2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題之分式方程

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之分式方程（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025?福州模擬）某學(xué)校整修校門口3000根的道路，但是在實(shí)際施工時，調(diào)整了施工進(jìn)度，設(shè)原計劃

每天整修道路根據(jù)等量關(guān)系列出方程等一黑=2。,則符合這個方程的是（

A.實(shí)際每天比原計劃多修10%結(jié)果延期20天完成

B.實(shí)際每天比原計劃多修10優(yōu)，結(jié)果提前20天完成

C.實(shí)際每天比原計劃少修10%，結(jié)果延期20天完成

D.實(shí)際每天比原計劃少修10加，結(jié)果提前20天完成

2.（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）A,8兩地相距240歷〃，如果平均車速提高了50%,則從A地到8地的

時間縮短了1〃.設(shè)原來的平均車速為了加7//2,則根據(jù)題意可列方程為（）

240240240240

A.一----------------=1B.—1

%(1-50%)%(1+50%)%-X

240240240240

C.—----------------=1D.-=1

x(1+50%)%(1-50%)%一X

3.（2025?河西區(qū)一模）為傳承我國傳統(tǒng)節(jié)日文化，端午節(jié)前夕，某校組織了包粽子活動.已知某班甲組

同學(xué)平均每小時比乙組多包20個粽子，甲組包150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所用的時間

相同.求甲，乙兩組同學(xué)平均每小時各包多少個粽子.若設(shè)乙組每小時包尤個粽子，可列出關(guān)于x的方

程為（）

150120150120

A.B.

%+20X%--20X

150120150120

C.D.

X%+20X%-20

4.（2025春?沙坪壩區(qū)校級月考）巖石會“說話”，山川有“韻律”，大自然中蘊(yùn)涵著無盡的秘密，吸引著

熱愛研學(xué)的重慶一中的師生們走進(jìn)其中一探究竟.甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動地點(diǎn)12千米和5千米

的兩地同時出發(fā)參加活動，甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)速度的1.5倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘達(dá)到活動

地點(diǎn).若假設(shè)乙同學(xué)的速度是x千米/小時，則下列方程正確的是（）

121_4___51254

A.十—B.

1.5%60X1.5%X一60

1251.5%X4

C.--=4D.

1.5%X12一5一60

5.（2025?廣西模擬）在課外活動跳繩時，相同時間內(nèi)小季跳100下，小范比小季多跳20下.已知小范每

分鐘比小季多跳30下，設(shè)小季每分鐘跳x下，下列方程正確的是（）

100100-20100100+20

A.-----=-------------B.-----=-------------

xx-30x%+30

100100+20100100-20

D.-----=-----------

xx-30xx+30

x—a<0y-a2y—5

6.（2025?響水縣一模）關(guān)于x的不等式組卜_1>4x-8的解集為尤Wa,且關(guān)于y的分式方程式-芍

1的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的和為（）

23

7.（2。25?海南一模）若o為3相反數(shù)’則x的值是（

8.（2024秋?桂林期末）如圖，把電阻值分別為Ri,4的兩電阻并聯(lián)后接入某電路中，已知其總電阻值R

,111

（單位：Q）.滿足二=一+一，若R的電阻值是1C,火2的電阻值是3C,則R1的電阻值是（）

Rk出

3

B.mc.-nD.2Q

2

9.（2025春?良慶區(qū)校級月考）下列各式中，是分式方程的是（）

16%121x+y122x

A.-----=-B.—=-C.-------—=0D.—+一

25nx249x3

10.（2025?湖北一模）數(shù)學(xué)活動課上，甲，乙兩位同學(xué)制作長方體盆子.已知甲做6個盒子比乙做4個盒

子多用10分鐘，乙每小時做盒子的數(shù)量是甲每小時做盒子的數(shù)量的2倍.設(shè)甲每小時做x個盒子，根

據(jù)題意可列方程（）

二.填空題（共5小題）

2y3y-a

11.（2025春?沙坪壩區(qū)校級月考）若關(guān)于y的分式方程一匕-上二=7的解為非負(fù)數(shù)，且關(guān)于x的一元

y-ii-y

2Q+1)

V<1

一次不等式組.3_至少有兩個正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)〃的和為.

4x一1<a+2x

12.（2025春?萬州區(qū)月考）關(guān)于x的不等式組『二的解中至少包含三個整數(shù)，且關(guān)于了的分

式方程至上=—+2的解是不小于-6的整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)a的值的和是__________

y-ii-y

ii

13.（2025春?西城區(qū)校級月考）方程;-+—=0的解為

2x-3x+1

f2x+2、,1

14.（2025?潼南區(qū)模擬）如果關(guān)于x的不等式組飛―+1有解且至多有4個整數(shù)解，且關(guān)于y的

2（%—1）<4x—a

分式方程一一-3=旦的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和為__________.

i-yy-i

32

15.（2025?鋼城區(qū)一模）已知關(guān)于％的分式方程-=「"的解是x=6,則％的值為_______.

xx-k

三.解答題（共5小題）

16.（2025?花溪區(qū)模擬）為全面落實(shí)貴陽貴安義務(wù)教育階段學(xué)校每天一節(jié)體育課的要求，某學(xué)校擬購進(jìn)甲、

乙兩種運(yùn)動器材.已知每個甲種器材的進(jìn)價比每個乙種器材的進(jìn)價高2。％,用7200元購進(jìn)的甲種器材

的數(shù)量比用7500元購進(jìn)乙種器材的數(shù)量少5個.

（1）求每個甲種器材的進(jìn)價；

（2）若該校擬購進(jìn)這兩種器材共60個，其中乙種器材的數(shù)量不大于甲種器材數(shù)量的2倍.該校應(yīng)如何

購買才能使所需費(fèi)用最少.

32

17.（2025春?沛縣月考）（1）解方程：-=---.

%%+1

（2）解不等式組：卜―1>2

（2+x>2（%—1）.

18.（2025?湖南模擬）今年我市的陽光玫瑰葡萄喜獲豐收，陽光玫瑰葡萄一上市，水果店的王老板用2000

元購進(jìn)一批陽光玫瑰葡萄，很快售完；王老板又用3200元購進(jìn)第二批陽光玫瑰葡萄，所購數(shù)量是第一

批的2倍，但進(jìn)價比第一批每千克少了2元.

（1）第一批陽光玫瑰葡萄每千克的進(jìn)價是多少元？

（2）王老板以每千克12元的價格銷售第二批陽光玫瑰葡萄，售出60%后，為了盡快售完，決定打折促

銷，要使第二批陽光玫瑰葡萄的銷售利潤不少于1200元，剩余的陽光玫瑰葡萄每千克的售價最低打幾

折？（結(jié)果保留整數(shù)）

19.（2025春?深圳校級月考）⑴計算：|b-2|+31加30。+（》-1-西

X—3TTLX

（2）下面是小虎在解決分式方程一；=「無解問題的分析過程：

x-22-x

解：第一步：去分母，得x-3=-g:,

第二步：移項(xiàng)，得x+mx=3,

第三步：合并同類項(xiàng)，得（1+m）%=3,

第四步：化系數(shù)為1得%=磊,

第五步：若方程無解，貝卜=磊為增根，即％=磊=2,

第六步：二血=.

請問小虎是從第步開始出現(xiàn)錯誤，請你從這一步開始改正他的解法.

20.(2025春?北倍區(qū)校級月考)直播帶貨作為一種新興的銷售模式，在抖音平臺上尤為流行.一月份，某

直播間推出兩款電話手表，分別是帶攝像頭的升級款和不帶攝像頭的普通款，一開播就引起了很多網(wǎng)友

關(guān)注.已知普通款的單價是升級款的85%,一月份升級款和普通款的銷售額分別為45000元和29750

元，兩款電話手表的銷量為80只.

(1)分別求出升級款電話手表和普通款電話手表的單價；

(2)二月份為喜迎開學(xué)，該直播間開展降價促銷活動.在一月份的基礎(chǔ)上，升級款電話手表降價。元，

普通款的單價不變.結(jié)果升級款電話手表的銷量增加;a只，普通款電話手表的銷量減少工a只，二月

份兩款電話手表總的銷售額增加250〃元，求。的值.

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之分式方程（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案BCABBCDCBD

選擇題（共10小題）

1.（2025?福州模擬）某學(xué)校整修校門口3000根的道路，但是在實(shí)際施工時，調(diào)整了施工進(jìn)度，設(shè)原計劃

30003000

每天整修道路xm,根據(jù)等量關(guān)系列出方程=20,則符合這個方程的是（

xx+10

A.實(shí)際每天比原計劃多修10/72,結(jié)果延期20天完成

B.實(shí)際每天比原計劃多修10小結(jié)果提前20天完成

C.實(shí)際每天比原計劃少修10/77,結(jié)果延期20天完成

D.實(shí)際每天比原計劃少修10m,結(jié)果提前20天完成

【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】由x代表的含義找出（尤+10）代表的含義，再分析所列方程選用的等量關(guān)系，即可找出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)原計劃每天整修道路X7",則（X+10）機(jī)表示：實(shí)際每天比原計劃多修10加,

??.方程中等表示原計劃施工所需時間，翳表示實(shí)際施工所需時間,

...原方程所選用的等量關(guān)系為結(jié)果提前20天完成.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，根據(jù)所列分式方程，找出選用的等量關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

2.（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）A,B兩地相距240加，如果平均車速提高了50%,則從A地到B地的

時間縮短了1人設(shè)原來的平均車速為xbw//?,則根據(jù)題意可列方程為（）

240240240240

A.——1B.-----=1

X(1-50%)比(l+50%)xX

240240240240

C.—j.D.—1

X(1+50%)支(l-50%)xX

【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】c

【分析】設(shè)原來的平均速度為無物血，表示出提速后的平均速度，然后根據(jù)提速之后比原來從甲地到乙

地的時間縮短了1/?,列方程.

【解答】解：根據(jù)題意得：

啊—"一=1

x（1+50%）%'

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，

列方程.

3.（2025?河西區(qū)一模）為傳承我國傳統(tǒng)節(jié)日文化，端午節(jié)前夕，某校組織了包粽子活動.已知某班甲組

同學(xué)平均每小時比乙組多包20個粽子，甲組包150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所用的時間

相同.求甲，乙兩組同學(xué)平均每小時各包多少個粽子.若設(shè)乙組每小時包尤個粽子，可列出關(guān)于x的方

程為（）

150120150120

A.15.

x+20X%-20X

150120150120

C.一=—D.一=—

X%+20X%—20

【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】A

【分析】設(shè)乙組同學(xué)平均每小時包x個粽子，則甲組同學(xué)平均每小時包（x+20）個粽子，根據(jù)“甲組包

150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所用的時間相同”列出分式方程.

【解答】解:設(shè)乙組同學(xué)平均每小時包x個粽子，則甲組同學(xué)平均每小時包（尤+20）個粽子，

150120

根據(jù)題意得:

x+20X'

：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，正確找出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2025春?沙坪壩區(qū)校級月考）巖石會“說話”，山川有“韻律”，大自然中蘊(yùn)涵著無盡的秘密，吸引著

熱愛研學(xué)的重慶一中的師生們走進(jìn)其中一探究竟.甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動地點(diǎn)12千米和5千米

的兩地同時出發(fā)參加活動，甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)速度的1.5倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘達(dá)到活動

地點(diǎn).若假設(shè)乙同學(xué)的速度是x千米/小時，則下列方程正確的是（）

12451254

1.5%60%1.5%x

1.5%x

【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】B

【分析】根據(jù)甲、乙同學(xué)速度間的關(guān)系，可得出甲同學(xué)的速度是1.5尤米/分，利用時間=路程+速度，

結(jié)合乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達(dá)活動地點(diǎn)，即可列出關(guān)于x的分式方程，此題得解.

【解答】解：設(shè)乙同學(xué)的速度是尤米/分，則甲同學(xué)的速度是1.5尤米/分.

....................1254

根據(jù)題思得：—-'———,

1.5xX60

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?廣西模擬）在課外活動跳繩時，相同時間內(nèi)小季跳100下，小范比小季多跳20下.已知小范每

分鐘比小季多跳30下，設(shè)小季每分鐘跳x下，下列方程正確的是（）

100100-20100100+20

A.=----------B.-----=------------

xx-30xx+30

100100+20100100-20

C.=----------D.-----=------------

X%-30?xx+30

【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.

【專題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】B

【分析】如果設(shè)小季每分鐘跳x下，那么小范每分鐘跳（x+30）下.題中有等量關(guān)系：小季跳100下所

用的時間=小范跳120下所用的時間，據(jù)此可列出方程.

【解答】解：由于小季每分鐘跳x下，所以小群每分鐘跳（x+20）下.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用.注意認(rèn)真審題是前提，找出等量關(guān)系是關(guān)鍵.

%—a<0

6.（2025?響水縣一模）關(guān)于1的不等式組[8的解集為且關(guān)于y的分式方程上二--

（%-1>—g―Jy-22-y

1的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)〃的和為（）

A.3B.4C.7D.8

【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式組.

【專題】計算題；分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識.

【答案】c

【分析】先求出不等式組的解集，再根據(jù)已知解集，求出。的取值范圍，先求出用。表示的卜再根據(jù)

分式分母不為0,分式方程的解為正整數(shù)，列不等式組，確定a的取值范圍，再根據(jù)分式方程的解為正

整數(shù)，求出a,進(jìn)而求出所有滿足條件的整數(shù)。的和.

【解答】解：解不等式組得｛：.

???不等式組的解集為xWa,

原分式方程可化為：=L

y-2y-2

解得y=竽，

???分式方程的解為正整數(shù)，

（孚>。

A|3+a'

解得a>-3,fl#1,

的取值范圍：-3<aW5,且aWl,

???分式方程的解為正整數(shù)，

.'.3+a—2或3+a=4或3+a=6或3+。=8,

彳導(dǎo)-1,a=1,a=5,

???所有滿足條件的整數(shù)。的和為：7.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的解、解一元一次不等式組，掌握解分式方程的步驟及不等式解集的硅定，

根據(jù)題目的要求求出a的取值范圍是解題關(guān)鍵.

23

7.（2025?海南一模）若^—為一相反數(shù)，則無的值是（）

3—x%+1

A.3B.5C.7D.11

【考點(diǎn)】解分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為。得到方程一一,解方程即可得到答案.

3-x

23

【解答】解：???代數(shù)式「與代數(shù)式「的值互為相反數(shù)，

3-x%+1

.2

?，

3—X

解得尤=11,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=ll是原方程的解,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的步驟.

8.（2024秋?桂林期末）如圖，把電阻值分別為Ri,R2的兩電阻并聯(lián)后接入某電路中，已知其總電阻值R

111

（單位：Q）.滿足二=丁+二，若R的電阻值是1。，及的電阻值是3。，則R的電阻值是（）

13

A.一。B.1。C.—12D.2Q

22

【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】c

【分析】根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)，列出方程，解分式方程即可.

111

【解答】解：根據(jù)題意得：-=—+

1/?!3

解得：Ri=2，

經(jīng)檢驗(yàn)％=|是原方程的解，

即R1的電阻值是|。.

綜上所述，只有選項(xiàng)C正確，符合題意

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到關(guān)系式.

9.（2025春?良慶區(qū)校級月考）下列各式中，是分式方程的是（）

16%121x+y122x

A.——=一B.-=-C.----------=0D.-+一

25nX249X3

【考點(diǎn)】分式方程的定義.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母.據(jù)

此解答即可

【解答】解：A.警=工是一元一次方程，不符合題意；

25n

B.-=二是分式方程，符合題意；

X2

C.蟲-乙二。是二元一次方程，不符合題意；

49

22x

D.一+一是代數(shù)式，不符合題意.

X3

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的大雁，掌握分式方程的定義是關(guān)鍵.

10.（2025?湖北一模）數(shù)學(xué)活動課上，甲，乙兩位同學(xué)制作長方體盆子.已知甲做6個盒子比乙做4個盒

子多用10分鐘，乙每小時做盒子的數(shù)量是甲每小時做盒子的數(shù)量的2倍.設(shè)甲每小時做x個盒子，根

據(jù)題意可列方程（）

%2%

46106410

C.———=—D.一—一=—

X2%60x2x60

【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】設(shè)甲每小時做x個盒子，根據(jù)“乙每小時做盒子的數(shù)量是甲每小時做盒子的數(shù)量的2倍”，則

乙每小時做2x個盒子，根據(jù)“甲做6個盒子比乙做4個盒子多用10分鐘”，列出方程-&=〃即

%2x60

可.

【解答】解：由題意得：q一二=學(xué)，

%2x60

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2025春?沙坪壩區(qū)校級月考）若關(guān)于y的分式方程二X=7的解為非負(fù)數(shù)，且關(guān)于x的一元

y-ii-y

一次不等式組｛3-至少有兩個正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為/_.

（4比—1<a+2x

【考點(diǎn)】解分式方程；解一元一次不等式組.

【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】17.

【分析】先根據(jù)解分式方程的方法求出丫=竽,根據(jù)分式方程的解為非負(fù)數(shù)可得:F>。且?中1，

乙22

求出且aW5.再根據(jù)解一元一次不等式組的方法求出不等式組的解集為：-等，然后根

據(jù)不等式組至少有兩個正整數(shù)解，得出勺3>2,解得a>3,由此可得3<aW7且aW5,進(jìn)而得出符合

2

條件的〃的值，即可得出答案.

【解答】解：37—學(xué)士=7,

y-11-y

方程兩邊同時乘（y-1）,得2y+3y-a=7（y-1）,

去括號，得2y+3y-a=7y-7,

解得：y=^-

???分式方程的解為非負(fù)數(shù)，

7—CL7—CL

>0且A1,

2-------2

解得：aW7且〃W5.

作①

4x—1<a+2久②

解不等式①，得G-1,

解不等式②，得XV等,

不等式組的解集為-1<%V室.

..?不等式組至少有兩個正整數(shù)解,

d+1

-->2,

2

解得：〃>3,

，3<忘7且aW5,

滿足條件的所有整數(shù)。的值為4,6,7,

滿足條件的所有整數(shù)a的值是和為：4+6+7=17.

故答案為：17.

【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式組

的方法是解題的關(guān)鍵.

12.（2025春?萬州區(qū)月考）關(guān)于x的不等式組戶”一堂2xt4的解中至少包含三個整數(shù)，且關(guān)于的分

式方程至出=應(yīng)三+2的解是不小于-6的整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)。的值的和是-18.

y-ii-y

【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的整數(shù)解.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】-18.

【分析】由題意分別解不等式組產(chǎn)的兩個不等式，根據(jù)“該不等式組的解中至少包含三

個整數(shù)”，得到關(guān)于a的不等式組，解之，解分式方程空子=產(chǎn)+2,結(jié)合“該分式方程的解是

y-11-y

不小于-6的整數(shù)”，得至Ua的值進(jìn)而即可得到答案.

【解答】解：解不等式3%-3W2x+4得xW7,

解不等式x-aW2x-3〃得X三2〃，

由條件可知該不等式組至少有整數(shù)解5,6,7,

則有2aW5,解得a4冬

解分式方程f+2得:

y=竽且產(chǎn)1，

??,該分式方程的解是不小于-6的整數(shù),

3+2a+年2-6,則a的值為3的倍數(shù)，且警力1，

----=1

3

,、21

..aN—2~f且20,

Va<|.

工。工?，且〃為3的倍數(shù)，

則整數(shù)a的值為-9或-6或-3,

即滿足條件的所有整數(shù)G的值之和為-9-6-3=-18.

故答案為：-18.

【點(diǎn)評】本題考查分式方程的解和一元一次不等式組的整數(shù)解.熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵.

13.（2025春?西城區(qū)校級月考）方程4；+>；=0的解為％.

2x~3%+1

【考點(diǎn)】解分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】%=4.

【分析】解分式方程一定注意要驗(yàn)根.分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到尤的值,

經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

11

【解答】解:-------+—=0,

2%—3----x+1

去分母得x+l+2x-3=0,

解得x=

經(jīng)檢驗(yàn)》=|是原方程的解,

故答案為：X=

【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程

求解.

（2%+2、,1

14.（2025?潼南區(qū)模擬）如果關(guān)于x的不等式組飛—>工+1有解且至多有4個整數(shù)解，且關(guān)于y的

2（%—1）<4%—a

分式方程二一-3=旦的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為-13.

i-yy-i

【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的整數(shù)解.

【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】-13.

【分析】先解于x的不等式組飛—>X+1,根據(jù)不等式組有解且至多有4個整數(shù)解，求出。的

2（%—1）<4%—a

2a

取值范圍，再解關(guān)于y的分式方程;--3=—根據(jù)分式方程的解為整數(shù)且分母不能為0,列出關(guān)

于a的方程，解方程求出。，再找出符合條件的a的值，并求出它們的和即可.

'^2—+1①

【解答】解:

2(%—1)<4%—a@

由①得：x<-1,

由②得：x>—，

Q—2

--<x<—1,

2

3+2

>X+1

??,關(guān)于］的不等式組F有解且至多有4個整數(shù)解,

2(%—1)<4%—a

a—2

??.―6V,<-1

-12<a-2<-2,

-10<?<0,

2a

-------3=-------,

1-yy-1

-2-3(y-1)=a,

-2-3y+3=a,

3y=1-4,

1—a

y=亍，

.??關(guān)于y的分式方程一--3=旦的解為整數(shù)且y#1，

'i-yy-i

1-。=0或-3或±6或±9...,

解得：a=1或4或-5或7或-8或10

符合條件是。的值為：-5或-8,

所有滿足條件的整數(shù)。的值之和為：-5-8=73,

故答案為：-13.

【點(diǎn)評】本題主要考查了解一元一次不等式和分式方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式組和分

式方程的一般步驟.

32

15.(2025?鋼城區(qū)一模)已知關(guān)于x的分式方程-=-的解是x=6,則/的值為2.

xx-k

【考點(diǎn)】分式方程的解.

【專題】分式方程及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

32

【分析】根據(jù)題意，將1=6代入分式方程一=］，關(guān)于%的方程3X（6-攵）=12,求出左=2.

xx-k

32

【解答】解：將尤=6代入分式方程一=「可得：

xx-k

32

66-k

3X（6-左）=12,

18-3左=12,

3k=6,

k=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程求解，解決本題的灌漿是將x的值代入方程，列出關(guān)于左的方程.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?花溪區(qū)模擬）為全面落實(shí)貴陽貴安義務(wù)教育階段學(xué)校每天一節(jié)體育課的要求，某學(xué)校擬購進(jìn)甲、

乙兩種運(yùn)動器材.已知每個甲種器材的進(jìn)價比每個乙種器材的進(jìn)價高20%,用7200元購進(jìn)的甲種器材

的數(shù)量比用7500元購進(jìn)乙種器材的數(shù)量少5個.

（1）求每個甲種器材的進(jìn)價；

（2）若該校擬購進(jìn)這兩種器材共60個，其中乙種器材的數(shù)量不大于甲種器材數(shù)量的2倍.該校應(yīng)如何

購買才能使所需費(fèi)用最少.

【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識.

【答案】（1）每個甲種器材的進(jìn)價為360元；

（2）購進(jìn)甲種器材20個，乙種器材40個，所需費(fèi)用最少.

【分析】（1）設(shè)每個乙種器材的進(jìn)價是x元，則每個甲種器材的進(jìn)價是1.2x元，根據(jù)用7200元購進(jìn)的

甲種器材的數(shù)量比用7500元購進(jìn)乙種器材的數(shù)量少5個，列出分式方程，解方程即可；

（2）設(shè)購進(jìn)甲種器材為a個，則購進(jìn)乙種器材為（60-a）個，根據(jù)乙種器材的數(shù)量不大于甲種器材數(shù)

量的2倍.列出一元一次不等式，解得。》20,則20Wa<60,再設(shè)購進(jìn)器材所需費(fèi)用為w元，由題意

列出w關(guān)于a的一次函數(shù)關(guān)系式，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)每個乙種器材的進(jìn)價是x元，則每個甲種器材的進(jìn)價是（1+20%）x元，即1.2尤元,

,士―72007500

由寇忌倚：言=丁一5'

角畢得：％=300,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是方程的解，且符合題意,

1.2元=1.2X300=360,

答：每個甲種器材的進(jìn)價為360元；

(2)設(shè)購進(jìn)甲種器材為a個，則購進(jìn)乙種器材為(60-a)個，

由題意得：(60-a)W2a,

解得:心20,

，20Wa<60,

設(shè)購進(jìn)器材所需費(fèi)用為卬元，

由題意得：w=360a+300(60-a)=60a+18000(20Wa<60),

V60>0,

隨。的增大而增大，

.?.當(dāng)a=20時，w有最小值=60X20+18000=19200,

此時，60-a=40,

答：購進(jìn)甲種器材20個，乙種器材40個，所需費(fèi)用最少.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)

找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；(2)找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式和一次函數(shù)關(guān)系式.

32

17.(2025春?沛縣月考)(1)解方程：-=-

xx+1

X-1>2

(2)解不等式組:

2+x>2(%—1).

【考點(diǎn)】解分式方程；解一元一次不等式組.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】⑴尸-3；(2)3c尤W4.

【分析】(1)先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對所求的方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可得;

(2)分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

【解答】解：(1)原方程兩邊同乘x(x+1)得，3(x+1)=2x.

解得x=-3,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=-3時，尤(x+1)W0.

所以原分式方程的解是x=-3.

⑵①

12+x>2(尤-1)②

由①得：x>3.

由②得：xW4.

則不等式組的解集為：3cxW4.

【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵.

18.（2025?湖南模擬）今年我市的陽光玫瑰葡萄喜獲豐收，陽光玫瑰葡萄一上市，水果店的王老板用2000

元購進(jìn)一批陽光玫瑰葡萄，很快售完；王老板又用3200元購進(jìn)第二批陽光玫瑰葡萄，所購數(shù)量是第一

批的2倍，但進(jìn)價比第一批每千克少了2元.

（1）第一批陽光玫瑰葡萄每千克的進(jìn)價是多少元？

（2）王老板以每千克12元的價格銷售第二批陽光玫瑰葡萄，售出60%后，為了盡快售完，決定打折促

銷，要使第二批陽光玫瑰葡萄的銷售利潤不少于1200元，剩余的陽光玫瑰葡萄每千克的售價最低打幾

折？（結(jié)果保留整數(shù)）

【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】（1）第一批陽光玫瑰葡萄每千克的進(jìn)價是10元；

（2）剩余的葡萄每件售價最少打8折.

【分析】（1）設(shè)第一批葡萄每千克進(jìn)價尤元，則第二批葡萄的進(jìn)價為（尤-2）元，然后根據(jù)“用3200

元購進(jìn)第二批陽光玫瑰葡萄，所購數(shù)量是第一批的2倍”列出方程求解即可；

（2）設(shè)剩余的葡萄每千克的售價打y折，根據(jù)總利潤=（售價-進(jìn)價）X千克數(shù)列出不等式求解即可.

【解答】解：（1）設(shè)第一批葡萄每千克進(jìn)價x元，則第二批葡萄的進(jìn)價為（尤-2）元，

解得尤=10,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原方程的解且符合題意，

答：進(jìn)價是10元；

（2）設(shè)剩余的葡萄每千克售價打y折.

32003200

-------x12x0.6+---------x（1-0.6）x12xO.lv-3200>1200,

10-210-2

得到代7.5.

答：最少打8折.

【點(diǎn)評】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)

系和不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

19.（2025春?深圳校級月考）（1）計算：|百一2|+31射130。+（。-1一??；

(2)下面是小虎在解決分式方程一；=「無解問題的分析過程：

x-22-x

解：第一步：去分母，得x-3=-mx,

第二步：移項(xiàng)，得x+mx=3,

第三步：合并同類項(xiàng)，得(1+m)%=3,

第四步：化系數(shù)為1得久=磊，

第五步：若方程無解，貝阮=磊為增根，即久=磊=2,

第六步：