AB=AC,以AC為直徑作。O交BC于點D,過點D作。O的切線，交AB

于點E,延長BA交。O于點F.

（1）求證:DE^AB;

（2）若AF=6,tanB=*求。。的直徑.

技巧三連弧的中點與圓心構(gòu)直角三角形

2.（2024研口區(qū)）如圖，在。。中，通=發(fā)=朝,，連接AC,BD,過點B作BE||相交DC的延長線于點E.

Q）求證：ND=NE；

⑵若CD=2V5,BE=8,求。。的半徑.----、

方法研究2圓與勾股（二）雙勾股

典例精講

技巧一連弧的中點與圓心構(gòu)直角三角形

【例】（2023武漢四調(diào)）如圖,AB是半圓O的直徑,C是.彷的中點，過點C作弦BD的垂線,垂足為E.

（1）求證:CE=DE;

(2)若AD=DE=1,求AB的長.

典題精練

技巧二連直徑所對的圓周角構(gòu)直角三角形

1.如圖，在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的。O交BC于點D,交CA的延長線于點E.

（1）求證:BD=CD;

⑵連接ED,若AC=5,ED=4,求AE的長

O

DC

技巧三連過切點的半徑構(gòu)直角三角形

2.（2023武昌區(qū)）如圖，在Rt△ABC中，NC=90。,點。在AC邊上，以O(shè)A為半徑的半圓。交AB于點D,

交AC于點E,在BC邊上取一點F,連接FD,使得DF=BF.

（1）求證:DF為。O的切線；

（2）若AAC=6,BC=4,CF=1,求。0的半徑.

方法研究3圓與相似（一）構(gòu)"A型"相似

典例精講

【例】（2024武昌區(qū)）如圖,AB為。O的直徑，過。O上點C的切線交AB的延長線于點E,AD±EC于點D,

交。O于點F,連接BC,CF.

(1)求證:BC=CF;

(2)若AD=3,DE=4,求BE的長.

典題精練

技巧一連圓心與切點構(gòu)"A型"相似

1.（2023研口區(qū)）如圖，以AABC的邊AB為直徑作。O交AC于點D,且D為AC的中點，作DG^BC于點G

交BA的延長線于點H.

⑴求證:HG是。。的切線；

⑵若HA=2,HD=4,求CG的長

技巧二連弧的中點與圓心構(gòu)"A型"相似

2.如圖,AB為。0的直徑，弦DC的延長線交AB的延長線于點E,zBDC+2zABD=900.

⑴求證:AD=CD-

⑵若AC=4V2,tan^4F￡>=號求BE的長.

方法研究4圓與相似（二）構(gòu)"X型"相似

典例精講

【例】（2024江漢區(qū)）如圖,AB為。0的直徑,P為BA延長線上一點，點C在。。上，連接PC,D為半徑OA

上一點,PD=PC,連接CD并延長交。。于點E,且E是.通的中點.

（1）求證:PC是。。的切線；

⑵若AB=10,5CD=4DE,求AC的長

E

典題精練

技巧一連弧的中點與圓心構(gòu)"X型"相似

1.(2023江岸區(qū))如圖,AB是。O的直徑,C是.血的中點，連接AC并延長至點D,使(CD=AC,E是OB上

一點，且=f,CE的延長線交DB的延長線于點F,AF交。。于點H,連接BH.

BE3

(1)求證:BD是。0的切線;

(2)當AB=8時，求BH的長.

技巧二作垂線構(gòu)"X型"相似

2.如圖,AB是。。的直徑XB=2V10?OO的弦CD^AB于點E,CD=6過點C作。0的切線，交AB的延

長線于點F,連接BC.

(1)求證:CB平分NDCF;

⑵G為冠上一點，連接CG交AB于點H若CH=3GH“求BH的長

方法研究5圓與相似(三)構(gòu)"射影型"相似

典例精講

類型一連直徑所對的圓周角構(gòu)"射影型"相似

【例】(2020武漢中考)如圖，在RtMBC中/ABC=90°,以AB為直徑的。。交AC于點D,AE與過點D

的切線互相垂直，垂足為E.

(1)求證:AD平分NBAE;

(2)若CD=DE,求sinzBAC的值.

典題精練

類型二連圓心與切點構(gòu)"射影型"相似

1.(2024宿遷)如圖，在。O中,AB是直徑,CD是弦，且AB_LCD,垂足為E,AB=20,CD=12,在BA的延長線上

取一點F,連接CB,CF,使NFCD=2NB.

(1)求證:CF是。O的切線；

(2)求EF的長.

Z7

類型三作垂線構(gòu)"射影型"相似

2.（2024湖北模擬）如圖,AB是。O的直徑，弦CD交AB于點F,BE^CD,,垂足為E,AC=5,BC=10.

(1)求證:ADBE-AABC;

(2)若AC=CF,求AF和ED的長.

方法研究6圓與相似（四）構(gòu)其他相似

典例精講

類型一構(gòu)"仿A"型相似

【例】（2024通遼）如圖，在MBC中/ACB=90。,。為AC邊上一點，以點O為圓心,OC為半徑作圓與AB相切

于點D,連接CD.

(1)求證:NABC=2NACD;

⑵若AC=8,BC=6,求。O的半徑

典題精練

類型二構(gòu)"旋轉(zhuǎn)"型相似

1.（2023成都）如圖以&ABC的邊AC為直徑作。O,交BC邊于點D,過點C作（CE||4B交。O于點E,連接A

D,DE,且NB=NADE.

(1)求證:AC=BC;

(2)若tanB=2,CD=3,求AB和DE的長.

類型三構(gòu)"仿射影"型相似

2.(2024羅湖區(qū))如圖,AB為。。的直徑,C為。。上一點,D為AC的中點，過點C作O0的切線，交0D的延

長線于E,交AB的延長線于F,連接EA.

⑴求證:EA與。0相切；

⑵若CE=3,CF=2,求。0的半徑0/

方法研究7圓與三角函數(shù)(一)用直角

典例精講

技巧一定義+勾股

【例】(2023東西湖區(qū))如圖，在AABC中,AB=AC,AC是。0的弦,D為AC的中點，連接OD,OA,分別交CB

于點E,F,且OE=OF.

(1)求證:AB是。0的切線；/一、

(2)若。E=3,sin44OD=三,求BF的長.(/)

AB

典題精練

技巧二勾股+三角函數(shù)

1.（2024東湖高新區(qū)）如圖，在RfABC中/ACB=90。,點D在AC邊上，以AD為直徑作。。交BD的延長線

于點E,且CE=BC.

（1）求證:CE是。。的切線；

⑵若。O的半徑為3,tan/DBC=/求AB的長.

技巧三相似+三角函數(shù)

2.（2024湖北模擬）如圖,AB為。。的直徑,C為。。上一點，連接AC,BC,過點C作。。的切線，交AB的延長

線于點D,OF±BC于點E,交CD于點F.

(1)求證:NBCD=NBOE;

(2)若sin/CAB=~,AB=10,求BD的長.

方法研究8圓與三角函數(shù)(二)構(gòu)直角

典例精講

技巧一連過切點的半徑構(gòu)直角三角形

【例】(2024江岸區(qū))如圖,AB為。O的直徑,C為。O上一點連接BC,取麗的中點D,過點D作。。的

切線，交AB的延長線于點E,連接AD,CD,CD與AB交于點F.

(1)求證:NABC=2NOAD;

⑵當sin￡=：時，求知勺值.

典題精練

技巧二作垂線構(gòu)直角三角形

1.如圖在。。中，弦AB的長為8,點C在BO延長線上，且cos^4BC=i,OC=

(1)求。0的半徑；

(2)求NBAC的正切值.

技巧三連弧的中點與圓心構(gòu)直角三角形

2.(2023江漢區(qū))如圖，在。。中,AB為直徑,EF為弦，連接AF,BE交于點P,且F為屋的中點

(1)求證：AFBPAFAB;

⑵若tan/BEF=|,求sinzABE的值.

B

方法研究9圓與三角函數(shù)(三)轉(zhuǎn)直角

典例精講

技巧一圓外角轉(zhuǎn)圓心角

[例1](2024武漢中考)如圖,AABC為等腰三角形Q是底邊BC的中點，腰AC與半圓。相切于點D,底邊

BC與半圓O交于E,F兩點.

(1)求證:AB與半圓O相切；

(2)連接OA.若CD=4,CF=2,求sinzOAC的值.

技巧二弦切角轉(zhuǎn)圓外角

【例2】(2024孝感)如圖,AB為。O的直徑,C為。。外一點，AC=BC,,連接OC,DF是AC的垂直平分線,

垂足為E,交0C于點F,連接AD,CD,且ZDCA=Z0CA.

(1)求證:AD是。0的切線；

⑵若CD=5,OF=3,求coszDAC的值.

A\B

O

技巧三圓外角轉(zhuǎn)圓周角

[例3](2024甘肅)如圖,AB是。O的直徑，BC=皿點E在AD的延長線上，且zADC=zAEB.

(1)求證:BE是。O的切線；

(2)當。。的半徑為2,BC=3時，求tan/AEB的值.

典題精練

技巧四圓周角轉(zhuǎn)圓周角

1.(2024武昌區(qū))如圖,AABC內(nèi)接于。O,AB=AC,CO的延長線交AB于點D.

(1)求證:AO平分NBAC;

(2)若BC=12,sm^BAC=|,求AC和CD的長.

技巧五圓周角轉(zhuǎn)圓心角

2.(2024廣西)如圖，已知。0是AABC的外接圓,力B=".D,E分別是BC,AC的中點，連接DE并延長至點

F,使EF=DE,連接AF.

(1)求證：四邊形ABDF是平行四邊形；

(2)求證:AF與。0相切；

(3)若tan^BAC=-,BC=12,求。O的半徑.

4

技巧六弦切角轉(zhuǎn)圓心角

3.(2023江岸區(qū))如圖,。0與矩形ABCD的BC邊相切于點M,且經(jīng)過CD邊上的點N,CM=CN.

(1)求證:CD與。。相切；

(2)00與AB交于點E,連接EM.若tan/EMB=/。。的半徑為5,求AD的長.

方法研究10求與圓相關(guān)的陰影面積

典例精講

技巧一和差法求陰影面積

【例】(2024武漢三調(diào))如圖,AB是半圓0的直徑,D是.段中點，過點D作AC的垂線，垂足為E,交AB

的延長線于點F.

(1)求證:EF是半圓。的切線；

⑵若BF=2/F=30°,求陰影部分的面積.

典題精練

技巧二等積轉(zhuǎn)化求陰影面積

1.(2024黃石)如圖,AB是。。的直徑,C,D是。。上AB同側(cè)的兩點，DE回8c交BC的延長線于點E,且BD

平分NABE.

(1)求證:DE是。O的切線；

⑵若NABC=60*AB=6,求圖中陰影部分的面積

技巧三割補法求陰影面積

2.如圖，將。O沿弦AB折疊，而恰經(jīng)過圓心O.

(1)求證:NABO=30°;

⑵若AB=2b,求陰影部分的面積.

板塊二十三圓（二）方法研究-----解答題

方法研究1圓與勾股（一）單勾股——2023武漢中考熱點典例精講

技巧一作垂徑構(gòu)直角三角形

【例】（2023武漢中考）如圖,OA,OB,OC者B是。O的半徑NACB=2/BAC.

⑴求證:NAOB=2NBOC;

⑵若AB=4,BC=遮，求。O的半徑.

解:（（1）乙ACB==三乙BOC/ACB=2ABAC,???^AOB=2乙BOC

⑵過點O作半徑OD_LAB于點E,連接BD.，AE=BE.：NAOB=2/BOC,|ZDOB=ZAOB,AZDOB=ZB

OC,BD=BC.AB=4,BC=V5,.\BE=2,DB=有.在R3BDE中，4DEB=90。,：.DE=yjBD2-BE2=1.在RtA

BOE中,NOEB=90。，OB2=(OB-l)2+22,解得OB=*即。0的半徑是|

典題精練

技巧二連直徑所對的圓周角構(gòu)直角三角形

1.（2024江岸區(qū)）如圖，在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作。。交BC于點D,過點D作。O的切線，交AB于

點E,延長BA交。O于點F.

⑴求證:DE_LAB;

（2）若AF=6,tanB=也求。O的直徑.

解:⑴連接OD,則OD=OC,.\ZODC=ZC,VAB=AC,.\ZB=ZC,.\ZB=ZODC,.\AB〃OD,：DE與。O相切

于點D,.\DE±OD,.\ZBED=ZODE=90°,DE±AB;

⑵連接CF//AC是。。的直徑,.NF=90。,.??賓=tanB=f,

BF2

???AF=6,.-.CF=^BF=|(T1B+6)=|(AC+6),vAF2+CF2=AC2

2

62+[|(AC+6)]=AC?,解得AC=10或AC=-6(不符合題意.舍去),OO的直徑為10.

技巧三連弧的中點與圓心構(gòu)直角三角形

2.(2024研口區(qū))如圖，在。0中，而=比=我連接AC,BD過點B作BE〃AC交DC的延長線于點E.

⑴求證:ND=NE;

⑵若CD=2V5,BE=8,求。O的半徑.

解:(1)；BE〃AC,二ZE=ZACD,VAD=BC,；.ZACD=ZD,.\ZD=ZE;

(2)由(1)知,/E=/BDC,；.BD=BE=8,連接OC交BD于點H,連接OD,

???BC=CD,：.OC1BD,DH=”D=4在RtACHD中,(CD=2亞,

：.CH=yJCD2-DH2=2,,設(shè)OD=OC=i?，在RtAOHD中,由勾股定理，得(OH?+DH2=OD2,(r-2)2+

42=產(chǎn)解得r=5,即。O的半徑為5.

方法研究2圓與勾股(二)雙勾股

典例精講

技巧一連弧的中點與圓心構(gòu)直角三角形

【例】(2023武漢四調(diào))如圖,AB是半圓O的直徑C是.-4B的中點，過點C作弦BD的垂線，垂足為E.

⑴求證:CE=DE;?

⑵若AD=DE=1,求AB的長.J--------產(chǎn)T

AOB

解:⑴連接。c,CD.：C是屈的中點,AB是直徑.??/BOC=90：./CDB=2。C=45。又..。皿口，NC

ED=90°,；.ZCDE=ZDCE=45°,.\CE=DE;

(2)連接BC,設(shè)BE=x.：AB是直徑,；.NADB=90。,在RtAABD中，AB2=AD2+BD2.

???AD=DE=1,.-.AB2=1+(1+x)2.在RtACEB中，BC2=CE2+BE2.---CE=DE=I,/.BC2=l+x2.

-：AB=20B=五BC,：.1+(1+x)2=2(1+/),解得=2,小=。(舍去)，；?AB=+(1+2尸=V10.

典題精練

技巧二連直徑所對的圓周角構(gòu)直角三角形

1.如圖在^ABC中,AB=AC以AB為直徑的。0交BC于點D,交CA的延長線于點E.

E

⑴求證:BD=CD;

⑵連接ED,若AC=5,ED=4,求AE的長.

解:⑴連接AD.AB為直徑,；.ZADB=90°,VAB=AC,；.BD=DC;

(2)連接BE,貝!!/AEB=9。。.^.^BD=CD,.^.BC=2ED=8.設(shè)AE=x,貝[]CE=x+5,在Rt△ABE和RtACBE中,。.AB2-A

E2=BE2=BC2-CE2,：.52-x2=82-(x+5)2，:x=(即AE的長為!

技巧三連過切點的半徑構(gòu)直角三角形

2.(2023武昌區(qū))如圖在RtAABC中,NC=90。,點O在AC邊上以O(shè)A為半徑的半圓O交AB聲點交AC

于點E,在BC邊上取一點F,連接FD,使得DF=BF.

AOEC

(1)求證:DF為。O的切線；

⑵若AC=6,BC=4,CF=1,求。O的半徑.

解:⑴連接OD,貝!]OD=OA,；.ZODA=ZA.VDF=BF,AZFDB=ZB.VZC=90°,.\NODA+NFDB=/A+/B=90。,

Z.ZODF=180°-(ZODA+ZFDB)=90°,DF±OD.?/OD是OO的半徑,，DF是。O的切線；

(2)連接OF,設(shè)半圓O的半徑為r.?/AC=6,BC=4,CF=1,Z.DF=BF=BC-CF=4-1=3,OC=AC-0A=6-r.■：4ODF=

2222222

ZC=90°,OD+DF=OC+CF=OF,r+3=(6-r)2-y,解得r=的半徑是|

方法研究3圓與相似(一)構(gòu)“A型”相似

典例精講

【例】（2024武昌區(qū)）如圖.AB為。。的直徑.過。O上點C的切線交AB的延長線于點E,AD，EC于點D,

交0O于點F,連接BC,CF.

(1)求證:BC=CF;

⑵若AD=3,DE=4,求BE的長.

解:⑴連接OC,BF,BF交OC于點H.

EDWOO于點C,CO_LED,；AD±EC,CO〃AD.

VAB為。O的直徑.,.NAFB=/OHB=90°,

OHJ_BF,；.BC=CF,BC=CF;

(2)在RSADE中,：AD=3,DE=4,根據(jù)勾股定理得AE=5.

,?CO//AD,?.AEOCAEAD，,EC=OCD,設(shè)。O的半徑為r,.*.OE=5-r,

典題精練

技巧一連圓心與切點構(gòu)“A型”相似

1.(2023研口區(qū))如圖以△ABC的邊AB為直徑作0O交AC于點D,且D為AC的中點作DGLBC于點G,

交BA的延長線于點H.

(1)求證:HG是。O的切線;

⑵若HA=2,HD=4,求CG的長

解:⑴連接OD.：AD=DC,AO=OB,；.OD是4ABC的中位線,，OD〃BC,OD=掃C.：DG_LBC,，OD_LHG.：O

D是。O的半徑直線HG是0O的切線；

(2)設(shè)OA=OD=i?，則OH=r+2在RtAHOD中,/ODH=90。,由勾股定理，得OD2+DH2=OH2,，r2+42=(r+2)2,解得r=3,

OA=OD=3,OH=5,BH=8.VOD=OA,ZODA=ZOAD.VOD//BC,ZODA=ZC=ZOAD,.\BC=BA=6.VOD//

BC,

HO.3-5.：BG=?-4.：CG=6--246

BGll51

技巧二連弧的中點與圓心構(gòu)“A型”相似

2.如圖,AB為。O的直徑,弦DC的延長線交AB的延長線于點E,/BDC+2/ABD=90。.

⑴求證：AD=CD;

(2)若AC=4a,tanzABO=產(chǎn),求BE的長.

解:⑴連接OD交AC于點H,則NAOD=2/ABD,

ZAOD+ZBDC=2ZABD+ZBDC=90°.

ZBDC=ZBAC,.\ZAOD+ZBAC=90°,

.?.OD_LAC,；.AD=CD;

(2)連接BC,貝！1/人?3=9。。,；.0口〃8(2.由(1)知ODSAC.AH=CH=1XC=242.vtan^ABD=tan/ACD=

詈=y,/.DH*CH=2.設(shè)OA=OD=i?則0H=r-2,.,.在RtAAOH中,((2A/2)2+(r-2)2=產(chǎn)，即|=黑iBE

=6.

方法研究4圓與相似(二)構(gòu)“X型”相似

典例精講

【例】(2024江漢區(qū))如圖,AB為OO的直徑,P為BA延長線上一點，點C在。O上，連接PC,D為半徑OA

上一點,PD=PC,連接CD并延長交。O于點E,且E是油的中點.”仁7、

(1)求證:PC是。O的切線;

(2)若AB=10,5CD=4DE,求AC的長.

解：(1)連接OE.：OC=OE,；./CEO=/OCE.：E是通的中點，.?.荏=BE,；./AOE=ZBOE=90°,AZCEO+

ZODE=90°.>/PC=PD,.\ZPCD=ZPDC,VZPDC=ZODE,.\ZPCD=ZODE,.\ZPCD+ZOCD=ZODE+ZE=

90o,.\OC±PC,VOC是。O的半徑,；.PC是。O的切線；

(2)過點C作CH_LAB于點H.：OE_LAB,；./CHD=NEOD=90。.

OFDF444

???乙CDH=乙EDO,???△CDH△EDO,.??空=絲，???ZB=10,5CD=4DE,??.OE=5,CD=-DE,.CH=-0E=-x

CHCD'''5'55

5=4,OH=VOC2-CW2=3,.-.AH=2,：.AC=VXH2+CH2=275.

典題精練

技巧一連弧的中點與圓心構(gòu)“X型”相似

1.(2023江岸區(qū))如圖,AB是。O的直徑,C是.的中點，連接AC并延長至點D,使CD=AC,E是OB

上一點，且g=|,CE的延長線交DB的延長線于點F,AF交。。于點H,連接BH.

(1)求證:BD是。O的切線；

⑵當AB=8時.求BH的長.(/*

解:⑴連接OC.YAB是。O的直徑,C是通的中點,???/AOC=90。.\

,.,OA=OB,CD=AC,.\OC是4ABD是中位線,，OC〃BD,

AZABD=ZAOC=90°,/.AB±BD.,/OB是半徑,；.BD是0O的切線；

AOC=OB=4,V—=BF=6.在RtAABF中,^ABF=90。,根據(jù)勾股定理，得AF=10.

EB3BF3

11

VSAABF=-ABBF=-AFBH,AABBF=AFBH,8x6=10BH,ABH=4.8.

22，

技巧二作垂線構(gòu)“X型”相似

2.如圖,AB是。0的直徑，AB=2V10?OO的弦CDLAB于點E,CD=6過點C作。0的切線，交AB的延長

線于點F,連接BC.

(1)求證:CB平分NDCF;

(2)G為而上一點，連接CG交AB于點H.若CH=3GH,求BH的長

解:⑴略；

(2)連接OCQG,過點G作GM_LAB于點M.VCD±AB,.*.CE=|CZ)=3,0C=OG=VlO,.-.OE=1.證△GM

H^ACEH,—=—=CH=3GH,.?一=2=理，；.GM=1設(shè)MH=x,則HE=3x,.,.OH=3x-1,OM

5CHCEHEf33HE''''

2

=4x一1.在RtAOGM中,0M2+GM2=OG2,：.(4x-l)2+lz=(V10)，解得x=l(負值舍去)，BH=OH+OB

=2+VTU.方法研究5圓與相似(三)構(gòu)“射影型”相似

典例精講

類型一連直徑所對的圓周角構(gòu)“射影型”相似

【例】(2020武漢中考)如圖，在RtAABC中,NABC=90。以AB為直徑的。O交AC于點D,AE與過點D

的切線互相垂直，垂足為E.

(1)求證:AD平分/BAE;

⑵若CD=DE,求sinZBAC的值.

解：(1)連接OD,即可證得結(jié)論；

c

(2)連接BD.易證RtAADE^RtABCD,；.AD=BC.設(shè)AD=BC=a,CD=x,!U!jAC=AD+C^g+^liERtABCD-Rt

AACB,；.BC2=CD-AC,即a2=x(a+x),x2+ax-a2=0,解得x=在二a(負值已舍占奈6斗越二a,

臺「2V72

aV5-1

si.PBCAC"=si.nzCcScDn=-CD~^~—

典題精練

類型二連圓心與切點構(gòu)“射影型”相似

1.（2024宿遷）如圖，在。O中,AB是直徑,CD是弦,且人8，?口,垂足為￡48=20《口=12在BA的延長線上取一

點F,連接CB,CF,使NFCD=2NB.

⑴求證:CF是。0的切線；

⑵求EF的長.乂一^

解:⑴連接0C.證明略；

(2)???AB1CD,：.CE=Q=6/：AB=20,OC=10,OE=VOC2-C￡2=8.VZOCF=ZOEC=90°,ZCO

E=ZFOC,.\AOCE^AOFC,.,.OF=OC,OF=￡F=OF-OE=8=

OF10222

類型三作垂線構(gòu)“射影型”相似

2.(2024湖北模擬)如圖,AB是。O的直徑弦CD交AB于點F,BE，CD,垂足為E,AC=5,BC=10.

(1)求證:△DBE^AABC;

⑵若AC=CF,求AF和ED的長.慶，

解:⑴略；

⑵過點C作CG_LAB,垂足為G.VZACB=90°,AC=5,BC=10,、JD

.\AB=^AC2+BC2=V52+102=5V5.VCG±AB,AZAGC=ZACB=90°,

XZA=ZA,△ACG^△ABC,AC=4GAC,BPAC2=AG-AB,：.AG=V5.

：AC=CF,；.FG=AG=V5,ZCAF=ZCFA,AF=2V5.VZCFA=ZBFD,

V5-2V5=3V5ZCAF=ZBDF,ZCAF=ZCFA=ZBFD=ZBDF,/.BD=BF=AB-AF=5

"?ADBE^AABC,BDB=DEAC,SP熊=ED=3.

方法研究6圓與相似(四)構(gòu)其他相似

典例精講

類型一構(gòu)“仿A”型相似

【例】(2024通遼)如圖，在△ABC中,/ACB=90。,。為AC邊上一點，以點O為圓心,OC為半徑作圓與AB相

切于點D,連接CD.

(1)求證:/ABC=2/ACD;/------Xc

⑵若AC=8,BC=6,求。O的半徑//\

ADB

解：(1)連接OD.：AB為＜30的切線,.*.OD_LAB,；.NODA=/ODB=9。。.

ZACB=90°,AZABC+ZCOD=180°,VZAOD+ZCOD=180°,

???ZABC=ZAOD.VZAOD=2ZACD,.\ZABC=2ZACD;

(2)設(shè)。O的半徑為r,則OD=OC=r,OA=8-r,在RtAACB中，AB=V62+82=10.VZOAD=ZBAC,ZADO=Z

ACB,A△AOD^△ABC,ODC=AD,BP-=匕魂牟得『3,即。O的半徑為3.

610一

典題精練

類型二構(gòu)“旋轉(zhuǎn)”型相似

1.(2023成都)如圖以△ABC的邊AC為直徑作。O,交BC邊于點D,過點C作CE〃AB交。。于點E,連接A

D,DE,且/B=/ADE.

⑴求證:AC=BC;

⑵若tanB=2,CD=3,求AB和DE的長.

解:⑴略；

⑵連接AE.,/ZADE=ZB,ZAED=ZACB,/.AADE^AABC,.\ADB=DE.

VAC為。O的直徑,，ZADB^ZADC=90°,AtanB=ADD=2,AD=2BD.

,/CD=3,AC=BC=BD+CD=BD+3.：AD2+CD2=AC2,(2BD)2+32=(BD+3)2,

解得BD=2或BD=0(舍去),，AD=2BD=4,AB=y/AD2+BD2=V42+22=2V5,BC=2+3=5.

ADDE4DEn??/p

-=——F=—,-*-DE=2V5.

ABBC2V55

類型三構(gòu)“仿射影”型相似

2.(2024羅湖區(qū))如圖,AB為。。的直徑,C為。。上一點,D為AC的中點，過點C作。O的切線，交OD的延長

線于E,交AB的延長線于F,連接EA.

(1)求證:EA與。O相切；

⑵若CE=3,CF=2,求0O的半徑.

解:⑴連接OC.VEF為切線,.IZOCE=90°,VD為AC的中點,，OE，AC,

EC=EA,ZECA=ZEAC.VOA=OC,.\ZOCA=ZOAC,

.?./OAC+NEAC=NOCA+/ECA=90。,即NEAO=90o,；.EA與。O相切；

⑵連接BC.VAB為直徑,ZBCA=90°,.\ZCAB+ZCBA=90°.

VEF為切線,ZBCF+ZBCO=90°.HZBCO=ZCBA,.\NBCF=NCAF,

:BCFACAF,：-—=M由⑴知EA為。O切線，則EA=EC=3,EF=EC+FC=5,在RtAAEF中,可求得AF=

AFCF

4,.-.|=奈解得BF=1,AB=AF-BF=3,?O的半徑為

422

方法研究7圓與三角函數(shù)(一)用直角

典例精講

技巧一定義+勾股

【例】(2023東西湖區(qū))如圖，在△ABC中,AB=AC,AC是。O的弦,D為AC的中點，連接ODQA,分別交CB于

點E,F,且OE=OF.

(1)求證:AB是。O的切線；

(2)若0E=3,sin^AOD=|,求BF的長.(/)

解:⑴略；'B

⑵在RtAAOD中，sin乙400=券=|,設(shè)AD=3x,則OA=5x,；.OD=

VOA2-AD2=V(5x)2-(3x)2=4x.,/OE=OF=3,DE=4x-3,AF=5x-3.VAC=2AD=6x,

AB=6x,t?,Z.C=Z.B,tanC=tanB,解得x=l,.\AF=2,AB=6,

CDAB3x6x

.?.在RtAABF中，BF=<AF2+AB2=V22+62=2V10.

典題精練

技巧二勾股十三角函數(shù)

1.(2024東湖高新區(qū))如圖，在RtAABC中,/ACB=90。,點D在AC邊上，以AD為直徑作。。交BD的延長線

于點E,且CE=BC.f\/

⑴求證:CE是。O的切線；\

(2)若。。的半徑為3,tanzDBC=/求AB的長.

解：(1)連接OE,VOD=OE..\ZODE=ZOED=ZBDC,VCE=CB,/.ZCED=ZCBD,VZACB=90°,.\ZCBD+ZB

DC=90o,；./OED+/DEC=/OEC=90。,即OE_LEC,且點E在圓上,；.CE是。O的切線；

(2)???tanzDBC=案=點設(shè)CD=x，則BC=2x,CE=BC=2x,

???OC2=OE2+￡C2,BP((3+%)2=32+(2x)2,；.%=2,X=。不合題意舍去),(

/.AC=3+3+2=8,BC=CE=4,AB=A/AC2+BC2=4V5

技巧三相似十三角函數(shù)

2.（2024湖北模擬）如圖,AB為。O的直徑,C為。O上一點，連接AC,BC.過點C作0O的切線，交AB的延長線

于點D,OFJ_BC于點E,交CD于點F.

⑴求證:/BCD=/BOE;

⑵若sinzCXB=|,2B=10,求BD的長.

解：(1)連接OC.YCD是。。的切線,，ZBCD+ZOCB=ZOCD=90°,VOF±BC,AZBOE+ZOBC=90°,VOC=OB,

ZOCB=ZOBC,.\ZBCD=ZBOE;

(2)VAB為。O的直徑，；.乙ACB=90°,?；sinN)4B=9=/力B=10,BC=6,4C=VlO?-a=8.設(shè)BD

AB5

=*廁AD=10+x,由(1)得/BCD=NCAD,又ND-DmBCDsZ^CADIBCCDuCD：器即，=患=言整理得9

（10+x）=16x,解得X=y,BD的長為y.

方法研究8圓與三角函數(shù)（二）構(gòu)直角

典例精講

技巧一連過切點的半徑構(gòu)直角三角形

【例】（2024江岸區(qū)）如圖,AB為。O的直徑,C為。O上一點，連接BC,取標的中點D,過點D作。。的切

線，交AB的延長線于點E,連接AD,CD,CD與AB交于點F.

(l)^<ilE：ZABC=2ZOAD;

⑵當sinE=爭寸，求刑勺值.

解：(1)連接AC,連接DO并延長交AC于點H,證DH〃BC,

ZABC=ZBOD=2ZOAD;

⑵設(shè)OA=OB=OD=r,：DE是。O的切線,/ODE=90。，

sinE=OE=—=3r,由勾股定理，得DE=y/OE2-OD2=證AC〃DE,

/BAC=/E,在RtAABC中，AB=2r,sm^BAC=—=BC=-AB=%,根據(jù)勾股定理，得

AB333

J"

1---------r

AC=VAB2-BCf==r.：AC//DE,：.AAFCs/\EFD.二"=g\.

3EFDE2-Jlr3

典題精練

技巧二作垂線構(gòu)直角三角形

1.如圖在。。中，弦AB的長為8,點C在B0延長線上且COSNABC=Rb

⑴求OO的半徑;

(2)求/BAC的正切值.

解:⑴過點0作ODLAB于點DGO的半徑為5;(解答過程略)

(2)過點C作CE_LAB,垂足為EOC=\0B,OB=5,BC=|0B=7.5.:OD^AB,.-.。叫舊夕筆宗］景

-=BE=6=6=2.在RtABCE中，CE=^BC2-BE2=V7.52-62=45:.在RtAACEtanzBX

3BE\y

二)、---------/

CE_4.5_9

AE~2~4

技巧三連弧的中點與圓心構(gòu)直角三角形

2.(2023江漢區(qū))如圖，在。。中,AB為直徑,EF為弦，連接AF,BE交于點P,且F為.防的中點

(1)求證:△FBP^AFAB;

⑵若tanNBEF=|,求sinZABE的值.

解:⑴略；

(3)連接OF,交EB于點M.：EF=BF,，EF=BF,NFBM=NA,，OF_LBE.：AB是直徑，/.AFB=90°,tanzX

=tanzFEF=處=三.設(shè)BF=3a廁AF=4a,由勾股定理，得AB=y/BF2+AF2=5a,OF=OB=-AB=9a在R3B

AF422

FM中，/.FBM=/.A,???sinzFBM=—=sinzXFM=-BF=-a,：.OM=OF-FM=二在RtABMO中,

BF55510a

CR"7cc5.4cLOM7

OM=—a,OB=-a,???smZ-ABE=—=—.

102OB25

方法研究9圓與三角函數(shù)(三)轉(zhuǎn)直角

技巧一圓外角轉(zhuǎn)圓心角

【例1】(2024武漢中考)如圖,△ABC為等腰三角形,0是底邊BC的中點，腰AC與半圓O相切于點D,底

邊BC與半圓。交于E,F兩點.

(1)求證:AB與半圓O相切；

(2)連接OA.若CD=4,CF=2,求sinZOAC的值.

解:⑴連接OA,OD,過點0作ONLAB于點N.

「△ABC為等腰三角形,0是底邊BC的中點,，人。平分NBAC.

VAC與半圓0相切于點D,；.OD_LAC.

；ON_LAB,二ON=OD,二AB與半圓O相切;

(2)由(1)可知AO±BC,OD±AC,.\ZAOC=ZODC=90°,

ZOAC+ZOCA=180°-ZAOC=90°,ZCOD+Z